TD7 : Couverture dans le modèle de Black

Calcul stochastique appliqué à la finance
TD7 - Couverture et Modèle de Black-Scholes
Exercice 1 (Formule de Black-Scholes généralisée).
Soit 𝑟 et 𝜎 deux processus déterministes et 𝐵 un mouvement brownien sous ℙ∗ . On
défini 𝑆 par
∫𝑡
∫𝑡
1 2
𝑆𝑡 = 𝑆0 𝑒 0 (𝑟𝑠 − 2 𝜎𝑠 )𝑑𝑠+ 0 𝜎𝑠 𝑑𝐵𝑠
∫𝑇
∫𝑇
On pose 𝑅𝑇 = 𝑇1 0 𝑟𝑠 𝑑𝑠 le taux moyen sur [0, 𝑇 ] et Σ2𝑇 = 𝑇1 0 𝜎𝑠2 𝑑𝑠 la volatilité
moyenne sur [0, 𝑇 ]. Pour 𝑛 ≥ 1, on cherche à calculer le prix 𝑃 en 0 d’une option de
maturité T et de payoff (𝑆𝑇 − 𝐾)𝑛+ .
1. Montrer qu’il existe 𝑛 + 1 probabilités (ℙ𝑘 )𝑘∈[[0,𝑛]] et une fonction 𝑓 telles que
𝑃 =
𝑛
∑
𝑓 (𝑛, 𝑘, 𝐾, 𝑆0 , 𝑇, 𝑅𝑇 , Σ𝑇 )ℙ𝑘 {𝑆𝑇 ≥ 𝐾}
𝑘=0
On explicitera 𝑓 ainsi que les probabilités (ℙ𝑘 )𝑘∈[[0,𝑛]] .
2. Calculer explicitement ℙ𝑘 {𝑆𝑇 ≥ 𝐾} et conclure.
Exercice 2 (Robustesse de la formule de Black-Scholes/Tracking error).
Soit 𝜎 un processus adapté. On suppose que le prix d’un actif est donné par
𝑑𝑆𝑡 = 𝑟𝑑𝑡 + 𝜎𝑡 𝑑𝐵𝑡
Un trader vend un call de strike 𝐾 et de maturité 𝑇 sur cet actif mais il ignore la vraie
diffusion de 𝑆, c’est à dire qu’il connaı̂t pas le processus 𝜎. Il décide donc de hedger sa
position en utilisant le portefeuille de couverture donné par le modèle de Black-Scholes
pour lequel il doit choisir une volatilité 𝜎
¯ . On note 𝐶𝜎¯ (𝑡, 𝑆𝑡 ) le prix Black-Scholes de ce
call à l’instant 𝑡. Le portefeuille de couverture du trader a pour valeur 𝑉𝑡 à l’instant 𝑡
et contient 𝛿𝑡 = ∂𝑆 𝐶𝜎¯ (𝑡, 𝑆𝑡 ) actions.
Bien entendu, cette stratégie de couverture génère une erreur en 𝑇 : 𝑒𝑇 = 𝑉𝑇 − (𝑆𝑇 −
𝐾)+ = 𝑉𝑇 − 𝐶𝜎¯ (𝑇, 𝑆𝑇 ). On la généralise à tout instant 𝑡 par 𝑒𝑡 = 𝑉𝑡 − 𝐶𝜎¯ (𝑡, 𝑆𝑡 ).
1. Calculer 𝑒0 .
2. Rappeler l’EDP vérifiée par 𝐶𝜎¯ et l’écrire pour (𝑡, 𝑆𝑡 ). En déduire une expression
de 𝑑𝐶𝜎¯ (𝑡, 𝑆𝑡 ) ne faisant pas intervenir 𝜃𝑡 = ∂𝑡 𝐶𝜎¯ (𝑡, 𝑆𝑡 ).
3. En utilisant la définition du portefeuille de couverture, donner 𝑑𝑉𝑡 .
4. En déduire l’EDS vérifiée par 𝑒 et la résoudre. Commenter.
Exercice 3 (Sensibilités).
Donner une idée de la représentation graphique du prix, du delta, du gamma, et du
vega d’un call et d’un put.
R.Douc & C.Dubarry
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