Corrections - XMaths

Exercice 16
1°)(a - b)(a2 + ab + b2) = a3 + a2b + ab2 - ba2 - ab2 - b3
donc (a - b)(a2 + ab + b2) = a3 - b3.
2°) On considère deux nombres réels a et b positifs.
a) a et b étant deux nombres réels positifs, le produit ab est positif.
D'autre part a2 et b2 sont positifs, donc a2 + ab + b2 est positif.
b) On a a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)
Comme (a2 + ab + b2) est un nombre positif, a3 - b3 et a - b sont de même signe.
c) Si a < b, alors a - b < 0.
La question précédente permet d'en déduire que a3 - b3 < 0 c'est-à-dire a3 < b3.
Donc si a et b sont deux réels de l'intervalle [0 ; +∞[ tels que a < b, alors a3 < b3.
On en déduit que la fonction cube est strictement croissante sur [0 ; +∞[.
3°) On considère deux nombres réels a et b négatifs.
a) a et b étant deux nombres réels négatifs, le produit ab est positif.
D'autre part a2 et b2 sont positifs, donc a2 + ab + b2 est positif.
b) On a a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)
Comme (a2 + ab + b2) est un nombre positif, a3 - b3 et a - b sont de même signe.
c) Si a < b, alors a - b < 0.
La question précédente permet d'en déduire que a3 - b3 < 0 c'est-à-dire a3 < b3.
Donc si a et b sont deux réels de l'intervalle ]-∞ ; 0] tels que a < b, alors a3 < b3.
On en déduit que la fonction cube est strictement croissante sur ]-∞ ; 0].
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