limites de fonctions - XMaths

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LIMITES DE FONCTIONS
I Limites à l'infini
Définition
Soit f une fonction dont l'ensemble de définition contient un intervalle ]a ; +∞[ et soit l un nombre réel.
Si tout intervalle ]l - r ; l + r[ (avec r > 0) contient toutes les valeurs f(x) pour x assez grand, on dit que la
fonction f a pour limite l quand x tend vers +∞. On écrira
lim f(x) = l ou lim f = l .
x→+∞
+∞
Dans ce cas, on dit que la droite d'équation y = l est asymptote (horizontale) à la courbe (C) de f au
voisinage de +∞.
l
l
x
x
Remarque
Dire que la fonction f a pour limite l au voisinage de +∞ signifie que f(x) est aussi proche de l que l'on veut
lorsque x est assez grand.
Exercice 01
(voir réponses et correction)
2
On considère la fonction f définie sur ]0 ; +∞[ par f(x) = 2x + 1
x2
1°) Donner des valeurs (éventuellement approchées à 10-3 près) de f(1) ; f(10) ; f(100) ; f(3234).
2°) Observer la représentation graphique de f donnée par une calculatrice ou un ordinateur.
Quelle conjecture peut-on faire sur la limite de f en +∞ ?
3°) On considère l'intervalle ouvert de centre 2 et de rayon 0,01 , c'est-à-dire ]1,99 ; 2,01[ .
Démontrer que pour x > 10, f(x) ∈ ]1,99 ; 2,01[. (On pourra écrire f(x) sous la forme f(x) = 2 + 1 )
x2
4°) On considère l'intervalle ]2 - r ; 2 + r [ avec r > 0.
Montrer que pour x supérieur à un certain x0 à déterminer en fonction de r, tous les f(x) appartiennent à
l'intervalle ]2 - r ; 2 + r [ .
5°) Justifier que lim f(x) = 2
x→+∞
Exercice 02
Démontrer que
lim 1 = 0 .
x→+∞ x
Exercice 03
On considère la fonction f définie sur IR par f(x) = 3x3 + x2
1°) Donner les valeurs de f(1) ; f(10) ; f(100) ; f(5812).
Quelle conjecture peut-on faire sur la limite de f en +∞ ?
3°) On considère l'intervalle ]100 ; +∞[ .
Démontrer que pour x > 10, f(x) ∈ ]100 ; +∞[.
4°) On considère un intervalle ]A ; +∞[ , avec A > 0.
Montrer que pour x supérieur à A , tous les f(x) appartiennent à l'intervalle ]A ; +∞[ .
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TS − Limites de fonctions
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Définitions
Soit f une fonction dont l'ensemble de définition contient un intervalle ]a ; +∞[ .
●
Si tout intervalle de la forme ]A ; +∞[ contient toutes les valeurs
f(x) pour x assez grand, on dit que la fonction f a pour limite +∞
quand x tend vers +∞.
On écrira
A
lim f(x) = +∞ ou lim f = +∞ .
x→+∞
+∞
x
●
Si tout intervalle de la forme ]-∞ ; A[ contient toutes les valeurs
f(x) pour x assez grand, on dit que la fonction f a pour limite -∞
quand x tend vers +∞.
On écrira
A
lim f(x) = -∞ ou lim f = -∞ .
x→+∞
Exercice 04
x
+∞
1°) Soit f définie sur IR par f(x) = -2x + 3 . Démontrer (en utilisant la définition) que
lim f(x) = -∞ .
x→+∞
2°) Soit f définie sur IR par f(x) = px + q (p et q étant deux réels fixés). Déterminer lim f(x) .
x→+∞
Définitions
Soit f une fonction dont l'ensemble de définition contient un intervalle ]-∞ ; a[ .
●
Soit l un nombre réel.
Si tout intervalle ]l - r ; l + r[ (avec r > 0) contient toutes les
valeurs f(x) pour x assez grand (en valeur absolue) et négatif, on
dit que la fonction f a pour limite l quand x tend vers -∞.
On écrira
x→-∞
-∞
Dans ce cas, on dit que la droite d'équation y = l est asymptote
horizontale) à la courbe (C) de f au voisinage de -∞.
●
x
f(x) pour x assez grand (en valeur absolue) et négatif, on dit que
la fonction f a pour limite +∞ quand x tend vers -∞.
On écrira
●
l
lim f(x) = l ou lim f = l .
x
lim f(x) = +∞ ou lim f = +∞ .
x→-∞
-∞
f(x) pour x assez grand (en valeur absolue) et négatif, on dit que
la fonction f a pour limite -∞ quand x tend vers -∞.
On écrira
A
x
A
lim f(x) = -∞ ou lim f = -∞ .
x→-∞
Exercice 05
-∞
En utilisant les représentations graphiques données par une calculatrice, conjecturer les limites suivantes :
2
lim 2x + 1
lim x2 - x
lim 1 + x
;
;
x→-∞
x→-∞
x→-∞
x
x
Exercice 06
Déterminer en les justifiant :
lim 1
x
x→-∞
et
lim -2x + 3 .
x→-∞
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II Limites ponctuelles
Définitions
Soit f une fonction dont l'ensemble de définition contient un intervalle de la forme ]a ; a + r[ ou ]a - r ; a[
(r étant un réel positif) .
●
f(x) pour x assez proche de a, on dit que la fonction f a pour
limite +∞ quand x tend vers a.
A
On écrira lim f(x) = +∞ ou lim f = +∞ .
x→a
a
Dans ce cas, on dit que la droite d'équation x = a est asymptote
(verticale) à la courbe (C) de f .
●
a
f(x) pour x assez proche de a, on dit que la fonction f a pour
limite -∞ quand x tend vers a.
a
On écrira lim f(x) = -∞ ou lim f = -∞ .
x→a
a
A
Dans ce cas, on dit que la droite d'équation x = a est asymptote
(verticale) à la courbe (C) de f .
Remarque
Pour définir une limite finie l quand x tend vers a, on pourrait écrire :
Soit l un nombre réel.
Si tout intervalle ]l - r ; l + r[ (avec r > 0) contient toutes les valeurs
f(x) pour x assez proche de a, on dit que la fonction f a pour limite l
quand x tend vers a.
l
a
On écrira lim f(x) = l ou lim f = l .
x→a
a
Dans ce cas, on ne peut pas parler d'asymptote à la courbe (C).
Remarque
lim f(x) = +∞
x 0
x>0
Lorsqu'on considère uniquement les réels x de l'intervalle ]a ; a + r[ ,
on parlera de limite à droite en a ou de limite en a par valeurs
supérieures, on notera lim
x→a
x>a
Lorsqu'on considère uniquement les réels x de l'intervalle ]a - r ; a[ ,
on parlera de limite à gauche en a ou de limite en a par valeurs
inférieures, on notera lim
x→a
x<a
Par exemple pour la fonction f définie sur ]-∞ ; 0[ ∪ ]0 ; +∞[
par f(x) = 1 , on a :
x
lim f(x) = -∞
x→0
x<0
et
Exercice 07
Démontrer que
lim f(x) = +∞
x 0
x<0
lim 1 = +∞
x
x→0
x>0
lim f(x) = -∞
x→0
x>0
et
lim 1 = -∞ .
x
x→0
x<0
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Exercice 08
3
.
(x - 1)2
1°) Justifier que l'ensemble de définition de f est ]-∞ ; 1[ ∪ ]1 ; +∞[ .
Quelle conjecture peut-on faire sur la limite de f en 1 ?
3°) On considère l'intervalle ]1000 ; +∞[ .
Donner une condition portant sur x pour que f(x) ∈ ]1000 ; +∞[.
4°) On considère un intervalle ]A ; +∞[ avec A > 2.
Donner une condition portant sur x pour que f(x) ∈ ]A ; +∞[ .
On considère la fonction f définie par f(x) = 2 +
5°) Justifier que lim f(x) = +∞ .
x→1
III Limites et ordre
Propriété
(voir démonstration 01)
Soient deux fonctions f et g définies sur un intervalle ]a ; +∞[ .
Si pour tout x ∈ ]a ; +∞[
si lim f(x) = l et
f(x) £ g(x) ;
x→+∞
lim g(x) = l' alors l £ l' .
x→+∞
(Si des fonctions sont dans un certain ordre, alors leurs limites sont dans le même ordre.)
Remarques
●
La propriété n'est pas vraie avec des inégalités strictes.
Si f(x) < g(x) alors on ne peut pas en déduire l < l', mais seulement l £ l'.
Voir par exemple f(x) = - 1 et g(x) = 1
x
x
Pour ces deux fonctions, on peut écrire des inégalités strictes, mais on ne peut pas espérer démontrer
une inégalité stricte sur leurs limites en +∞ car ces limites sont égales (à 0).
●
La propriété permet de comparer deux limites, mais elle ne permet pas de démontrer l'existence de la
limite d'une fonction.
Cette propriété peut s'étendre à des limites quand x tend vers -∞, vers a, ainsi qu'à des limites à gauche
ou à droite. (Il suffira de modifier l'intervalle de définition des fonctions)
Propriété correspondante quand x tend vers -∞ :
Soient deux fonctions f et g définies sur un intervalle ]-∞ ; a[
●
Si pour tout x ∈ ]-∞ ; a[
Propriété
f(x) £ g(x) ;
si
lim f(x) = l et
x→-∞
lim g(x) = l' alors l £ l'
x→-∞
(voir démonstration 02)
Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle ]a ; +∞[ .
Si pour tout x ∈ ]a ; +∞[ f(x) ³ g(x)
et si
lim g(x) = +∞
x→+∞
alors
lim f(x) = +∞ .
x→+∞
(Si une fonction tend vers +∞ alors toute fonction qui lui est supérieure tend aussi vers +∞.)
Remarques
● On a une propriété similaire pour une fonction qui tend vers -∞ .
Si pour tout x ∈ ]a ; +∞[ f(x) £ g(x)
et si
lim g(x) = -∞
x→+∞
alors
lim f(x) = -∞
x→+∞
(Si une fonction tend vers -∞ alors toute fonction qui lui est inférieure tend aussi vers -∞.)
● Ces propriétés peuvent s'étendre à des limites quand x tend vers -∞, vers a, ainsi qu'à des limites à
gauche ou à droite. (Il suffira de modifier l'intervalle de définition des fonctions)
Propriété correspondante pour une limite -∞ quand x tend vers a par valeurs supérieures :
Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle ]a ; a + r[ avec r > 0 .
Si pour tout x ∈ ]a ; a + r[ f(x) £ g(x)
et si lim g(x) = -∞
x→a
x>a
alors lim f(x) = -∞
x→a
x>a
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Exercice 09
Soit f(x) = 1 + x + sin x . Démontrer que
Exercice 10
lim f(x) = +∞ .
x→+∞
1°) On considère la fonction f définie sur ]0 ; +∞[ par f(x) = 5 .
x
Observer la représentation graphique de f donnée par une calculatrice ou un ordinateur.
Quelle conjecture peut-on faire sur la limite de f en 0 ? Démontrer le résultat conjecturé.
2°) Soit g la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par g(x) = 5 + 1 + cos 1 . Démontrer que lim g(x) = +∞ .
x→0
x
x
Vérifier en représentant graphiquement g avec une calculatrice ou un ordinateur.
x>0
Propriété (théorème des gendarmes) (admis)
Soient trois fonctions f, g et h définies sur un intervalle ]a ; +∞[ .
g(x) £ f(x) £ h(x)
et si
lim g(x) = lim h(x) = l , alors
x→+∞
x→+∞
lim f(x) = l .
x→+∞
Remarque
Cette propriété peut s'étendre à des limites quand x tend vers -∞, vers a, ainsi qu'à des limites à gauche ou
à droite. (Il suffira de modifier l'intervalle de définition des fonctions)
(La propriété peut aussi s'étendre à une limite infinie, mais la double inégalité est alors inutile et on retrouve les
propriétés vues précédemment.)
Exemple
La fonction f définie sur ]0 ; +∞ [ par f(x) = cos x + sin x peut être encadrée par les deux fonctions g et h
x
2
2
définies sur ]0 ; +∞ [ par g(x) = et h(x) = .
x
x
On a
lim g(x) = 0 et
lim h(x) = 0 donc
x→+∞
x→+∞
Propriété
lim f(x) = 0
x→+∞
(admise)
Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle ]a ; +∞[ .
| f(x) - l | £ g(x)
et si
lim g(x) = 0
alors lim f(x) = l .
x→+∞
x→+∞
Remarque
Cette propriété peut s'étendre à des limites quand x tend vers -∞, vers a, ainsi qu'à des limites à gauche ou
à droite. (Il suffira de modifier l'intervalle de définition des fonctions)
Exercice 11
On considère les fonctions vérifiant les conditions ci-dessous.
Pour chacune d'elles indiquer (en justifiant) si l'on peut donner les limites demandées.
lim f(x) ; lim f(x) ; lim f(x) ; lim f(x) .
1°) Pour tout x ≠ 0 f(x) ³ 1 ;
x→-∞
x→+∞
x→0
x→0
x
x<0
2°) Pour tout x ≠ 0
g(x) £ 1
x
;
lim g(x)
x→-∞
lim g(x)
;
5°) Pour tout x ∈ ]0 ; 1[
- 1 £ u(x) £ 1
x
x
| v(x) - 3 | £ x
;
;
lim g(x) ;
;
x→0
x<0
3°) Pour tout x ∈ ]1 ; +∞ [ x + 1 £ h(x) £ 3x + 1 ;
x
4°) Pour tout x ∈ ]0 ; +∞ [
x>0
x→0
x>0
lim h(x)
;
x→-∞
lim u(x)
lim v(x)
x→-1
lim u(x) ;
;
x→-1
;
lim h(x)
x→0
x<0
x→0
x>0
lim v(x) ;
x→0
x<0
lim g(x) .
x→+∞
;
lim h(x) ;
x→0
x>0
lim h(x) .
x→+∞
lim u(x) .
x→+∞
lim v(x) ; lim v(x) .
x→0
x>0
x→1
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IV Opérations sur les limites
Les tableaux suivants, identiques à ceux donnés pour les suites, permettent de donner, dans certains cas,
la limite de la somme, du produit, du quotient de deux fonctions f et g, lorsqu'on connaît la limite de chacune
des deux fonctions.
La plupart des résultats se comprennent de façon intuitive. Ils peuvent tous être démontrés en utilisant les
définitions données précédemment. l et l' désignent des nombres réels.
Les limites peuvent être des limites en +∞, en -∞, en a, des limites à droite ou à gauche, mais bien entendu
toutes les limites utilisées doivent être de la même nature.
(Il n'est, par exemple, pas question d'utiliser le tableau avec la limite de f en +∞ et la limite de g en 0)
Limite d'une somme
Si f a pour limite
l
l
l
+∞
-∞
+∞
Si g a pour limite
l'
+∞
-∞
+∞
-∞
-∞
l + l'
+∞
-∞
+∞
-∞
pas de
résultat
général
Alors f + g
a pour limite
Limite d'un produit
Si f a pour limite
l
l≠0
+∞ ou -∞
0
Si g a pour limite
l'
+∞ ou -∞
+∞ ou -∞
+∞ ou -∞
Alors f x g
a pour limite
l x l'
+∞ ou -∞
suivant les
signes
+∞ ou -∞
suivant les
signes
pas de résultat
général
Limite d'un inverse
Si f a pour limite
l≠0
0
par valeurs
supérieures
0
par valeurs
inférieures
+∞ ou - ∞
Alors 1
f
a pour limite
1
l
+∞
-∞
0
Remarques
●
On utilisera, sans justification, les limites des fonctions les plus couramment utilisées, par exemple :
lim 1 = 0 ; lim 1 = 0 ; lim 1 = -∞ ; lim 1 = +∞ ; lim x = +∞ ; lim x2 = +∞ ; lim x2 = +∞
x→-∞ x
x→+∞ x
x→0 x
x→+∞
x→-∞
x→+∞
x→0 x
x<0
x>0
●
On admettra que pour les fonctions couramment utilisées la limite de f(x) lorsque x tend vers a, est égale
à f(a) ; par exemple lim
x→2
Exercice 12
x = 2 .
À partir des tableaux précédents, en signalant la propriété utilisée, déterminer les limites suivantes :
1
1
lim x2 + x
lim
lim x(x + 1) ;
lim
;
;
x→+∞
x→+∞ x2 + x
x→-∞
x→-∞ x2 + x
lim 1
lim x2 1 + 1 + 1 
;
lim 1
;
lim 1
;
x→+∞
x→+∞
x
→
0
x
→
4
 x x2 
x
4
x
x
x>0
x<4
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Remarque
Les résultats des deux tableaux précédents permettent de trouver les résultats pour un quotient.
Limite d'un quotient
Si f a pour limite
l
+∞ ou
-∞
l' ≠ 0
Si g a pour limite
l≠0
l
+∞ ou -∞
0
0
0
par valeurs
supérieures
par valeurs
supérieures
0
ou
l
l'
0
+∞ ou -∞
l' ≠ 0
+∞ ou -∞
ou
par valeurs
inférieures
Alors f
g
a pour limite
+∞ ou -∞
par valeurs
inférieures
+∞ ou -∞ pas de +∞ ou -∞ +∞ ou -∞
suivant les résultat suivant les suivant les
général
signes
signes
signes
pas de
résultat
général
Remarque
Lorsque le tableau ne donne pas de résultat général, on parle souvent de «forme indéterminée».
Les formes indéterminées sont de 4 types exprimés sous forme abrégée par : +∞ -∞
0 x∞
∞
∞
0
0
Ces notations, incorrectes, sont à proscrire dans un devoir rédigé.
Exercice 13
Déterminer :
lim 4 - 2x
x→2 x2 + x - 5
lim 3 - x
x→1 1 - x
;
lim cos x
x→0 1 + x
;
x>1
lim 2x - 1
x→0 sin x
;
;
x>0
x2
x→2 2 - x
lim
x>2
Confirmer les résultats en traçant un graphique avec une calculatrice.
Exercice 14
Déterminer :
lim
x→1
x<1
3
x2 - 1
lim x + 1
1 -1
x
;
x→0
x>0
;
lim 1 - x
π cos x
x→
x>
;
lim
1 + 1
x-1 x+1
x→+∞
2
π
2
x+ x
;
lim
3 - 2x
-x -2
x→2 x2
x<2
Confirmer les résultats en traçant un graphique avec une calculatrice.
Exercice 15
1°) Vérifier que
lim x3 - x2 se présente sous une forme indéterminée.
x→+∞
En factorisant x3 dans l'expression x3 - x2 , déterminer
2°) Vérifier que lim
En
lim x3 - x2 .
x→+∞
x3 + x se présente sous une forme indéterminée.
x→-∞ x2 + x
factorisant x3 dans l'expression
x3 + x , et en factorisant x2 dans l'expression x2 + x,
3
lim x + x .
x2 + x
2
3°) Vérifier que lim x + x - 6 se présente sous une forme indéterminée.
x→2 x2 - 5x + 6
2
En factorisant le numérateur et le dénominateur, déterminer lim x + x - 6 .
x→2 x2 - 5x + 6
déterminer
x→-∞
x2 + 1 - 1 se présente sous une forme indéterminée.
x
En multipliant le numérateur et le dénominateur de l'expression par
x2 + 1 + 1,
2
déterminer lim x + 1 - 1 .
x→0
x
4°) Vérifier que lim
x→0
page 7 / 8
Remarque
Dans un cas de forme indéterminée, il sera nécessaire, pour trouver la limite cherchée, de procéder à des
calculs supplémentaires ou d'utiliser des propriétés connues. On retiendra les principes suivants :
+∞ - ∞ Factorisation du terme "dominant" : voir dans l'exercice précédent
lim x3 - x2
x→+∞
∞ Factorisation du terme "dominant" au numérateur et au dénominateur puis simplification : lim x3 + x
x→+∞ x2 + x
∞
0 Factorisation d'un terme tendant vers 0 au numérateur et au dénominateur, puis simplification : lim x2 + x - 6
x→2 x2 - 5x + 6
0
La forme indéterminée 0 x ∞ peut en général se ramener à l'une des formes ∞ ou 0 .
0
∞
Lorsque des racines carrées interviennent et que les méthodes ci-dessus ne donnent pas de résultat, on
2
pourra multiplier par la quantité "conjuguée" : lim x + 1 - 1
x→0
x
Exercice 16
Déterminer :
lim
x→-∞
x3
+
2x2
+1
;
2
lim 1 + x
x→0
x
x>0
;
2
lim x + x + 3
2
x→-1 x - 2x - 3
x2 + 1 + 1
x
lim
x→+∞ x3 + 3x
;
x < -1
;
2
lim x - 3x + 2
x→1
x3 - 1
Remarque
x2
et on s'intéresse à la limite de h en +∞ .
x + sin x
x2
.
Considérons dans un premier temps la fonction f définie sur [1 ; +∞ [ par f(x) =
x + sin x
x
On peut écrire f(x) sous la forme f(x) =
et remarquer que lim sin x = 0 car - 1 £ sin x £ 1
x→+∞ x
sin
x
x
x
x
1+
x
On considère h définie sur [1 ; +∞ [ par h(x) = 1 - 2
On a donc
lim f(x) = +∞
x→+∞
D'autre part, si on considère la fonction g définie sur [0 ; +∞ [ par g(X) = 1 - 2 X , on a
lim g(X) = -∞
X→+∞
x2
= 1 - 2 f(x) = g(f(x)).
x + sin x
Lorsque x tend vers +∞ , f(x) tend vers +∞ et par conséquent g(f(x)) tend vers -∞ (en posant X = f(x) )
On peut remarquer que h(x) = 1 - 2
c'est-à-dire que
lim f(x) = +∞ et
x→+∞
lim g(X) = -∞ permettent de dire que
X→+∞
lim h(x) = -∞.
x→+∞
On peut observer le résultat en traçant la courbe de h avec une calculatrice ou un grapheur.
Propriété (admise)
a,b et l désignent soit des réels, soit +∞, soit -∞.
Si lim f(x) = b et lim g(X) = l , alors
x→a
X→b
lim g(f(x)) = l
x→a
c'est-à-dire
lim g o f(x) = l .
x→a
Remarque
• La fonction qui, à x, fait correspondre g(f(x)) est appelée fonction composée de f suivie de g.
Elle est notée g o f. Ainsi on a g o f(x) = g(f(x))
• Si f et g sont des fonctions définies sur IR, la fonction g o f est en général différente de la fonction f o g.
Par exemple avec f(x) = x2 et g(x) = 2 - 3x on a :
g o f(x) = g(f(x)) = g(x2) = 2 - 3x2 et f o g(x) = f(g(x)) = f(2 - 3x) = (2 - 3x)2 = 4 - 12x + 9x2
Exercice 17
Soit f définie sur ]0 ; +∞ [ par f(x) =
4x + 1
x
. Déterminer lim f(x) et lim f(x) .
x→+∞
x→0
x>0
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