TS - CORRIGÉ DU DEVOIR SURVEILLÉ N°4 Exercice 1

TS
Corrigé du DS4
TS - CORRIGÉ DU DEVOIR SURVEILLÉ N°4
Exercice 1
1. (a)
0, 001
0, 99
T
0, 01
T
M
0, 001
0, 999
T
M
0, 999
T
(b) D’après la formule des probabilités totales :
P (T ) = P (M ∩ T ) + P (M ∩ T ) = PM (T ) × P (M) + PM (T ) × P (M)
= 0, 001 × 0, 99 + 0, 999 × 0, 001 = 1, 989 × 10−3 .
0, 001 × 0, 99
P (T ∩ M)
=
≃ 0, 498 < 0, 5.
P (T )
1, 989 × 10−3
L’affirmation est donc vraie.
(c) PT (M) =
2. On reprend la même démarche, mais en modifiant les probabilités portées sur les branches de
l’arbre qui devient :
0, 99
T
M
x
0, 01
0, 001
1−x
T
T
M
T
On a alors, d’après la formule des probabilités totales : P (T ) = 0, 99x + 0, 001(1 − x) =
0, 001 + 0989x,
0, 99x
.
et donc : PT (M) =
0, 001 + 0, 989x
On résout alors l’inéquation suivante :
0, 99x
> 0, 95
PT (M) > 0, 95 ⇐⇒
0, 001 + 0, 989x
⇐⇒ 0, 99x > 0, 95(0, 001 + 0, 989x) car 0, 001 + 0, 989x > 0
⇐⇒ 0, 99x > 0, 00095 + 0, 93955x
⇐⇒ 0, 05045x > 0, 00095
0, 00095
⇐⇒ x >
car 0, 05045 > 0
0, 05045
0, 00095
Le test sera donc commercialisable à condition que la proportion x soit supérieure à
≃
0, 05045
0, 018, c’est-à-dire quand le pourcentage de la population atteint par la maladie est supérieur
à environ 1,88 %.
0, 999
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Exercice 2
1. Faux
3x + 1
Justification : lim (3x + 1) = 4 et lim− (x − 1) = 0− donc lim−
= −∞.
x→1
x→1
x→1
x−1
2. Vrai
Justification : D’après la formule des probabilités totales : P (A) = P (A ∩ B) + P (A ∩ B).
On a donc : P (A ∩ B) = P (A) − P (A ∩ B).
Si A et B sont indépendants, alors P (A ∩ B) = P (A) × P (B),
donc P (A ∩ B) = P (A) − P (A) × P (B) = P (A)(1 − P (B)) = P (A) × P (B),
et donc A et B sont indépendants.
3. Faux
1
1
Justification : Pour tout réel x > 0, −1 6 cos x 6 1 donc − 6 f (x) 6 .
x
x
1
1
Or lim −
= 0 et lim
= 0 donc, d’après le théorème des gendarmes, lim f (x) = 0.
x→+∞
x→+∞ x
x→+∞
x
4. Faux
Justification : Soit (un ) la suite définies sur N par :
un = (−1)n .
Alors, pour tout entier naturel n, −1 6 un 6 1.
La suite (un ) est donc bornée ; pourtant elle n’admet pas de limite.
5. Faux
1
est strictement croissante sur [0; +∞[
Justification : La fonction f définie par f (x) = −
x+1
et lim f (x) = 0.
x→+∞
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