1 Equations différentielles du premier ordre - CMAP

Ecole Polytechnique, 2010-2011
EV2- Mathématiques Appliquées
Fiche de cours 5 : Equations différentielles Linéaires
K désigne l’un des corps de base R ou C, I un intervalle de R.
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1.1
Equations différentielles du premier ordre
Equations homogènes (sans second membre)
Théorème : (Equation différentielle y ′ + a(x)y = 0)
Soient a ∈ C(I, K), A une primitive de a sur I et y une fonction dérivable sur I. Les assertions suivantes
sont équivalentes :
(i) y ′ + ay = 0 sur I.
(ii) Il existe λ ∈ K, tel que y = λe−A sur I.
Si de plus une condition initiale y(x0 ) = y0 est imposée, avec x0 ∈ I et y0 ∈ K, alors la valeur de la
constante λ est fixée ; l’équation avec condition initiale possède une unique solution.
1.2
Equations avec second membre
Théorème : (Equation différentielle y ′ + a(x)y = b(x))
Soient a, b ∈ C(I, K), A une primitive de a sur I, x0 ∈ I et y0 ∈ K.
Il existe une unique solution sur I de l’équation y ′ + a(x)y = b(x) telle que y(x0 ) = y0 ; elle est définie
par :
Z x
∀x ∈ I, y(x) = y0 eA(x0 )−A(x) +
b(t)eA(t)−A(x) dt.
x0
Théorème : (Equation différentielle y ′ + a(x)y = b(x), solutions générale et particulière)
Soient a, b ∈ C(I, K), A une primitive de a sur I, ȳ une solution particulière de l’équation y ′ + a(x)y = b(x)
sur I. Soit de plus y une fonction dérivable sur I. Les assertions suivantes sont équivalentes :
(i) y ′ + ay = b sur I.
(ii) Il existe λ ∈ K tel que, sur I, on ait
y
|{z}
solution générale de l’équation avec second membre
=
ȳ
|{z}
solution particulière
+
−A
λe
| {z }
solution générale de l’équation homogène
En d’autres termes, si on connaît une solution particulière de l’équation y ′ + a(x)y = b(x), alors on en
connaît toutes les solutions.
Théorème : (Principe de superposition)
Soient a, b1 , b2 ∈ C(I, K). Si y1 est une solution particulière sur I de y ′ + a(x)y = b1 (x) et si y2 est une
solution particulière sur I de y ′ + a(x)y = b2 (x), alors λ1 y1 + λ2 y2 est une solution particulière sur I de
y ′ + a(x)y = λ1 b1 (x) + λ2 b2 (x), pour tous λ1 , λ2 ∈ K.
1
1.3
Recherche d’une solution particulière : méthode de variation de la constante
Pour résoudre une équation différentielle du premier ordre y ′ + a(x)y = b(x) :
• Trouver toutes les solutions de l’équation homogène associée y ′ + a(x)y = 0. Ces solutions sont les
λ0 e−A(x) , avec λ0 ∈ K et A primitive de a sur I.
• Trouver une solution particulière ȳ de l’équation avec second membre y ′ + a(x)y = b(x), à l’aide de la
méthode de variation de la constante :
On cherche ȳ sous la forme
ȳ = λ(x)e−A(x) .
On obtient (λ′ e−A − λA′ e−A ) + aλe−A = b soit après simplifications λ′ = beA . On cherche alors λ primitive quelconque de beA .
• Les solutions de y ′ + a(x)y = b(x) sont alors les ȳ + λ0 e−A(x) , λ0 ∈ K.
• Si de plus une condition initiale est imposée, alors on ajuste la constante λ0 en conséquence.
1.4
Recherche d’une solution particulière pour des équations différentielles linéaires
à coefficients constants, pour des seconds membres b(x) spécifiques
On considére l’équation différentielle linéaire à coefficients constants y ′ + ay = b(x), où a ∈ K. Soit P
un polynôme de degré n, à coefficients dans K et k ∈ K.
– Equations y ′ + ay = P (x)ekx :
On cherche une solution sous la forme x 7→ Q(x)ekx , où Q est un polynôme à coefficients dans K, de
degré :
1. deg(Q) ≤ n si k 6= −a ;
2. deg(Q) ≤ n + 1 si k = −a.
– Pour K = R : Equations y ′ + ay = P (x) cos(kx) ou y ′ + ay = P (x) sin(kx) :
On cherche, à l’aide de la méthode ci-dessus, une solution complexe yC de y ′ + ay = P (x)eıkx . Alors
ℜ(yC ) est une solution particulière de y ′ + ay = P (x) cos(kx) et ℑ(yC ) est une solution particulière
de y ′ + ay = P (x) sin(kx).
– Pour K = R : Equations y ′ + ay = P (x)ch(kx) ou y ′ + ay = P (x)sh(kx) :
On cherche, à l’aide de la méthode ci-dessus, une solution y + de y ′ + ay = P (x)ekx et une solution
+
−
est une solution particulière de y ′ + ay = P (x)ch(kx) et
y − de y ′ + ay = P (x)e−kx . Alors y +y
2
+
−
y −y
est une solution particulière de y ′ + ay = P (x)sh(kx), d’après le principe de superposition.
2
2
2.1
Equations différentielles du second ordre à coefficients constants
Equations homogènes (sans second membre)
Théorème : (Equation différentielle ay ′′ + by ′ + cy = 0)
Soient a, b, c ∈ K avec a 6= 0. On appelle polynôme caractéristique de l’équation ay ′′ + by ′ + cy = 0 le
polynôme aX 2 + bX + c. Notons ∆ = b2 − 4ac son discriminant.
• Cas complexe (K = C).
1. Si ∆ 6= 0, soient r1 et r2 les racines distinctes de aX 2 + bX + c. Les solutions complexes de ay ′′ +
by ′ + cy = 0 sont alors toutes les fonctions x 7→ λ1 er1 x + λ2 er2 x , λ1 , λ2 ∈ C.
2. Si ∆ = 0 , soit r l’unique racine de aX 2 + bX + c. Les solutions complexes de ay ′′ + by ′ + cy = 0 sont
alors toutes les fonctions x 7→ (λx + µ)erx , λ, µ ∈ C.
2
• Cas réel (K = R).
1. Si ∆ > 0, soient r1 et r2 les racines (réelles) distinctes de aX 2 + bX + c. Les solutions réelles de
ay ′′ + by ′ + cy = 0 sont alors toutes les fonctions x 7→ λ1 er1 x + λ2 er2 x , λ1 , λ2 ∈ R.
2. Si ∆ = 0 , soit r l’unique racine de aX 2 + bX + c. Les solutions réelles de ay ′′ + by ′ + cy = 0 sont
alors toutes les fonctions x 7→ (λx + µ)erx , λ, µ ∈ R.
3. Si ∆ < 0, soient r + iω et r − iω les racines (complexes conjuguées) distinctes de aX 2 + bX + c. Les
solutions réelles de ay ′′ +by ′ +cy = 0 sont alors toutes les fonctions x 7→ (λ sin(ωx) + µ cos(ωx)) erx ,
λ, µ ∈ R, que l’on peut aussi mettre sous la forme x 7→ λ sin(ωx + φ)erx ou x 7→ λ cos(ωx + φ)erx ,
λ, φ ∈ R.
Si de plus une condition initiale de la forme y(x0 ) = y0 et y ′ (x0 ) = y1 est fixée, avec x0 ∈ I et y0 , y1 ∈ K,
alors la valeur des constantes est fixée. L’équation avec condition initiale possède une unique solution.
2.2
Equations avec second membre
Théorème : (Equation différentielle ay ′′ + by ′ + cy = d(x))
Soient a, b, c ∈ K (avec a 6= 0), d ∈ C(I, K), x0 ∈ I et y0 , y1 ∈ K. Il existe une unique solution sur I de
l’équation ay ′′ + by ′ + cy = d(x) telle que y(x0 ) = y0 et y ′ (x0 ) = y1 .
Théorème : (Equation différentielle ay ′′ + by ′ + cy = d(x))
Soient a, b, c ∈ K (avec a 6= 0), d ∈ C(I, K) et ȳ une solution particulière de l’équation ay ′′ + by ′ + cy = d(x)
sur I. Soit de plus y : I → K une application deux fois dérivable sur I. Les assertions suivantes sont
équivalentes :
(i) ay ′′ + by ′ + cy = d sur I.
(ii)
y
|{z}
solution générale de l’équation avec second membre
=
ȳ
|{z}
solution particulière
+
ye
|{z}
solution générale de l’équation homogène
En d’autres termes, si on connaît une solution particulière de l’équation y ′ + a(x)y = b(x), alors on en
connaît toutes les solutions.
Théorème : (Principe de superposition)
Soient a, b, c ∈ K avec a 6= 0, d1 , d2 ∈ C(I, K). Si y1 est une solution particulière sur I de ay ′′ + by ′ + cy =
d1 (x) et si y2 est une solution particulière sur I de ay ′′ + by ′ + cy = d2 (x), alors λ1 y1 + λ2 y2 est une solution
particulière sur I de ay ′′ + by ′ + cy = λ1 d1 (x) + λ2 d2 (x), pour tous λ1 , λ2 ∈ K.
2.3
Recherche d’une solution particulière pour des seconds membres spécifiques
Soient a, b, c, k ∈ K, a 6= 0, P un polynôme de degré n à coefficients dans K.
– Equation de la forme ay ′′ + by ′ + cy = P (x)ekx :
On cherche les solutions sous la forme x 7→ Q(x)ekx , où Q est un polynôme à coefficients dans K, de
degré :
1. deg(Q) ≤ n si k n’est pas racine du polynôme aX 2 + bX + c.
2. deg(Q) ≤ n + 1 si k est racine simple du polynôme aX 2 + bX + c.
3. deg(Q) ≤ n + 2 si k est racine double du polynôme aX 2 + bX + c.
3
– Pour K = R : Equations ay ′′ + by ′ + cy = P (x) cos(kx) ou ay ′′ + by ′ + cy = P (x) sin(kx) :
On cherche, à l’aide de la méthode ci-dessus, une solution complexe yC de ay ′′ + by ′ + cy = P (x)eıkx .
Alors ℜ(yC ) est une solution particulière de ay ′′ + by ′ + cy = P (x) cos(kx) et ℑ(yC ) est une solution
particulière de ay ′′ + by ′ + cy = P (x) sin(kx).
– Pour K = R : Equations ay ′′ + by ′ + cy = P (x)ch(kx) ou ay ′′ + by ′ + cy = P (x)sh(kx) :
On cherche, à l’aide de la méthode ci-dessus, une solution y + de ay ′′ + by ′ + cy = P (x)ekx et une
+
−
est une solution particulière de ay ′′ +by ′ +cy =
solution y − de ay ′′ +by ′ +cy = P (x)e−kx . Alors y +y
2
+
−
P (x)ch(kx) et y −y
est une solution particulière de ay ′′ + by ′ + cy = P (x)sh(kx), d’après le principe
2
de superposition.
3
Rappel : primitives des fonctions usuelles
On suppose a > 0.
Fonction
xα avec α 6= −1
x
1
x
a avec a > 0, a 6= 1
cos x
sin x
tan x
cosh x
sinh x
tanh x
tan2 x
1
cos2 x
1
sin2 x
1
sin x
1
cos x
tanh2 x
1
cosh2 x
1
sinh2 x
1
x2 + a2
1
2
a − x2
1
√
2
a − x2
1
√
x 2 + a2
1
√
2
x − a2
Primitive
xα+1
α+1
ln |x|
Ensemble de définition de la primitive
R∗+ (R si α ∈ N)
ax
ln a
sin x
− cos x
− ln | cos x|
sinh x
cosh x
ln cosh x
tan x − x
tan x
x
− coth x = − cos
sin x
x ln tan
x 2 π +
ln tan
2
4
x − tanh x
]−
π
2
]−
π
2
π
2
]−
+ kπ, π2 + kπ[, k ∈ Z
]kπ, π + kπ[, k ∈ Z
]kπ, π + kπ[, k ∈ Z
]−
tanh x
1
tanh x
x
1
arctan
a a
a + x
1
ln 2a a − x x
arcsin
a
p
2
ln x + x + a2
p
ln x + x2 − a2 R∗+ ou R∗−
R
R
R
+ kπ, π2 + kπ[, k ∈ Z
R
R
R
π
+ kπ, 2 + kπ[, k ∈ Z
π
2
+ kπ, π2 + kπ[, k ∈ Z
R
R
R∗+ ou R∗−
R
] − ∞, −a[ ou ] − a, a[ ou ]a, +∞[
] − a, a[
R
] − ∞, −a[ ou ]a, +∞[
4