Correction BAC STL BGB Mathématiques 2010

Correction BAC STL BGB Session 2010
Epreuve de Mathématiques
EXERCICE 1 : QCM (8 points)
Remarque: Les justifications sont à titre informatif.
1. c)
ଵଵ
ଷଶ
Justification : Dans un jeu de 32 cartes il y a 8 piques (dont le valet de pique) et trois autres
valets. Donc 13 cartes sont soit un valet soit un pique.
ିସ
2. a) ݂′ሺ‫ݔ‬ሻ = ሺଶିଷ௫ሻ²
௫ିଶ
௨
Justification : ݂ሺ‫ݔ‬ሻ = ଶିଷ௫ = ௩ donc :
݂′ሺ‫ݔ‬ሻ =
௨ᇲ ௩ି௨௩ᇱ
௩²
=
ଵሺଶିଷ௫ሻିሺ௫ିଶሻሺିଷሻ
ሺଶିଷ௫ሻ²
=
ଶିଷ௫ାଷ௫ି଺
ሺଶିଷ௫ሻ²
ିସ
= ሺଶିଷ௫ሻ²
3. b) ‫ ݔ = ݕ‬− 0,5
௨ᇱ
Justification : ݂ሺ‫ݔ‬ሻ = lnሺ‫ ݔ‬+ 0,5ሻ = ln ‫ ݑ‬donc ݂′ሺ‫ݔ‬ሻ =
௨
ଵ
= ௫ା଴,ହ
L'équation de la tangente à (C) au point d'abscisse 0,5 est : ‫݂ = ݕ‬′ሺ0,5ሻሺ‫ ݔ‬− 0,5ሻ + ݂ሺ0,5ሻ
Donc ‫ = ݕ‬1ሺ‫ ݔ‬− 0,5ሻ + 0 donc ‫ ݔ = ݕ‬− 0,5
4. a) 10
௬ ି௬
Justification : Le coefficient directeur de (AB) est : ௫ಳ ି௫ ಲ =
ಳ
ಲ
ହ଴ିଷ଴
଻ିହ
= 10
5. b) 89 milliers de bactéries
Justification : Augmenter un nombre de 20% revient à le multiplier par 1,2.
Au bout de six heures la population aura augmenté 12 fois de 20%.
Le nombre de bactéries au bout de six heures est donc : 10 × 1, 2ଵଶ ≈ 89
6. A. b) 0,7
Justification :
ଶ଼଴
ସ଴଴
= 0,7
B. c) 0,85
Justification :
ଶ଼଴ା଺଴
ସ଴଴
= 0,85
C. b) 0,1
Justification :
ଷସ
ଷସ଴
= 0,1
EXERCICE 2 : (12 points)
PARTIE A
1. Les solutions de l'équation différentielle (E) sont les fonctions de la forme :
݂ሺ‫ݐ‬ሻ = ‫ି ݁ܥ‬଴,଴ସ଺௧ où C est une constante réelle.
donc ‫ି ݁ܥ‬଴,଴ସ଺×ହ = 23,8 donc ‫ି ݁ܥ‬଴,ଶଷ = 23,8
2.a) ݂ሺ5ሻ = 23,8
On en déduit que : ‫= ܥ‬
ଶଷ,଼
≈ 30.
௘ షబ,మయ
ି଴,଴ସ଺௧
b) On a donc ݂ሺ‫ݐ‬ሻ = 30݁
.
La concentration initiale est : ݂ሺ0ሻ = 30݁ ଴ = 30 ߤg/L
PARTIE B
1. On a : lim − 0, 046t = −∞ et lim eT = 0 donc lim e −0,046t = 0 .
T →−∞
t →+∞
t →+∞
On en déduit que : lim f ( t ) = 0 .
t →+∞
2. On déduit de la question 1. que la courbe (C) admet une asymptote horizontale
d'équation ‫ = ݕ‬0 en +∞, c'est-à-dire l'axe des abscisses.
3. ݂′ሺ‫ݐ‬ሻ = 30 × ሺ−0,046ሻ݁ ି଴,଴ସ଺௧ = −1,38݁ ି଴,଴ସ଺௧ (car ሺ݁ ௨ ሻᇱ = ‫ݑ‬′ × ݁ ௨ )
4. ݁ ି଴,଴ସ଺௧ étant toujours strictement positif, on en déduit que ݂′ሺ‫ݐ‬ሻ est strictement négatif
pour tout ‫ ݐ‬de ሾ0 ; +∞ሾ.
La fonction f est donc strictement décroissante sur ሾ0 ; +∞ሾ.
‫ݐ‬
+∞
0
Signe de f ' ( t )
30
Variations de f
0
5. a)
‫ݐ‬
݂ሺ‫ݐ‬ሻ
0
30
5
23,8
10
18,9
15
15
20
12
b) Le coefficient directeur de la tangente à (C) au point d'abscisse 15 est :
݂′ሺ15ሻ = −1,38݁ ି଴,଴ସ଺×ଵହ = −0,7
25
9,5
c)
Partie C
1. a) ‫ ݐ‬étant en jours, il s'agit de calculer ݂ሺ7ሻ :
݂ሺ7ሻ = 30݁ ି଴,଴ସ଺×଻ ≈ 22 ߤg/L
b) Voir graphique.
2. La valeur initiale de la concentration est ݂ሺ0ሻ = 30 ߤg/L
10% de cette valeur initiale représente donc une concentration de 3 ߤg/L.
Le porc est hors de danger quand la concentration devient inférieure ou égale à 3 :
ଷ
݂ሺ‫ݔ‬ሻ ≤ 3 ; 30݁ ି଴,଴ସ଺௧ ≤ 3 ; ݁ ି଴,଴ସ଺௧ ≤ ଷ଴
donc −0,046‫ ≤ ݐ‬ln 0,1
;
; ݁ ି଴,଴ସ଺௧ ≤ 0,1
୪୬ ଴,ଵ
‫ି ≥ ݐ‬଴,଴ସ଺ ≈ 50,05.
Le porc est donc hors de danger à partir du 51-ème jour.
; ln ݁ ି଴,଴ସ଺௧ ≤ ln 0,1