Chapitre 5: Séries de Laurent, résidus

Université de Bourgogne
Licence de Mathématiques
Département de Mathématiques
Compléments d’analyse
Chapitre 5: Séries de Laurent, résidus
1. Prolongement analytique et singularité
Soit f une fonction holomorphe dans un ouvert connexe U de C. Si z0 est un point de U , on
sait qu’on peut développer f en série entière sur le disque D(z0 , r) le plus grand possible de centre
z0 et inclus dans U :
∞
X
f (z) =
an z n .
n=0
Cependant la série
an z n peut avoir un rayon de convergence R supérieur à r. Il existe alors un
point z1 de la frontière de U tel que |z − z1 | = r et une fonction holomorphe g sur le voisinage
V = D(z0 , R) de z1 qui coı̈ncide avec f sur D(z0 , r) ⊂ U ∩ V . On dira alors que z1 est un point de
la frontière de U qui est régulier (pour f ).
P
Attention:
On ne sait pas s’il existe une fonction g analytique sur un voisinage V de z1 qui prolonge f ,
c’est à dire qui coı̈ncide avec f sur tout V ∩ U !
Ce problème dépend de la géométrie de U . Si U est convexe, si z1 est un point régulier de ∂U
si V est un ouvert contenant z1 , il contient un disque D(z1 , ρ) et D(z1 , ρ) ∩ U est convexe donc
connexe.
On suppose, comme ci-dessus qu’il existe g holomorphe sur D(z1 , ρ) qui coı̈ncide avec f sur
D(z0 , r) ∩ D(z1 , ρ) ⊂ U ∩ D(z1 , ρ) alors f − g est holomorphe sur U ∩ D(z1 , ρ) et nulle sur D(z0 , r) ∩
D(z1 , ρ) donc f = g sur U ∩ D(z1 , ρ) (principe des zéros isolés), on peut prolonger f par g. On
verra cependant des cas où ceci n’est pas possible par exemple où U est l’ensemble C \ R+ des z
qui ne sont pas réels positifs ou nuls.
2. Points singuliers isolés, série de Laurent
Soit U un ouvert de C. Un point frontière p de U est dit isolé s’il existe un disque D(p, r) de
centre p tel que U ∩ D(p, r) = D(p, r) \ {p}.
L’ensemble ouvert D(p, r) \ {p} est un cas particulier de couronne de centre p:
Définition (Couronne)
Une couronne de centre p est définie par la donnée de deux nombres r1 et r2 tels que 0 ≤ r1 < r2 .
La couronne C est alors l’ensemble des z de C tels que r1 < |z − p| < r2 .
1
Une couronne C est connexe mais pas convexe.
Soit f une fonction holomorphe sur la couronne C. Soit z un point de C, r tel que |z| < r < r2
et γr le cercle de centre p et de rayon r γr (t) = p + reit . En général, on n’a pas la formule de
Cauchy:
Z
f (ζ)
1
dζ
f (z) 6=
2iπ γr ζ − z
puisque f n’est pas holomorphe en p !
Heureusement, il y a une formule qui la remplace.
R
Lemme (L’intégrale γr f (ζ) dζ ne dépend pas de r)
Soit f une fonction holomorphe dans C. Alors pour tout r et r0 tels que r1 < r < r0 < r2 , on a:
Z
Z
f (ζ) dζ =
f (ζ) dζ.
γr
γr0
Preuve
Posons, pour r ≤ s ≤ r0 ,
Z
ϕ(s) =
2π
Z
f (p + seit )iseit dt.
f (ζ) dζ =
γs
0
Comme on intègre sur un compact une fonction de classe C ∞ , on a:
0
2π
Z
0
ϕ (s) =
it
2it
f (p + se )ise
2π
Z
f (p + seit )ieit dt.
dt +
0
0
Posons u(t) = f (p + seit ), on a u0 (t) = f 0 (p + seit )iseit donc:
0
Z
ϕ (s) =
2π
0
it
Z
u (t)e dt +
0
2π
it
Z
2π
(ueit )0 (t) dt = f (p + se2iπ )e2iπ − f (p + s) = 0.
u(t)ie dt =
0
0
On a donc bien ϕ(r) = ϕ(r0 ).
Corollaire (Généralisation de la formule de Cauchy)
Soit f analytique dans la couronne C et z un point de C. On a pour tout r et r0 tels que
r < |z − p| < r0 ,
Z
Z
1
f (ζ)
1
f (ζ)
f (z) =
dζ −
dζ.
2iπ γr0 ζ − z
2iπ γr ζ − z
Preuve
On définit la fonction g sur C par:

 g(w) = f (w) − f (z)
w−z

0
g(z) = f (z).
2
si w 6= z
Puisque au voisinage de z on peut développer f en:
f (w) =
∞
X
an (w − z)n
n=0
avec an =
f (n) (z)
n! ,
on a au voisinage de z (sauf peut être en z):
g(w) =
∞
X
n−1
an (w − z)
n=1
=
∞
X
an+1 (w − z)n .
n=0
Cette formule est vraie aussi en z, g est holomorphe au voisinage de z, elle est aussi holomorphe
ailleurs dans C et on peut lui appliquer le lemme. On obtient:
Z
Z
Z
Z
dζ
f (ζ)
dζ
f (ζ)
dζ − f (z)
=
dζ − f (z)
.
γr ζ − z
γr 0 ζ − z
γr0 ζ − z
γr ζ − z
Comme |z − p| > r = |ζ − p| dans les premières intégrales, on a:
n
∞ 1
1 X ζ −p
1
1
1
=−
=−
=−
.
ζ−p
ζ −z
(z − p) − (ζ − p)
z − p 1 − z−p
z − p n=0 z − p
Et donc
Z
γr
dζ
1
=−
ζ −z
z−p
Z
0
∞
2π X
Z 2π
∞
rn+1 i(n+1)t
1 X rn+1
e
dt = −
ei(n+1)t dt = 0.
n
n
(z
−
p)
z
−
p
(z
−
p)
0
n=0
n=0
On a vu que la dernière intégrale vaut 1. Le corollaire est prouvé.
Corollaire (Développement de f en série de Laurent)
Soit f analytique dans la couronne C et z un point de C. Il existe des nombres (an )n∈Z tels
que:
∞
∞
X
X
a−n
f (z) =
+
an (z − p)n .
n
(z
−
p)
n=1
n=0
1
) est convergente pour |z − p| > r1 , la seconde pour |z − p| < r2 . Les
La première série (en z−p
coefficients an sont uniques et donnés par les formules:
Z
Z
1
f (ζ)
1
an =
dζ, a−n =
f (ζ)(ζ − p)n−1 dζ
2iπ γr (ζ − p)n+1
2iπ γr
si r1 < r < r2 .
Ce développement est le développement en série de Laurent de f .
Preuve
C’est la même preuve que celle utilisant la formule de Cauchy. On prend r et r0 tels que
r1 < r < |z − p| < r0 < r2 , on écrit la formule ci-dessus et on développe la première intégrale
comme pour la formule de Cauchy:
Z
γr
∞
X
f (ζ)
dζ =
an (z − p)n
ζ −z
n=0
3
avec
1
an =
2iπ
Z
γr
f (ζ)
dζ.
(ζ − p)n+1
Pour la seconde intégrale, on écrit comme ci-dessus:
∞
f (p + reit )
1 X f (p + reit )rn eint
=
−
reit − z
z − p n=0
(z − p)n
donc puisque la série converge normalement sur γr ,
Z
2π
0
Z 2π
∞
X
f (p + reit ) it
1
f (p + reit )rn+1 ei(n+1)t dt.
ire dt = −
n+1
reit − z
(z
−
p)
0
n=0
Comme ces intégrales ne dépendent pas du choix de r et r0 , les séries convergent dans toute la
couronne.
On montre l’unicité du développement comme dans le cas des fonctions homomorphes sur un
disque.
Si
∞
∞
X
X
1
,
f (z) =
a0n (z − p)n +
a0−n
(z − p)n
n=0
n=1
ces séries convergeant la première pour |z − p| < r2 , la seconde pour |z − p| > r1 , on peut fixer r
entre r1 et r2 et calculer:
Z 2π
Z 2π X
1
f (p + reit )
1
it
an =
ire dt = n
a0k rk eikt e−int dt
2iπ 0 rn+1 ei(n+1)t
2r π 0
k∈Z
X rk−n Z 2π
a0k ei(k−n)t dt = a0n
=
2π 0
k∈Z
Z 2π
Z
1
rn 2π X 0 k ikt int
a−n =
f (p + reit )rn−1 ei(n−1)t ireit dt =
ak r e e dt
2iπ 0
2π 0
k∈Z
X rk+n Z 2π
=
a0k ei(k+n)t dt = a0−n
2π 0
k∈Z
puisque la série converge normalement en t ∈ [0, 2π]..
3. Etude de f au voisinage d’un point singulier isolé
Revenons à notre fonction f qui est holomorphe sur un disque privé de son centre D0 (p, R) =
D(p, R) \ {p}. On vient de voir que f a un développement de Laurent en a:
f (z) =
∞
X
n=0
n
an (z − p) +
∞
X
a−n
(z − p)n
n=1
La fonction:
u(z) =
∞
X
a−n
(z − p)n
n=1
4
(0 < |z − p| < R).
est la partie singulière de f en p. Il y a alors trois cas:
Cas 1 u = 0
Dans ce cas, pour tout z de D0 (p, R), f (z) est la somme d’une série entière de rayon de convergence au moins R. En posant f (p) = a0 , on obtient un prolongement de f en une fonction
holomorphe sur D(p, R). On dit que f a en p une singularité artificielle et que p est un point
régulier de f .
Réciproquement, si f peut être prolongée en une fonction holomorphe sur D(p, R), bien sûr,
par unicité des dévelopements, son développement de Laurent est le développement de Taylor du
prolongement en p.
1
Cas 2 u est un polynôme non nul en z−p
Dans ce cas on a:
a−1
a−m
a−2
u(z) =
+ ... +
+
z − p (z − p)2
(z − p)m
avec a−m 6= 0. Alors bien sûr (z − p)m f (z) est prolongeable en une fonction holomorphe dans
D(p, R) mais pas (z − p)m−1 f (z) et réciproquement.
On dit alors que p est un pôle de f d’ordre m.
1
Cas 3 u n’est pas un polynôme en z−p
Dans ce cas, on dit que f a en p une singularité essentielle isolée. Par exemple si v est une
fonction holomrphe qui n’est pas un polynôme:
v(z) =
∞
X
bn z n
n=0
avec une infinité de bn non nul, la fonction f (z) = v( z1 ) a en 0 une singularité essentielle.
Définition (Fonction méromorphe)
Soit U un ouvert de C et {p1 , . . . , pk } un ensemble fini de points de U ou {p1 , . . . , pk , . . .} une
suite de points de U sans points d’accumulation. Si f est une fonction définie et holomorphe sur
U \ {pi } et si chaque pi est un point régulier ou un pôle de f , on dit que f est méromorphe sur U .
4. Indice d’un point par rapport à un lacet
Définition (Lacet)
Une courbe paramétrée γ : [c, d] −→ C tracée dans C est un lacet si elle est continue, C 1 par
morceaux et si γ(c) = γ(d).
Si γ est un lacet et si z est un point de C \ γ([c, d]), on définit l’indice de z par rapport à γ
comme le nombre:
Z
Z d
1
dζ
1
γ 0 (t)
Ind(z, γ) =
=
dt.
2iπ γ ζ − z
2iπ c γ(t) − z
Lemme (L’indice est un entier)
L’indice de z par rapport à γ est un entier. Ind(z, γ) ∈ Z.
Preuve
On pose
Z
h(t) =
c
t
γ 0 (s)
ds.
γ(s) − z
5
La fonction h est continue, C 1 par morceaux et sa dérivée est h0 (t) =
γ 0 (t)
γ(t)−z .
Posons alors
−h(t)
g(t) = e
(γ(t) − z).
g est continue, C 1 par morceaux et sa dérivée est:
g 0 (t) = −h0 (t)e−h(t) (γ(t) − z) + γ 0 (t)e−h(t) = 0.
On a donc:
g(t) = g(c) = e−h(c) (γ(c) − z) = γ(c) − z,
pour tout t de [c, d]. En particulier:
g(d) = e−h(d) (γ(d) − z) = e−h(d) (γ(c) − z) = γ(c) − z
ou e−h(d) = 1, il existe un entier k tel que h(d) = 2ikπ ou
1
Ind(z, γ) =
2iπ
Z
c
d
γ 0 (s)
h(d)
ds =
= k ∈ Z.
γ(s) − z
2iπ
En fait k représente le nombre de tours que γ fait autour de z.
Les seuls cas qui nous intéressent sont les deux cas suivants
γ est la paramétrisation d’un arc tournant autour de z dans le sens contraire de celui des aiguilles
d’une montre (sens positif ou, comme les physiciens disent, on tourne autour d’un domaine U qui
est toujours à gauche du lacet et z ∈ U ) On suppose donc que l’on peut écrire
γ(t) = z + r(t)eiθ(t) ,
les fonctions r(t) > 0 et θ(t) sont C 1 par morceaux et θ(t) est croissante θ0 (t) > 0. On suppose
aussi que l’on fait k tours c’est à dire que r(d) = r(c) et θ(d) = θ(c) + 2kπ Alors Ind(z, γ) = k. En
effet:
Z d 0
Z d 0
Z d
1
1
(r (t) + ir(t)θ0 (t))eiθ(t)
1
r (t)
dt +
Ind(z, γ) =
dt =
iθ0 (t) dt
2iπ c
2iπ c r(t)
2iπ c
r(t)eiθ(t)
1
i(θ(d) − θ(c))
=
[ln(r(t))]dc +
= k.
2iπ
2iπ
De même, si on effectue k tours autour de z dans le sens négatif, c’est à dire avec les mêmes
hypothèses mais θ(t) décroı̂t et θ(d) = θ(c) − 2kπ, on a
Ind(z, γ) = −k.
En fait on se restreindra dans tous les exemples à k = 1.
5. Le théorème des résidus
Définition (Résidu de f en p)
Soit f une fonction holomorphe sur un disque D0 (p, R) privé de p. Soit:
f (z) =
∞
X
an (z − p)n +
n=0
6
∞
X
a−n
(z − p)n
n=1
son développement de Laurent en p. On appelle résidu de f en p le nombre
Z
1
Resp (f ) = a−1 =
f (ζ) dζ
2iπ γr
si 0 < r < R et γr (t) = p + reit .
C’est la dernière formule qui a donné le nom de résidu à a−1 : c’est ce qui reste quand on intègre
f sur le lacet γr .
Théorème des résidus (Calcul de l’intégrale de f )
Soit U un ouvert convexe de C p1 , p2 , . . . , pk un nombre fini de points de U , f une fonction
holomorphe sur U \ {p1 , . . . , pk }, γ un lacte tracé dans U et ne passant par aucun des points pi .
Alors
Z
k
X
f (ζ) dζ = 2iπ
Ind(pi , γ)Respi (f ).
γ
i=1
Preuve
Regardons d’abord le cas où il n’y a pas de pôles, f est holomorphe dans U . Fixons un point
p hors du lacet γ : [c, d] −→ U \ {p}, f est développable autour de p dans un disque D(p, R):
f (z) =
∞
X
an (z − p)n .
n=0
Si γr (t) = p + reit est un cercle de rayon r < R, on a vu que:
Z
Z
f (ζ) dζ =
γr
2π
f (p + reit )ireit dt =
0
∞ Z
X
n=0
2π
an rn+1 ei(n+1)t dt = 0.
0
Pour γ, pusque U est convexe, on peut pour chaque t tracer le segment [p, γ(t)] = {p + s(γ(t) −
p), 0 ≤ s ≤ 1} dans U et psoer:
Z
g(s) =
d
f (p + s(γ(t) − p))sγ 0 (t) dt.
c
On a g(1) =
R
γ
f (ζ) dζ et g(0) = 0. Mais on a aussi:
d
Z
0
[f 0 (p + s(γ(t) − p))s(γ(t) − p)γ 0 (t) + f (p + s(γ(t) − p))γ 0 (t)] dt
g (s) =
c
et comme
∂
[f (p + s(γ(t) − p))(γ(t) − p)] = f 0 (p + s(γ(t) − p))s(γ(t) − p)γ 0 (t) + f (p + s(γ(t) − p))γ 0 (t),
∂t
on a aussi
0
Z
d
∂
[f (p + s(γ(t) − p))(γ(t) − p)] dt
c ∂t
= f (p + s(γ(d) − p))(γ(d) − p) − f (p + s(γ(c) − p))(γ(c) − p) = 0.
g (s) =
7
Donc le théorème est prouvé si f est holomorphe dans U .
Dans le cas général, on regarde chaque partie singulière ui de f en pi : près de pi , f s’écrit:
f (z) =
∞
X
an (z − pi )n +
n=0
∞
X
∞
X
a−n
=
an (z − pi )n + ui (z).
n
(z
−
p
)
i
n=0
n=1
En fait, on a vu que la fonction ui est la somme d’une série convergente dans tout C \ {pi }. On
note donc toujours ui cette fonction sur C \ {pi } et on a maintenant une fonction holomoprhe sur
U \ {p1 , . . . , pk }:
k
X
g(z) = f (z) −
ui (z).
i=1
Par construction, g s’écrit au voisinage de chaque pi comme:
X
g(z) = (f (z) − ui (z)) −
uj (z),
j6=i
c’est à dire comme une somme de fonctions holomorphes près de pi et d’une fonction qui admet
un prolongement holomorphe en pi . Donc g est holomorphe en pi , elle est holomorphe sur tout U .
On peut appliquer la première partie de la preuve à g et on obtient:
Z
0=
Z
f (ζ) dζ −
g(ζ) dζ =
γ
γ
k Z
X
i=1
ui (ζ)dζ.
γ
Mais pour chaque i, par un argument maintenant classique
Z
d
a−n
γ 0 (t) dt
n
(γ(t)
−
p
)
i
n=1 c
d
Z d
∞ X
a−n
a−1
1
=
γ 0 (t) dt +
−
n − 1 (γ(t) − pi )n−1 c
c γ(t) − pi
n=2
Z
1
= a−1
dζ = 2iπRespi (f )Ind(pi , γ).
γ ζ − pi
ui (ζ)dζ =
γ
∞ Z
X
Pour utiliser cette formule, il faut savoir calculer Resp (f ). Dans certains cas, ce calcul est aisé.
Par exemple s’il existe une fonction holomorphe f1 telle que:
f (z) =
f1 (z)
,
(z − p)m
alors le résidu de f en p est le coefficient de (z −p)m−1 dans le développement de f1 en série entière.
En particulier si m = 1, c’est
f1 (z)
Resp (f ) = f1 (p)
f (z) =
.
z−p
De même si f est un quotient de deux fonctions holomorphes
f (z) =
8
P (z)
,
Q(z)
avec Q(z) = (z − p)Q1 (z) et Q1 (p) 6= 0, alors
P (p)
P (z)
P (z)
Resp (f ) = 0
f (z) =
=
.
Q (p)
Q(z)
(z − p)Q1 (z)
6. Application du théorème des résidus au calcul d’intégrales
On peut utiliser le théorème des résidus pour calculer des intégrales par exemple des intégrales
de la forme
Z ∞
f (x) dx.
−∞
Supposons que f soit la restriction à l’axe réel d’une fonction encore notée f qui est holomorphe
dans l’ouvert:
U = {z ∈ C, Im(z) > 0} \ {p1 , . . . , pk } = H \ {p1 , . . . , pk }.
Alors pour tout R > 0, on considère un lacet γ qui est formé de deux chemins γ1 (t) = t (−R ≤
t ≤ R) puis γ2 (t) = Reit (0 ≤ t ≤ π) c’est à dire
(
γ1 (t) si t ∈ [−R, R]
γ(t) =
γ2 (t − R) si t ∈ [R, R + π]
Si R est assez grand, on a |pj | < R pour tout j et il est clair que Ind(pj , γ) = 1 pour tout j
donc on a:
Z R
Z π
k
X
f (x) dx +
f (Reit )iReit dt = 2iπ
Respj (f ).
−R
0
j=1
Supposons enfin que:
Z
π
lim
R→∞
f (Reit )iReit dt = 0,
0
alors:
Z
∞
f (x) dx = 2iπ
−∞
Z
∞
−∞
La fonction f (z) =
Respj (f ).
j=1
Exemple
Montrons par exemple que:
1
(z 2 +1)3
k
X
dx
3π
=
.
(x2 + 1)3
8
est holomorphe dans l’ouvert
U = H \ {i}
en i elle a un pôle d’ordre 2, on peut calculer son résidu en i en posant z = i + w et en développant
en w:
1
1
1 w −3
f (i + w) =
=
=
−
1
+
((i + w)2 + 1)3
w3 (w + 2i)3
8iw3
21
2
1
3w 3w
=−
1−
−
+ ... ,
3
8iw
2i
2
9
le résidu de f est le terme en
1
w:
Resi (f ) =
3
.
16i
D’autre part l’intégrale sur le demi cercle γ2 est:
Z π
iReit
dt.
IR =
2 2it + 1)3
0 (R e
Mais on a:
iReit
R
(R2 e2it + 1)3 ≤ (R2 − 1)3 → 0.
La fonction à intégrer tend donc vers 0 uniformément en t donc limR→∞ IR = 0, d’où la valeur de
l’intégrale.
P (x)
avec deg(Q) ≥ deg(P ) + 2.
Cet exemple se généralise aux fractions rationnelles f (x) = Q(x)
Supposons maintenant que la fonction f s’écrive f (z) = g(z)eimz avec m > 0 où g est une
fonction holomorphe dans U . On utilise le lemme de Jordan.
Rπ
Lemme de Jordan (Condition pour que limR→∞ 0 f (Reit )iReit dt = 0)
Lorsque R tend vers l’infini, l’intégrale
Z π it (m > 0)
R eimRe dt
0
reste bornée. Si limR→∞ g(Reit ) = 0 uniformément en t dans [0, π], alors
Z
Z π
it
lim
f (ζ) dζ = i lim
g(Reit )ReimRe eit dt = 0.
R→∞
R→∞
γ2
0
Preuve
it On calcule eimRe = e−mR sin(t) donc, puisque sin(π − t) = sin(t),
Z π
Z π
Z π2
Z π
−2mRt
imReit −mR sin(t)
−mR sin(t)
e
dt = 2
e
dt ≤
e π dt ≤
e
dt =
0
0
0
Ce qui prouve le lemme.
Par exemple, on veut calculer
Z
I=
0
∞
0
π
.
2mR
cos(x)
dx.
x2 + a2
(Cette intégrale existe évidemment). Comme la fonction à intégrer est paire et que
impaire, on a:
Z
1 ∞
eix
dx
I=
2 −∞ x2 + a2
et on peut appliquer le lemme de Jordan. Posons f (z) =
et Resia (f ) =
P (ia)
Q0 (ia)
=
e−a
2ia .
eiz
z 2 +a2
=
P (z)
Q(z) ,
Le lemme de Jordan s’applique puisque:
lim g(Reit ) = lim
R→∞
Donc
I=
1
R→∞ R2 e2it
+ a2
1
π −a
2iπResia (f ) =
e .
2
2a
10
= 0.
sin(x)
x2 +a2
est
le seul pôle dans H est ia