2015_04_17_SFEV [Mode de compatibilité]

Options
17 Avril 2015
Jean-Michel Moinade
Oddo Corporate Finance
Sommaire
Contexte
Offre et Demande, Aversion au risque, Market
Makers, Echelle de temps
Sous-jacents
Equity, taux, Changes, Commodities, Crédit
Pay-off (profils)
Vanille, Combinaisons, Exotiques, Convexité
Européennes, Américaines
Principes de base
Accroissements indépendants
Retour à la moyenne sur le long terme
Volatilité instable
17 Avril 2015
Modèles
Probabilité risque neutre, Modèle Log Normal,
Normal, Log Normal shifté, Hoo and Lee ……
Algorithmes, Formules
Black-Scholes, Bachelier, Barrières, Binomial,
Cox, Monte-carlo
Paramètres
Durs, Soft
Volatilité
Historique, Implicite,
Skew, smile
Marge de Repo
1. Contexte
Demande d’options
1. Investisseurs finaux avec un appétit pour
le rendement, mais une forte aversion au
risque. Recherche d’effet de levier.
En probabilité réelle, les calls sont
transcendants » par rapport aux actifs
« linéaires » . Ils permettent de repousser
la frontière d’efficacité. Exemple de la
demande d’obligations convertibles
2. Logique d’assurance (budget à fonds
perdus) lorsque la couverture est
obligatoire et que le coût d’une couverture
linéaire est trop élevé. Exemple : Forex sur
les émergents, caps lorsque la courbe des
taux est pentue
3. Sortie possible d’une situation de
blocage entre deux agents économiques
lorsque l’on ne dispose que d’instruments
linéaires (M&A…)
17 Avril 2015
Offre d’options
1. Maket Makers
Technique de Delta Neutre
Stratégie dynamique
Efficace pour
-des quantités limitées
-un sous-jacent liquide
Le prix de « revient » d’une option
Européenne égale la valeur donnée par la
formule de Black-Scholes, si la volatilité est
bien constante (+/- efficace du point de vue
des acheteurs selon l’échéance)
2. Vente d’options dites couvertes (vente de
calls couverts par une position longue du
sous-jacent
3. Vente d’options et delta hedge par les
« prop desks » ou les hedge funds amateurs
de theta
1. Contexte
Options implicites et options explicites
Implicites
Convertibles
Obligation « callable » ou « puttable »
Dual currency
….
Explicites
Dérivés
Stock options…
17 Avril 2015
Comptabilité IFRS
En général
MTM
par le compte de résultat
Exception au MTM
Fonds propres (convertibles mais par
Ornane)
Exception MTM mais par OCI
Cash-flow Hedge pour la partie jugée
efficace
2. Sous-jacents
Equity
Convertibles
Oceane, Ornane, Mandatory
Convertibles (ORAPA)
=> Cox, Volatilité, Dividende-Repo,
Crédit (surtout s’il est élevé) ,
Corrélation Action-Credit
Bons
BSAAR (OBSAAR), DPS, StockOptions
=> Incessibilité
Conditions de performance
Actions gratuites, Stock Options
=> Path dependent
Produits structurés sur Indices
Produits B2C « acheteurs » de
volatilité
17 Avril 2015
Taux
Caps-Floors
Caps, Floors, Tunnels
=> Formules Fermées, Skew, taux
négatifs
Modèle intermédiaire entre Log
Normal et Normal : Log-Normal
Shifté
Volatilités Flat et Volalités Forward
Volatilités relatives et volatilités
absolues (BP)
Caplets ATM en racine(t).Caps en t^(3/2)
Swaptions
Européennes , Bermudéennes
Cube de volatilités
CMS, futures
Ajustements de convexité
Exemple de l’ultra long
2. Sous-jacents
Changes / Commodities
Attention à l’existence d’un autre numéraire
que l’EUR (préciser Call EUR /Put USD)
Devise ASSET / DEVISE BASE
Certain EURUSD, incertain USDFRF (et non
pas EUR/USD ou USD/FRF
Drift= Taux Asset-Taux base (attention aux
émergents)
Marchés Organisés
Philadelphie
Volatilités élevées
=> Court terme et ou Structurés
Barrières
Formules fermées , Principe du miroir
Combinaisons, Accumulateurs
17 Avril 2015
Crédit
Single Name
Le crédit « single name » est lui-même une
option
Modèle de Merton
put sur la VE striké à la dette
revisité en One touch de la VE
Pas un « bon » sous-jacent pour faire des
options
Portefeuilles
Titrisation, pour le « tranching » en Senior,
Mezzanine et Equity
Problème d’instabilité de la corrélation qui est
le paramètre central
3. Pay-Offs (profils)
Vanille
Call Européen / Put Européen
Que l’on achète ou que l’on vend (attention
aux options vendues)
Combinaisons
Tunnels ou couloirs
Calls spread
Puts spread
Exercice
A l’européenne (à échéance)
=> Black-scholes
A l’américaine (jusqu’à échéance)
=> Arbre de Cox-Ross
Dans une fenêtre
=> Arbre de Cox-Ross
17 Avril 2015
Exotiques
Digitale Européenne : 0 ou 1 (discontinuité)
risque de gap à échéance
Digitale Américaine : One touch
Combinaisons à base de barrières
Call KI, Call KO, Put KI, Put KO
Avec ou pas un saut lors de l’activation ou de
la désactivation selon la hiérarchie entre le
strike et la barrière
Call= call KI+ call KO
Put= put KI+ put KO
Formules fermées (RV), mais peu utilisables
car le skew n’est pas pris en compte.
Convexité
CMS
Futures, Probabilité réelle
4. Principes de base
Probabilité risque neutre
Prise en compte de l’aléa => Terme
=> extrapolation du sous jacent
=> escompte de la valeur à terme de l’option
extrapolation et escompte doivent être
cohérents , alors que les quantités de risque
sont différentes = > taux sans risque
Accroissements indépendants
S2= SO+ X1 + X2
VAR(S2)= VAR(X1)+VAR(X2)= 2* VAR(X)
STD (S2)= racine(2) * STD (X)
.
STD (Sn)= racine(n) * STD (X)
Et sinon
changement de sous-jacent
Dans les formules fermées, la volatilité
(annuelle) est toujours multipliée par la racine
carrée
17 Avril
2015de l’échéance mesurée en années
Retour à la moyenne
Essentiellement pour les taux, Vasicek
Brownien standard
dx= r dt + sigma dz
Avec retour à la moyenne
dx= r * (x0-x) dt + sigma dz
Nombreux modèles de taux, intégrant une
composante de normalité et le retour à la
moyenne : formes mathématiques intégrant
des paramètres qu’il faut ensuite calibrer
5. Modèles
Log normal
C’est Log(S) qui est normal (répartition selon
une loi de gauss)
Normal
C’est S qui est normal
Modèle dit de Bachelier
=>la variabilité est proportionnelle au spot
Volatilité exprimée en %
Typiquement pour l’Equity, le change, les
Commodities
Pour un pay-off Européen et avec une
volatilité constante, la valeur de l’option égale
la formule de Black-Scholes
=>la variabilité est indépendante du spot.
Volatilité exprimée dans la même unité que la
sous-jacent
Le spot peut être négatif. Sujet actuel des
taux
Log Normal Shifté
C’est S+ shift qui est log normal
Call= BS (S+shift, X+shift, vol* S/(S + shift))
+ tous les modèles à sous jacents multiples,
notamment les modèles de taux
17 Avril 2015
5. Modèles
Limite des modèles normaux / log normaux
1. Adaptés à des phénomènes naturels où
les accroissements sont effectivement
indépendants
Les phénomènes « humains » sont sujets à
une auto-corrélation (black swan) qui peut
s’observer sur des séries historiques en
calculant le moment d’ordre 4 [ E((x-E(x))^4)],
qui devrait valoir 3 * sigma ^4 et qui vaut
souvent plus.
Ceci est pris en compte non pas par un
changement de modèle , mais par une
adaptation des paramètres (smile)
2. Un sous-jacent « économique » ne peut
pas valoir « n’importe quoi ». Ceci est pris en
compte par la dépendance de la volatilité à
l ’horizon.
17 Avril 2015
Limite des modèles normaux / log normaux
3. Les modèles les plus simples font
l ’hypothèse que la volatilité est stable. Ce
qu’elle n’est pas.
Les positions « vega neutre » longues de
volatilité en dehors et short de volatilité à la
monnaie sont gagnantes si la volatilité décale
dans un sens ou dans l’autre.
Ceci est une autre justification du « smile »,
c’est à dire du fait que la volatilité augmente
si le strike est éloigné de la monnaie
6. Algorithmes / Formules
Black Scholes
1. déterminer F, valeur du Forward
c’est une question de drift (taux sans
risque- div-repo ou taux asset – taux base ou
autre)
2. déterminer la volatilité période (VP)
VP= sigma * racine (t), t en années
3. déterminer la distance « normée » entre le
strike et le forward
d2=Ln(F/X) / VP –VP/2
on désigne par d1, d2+VP
4. calculer la valeur à terme du call (du put)
FV call = F* N(d1)-X* N(d2)
FV put = F* (N(d1)-1)-X *(N(d’2)-1)
5. revenir en valeur présente
Call = DF * [F* N(d1)-X* N(d2)]
Put = DF * [F* (N(d1)-1)-X* (N(d2)-1)]
N en Excel avec la fonction loi.normale (d,0,1,1)
17 Avril 2015
Quelques recettes
A la monnaie, ,Call=Put
N (0)* S0* Sigma *racine (t) avec
N’(0) 0.40
Delta= N(d1)
probabilité d’exercice N(d2)
Call = DF * N(d2) * [F* N(d1)/N(d2)-X]
Esp. conditionnelle de S :F* N(d1)/N(d2)
Vega= N’(d1) * S0* racine (t)
Theta * t = -Vega * Sigma /2
gamma*sigma^2 * s^2/2 + Theta =0
(Equation de Black scholes)
N’ en Excel avec la fonction loi.normale (d,0,1,0)
6. Algorithmes / Formules
Bachelier
1. déterminer F, valeur du Forward
2. déterminer la volatilité période (VP)
VP= sigma * racine (t), t en années
Sigma a la dimension du spot
3. déterminer la distance « normée » entre le
strike et le forward
d=(F-X) / VP
4. calculer la valeur à terme du call (du put)
FV call = (F-X)* N(d)+ VP *N’(d)
FV put = (F-X)* (N(d)-1)+ VP *N’(d)
5. revenir en valeur présente
Call = DF * (F-X)* N(d)+ VP *N’(d)
Put = DF * (F-X)* (N(d)-1)+ VP *N’(d)
Binomial
Adapté aux options américaines
La valeur de l’option en cours de vie ne
dépend pas du chemin qu’a pris le sousjacent mais dépend du chemin que prendra le
sous jacent
Approche « discrète » et non pas continue
1. choix d’un pas temporel
2. Dessin d’un arbre recombinant décrivant
par propagation les valeurs possibles du Spot
3. Dessin d’un arbre par retro propagation
décrivant les valeurs possibles de l’option en
prenant en compte les possibilités d’exercice
anticipé
Ex : Convertibles
17 Avril 2015
6. Algorithmes / Formules
Monte-Carlo
Adapté aux options « path dependant »
La valeur de l’option en cours de vie dépend du
chemin qu’a pris le sous jacent
Approche « discrète » et non pas continue
1. Choix d’un pas temporel dt(entre deux
évènements)
2. Simulation d’un chemin (une histoire, sur une
ligne)
2.1Tirage au sort d’une probabilité aléatoire
fonction alea()
2.2. Calcul d’une variable d’état
d=Loi.normale.inverse(alea(),0,1)
2.3. Calcul du rendement correspondant
r=drift * dt+ sigma*racine(dt) * [dsigma*racine(dt)]/2)
2.4 . raccordement avec le spot précédent
Sn=Sn-1* exp(r)
17 Avril 2015
Monte-Carlo
3. Calcul du pay-off sur ce chemin
4. Simulation d’un univers de chemins
(recopie de la ligne sur un grand nombre de
lignes) et calcul de la moyenne du pay-off
dans cet univers
5. Vérifier
sur un pay-off vanille que l’on retrouve
bien la même valeur qu’avec Black-Scholes
que l’univers est suffisamment large
pour la moyenne soit indépendante des
tirages
7. Paramètres
Durs Objectifs
Caractéristiques: strike, échéance
Spot
Taux sans risque (swaps)
Moyens Semi–Objectifs
dividendes
en absolu ou en relatif
Softs Sujets à interprétation
marge de repo
volatilité
Repo
Loyer de l’emprunt d’actions
Réaliste (actions liquides) ou virtuel (mid caps)
Prix de marché (vrac) ou prix forfaitaire
17 Avril 2015
Volatilité
Implicite
De préférence si ces données sont
disponibles
surface de volatilités pour le change ou
l’Equity
cube de volatilités pour les taux
Historique
Si pas de source de volatilité implicite
Périodicité jour semaine ou mois
Ecart type de la série ln(Sn-1/Sn) (idéalement
en retraitant des dividendes)
Multiplier par racine (252,52 ou 12,
respectivement)
Jouer sur la durée d’observation et sur la
périodicité pour atténuer d’éventuelles
aberration