´Eléments de l`Analyse complexe

Chapitre 1
Éléments de l’Analyse
complexe
1.1
1.1.1
Rappels sur les nombres complexes
Le corps C
Nombres complexes. On désigne par C l’ensemble des nombres complexes
dont les éléments sont toutes les expressions de la forme z = x + iy où x, y ∈ R
et i2 = −1 :
C = {z = x + iy : (x, y) ∈ R × R, i2 = −1}.
Addition et multiplication. L’ensemble C est muni d’une addition et d’une
multiplication : Si z1 = x1 + iy1 et z2 = x2 + iy2 , on définit
z1 + z2 = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 )
(1.1)
z1 · z2 = (x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + x2 y1 ).
(1.2)
z = z1 + z2
3
6
z2
y1
*
z1 = x1 + iy1
O
x1
Puissances de i.
i2 = −1,
i3 = −i,
4
i4 = 1,
i5 = i.
CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS DE L’ANALYSE COMPLEXE
Proposition.
5
L’ensemble C est un corps.
Représentation par des matrices réelles. On peut identifier le corps C
avec le corps
(
)
x −y
K2 (R) := {
, x, y ∈ R}.
(1.3)
y x
On peut caractériser K2 (R) par
(
K2 (R) = {A ∈ M2,2 (R) : [A, J] = 0},
J=
0
1
−1
0
)
et [A, B] = AB − BA désigne le commutateur entre 2 matrices carrées. En
représentation polaire tout A ∈ K2 (R), A ̸= 0 s’écrit comme
(
)
cos θ − sin θ
A=r
, r > 0, −π ≤ θ < π.
(1.4)
sin θ
cos θ
1.1.2
Module et complexe conjugué.
Partie réelle et imaginaire. Soit z = x + iy. Le nombre réel x est appelé la
partie réelle de z et on le note x = Re z, tandis que le nombre y est appelé la
partie imaginaire de z et on le note y = Im z. Si y = 0, z est réel. Si x = 0 et
y ̸= 0, on dit que z est imaginaire pur. Notons que
Re z = Im z = 0 ⇔ z = 0.
√
Module. Le nombre réel |z| = x2 + y 2 est appelé le module de z. Si z est
réel le module de z est égale à sa valeur absolue.
Complexes conjugués. Les nombres z = x + iy et z = x − iy sont appelés
complexes conjugués.
Propriétés du complexe conjugué. Pour z, z1 , z2 ∈ C on a
1. z = z
2. z1 + z2 = z1 + z2
3. z1 · z2 = z1 · z2
( )
4. Si z2 ̸= 0, zz12 =
z1
z2
5. z · z = |z|2 et |z| = |z|
6. Si z ̸= 0, z −1 =
7. Re z =
z+z
2
1
z
=
z
|z|2
Im z =
z−z
2i .
CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS DE L’ANALYSE COMPLEXE
i
6
z=x+iy
|z|
1
1/|z|
1/z
_
z=x-iy
Le cercle unité, z, z̄ et
1
z
Propriétés du module. Pour z, z1 , z2 ∈ C on a
1. Positivité : |z| ≥ 0 et |z| = 0 ⇔ z = 0
2. Homogénéité : |z1 z2 | = |z1 ||z2 |
3. Inégalité triangulaire : |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 |
1|
4. Si z2 ̸= 0, | zz12 | = |z
|z2 |
5. |z1 | − |z2 | ≤ |z1 − z2 |
6. Si |z| < ϵ pour tout ϵ > 0 alors z = 0.
Distance. A partir du module on peut définir la distance d(z1 , z2 ) de deux
nombres complexes z1 et z2 par d(z1 , z2 ) = |z1 −z2 |. De même que la distance de
deux nombres réels, la distance d(z1 , z2 ) satisfait aux trois propriétés suivantes.
1. Positivité : d(z1 , z2 ) ≥ 0 et d(z1 , z2 ) = 0 ⇔ z1 = z2
2. Symétrie : d(z1 , z2 ) = d(z2 , z1 )
3. Inégalité triangulaire : d(z1 , z2 ) ≤ d(z1 , z) + d(z, z2 ) pour tout z ∈ C.
1.1.3
L’espace normé C
Les notions topologiques dans
sont interprétées comme celles de R2 grâce
( C)
x
à l’identification z = x + iy ↔
et du module avec la norme euclidienne.
y
Les notions de convergence dans C correspondent à celles dans R2 : soit {zn =
xn + iyn }n∈N , xn , yn ∈ R, une suite dans C. Alors, si z = x + iy, x, y ∈ R :
lim zn = z ⇔ lim |zn − z| = 0.
n→∞
n→∞
(1.5)
On démontre facilement que cette définition est équivalente à la condition suivante : si zn , z ∈ C, alors
lim zn = z ⇔ lim xn = x et lim yn = y.
n→∞
n→∞
n→∞
Il en suit le résultat suivant (voir Analyse II, chapitre 1) :
(1.6)
CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS DE L’ANALYSE COMPLEXE
7
Proposition.
1. (C, | · |) est un espace de Banach réel (de dimension 2).
2. (C, | · |) est un espace de Banach complexe (de dimension 1).
1.1.4
La forme polaire des nombres complexes
Le plan complexe. On peut représenter un nombre complexe z = x+iy dans
le plan R2 par le vecteur joignant l’origine au point (x, y). L’axe des abscisses
représente les nombres réels et l’axe des ordonnées les nombres imaginaires purs.
Coordonnées polaires. Soit z ̸= 0. Donc r = |z| ̸= 0 et zr correspond à un
point unique du cercle unité (i.e. cercle de rayon 1 et de centre (0, 0)). Il existe
donc une valeur unique θ ∈ ] − π, π] telle que
{
x = r cos θ
ou z = r(cos θ + i sin θ).
y = r sin θ
θ est appelé l’argument de z et on le note par θ = arg z. Noter que l’argument
d’un nombre complexe z est défini à 2kπ près avec k ∈ Z. Rappelons que ce
changement des variables est C 1 -inversible si r > 0, −π < θ < π. En appliquant
θ
sin θ
la formule de bissection tan =
on trouve l’inverse de la classe C 1
2
1 + cos θ
donné par
y
√
(1.7)
arg z = θ = 2 arctan
x + x2 + y 2
pour tous (x, y) ∈]
/ − ∞, 0] × {0}. On appelle l’équation (1.7) la détermination
principale de l’argument d’un nombre complexe. Si z est un réel négatif on pose
arg z = π. Noter que ce prolongement n’est pas une application continue sur
C \ {0}.
6
iy
Formule d’Euler.
z
r
r
θ
x
Pour θ ∈ R :
eiθ = cos θ + i sin θ.
(1.8)
Par conséquent,
sin θ =
eiθ − e−iθ
2i
et
cos θ =
eiθ + e−iθ
.
2
En utilisant la formule d’Euler, tout nombre complexe z peut s’écrire sous la
forme polaire
z = reiθ = r(cos θ + i sin θ)
(1.9)
où r = |z| et θ = arg z.
CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS DE L’ANALYSE COMPLEXE
Valeurs particulières.
Soit n un entier.
e(2n+1)πi = −1
e2nπi = 1,
e
(4n+1)πi
2
8
iπ
= e 2 = i,
e
(4n+3)πi
2
=e
−iπ
2
= −i
Formule de de Moivre. Pour tout entier n et tout θ ∈ R :
( iθ )n
e
= (cos θ + i sin θ)n = (cos nθ + i sin nθ) = einθ
Calcul en représentation polaire.
(1.10)
Soit z1 = r1 eiθ1 , z2 = r2 eiθ2 , z = reiθ .
−iθ
1. z = re
2. Si z ̸= 0,
1
z
= 1r e−iθ
3. z1 · z2 = r1 r2 ei(θ1 +θ2 )
4. arg(z1 · z2 ) = arg z1 + arg z2 + 2kπ,
1.1.5
k ∈ Z.
Racines d’un nombre complexe
Racines d’un nombre complexe. Soient s > 0, β ∈ R et n un entier positif.
L’équation
z n = seiβ
admet n solutions distinctes de la forme
z=
√
n
s · eiθ
où θ =
β + 2kπ
,
n
k = 0, 1, . . . , n − 1.
(1.11)
√
θ
1 − cos θ
Racine carrée. Soit z = x + iy. Si y > 0 (appliquer sin =
et
2
2
√
1 + cos θ
θ
cos =
car θ ∈]0, π[ )
2
2
√
√√
√
√
x + x2 + y 2
x2 + y 2 − x
z=
+i
2
2
√
√
θ
1 − cos θ
θ
1 + cos θ
et si y < 0 (appliquer sin = −
et cos =
car θ ∈
2
2
2
2
] − π, 0[)
√√
√
√
2
2
√
x+ x +y
x2 + y 2 − x
−i
.
z=
2
2
√
√
Si x > 0 et y = 0 evidemment z = x. Ces équations représentent la
détermination principale de la racine carrée d’un nombre complexe.
CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS DE L’ANALYSE COMPLEXE
1.2
1.2.1
9
Fonctions complexes et leur représentation
graphique
Fonctions complexes et Continuité
Fonctions complexes. Soit D ⊂ C. Une fonction f : D −→ C est appelée
une fonction complexe. En posant z = x + iy on peut toujours y associer deux
fonctions réelles u, v : R2 −→ R par l’identification
f (z) = f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y).
(
)
u
Autrement dit on identifie f avec le champs vectoriel
.
v
(1.12)
Fonction continue. Le module d’un nombre complexe z = x + iy correspond
à la norme du vecteur y associé. Des boules ouvertes dans C correspondent aux
boules ouvertes dans R2 . Les notions d’ensemble ouvert et d’ensemble fermé dans
C correspondent aux notions dans R2 . De même, la continuité d’une fonction
complexe est equivalente à la continuité de u, v dans R2 .
1.2.2
Exemples et Représentation graphique
Représentation graphique. On peut représenter une fonction complexe f (z) =
f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) par les lignes de niveau de u et de v. Une autre
possibilité consiste à selectionner des courbes γk (t) ∈ D et les images de ces
courbes sous f . Typiquement on choisit pour γk les lignes des coordonnés, par
exemples les droites x = ak , y = ibk (si on travaille en cordonnés cartésiennes).
Les images de droites x = a (en rouge) y = b (en vert) sous l’application
f (z) = z.
CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS DE L’ANALYSE COMPLEXE
10
Les images de droites x = a (en rouge) y = b (en vert) sous l’application
f (z) = z 2 . En posant les coordonnées z ′ = f (z), c’est-à-dire
′
2
x = x −√
y 2 , y ′ = 2xy il faut donner y ′ = y ′ (x′ ). Si x = a est fixe on trouve
′
y = ±|a| a2 − x′ défini√
si x′ ≤ a2 (la courbe rouge). De même si y = b est
fixe on a y ′ = ±|b| b2 + x′ défini si x′ ≥ −b2 (la courbe verte).
Les lignes de niveau Re(z 2 ) = x2 − y 2 et Im(z 2 ) = 2xy .
Translations dans C. L’addition d’un nombre complexe z0 définit une application de C dans C par z → z + z0 qui correspond à une translation dans le
plan complexe. L’ensemble
SR (z0 ) = {z ∈ C : d(z, z0 ) = |z − z0 | = R}
définit dans le plan complexe le cercle de rayon R autour du centre z0 . En
particulier, SR = SR (0) = {z ∈ C : d(z, 0) = |z| = R} est le cercle de rayon
R autour de l’origin. Notons que SR (z0 ) est l’image de SR sous la translation
z → z + z0 .
CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS DE L’ANALYSE COMPLEXE
11
Fonction C-linéaire. La multiplication par nombre complexe a définit une
application linéaire (et vice versa) de C dans C par z → a·z qui correspond à une
homothétie de centre l’origine et de rapport |a| suivie d’une rotation de centre
l’origine et d’angle arg a. L’image du cercle SR (z0 ) sous l’application linéaire
z → a · z est le cercle S|a|R (az0 ).
Fonction C-antilinéaire.
antilinéaire, c’est-à-dire
Pour a ∈ C soit f (z) = az̄. Cette application est
f (λ1 z1 + λ2 z2 ) = λ1 f (z1 ) + λ2 f (z2 ),
λj , zj ∈ C.
(1.13)
L’image du cercle SR (z0 ) sous l’application antilinéaire z → a · z̄ est le cercle
S|a|R (az 0 ) (exercice).
Fonction R2 -linéaire mais pas C-linéaire. f (z) = az + b̄z̄ et a, b ̸= 0
n’est pas linéaire. Le champs vectoriel dans R2 y associé est cependant linéaire.
L’image du cercle SR (z0 ) sous l’application inéaire z → a · z + b̄ · z̄ est une ellipse
¯
(si ab ̸= ab).
Polynômes harmoniques et Racines. f (z) = z n n’est pas bijective sur C.
π π
Soit Sn = {z ∈ C : arg(z) ∈] − , [. Alors,
n n
z n : Sn −→ C \ {z ∈ C :, Imz = 0, Rez ≤ 0} := C \ R≤0
√
est bijective. L’inverse est appelée la détermination principale de n z. Noter
√
√
√ √
que la règle n z1 z2 = n z1 n z2 est fausse en général : soit z = 12 (−1 + i 3),
√
√
√
√
2 = 1 (1 − i 3) = −z. Pour la
donc argz = 2π
z = 12 (1 + i 3) et z√
3 , alors
2
détermination principale de la fonction f (z) = z en coordonnées cartésiennes
voir la section 1.1.5.
Fonctions rationnelles. Considérons l’exemple f (z) = z −1 défini sur C∗ .
L’inverse d’un nombre complexe z définit une application de C\{0} dans C\{0}
par z → z1 qui correspond à une homothétie de centre l’origine et de rapport
1
|z|2 suivie d’une réflexion par rapport à l’axe des x. L’image du cercle SR (z0 )
sous l’application z → z1 est le cercle
S
(
R
|R2 −|z0 |2 |
)
z̄0
2
|z0 − R
|2
si 0 ∈
/ SR (z0 ) (i.e. R2 ̸= |z0 |2 ) et la droite d’équation
wz0 + w̄z̄0 = 1,
si 0 ∈ SR (z0 ) (i.e. R2 = |z0 |2 ).
w ∈ C,
CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS DE L’ANALYSE COMPLEXE
12
3
2.5
2
2
1.5
1
1
0.5
–1
1
2
3
–1
1
2
3
–0.5
–1
–1
On mentionne encore les fonctions
f (z) =
z+1
,
z−1
f (z) =
z+i
z−i
qui sont deux variantes de la transformation de Cayley. Appliquer aux matrices
elle permet de lier les spectres des matrices antisymétriques aux spectres des
matrices orthogonales (respectivement des matrices symétriques aux spectres
des matrices unitaires). Notons, par exemple, la propriété
f (iy) =
iy + 1
1 − y2
2y
=
−i
,
2
iy − 1
1+y
1 + y2
y∈R
représentant la projection stéréographique du cercle unitaire sur l’axe réel.
Fonctions exponentielles et logarithmiques.
ez :=
La fonction exponentielle
∞
∑
zk
k=0
k!
(1.14)
est définie pour tout z ∈ C : la série est absolument convergente (prendre le
module |z|) en tout z ∈ C. On a
ez = ex+iy = ex eiy = ex (cos y + i sin y).
La fonction exponentielle est donc périodique de période 2π en y. Pour tout
y ∈ R elle définit une bijection entre la bande Ty := {z =∈ C : Im z ∈]y, y +2π]}
et C \ {0} et une bijection entre l’interieur de Ty et C \ {z = xeiy , x ≥ 0}.
L’équation
ew = z, , z ∈ C \ {0}
admet en chaque bande Ty exactement une solution (et une infinité de solutions
dans C). On écrit w = ln z. Pour deux logarithmes w1 , w2 on a toujours l’identité
w2 = w1 + 2ikπ
ou en utilisant la forme polaire avec arg z ∈] − π, π] (la détermination principale
du logarithme) :
w = ln |z| + i(arg z + 2kπ).
(1.15)
CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS DE L’ANALYSE COMPLEXE
13
Nous verrons plus loin qu’il n’y a pas une fonction logarithmique (détermination
continue) sur tout C \ {0} mais sur tout sous-ensemble simplement connexe. Par
exemple, sur le demi-plan à droite x > 0 on peut choisir simplement
ln z =
1
y
ln(x2 + y 2 ) + i arctan
2
x
ce qui correspond à l’équation (1.15) sur ce domaine et donne la fonction logaritmique usuelle si Im z = 0. Pour la détermination principale du logarithme on
peut définir la détermination principale de la racine n-ième
√
1
n
z = e n ln z .
Les fonctions trigonométriques, hyperboliques et puissance sont définies en analogie des définitions sur R.
CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS DE L’ANALYSE COMPLEXE
1.3
1.3.1
14
Fonctions dérivables
Dérivée et Fonction holomorphe
Domaine dans C. Un ensemble D ⊂ C s’appelle connexe (ou plus précisement
connexe par arcs) si pour tous z0 , z1 ∈ D il existe un chemin continue γ : [0, 1] →
D tel que γ(0) = z0 et γ(1) = z1 . Si, en plus D est ouvert, on l’appelle un domaine dans C. Si on ne formule aucune hypothèse l’ensemble D ⊂ C désigne un
ouvert.
La Dérivée complexe.
en z0 ∈ D si la limite
Une fonction f : D → C est dite complexe dérivable
lim
z → z0
f (z) − f (z0 )
z − z0
(1.16)
existe. Cette limite, lorsqu’elle existe, est appelée la dérivée de la fonction f au
point z0 et on la note f ′ (z0 ).
Proposition - développement limité du premier ordre.
est complexe dérivable en z0 ∈ D si et seulement si
f (z) = f (z0 ) + f ′ (z0 )(z − z0 ) + o(z − z0 ),
Si f : D → C
(1.17)
pour tout z ∈ D. Par conséquent, f est continue en z0 .
Une interpétation de la dérivée complexe. Par l’éq. (1.17) une fonction
complexe dérivable en z0 définit une application C-linéaire qui approche localement f (z)−f (z0 ). Rappelons que la C-linéairité est une propriété beaucoup plus
réstrictive que la R2 -linéairité. C’est pourquoi une fonction complexe dérivable
a des propiétés plus spéciales qu’un champs vectoriel dérivable sur R2 .
Règles de dérivation. La dérivée complexe vérifie les mêmes règles de calcul
que des fonctions f : R → R : Si f, g sont complexe dérivables en z et α, β ∈ C,
alors
(αf + βg)′ (z) = αf ′ (z) + βg ′ (z)
(f · g)′ (z) = f ′ (z)g(z) + f (z)g ′ (z).
(1.18)
(1.19)
Si f est complexe dérivable en z et g est complexe dérivable en f (z), alors
(g ◦ f )′ (z) = g ′ (f (z)) · f ′ (z).
(1.20)
Sur la base de (1.17) on peut établir une extension de la règle de l’Hospital aux
dérivées complexes.
Fonction holomorphe. Une fonction f : D → C est holomorphe dans D si
f est complexe dérivable en tout z0 ∈ D et sa fonction dérivée f ′ : D → C
est continue ce qui signifie que f ∈ C 1 (D). En principe on n’a pas besoin de la
continuité de f ′ (Théorème de Goursat, voir plus loin) pour définir une fonction holomorphe : une fonction complexe dérivable est holomorphe. Au lieu de
”holomorphe” on utilise également les synonymes ”analytique” (lié au résultat
qu’une fonction se laisse développer en série entière) et ”régulière”.
CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS DE L’ANALYSE COMPLEXE
15
Èquations de Cauchy-Riemann. Nous reformulons l’éq (1.17) par des matrices dans K2 (R) (voir (1.3)). Soit f (z) = u(x, y) + iv(x, y). Soit f ′ (z0 ) = a + ib
et notons df = f (z) − f (z0 ) = du + idv, dz = z − z0 = dx + idy. Alors, (1.17)
est équivalente à
(
) (
) (
)
√
du −dv
a −b
dx −dy
=
·
+ o( (dx)2 + (dy)2 ) (1.21)
dv du
b a
dy dx
où o signifie une matrice dans K2 (R) avec des éléments o. Par conséquent,
(
) (
)
√
du −dv
a dx − b dy −a dy − b dx
=
+ o( (dx)2 + (dy)2 ). (1.22)
dv du
a dy + b dx a dx − b dy
En en déduit que les résultats suivants :
Théorème - fonction complex dérivable en z0 - conditions d’équivalence.
Une fonction f : D → C est complexe dérivable en z0 ∈ D si et seulement si u, v
sont réelles dérivables en (x0 , y0 ) et vérifient les équations de Cauchy-Riemann
en ce point :
∂ u(x, y)
∂ v(x, y)
=
,
∂x
∂y
∂ u(x, y)
∂ v(x, y)
=−
.
∂y
∂x
(1.23)
Théorème - fonction holomorphe - conditions d’équivalence. Une fonction f : D → C, f = u + iv, u, v : D → R, est holomorphe si et seulement si
u, v ∈ C 1 (D) au sens réel et u, v vérifient les équations de Cauchy-Riemann
(1.23) sur D.
Aux exercices on montre que u, v : R2 −→ R définie par
{
xy
si(x, y) ̸= (0, 0),
2
2
v(x, y) = 0 pour tout (x, y).
u(x, y) = x +y
0
si (x, y) = (0, 0),
Remarque.
vérifient les équations de Cauchy-Riemann en (x, y) = (0, 0) et que f = u + iv
n’est pas complexe dérivable en (x, y) = (0, 0). Ceci n’est pas en contradiction avec le premier théorème puisque la fonction u est seulement partiellement
différentiable mais u n’est pas (réel) dérivable en (x, y) = (0, 0).
Propriétés des fonctions dérivables. Si f ′ (z) existe, alors
f ′ (z) =
1.3.2
∂ u(x, y)
∂ v(x, y)
∂ v(x, y)
∂ u(x, y)
+i
=
−i
∂x
∂x
∂y
∂y
(1.24)
Propriétés des fonctions holomorphes
Fonction constante. Soit D ⊂ C un domaine et f : D → C holomorphe
telle que f ′ (z) = 0. Alors, f est constant. En fait, par (1.24) toutes les dérivées
partielles de u et v sont zéro. Le résultat suit par le théorème des accroissements
finis.
CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS DE L’ANALYSE COMPLEXE
16
Géométrie des fonctions holomorphes. Toute fonction holomorphe f :
D → C telle que f ′ (z) ̸= 0 dans D définit un changement de coordonnés
orthogonale entre D et f [D] : le tenseur metrique est donné par |f ′ (z)|2 et
représenté par une matrice diagonale dans K2 (R). Une fonction holomorphe
preserve également des angles et l’orientation.
Fonctions holomorphes inversibles. En appliquant le théorème des applications localement inversibles de l’analyse réelle (voir Analyse 2, chapitre 4) on
conclut qu’une fonction holomorphe f : D → C telle que f ′ (z0 ) ̸= 0 pour un
z0 ∈ D est localement inversible et son inverse est une fonction holomorphe.
Fonctions holomorphes et fonctions harmoniques. Soit D ⊂ C ouvert.
Soit f : D → C, f = u + iv telle que u, v ∈ C 2 (D̃) où D̃ = {(x, y) ∈ R2 : z =
x + iy ∈ D}. (nous allons voir plus loin que pour une fonction holomorphe u, v
sont toujours C ∞ , donc cette hypothèse peut être supprimée). Alors,
∆x,y u(x, y) = 0,
∆x,y v(x, y) = 0,
(1.25)
c’est-à-dire u, v sont des fonction harmoniques sur D (on pourrait même démontrer
cette propriété sur D̄). C’est une conséquence simple des équations de CauchyRiemann puisque (en notant les dérivées partielles ux , uy , uxx etc.)
uxx + uyy = (vy )x − (vx )y = 0,
vxx + vyy = (−uy )x + (ux )y = 0.
On dit que u et v sont harmoniques conjuguées, c’est-à-dire elles sont C 2 et
vérifient les équations de Cauchy-Riemann.
Propriétés des fonctions harmoniques conjuguées. Soit D ⊂ C un
domaine. Supposons que u, v ainsi que u, w sont des fonctions harmoniques
conjuguées sur D̃. Alors, v − w = const sur D̃.
Démonstration.
∇(v − w) =
(
vx − wx
vy − wy
)
(
=
−uy + uy
u x − ux
)
=0
et le résultat suit par le théorème des accroissements finis (ici on a besoin que
D soit connexe).
Théorème - Construction des fonctions holomorphes. Soit D ⊂ C un
ouvert simplement connexe (connexe + contractabilité des courbes fermées dans
D). Supposons que u ∈ C 2 (D̃) et que ∆u = 0 dans D̃. Alors il existe v ∈ C 2 (D̃)
telle que u, v sont harmonique conjuguées sur D̃.
Démonstration. On définit un champs vectoriel w :
tildeD → D̃ par
(
)
−uy
w=
ux
Sa matrice jacobienne est donnée par
(
−uyx
Jw =
uxx
−uyy
uxy
)
CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS DE L’ANALYSE COMPLEXE
17
et elle est symétrqiue grâce à uxx + uyy = 0. Par le théorème 7.4 de l’analyse
3 un champs vectoriel de classe C 1 sur un domain simplement connexe est le
gradient d’un potentiel si est seulement si sa matrice jacobienne est symétrique.
Il existe donc v ∈ C 2 tel que vx = −uy et vy = ux .
Remarque. Si D est étoilé par rapport à x0 on peut construire v par la
formule
∫ 1
v(x) =
⟨w(tx + (1 − t)x0 ), x − x0 ⟩ dt
0
∫
1
−uy (tx + (1 − t)x0 )(x − x0 ) + ux (tx + (1 − t)x0 )(y − y0 ) dt.
=
0
Exemple - construction d’une fonction harmonique conjuguée. Au
lieu d’appliquer la formule ci-dessus on peut construire une fonction harmonique
conjuguée par la résolution d’une équation diffrentielle ordinaire (voir l’Analyse
2 : équations diffrentilles exactes). Sur R2 on considère la fonction harmonique
u(x, y) = xy + x. Pour construire v on utilise une des équations de CauchyRiemann, par exemple ux = vy d’où vy = y + 1 et par l’intégration v(x, y) =
1 2
2 y + y + h(x) pour une fonction h(x). La seconde équation de Cauchy-Riemann
impose uy = −vx , c’est-à-dire −x = h′ (x). Une solution est h(x) = − 21 x2 et
v(x, y) = 21 (y 2 − x2 ) + y est harmonique conjuguée à u(x, y) = xy + x.
1.3.3
Dérivées de Wirtinger
Nous pouvons interpréter toute fonction f : D → C comme une fonction des
variables réelles x, y à valeurs complexes. En notant que
z + z̄
z − z̄
, y=
2
2i
nous pouvons donc voir z, z̄ comme variables indépendantes et introduire les
dérivées partielles (dites dérivées de Wirtinger)
x=
∂
1 ∂
∂
= (
−i
),
∂z
2 ∂x
∂y
∂
1 ∂
∂
= (
+i
).
∂ z̄
2 ∂x
∂y
(1.26)
En fait, on introduit le changement de variable linéaire
( ′ )
(
)
x
x
=A
y′
y
(
)
1 i
donné par la matrice A =
. Pour des raisons évidentes on note x′ = z,
1 −i
y ′ = z̄. Par conséquent,
(
)(
)
(
) ( ∂x ∂x ) (
)
1
1 1
z
z
x
∂z
∂
z̄
=
=
∂y
∂y
−i i
z̄
z̄
y
2
∂z
∂ z̄
d’où par la règle de composition
∂f (x, y)
∂x ∂f
∂y ∂f
1 ( ∂f
∂f )
=
+
=
−i
∂z
∂z ∂x ∂z ∂y
2 ∂x
∂y
donc la première identité de l’équation (1.26).
CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS DE L’ANALYSE COMPLEXE
18
Une fonction f : D → C est complexe
∂f
(z0 ) = 0.
dérivable en z0 ∈ D si et seulement si f dérivable au sens réel et
∂ z̄
(Démonstration : exercice)
Fonction complexe dérivable.
Une fonction f : D → C est holomorphe si et seule∂ f (z)
ment si f est classe C au sens réel et
= 0. Cette condition est la forme
∂ z̄
complexe des équations de Cauchy-Riemann. (Démonstration : exercice)
Fonction holomorphe.
1
Règles de calcul. Pour des fonctions dérivables au sens réel, les dérivées de
Wirtinger sont linéaires et vérifient la règle du produit. En particulier
∂ f¯ ∂ f
∂ f¯
∂f
=
,
=
∂z
∂ z̄ ∂ z̄
∂z
∂f
∂f
=
, si f réelle
∂z
∂ z̄
(1.27)
et si f est de classe C 2 au sens réel, alors
4
∂2 f
= ∆x,y f
∂ z∂ z̄
(1.28)
Fonction antiholomorphe. Une fonction f : D → C est dite antiholomorphe
si f¯ : D → C est holomorphe. Par le résultat précendent une fonction f : D → C
∂ f (z)
est antiholomorphe si et seulement si f est classe C 1 au sens réel et
= 0.
∂z
Une fonction antiholomorphe preserve également les angles mais elles changent
l’orientation (puisque le jacobien est négatif).
Application aux équations aux dérivées partielles. Pour des systèmes en
deux dimensions (en mécanique quantique ou dynamique des fluides) il est commode d’utiliser les coordonnées complexes z, z̄ au lieu de x, y. L’état fondamental
de l’oscillateur quantique en deux dimension est une solution de l’équation de
Schrödinger
−
~2
1
△x,y ψ(x, y) + mω 2 (x2 + y 2 )ψ(x, y) = Eψ(x, y).
2m
2
(1.29)
mω|z|2
),
~
E0 = 2ω~ est une solution (non-normalisée). Un autre exemple en mécanique
quantique est donné par les niveaux de Landau d’un champ magnétique constant
(voir les exercices).
En passant aux coordonnées complexes z, z̄ on vérifie que ψ0 (z, z̄) = exp(−
CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS DE L’ANALYSE COMPLEXE
19
Intégration dans C
1.4
1.4.1
Intégrales curvilignes des fonctions complexes
Grâce à la bijection x + iy ↔ (x, y) entre C et R2 nous pouvons traiter les
courbes dans C comme des courbes dans R2 en utilisant la même terminologie.
Intégrale curvligne. Soit [a, b] ⊂ R et z(t) := x(t) + iy(t) avec x, y ∈
C 1 ([a, b]) avec vecteur tangent ż(t) = ẋ(t) + iẏ(t) une courbe orientée regulière
C (c’est-à-dire ż ̸= 0) dans un domaine D ⊂ C telle que z(s) ̸= z(t) si s ̸= t
pour s, t ∈]a, b[ (on dit aussi ”une courbe simple”). Soit f = u + iv continue sur
D. On définit l’intégrale curviligne de f de long de C par
∫
∫
b
f (z) dz =
f (z(t))ż(t) dt
C
(1.30)
a
ou de manière équivalente par des intégrales curvilignes dans D̃ ⊂ R2 :
∫
∫
b
f (z) dz =
C
⟨
(
a
)
(
) (
)
u(x(t), y(t))
v(x(t), y(t))
ẋ(t) ⟩
+i
,
dt.
−v(x(t), y(t))
u(x(t), y(t))
ẏ(t)
(1.31)
L’extension aux courbes C 1 par morceaux est evidente : Si C consiste de
C1 , C2 , alors
∫
∫
∫
f (z) dz =
f (z) dz +
f (z) dz
C
C1
C2
Si on désigne −C la courbe de l’orientation opposée, alors
∫
∫
f (z) dz = −
f (z) dz
−C
C
Notons encore que l’intégrale curvligne est linéaire en f . En cas d’une courbe
fermée
∫
H (z(a) = z(b)) parcouru dans le sens positive (sens anti-horaire) on note
=
.
C
C
Inégalité triangulaire.
∫
∫
f (z) dz ≤
C
∫
et, en particulier, Exemple.
tive) :
b
|f (z(t))||ż(t)| dt,
(1.32)
a
dz ≤ L(C) où L(C) désigne la longueur de la courbe.
C
Considérons l’intégrale suivante sur un cercle (orientation posiI
SR (z0 )
dz
=
(z − z0 )m
{
2πi si m = 1,
0
si m ̸= 1,
(1.33)
CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS DE L’ANALYSE COMPLEXE
20
Primitive. Soit F : D → C une fonction holomorphe et F ′ (z) = f (z). On
appelle F une primitive de f . Pour tout courbe C dans D avec point initial
z1 ∈ D et point final z2 ∈ D on a
∫
f (z) dz = F (z2 ) − F (z1 )
(1.34)
C
En particulier, si C est fermé, alors
1.4.2
H
C
f (z) dz = 0.
Primitives et le théorème de Cauchy
Existence des Primitives. Contrairement à l’analyse réele (c’est-à-dire des
fonctions f : R → R) ils existent des fonctions continues qui n’ont pas une
primitive, par exemple f (z) = z̄. Même la fonction holomorphe f (z) = z −1 n’as
pas une fonction primitive sur le disque épointé DR (0) \ {0} (voir (1.33)). En
revanche, elle a une primitive sur D = {z = x + iy : x, y > 0} (par exemple)
donnée par F (z) = ln z. Si le domaine D est étoilé par rapport à un point z0 ∈ D
et f : D → C est holomorphe on peut toujours construire une primitive : pour
z ∈ D soit [z0 , z] := {(1 − t)z0 + tz : 0 ≤ t ≤ 1}. Alors,
∫ z
∫
∫ 1
F (z) :=
f (w) dw :=
f (w) = (z − z0 )
f ((1 − t)z0 + tz) dt (1.35)
z0
[z0 ,z]
0
est une primitive de f (de nouveau on profite de la propriéte que f ′ est continue). Plus généralement, si D est simplement connexe et f : D (
→ C)est holo( )
u
v
morphe, alors f a une primitive. En fait, les champs vectoriels
et
−v
u
sont C 1 et grâce aux équations de Cauchy-Riemann leurs matrices jacobienne
sont symétriques. Par conséquent, il y a des potentiels F1 , F2 ∈ C 2 (D) associés
à ces champs, c’est-à-dire
( )
( )
u
v
∇F1 =
, ∇F2 =
.
−v
u
Par conséquent, F1 , F2 sont harmoniques conjuguées et par (1.31) :
∫
∫ b
d
f (z) dz =
F (x(t), y(t)) dt = F (x(b) + iy(b)) − F (x(a) + iy(a))
C
a dt
où F = F1 + iF2 . Il en suit le
Théorème de Cauchy I. Soit D ⊂ C simplement connexe et f : D → C
holomorphe. Alors, pour toute courbe C fermée simple et C 1 par morceaux dans
D:
I
f (z) dz = 0.
(1.36)
C
En utilisant le théorème de Gauss (voir les exercices) on peut étendre ce
résultat aux domaines arbitraires.
Théorème de Cauchy II. Soient D un ouvert et f holomorphe. Soit C une
courbe fermée simple telle que C ∪ intC ⊂ D. Alors, on a l’identité (1.36).
CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS DE L’ANALYSE COMPLEXE
21
Démonstration. Soit z(t) = x(t)+iy(t) tel que |ż(t)| = 1 une paramétrisation
de C. Par (1.31) et le théorème de Gauss :
( ) ( )
∫
∫ b ( )
⟨ u
v
ẋ ⟩
+i
,
dt
f (z) dz =
−v
u
ẏ
C
a
(
)
(
)
(
)
∫
⟨ −v
u
ẏ ⟩
+i
,
ds
=
−u
−v
−
ẋ
C
(
)
(
)
∫
( v
−u )
−div
+i
dxdy = 0.
=
u
v
intC
Critères d’intégrabilité. Nous discutons encore le probléme de l’existence
des primitives : sous quelles conditions une fonction continue a une primitive ?
Pour simplifier cette discussion supposons que D soit convexe. Soit f : D → C
une fonction continue tel que
I
f (z) dz = 0
(1.37)
∂T
pour tout triangle fermé T dans D, alors f a une primitive sur D. Grâce à cette
condition il reste à estimer
∫ 1
F (z + h) − F (z) − f (z)h = h
f (z + th) − f (z) dt = o(h).
0
Le lemme de Goursat ennonce que toute fonction dérivable sur D vérifie la condition (1.37). Donc le théorème de Cauchy est vrai pour toute fonction dérivable
sur D.
Lemme de Goursat. Soit f : D → C complexe dérivable et T ⊂ D un
triangle fermé. Alors,
I
f (z) dz = 0.
∂T
Démonstration. L’idée de la démonstration consiste à diviser par récurrence
un triangle borné et fermé T (des sommets ABC dans le graphique ci-dessous)
en quatre triangles bornés et fermés similaires en coupant les cotés au milieu.
Les quatre triangles construits et les contours parcourus.
CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS DE L’ANALYSE COMPLEXE
22
Soit |T | l’aire du triangle et |∂T | son périmètre. Chaque petit triangle a l’aire
|T |/4 et le périmètre |∂T |/2. Pour les intégrales de f on a l’identité
I
I
∫
∫
∫
=
=
+
+
∂T
ABCA
EBF
F CD
I
I
I
IDAE
+
+
+
=
(1.38)
F CDF
DEF D
IDAEDI EBF
IE
I
=
+
+
+
∂T1
∂T2
∂T3
d’où par l’inégalité triangulaire (1.32) :
I
I
≤ 4 max f
(z)
dz
∂T
∂Ti
∂T4
f (z) dz .
On note T (1) ∈ {T1 , T2 , T3 , T3 } le triangle donnant ce maximum et on répète
cette procédure sur T (1) . Par récurrence on on obtient une suite des triangles
T (n) , T (n) ⊂ T (n−1) ⊂ . . . ⊂ T telle que
I
I
n
f (z) dz ≤ 4 f (z) dz .
∂T (n)
∂T
Il existe z0 ∈ T (n) pour tout entier positif n (Exercice : donner une démonstration).
Par l’hypothèse (de la dérivabilité) la fonction f admet un développement limité
du premier ordre en z0 :
f (z) = f (z0 ) + f ′ (z0 )(z − z0 ) + o(z − z0 ),
lim
z→z0
o(z − z0 )
= 0.
z − z0
La propriété de o(z − z0 ) signifie que nous pouvons écrire o(z − z0 ) = r(z) · (z −
z0 ) où r(z) est une fonction continue telle que lim r(z) = 0. L’approximation
z→z0
linéaire z → f (z0 ) + f ′ (z0 )(z − z0 ) est une fonction holomorphe. Il en suit par
le théorème de Cauchy pour tout n :
I
I
=
.
f
(z)
dz
r(z)
·
(z
−
z
)
dz
0
∂T (n)
∂T (n)
Notons que |∂T (n) | = 2−n |∂T | et |z − z0 | ≤ |∂T (n) | pour tout z ∈ ∂T (n) . De
plus, la fonction d’où
I
I
−n
.
r(z)
·
(z
−
z
)
dz
≤
2
|∂T
|
·
max
|r(z)|
·
1
dz
0
z∈∂T (n)
∂T (n)
∂T (n)
Par l’inégalité triangulaire (1.32) :
I
( −n
)
≤ 2 |∂T | 2 · max |r(z)|
r(z)
·
(z
−
z
)
dz
0
(n)
z∈∂T (n)
∂T
donc pour tout entier positif n :
I
I
n
f (z) dz ≤ 4 r(z) · (z − z0 ) dz ≤ |∂T |2 · max |r(z)|.
(n)
z∈∂T (n)
∂T
∂T
CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS DE L’ANALYSE COMPLEXE
23
Pour estimer |r(z)| noter que par la continuité de r(z) en z0 , pour tout ϵ > 0 il
existe un entier positif Nϵ tel que
max |r(z)| ≤ ϵ
z∈∂T (n)
pour tout n ≥ Nϵ d’où
I
∂T
f (z) dz ≤ |∂T |2 ϵ
prouvant l’affirmation.
Une application du théorème de Cauchy - les intégrales de Fresnel.
Pour R > 0 on considère les segments C1 = [0, R], C2 = [R, R + iR], C3 =
2
[0, R + iR] et la fonction holomorphe f (z) = e−z . Par le théorème de Cauchy
∫
∫
∫
f (z) dz =
f (z) dz +
f (z) dz,
C3
c’est-à-dire
∫
R
C1
−(1+i)2 t2
e
∫
∫
R
R
(1 + i) dt =
0
ou
C2
−t2
e
∫
0
e−2it (1 + i) dt =
2
0
∫
R
R
dt +
e−(R+it) i dt
2
0
e−t dt + e−R
2
0
2
∫
R
e−2iRt+t i dt.
2
0
Nous voudrions laisser tendre R vers l’infini. Estimons la deuxième intégrale
∫
∫ R
∫ R
−R2 R −2iRt+t2
1
−R2
t2
−R2
e
e
i dt ≤ e
e dt ≤ e
eRt dt ≤ .
R
0
0
0
Il en suit
∫
∞
∫
∞
√
π
.
2
0
0
En partageant parties réelle et imaginaire, nous trouvons
√
∫ ∞
∫ ∞
π
cos 2t2 dt =
sin 2t2 dt =
4
0
0
−2it2
e
(1 + i) dt =
−t2
e
dt =
et après un changement de variables
√
∫ ∞
∫ ∞
cos t
sin t
π
√ dt =
√ dt =
.
2
t
t
0
0
1.4.3
(1.39)
(1.40)
Formule intégrale de Cauchy
Une conséquence du théorème de Cauchy est le résultat suivant.
Corollaire - Déformations des contours. Soit D un ouvert , z0 ∈ D et f
holomorphe sur D\{z0 }. Soit C une courbe fermée simple telle que C ∪intC ⊂ D
et z0 ∈ intC. Alors pour tout cercle Sr (z0 ) tel que Dr (z0 ) ⊂ intC :
I
I
f (z) dz =
f (z) dz.
(1.41)
C
Sr (z0 )
Cette équation reste vraie si on remplace {z0 } par un ensemble A ⊂ Sr (z0 ).
CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS DE L’ANALYSE COMPLEXE
Déformations des contours - graphique . voir cours
24
CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS DE L’ANALYSE COMPLEXE
25
Du corollaire de déformations il suit la formule intégrale de Cauchy.
Théorème - formule intégrale de Cauchy. Soit D un ouvert , z0 ∈ D et
f holomorphe sur D. Soit C une courbe fermée simple telle que C ∪ intC ⊂ D
et z0 ∈ intC. Alors
I
1
f (z)
f (z0 ) =
dz.
(1.42)
2πi C z − z0
Démonstration. La fonction f (z)(z − z0 )−1 est holomorphe sur D \ {z0 }. Par
conséquent,
I
I
f (z)
f (z)
dz =
dz.
z
−
z
z
− z0
0
C
Sr (z0 )
pour un cercle Sr (z0 ) suffisamment petit. Calculons cette dernière intégrale (en
utilisant l’exemple (1.33) et le théorème de Cauchy) :
I
I
f (z)
f (z0 ) + f ′ (z0 )(z − z0 ) + o(z − z0 )
dz =
dz
z − z0
Sr (z0 ) z − z0
Sr (z0 )
I
o(z − z0 )
= 2πif (z0 ) + 0 +
dz
Sr (z0 ) z − z0
Pour tout ϵ > 0 il existe r > 0 tel que |o(z − z0 )| ≤ ϵ|(z − z0 )| dans le disque
Dr (z0 ).. Dans la limite r → 0 l’intégral ci-dessus tendra vers 0 d’où l’affirmation.
Propriété de la moyenne. Si C est un cercle de rayon R autour de z0 . La
formule de Cauchy (1.42) s’écrit comme suit :
1
f (z0 ) =
2π
∫
2π
f (z0 + Reiθ ) dθ.
(1.43)
0
La formule intégrale de Cauchy a plusieures conséquences importantes :
Théorème - les fonctions holomorphes sont C ∞ . Soient D, f, C comme
dans la formule intégrale de Cauchy. Alors, f est de classe C ∞ et en tout z0 ∈ D :
I
n!
f (z)
(n)
f (z0 ) =
dz.
(1.44)
2πi C (z − z0 )n+1
Démonstration. L’intégrale (1.42) est holomorphe et C ∞ dans le paramètre
z0 . Le résultat suit par dérivation successive.
Théorème
de Morera. Soit f : D → C une fonction continue telle que
H
f
(z)
dz
=
0 pour toute courbe fermée simple dans D. Alors, f est holomorphe
C
sur D.
Démonstration. Par (1.37) f admet une primitive F . De plus, F holomorphe
et F ′ = f . Donc f est holomorphe.
CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS DE L’ANALYSE COMPLEXE
26
Soit f holomorphe sur D, Dr (z0 ) ∪ Sr (z0 ) ⊂ D, M =
Inégalité de Cauchy.
max |f (z)|. Alors,
Sr (z0 )
|f (n) (z0 )| ≤
M n!
.
rn
(1.45)
Démonstration.
|f (n) (z0 )| ≤
n! M
M n!
L(Sr (z0 )) = n .
n+1
2π r
r
Théorème de Liouville. Soit f : C → C holomorphe est bornée (|f (z)| ≤
M ). Alors, f est constante.
Démonstration. |f (z)| ≤ M implique par (1.45) |f ′ (z)| ≤
et tout z ∈ C. Il en suit f ′ (z) ≡ 0 et f est constante.
Théorème fondamental de l’algèbre.
Si f (z) =
n
∑
M
r
pour tout r > 0
ak z k , an = 1 est un
k=0
polynôme à de degré n ≥ 1 sur C, alors l’équation f (z) = 0 admet exactement
n racines zk et
n
∏
f (z) =
(z − zk ).
k=1
Démonstration. Exercice !
Soit C un contour fermé parametré par z(t), t ∈ [a, b].
L’indice d’un point.
Alors,
∫
e
1
C z−z0
dz
=1
(1.46)
pour tout z0 ∈
/ C. Pour démontrer (1.46) on considère les fonctions
∫
t
h(t) :=
a
En utilisant ḣ(t) =
ż(s)
ds,
z(s) − z0
(
)
g(t) := e−h(t) z(t) − z0 .
ż(t)
on trouve
z(t) − z0
(
(
))
ġ(t) = e−h(t) ż(t) − ḣ(t) z(t) − z0 = 0.
Par conséquent, g(t) = g(a) pour tout t ∈ [a, b]. En particulier,
(
)
g(a) = z(a) − z0 = g(b) = e−h(b) z(b) − z0
et z(a) = z(b) implique l’affirmation. Il en suit h(b) = 2πik, k ∈ Z. On définit
l’indice de z0 par
∫
1
1
dz ∈ Z.
(1.47)
ν(z0 , C) :=
2πi C z − z0
L’indice ν(z0 , C) indique le nombre de tours que la courbe fait autour du point z0
(et dans quelle orientation puisque ν(z0 , −C) = −ν(z0 , C)). ν(z0 , C) est continu
CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS DE L’ANALYSE COMPLEXE
27
en z0 et donc constant sur chaque sous-ensemble connexe de C \ C. Le contour
C est borné ; il existe un unique sous-ensemble connexe non-borné de C \ C et
sur cet sous-ensemble ν(z0 , C) = 0. On peut facilement étendre le théorème de
Cauchy et la formule de Cauchy aux domains D et contours C ⊂ D tels que
ν(z0 , C) = 0 pour tout z0 ∈
/ D.
1.5
Séries entières
Série entière et son rayon de convergence. Soit (an )n∈N une suite de
nombres complexes et z0 ∈ C. La série
∞
∑
ak (z − z0 )k
k=0
est appelée une série entière (ou fonction analytique). De plus, soit R défini par
√
1
= lim sup k |ak |
R
k→+∞
(1.48)
en utilisant la convention que
√
R = 0 si lim sup k |ak | = +∞
k→+∞
et
√
si lim sup k |ak | = 0
R = +∞
k→+∞
R est appelé le rayon de convergence de la série. Par conséquent, pour |z − z0 | <
R la série est absolument convergente et pour |z − z0 | > R la série diverge. La
série est également uniformement convergente sur tout sous-ensemble compact
du domaine de convergence.
Une série entière est holomorphe.
Une série entière f (z) =
∞
∑
ak (z −z0 )k
k=0
est holomorphe sur le disque DR = {z : |z − z0 | < R} où R est le rayon de
convergence donné par (1.48). De plus,
′
f (z) =
∞
∑
kak (z − z0 )
k−1
( )
∞
∑
f (n) (z)
k
=
ak
(z − z0 )k−n
n
n!
,
k=1
(1.49)
k=n
et
ak =
La fonction
F (z) =
f (k) (z0 )
.
k!
∞
∑
ak
(z − z0 )k+1
k+1
k=0
est une primitive de f (z) sur DR .
(1.50)
(1.51)
CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS DE L’ANALYSE COMPLEXE
28
Théorème - une fonction holomorphe est localement une série entière.
Soit f : D → C holomorphe et z0 ∈ D. On définit
R := sup{r > 0 : Dr (z0 ) ⊂ D}.
Alors, f (z) =
∞
∑
f (k) (z0 )
k=0
k!
(1.52)
(z − z0 )k+1 dans DR (z0 ).
Démonstration. Soit r < R. Pour tout z ∈ Dr (z0 ) on a
I
1
f (w)
f (z) =
dw
2πi Sr (z0 ) w − z
par la formule de Cauchy. De plus,
)k
∞ (
1
1
1
1 ∑ z − z0
=
=
z−z0
w−z
w − z0
w − z0
w − z0
1 − w−z
0
k=0
pour tout |z − z0 | < |w − z0 | = r. Il en suit :
1
2πi
I
∞
∑
f (w)
(z − z0 )k dw
k+1
Sr (z0 ) k=0 (w − z0 )
I
∞
∑
1
f (w)
=
(z − z0 )k
dw
2πi Sr (z0 ) (w − z0 )k+1
f (z) =
=
k=0
∞
∑
(z − z0 )k
k=0
f (k) (z0 )
k!
par (1.44).
Rayon de convergence d’une série entière et prolongement analytique.
∞
∑
Soit f (z) =
ak (z − z0 )k holomorphe sur le disque DR = {z : |z − z0 | < R}
k=0
où R est le rayon de convergence donné par (1.48). Il n’existe aucune fonction
holomorphe f˜ sur un voisinage U tel que DR ⊂ U et f˜|DR = f . En particulier,
′
′
il n’y a aucun disque DR
, R′ > R tel que f˜|DR = f et f˜ holomorphe sur DR
.
Ce resultat est faux pour des fonction réelles comme le démontre l’exemple
f (x) =
1
,
1 + x2
et f (x) =
∞
∑
(−1)k x2k ,
si |x| < 1.
k=0
Si D ⊂ D′ sont deux domaines et f : D → C est holomorphe il existe au plus
un prolongement analytique de f sur D′ .
CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS DE L’ANALYSE COMPLEXE
29
Exemples.
ez
sin z
cos z
=
=
=
ln(1 + z) =
1+z
1−z
=
1
1+z
=
arctan z
=
ln
∞
∑
zk
k!,
k=0
∞
∑
k=0
∞
∑
k=0
∞
∑
k=1
∞
∑
k=1
∞
∑
k=0
∞
∑
(−1)k
z 2k+1
,
(2k + 1)!
(−1)k
z 2k
,
(2k)!
(−1)k+1
|z| < 1
|z| < 1
|z| < 1
(−1)k z k ,
(−1)k
z∈C
z∈C
zk
,
k
2z 2k
,
2k + 1
k=0
1.6
z∈C
z 2k+1
,
2k + 1
|z| < 1
Séries de Laurent
Série de Laurent et son domaine de convergence. Soit (an )n∈Z une suite
de nombres complexes et z0 ∈ C. La série
f (z) =
∞
∑
ak (z − z0 )k
(1.53)
k=−∞
est appelée une série de Laurent. De plus, soit R défini par (1.48) et r défini par
√
r := lim sup k |a−k |
k→∞
Si r < R, alors f définit une fonction holomorphe sur la couronne Cr,R (z0 ) =
{z : r < |z − z0 | < R}. En utilisant l’exemple (1.33) on trouve pour tout n ∈ Z
et toute courbe C ⊂ Cr,R (z0 ) fermée simple :
I
1
f (w)
dw.
(1.54)
an =
2πi C (w − z0 )n+1
Résidu d’une série de Laurent. L’équation (1.54) implique en particulier,
I
1
f (w) dw.
(1.55)
a−1 =
2πi C
Le coefficient a−1 s’appelle le résidu de f (z) =
∞
∑
k=−∞
note Res(f, z0 ).
ak (z − z0 )k en z0 , que l’on
CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS DE L’ANALYSE COMPLEXE
Exemples.
∞
∑
Si f (z) =
30
ak (z − z0 )k est une série entière de rayon de conver-
k=0
gence R, alors
g(z) =
∞
∑
ak (z − z0 )
k=0
−k
=
0
∑
a−k (z − z0 )k = f (z0 + (z − z0 )−1 )
k=−∞
est une série de Laurent convergente sur la couronne
C R1 ,∞ (z0 ) = {z : |z − z0 | >
1
}.
R
Souvent une série de Laurent contient seulement un nombre fini de puissances
négatives :
f (z) =
∞
∞
∑
∑
(−z)k
(−z)k+4
= z −4
= z −4 ln(1 + z)
k+4
k+4
k=−3
k=−3
converge sur la couronne C0,1 (0) = {z : 0 < |z| < 1}.
f (z) =
∞
∑
kz k = −2z −2 − z −1 + z
k=−2
∞
∑
kz k−1 = −2z −2 − z −1 + z(1 − z)−2
k=1
c’est-à-dire f (z) = (3z − 2)z −2 (1 − z)−2 , et la série converge sur la couronne
C0,1 (0) = {z : 0 < |z| < 1}.
Théorème - Développement en série de Laurent. Soit 0 ≤ r < R,
Cr,R (z0 ) ⊂ D et f : D → C holomorphe. Alors, en tout z ∈ Cr,R (z0 ), f (z) peut
être représentée par un série de Laurent (1.53) en z0 avec
I
f (z)
1
dz
an =
2πi C (z − z0 )n+1
où C est une courbe simple fermée dans Cr,R (z0 ).
Démonstration. Soit z ∈ Cr,R (z0 ). Par la formule intégrale de Cauchy
I
I
1
f (w)
1
f (w)
f (z) =
dw −
dw
(1.56)
2πi SR (z0 ) w − z
2πi Sr (z0 ) w − z
Sur SR (z0 ) on procède comme pour les séries entières en écrivant
)k
∞ (
1
1
1
1 ∑ z − z0
=
=
z−z0
w−z
w − z0
w − z0
w − z0
1 − w−z
0
k=0
et |z − z0 | < |w − z0 | = R. Il en suit
I
I
∞
∑
1
f (w)
1
f (w)
dw =
(z − z0 )k dw
2πi SR (z0 ) w − z
2πi SR (z0 )
(w − z0 )k+1
k=0
I
∞
∑
1
f (w)
=
(z − z0 )k
dw
2πi SR (z0 ) (w − z0 )k+1
k=0
CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS DE L’ANALYSE COMPLEXE
31
Sur Sr (z0 ) on note que
)k
∞ (
1
1
1
1 ∑ w − z0
=−
=−
0
w−z
z − z0
z − z0
z − z0
1 − w−z
z−z0
k=0
et r = |w − z0 | < |z − z0 |.Il en suit
1
2πi
I
Sr (z0 )
1
f (w)
dw = −
w−z
2πi
I
∞
∑
f (w)
(w − z0 )k dw
−k−1
(z
−
z
)
0
Sr (z0 ) k=0
I
∞
∑
f (w)
−k−1 1
=−
(z − z0 )
dw
2πi Sr (z0 ) (w − z0 )−k
k=0
I
−1
∑
1
f (w)
=−
(z − z0 )m
dw
2πi
(w
−
z0 )m+1
Sr (z0 )
m=−∞
Par conséquent, f (z) est une série de Laurent avec
I
1
f (w)
ak =
dw,
2πi SR (z0 ) (w − z0 )k+1
ak =
1
2πi
I
Sr (z0 )
f (w)
dw,
(w − z0 )k+1
k ≥ 0,
k ≤ −1.
La courbe C se trouve dans Cr,R (z0 ) donc de par le théorème de Cauchy les ak
sont également donnés par
I
1
f (z)
ak =
dz.
2πi C (z − z0 )k+1
Développement en série de Laurent - domaine d’intégration - graphique . voir cours
CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS DE L’ANALYSE COMPLEXE
32
Exemples. Le calcul des intégrales (1.54) n’est pas forcément la manière la
plus simple de trouver les coefficients ak .
A
B
1. On Considère f (z) =
−
et A, B ∈ C. Si on veut donner un
z−3
z−1
développement en puissance de z, alors on procède comme suit : sur le
disque D1 (0) on a la série entière
f (z) =
A
B
− 3
1−z
1−
=
z
3
∞
∑
(B −
k=0
A
) zk .
3k+1
Sur la couronne C1,3 (0) = {z : 1 < |z| < 3} :
f (z) = −
=−
B 1
z 1−
∞
B∑
z
= −B
k=0
∞
∑
−
A
3
1 − z3
∞
∑
A k
z
z −k −
3k+1
1
z
k=0
∞
∑
z −k−1 −
k=0
k=0
A
3k+1
zk .
Sur la couronne C3,∞ (0) = {z : 1 < |z| < ∞} :
B 1
A 1
+
z 1 − z1
z 1 − z3
∞
∞
∑
∑
= −B
z −k−1 + A
3k z −k−1
f (z) = −
k=0
=
∞
∑
3k A − B
k=0
z k+1
k=0
.
Alternativement, si on veut veut donner un développement en puissance
de z − 1 : sur la couronne C0,2 (1) = {z : 0 < |z − 1| < 2} :
∞
f (z) = −
A
∑ A
B
B
2
−
=−
−
(z − 1)k .
z−1
z−1 1− 2
z−1
2k+1
k=0
Sur la couronne C2,∞ (1) = {z : 2 < |z − 1| < ∞} :
∞
f (z) = −
∑
A
1
2k
B
B
+
+
A
.
=
−
2
z − 1 z − 1 1 − z−1
z−1
(z − 1)k+1
k=0
2. On considère f (z) = z −4 ln(1 + z). Sur la couronne C0,1 (0) = {z : 0 <
|z| < 1} on a la série de Laurent
f (z) = z −4
∞
∞
∑
∑
(−z)k
(−z)k+4
=
.
k+4
k+4
k=−3
k=−3
Au délà de C0,1 (0) il n’y a pas un développement en puissance de z car
ln(1 + z) n’est pas défini sur une couronne entière avec des rayons plus
grands que 1.
CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS DE L’ANALYSE COMPLEXE
1.7
33
Calcul des Résidus
1.7.1
Point singulier et singularité isolée.
z0 est un point singulier de f (z) si f n’est pas holomorphe en z0 . Le point
singulier est une singularité isolée de f si f est holomorphe dans un disque
épointe C0,r (z0 ). Dans ce cas on peut développer f dans une série de Laurent
en puissances de z − z0 :
f (z) =
∞
∑
ak (z − z0 )k =
k=−∞
∞
∑
ak (z − z0 )k +
k=0
−1
∑
ak (z − z0 )k
(1.57)
k=−∞
On appelle la première série (la série entière) la partie régulière de f , la seconde
la partie singulière de f . On distingue les trois possibilités suivantes :
1. Singularité artificielle : On dit que z0 est une singularité artificielle
de f si f est borné dans un voisinage de z0 . Il en suit qu’il existe un
prolongement holomorphe de f en z0 . C’est le théorème de prolongement
de Riemann. Pour le démontrer considérer la fonction g(z) définie par
{
(z − z0 )2 f (z) si z ̸= z0 ,
g(z) :=
0
si z = z0 .
On a g(z0 ) = g ′ (z0 ) = 0 car f est borné. Pour montrer que g est de classe
C 1 en z0 (et donc holomorphe !) notons que
g ′ (z) = 2(z − z0 )f (z) + (z − z0 )2 f ′ (z),
si z ̸= z0 .
Sit R > 0 tel que |f (z)| ≤ M pour tout 0 < |z − z0 | < 2R. Alors pour tout
z ∈ C0,R (z0 ) et r < R la fonction f est holomorphe sur Dr (z) ∪ sr (z). Par
M
|z − z0 |
l’inégalité de Cauchy (1.45) : |f ′ (z)| ≤
. En prenant r =
on
r
2
trouve l’estimation
|g ′ (z)| ≤ 2M |z − z0 | + 2M |z − z0 | = 4M |z − z0 |
d’où lim g ′ (z) = 0 = g ′ (z0 ).
z→z0
∑∞
Par conséquent, g(z) = k=2 ak (z − z0 )k dans un voisinage de z0 d’où le
prolongement holomorphe de f donné par
f˜(z) =
∞
∑
ak+2 (z − z0 )k .
k=0
Par conséquent, si z0 est une singularité artificielle de f , alors pour le
développement dans une série de Laurent ak = 0 pour tout k < 0 et
Res(f, z0 ) = 0.
2. Pôle d’ordre n, n ∈ Z+ : ak = 0 pour tout k < −n. Plus généralement
on dit que z0 est un pole de f si z → z0 lim|f (z)| = +∞ et que z0 est
lim
un pôle d’orde n si (z − z0 )n f (z) est borné dans un voisinage de z0 . Par
l’argument ci-dessus il existe une fonction holomorphe g, g(z0 ) ̸= 0 telle
que f (z) = (z − z0 )n g(z) dans ce voisinage.
3. Singularité essentielle : |f (z)| n’a pas de limite lorsque z → z0 . ak ̸= 0
pour un nombre infini de k < 0.
CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS DE L’ANALYSE COMPLEXE
34
Zéro d’une fonction. On dit que z0 en un zéro d’ordre n, n ∈ Z+ , si
f (k) (z0 ) = 0 pour tout k = 0, . . . , n − 1, c’est-à-dire si ak = 0 pour tout k < n.
Les zéros des fonctions holomorphes sont de l’ordre fini (sauf pour f (z) ≡ 0)
et sont des zéros isolés. Si z0 est un zéro d’ordre n d’une fonction holomorphe
1
f (z), alors z0 est un pôle d’ordre n de
.
f (z)
Exemples.
(
1 )−1
n’est pas un point singulier
1. Le point singulier z0 = 0 de f (z) = sin
z
−1
isolé car les points zn = (nπ) sont également des points singuliers. En
zn = (nπ)−1 la fonction f (z) a des pôles d’ordre 1
sin z
2. Le point singulier z0 = 0 de f (z) =
est une singularité artificielle.
z
∞
∑
1
z −2k
3. Le point singulier z0 = 0 de f (z) = e− z2 =
est une singularité
k!
k=0
essentielle.
∞
∑
1
z
4. La fonction f (z) = + 2
a des pôles d’ordre 1 en tout k ∈ Z.
z
z 2 − k2
k=1
La fonction f est holomorphe en tout z ∈
/ Z et
f ′ (z) = −
∞
∑ z 2 + k2
1
−2
.
2
z
(z 2 − k 2 )2
k=1
1.7.2
Théorème des Résidus
Le théorème suivant est une conséquence du théorème de Cauchy et du
résultat sur la déformation des contours (1.41) :
Théorème des Résidus de Cauchy. Soit C une courbe fermée simple et f
une fonction holomorphe dans une voisinage de C ∪ int C sauf dans un nombre
fini de points zk ∈ int C, k = 1, . . . , n. Alors
I
f (z) dz = 2πi
C
n
∑
Res(f, zk ).
k=1
Théorème des Résidus- graphique . voir cours
(1.58)
CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS DE L’ANALYSE COMPLEXE
35
2−z
a deux pôles d’ordre 1 en z1 = 0, z2 = i.
z 2 − iz
Dans C0,1 (0) on trouve le développement
Exemple.
f (z) =
La fonction f (z) =
∞
∞
∞
∑
∑
2i − iz 1
2i − iz ∑
2i
=
−i
(−iz)k + 2i
(−iz)k−1 ,
(−iz)k =
z 1 + iz
z
z
k=0
k=0
k=1
donc Res(f, 0) = 2i. De même dans C0,1 (i) :
∞
f (z) =
2−z
1
−2i − 1 + i(z − i) ∑ ( z − i )k
=
,
z − i i + (z − i)
z−i
i
k=0
donc Res(f, i) = −1 − 2i. Il en suit pour tout courbe fermée simple telle que
z1 , z2 ∈ int C :
I
f (z) dz = 2πi(2i − 1 − 2i) = −2πi.
C
Dans la suite nous développons quelques méthodes pour calculer plus facilement
les résidus.
1.7.3
Calcul des Résidus
1. Si z0 est un pôle dordre n de f , alors
Res(f, z0 ) =
1
g (n−1) (z0 )
(n − 1)!
(1.59)
où g(z) = (z − z0 )n f (z). En particulier, si z0 est un pôle dordre 1, alors
Res(f, z0 ) = g(z0 ) = lim (z − z0 )f (z).
z→z0
(1.60)
g(z)
avec g, h des fonctions holomorphes. Si z0 est un zéro
h(z)
du même ordre fini de g et de h, alors z0 est une singularité artificielle de
f et Res(f, z0 ) = 0. Si g(z0 ) ̸= 0 et z0 est un zéro dordre 1 de h, alors z0
est un pôle dordre 1 de f et
2. Soit f (z) =
Res(f, z0 ) =
g(z0 )
.
h′ (z0 )
(1.61)
CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS DE L’ANALYSE COMPLEXE
1.8
1.8.1
36
Calcul d’Intégrales par la Méthode des Résidus
Intégrales généralisées
Soit f une fonction qui n’a qu’un nombre fini de singularités zk dans le démiplan supérieur et aucune sur l’axe réel et telle que lim |zf (z)| = 0 si Imz ≥ 0.
|z|→∞
Alors,
∫
f (x) dx = 2πi
R
∑
Res(f, zk ).
(1.62)
Imzk >0
Démonstration. On choisit C comme la réunion du segment [−R, R] et le
demi-cercle |z| = R, Im ≥ 0 pour R suffisamment grand (tel que les points
singuliers soient à l’intérieur). Par le théorème des Résidus :
∫
∑
R
f (x) dx = 2πi
−R
∫
π
f (Reit )iReit dt
Res(f, zk ) +
0
Imzk >0
et l’intégrale sur le demi-cercle tend vers zéro lorsque R → ∞.
Exemple.
∫
R
1
π
dx = .
(1 + x2 )2
2
(1.63)
1
1
1
=
a un pôle d’orde 2 dans le
2
2
2
(1 + z )
(z − i) (z + i)2
demi-plan supérieur et
d −2
1
d 1
2
Res(f, i) =
=
=
(z − i) f (z) =
2
3
dz z=i
dz z=i (z + i)
(i + i)
4i
∫
1
1
π
d’ou
dx = 2πi = .
2 )2
(1
+
x
4i
2
R
La fonction f (z) =
1.8.2
Intégrales trigonométriques
Fonctions rationnelles de sin, cos. Soit R une fonction rationnelle telle que
f (z) =
1
R( 12 (z + z1 ), 2i
(z − z1 ))
iz
(1.64)
n’a aucun pôle sur le cercle |z| = 1. Soient zk les pôles de f . Alors,
∫
2π
R(cos t, sin t) dt = 2πi
0
On obtient cette identité en posant z = eit .
∑
|zk |<1
Res(f, zk ).
(1.65)
CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS DE L’ANALYSE COMPLEXE
Exemple.
∫
37
2π
1
2π
dt =
.
(1.66)
5 + 4 cos t
3
0
1
1
1
1
1
1
On a f (z) =
=
=
. Il y a un
iz 5 + 2(z + z1 )
i 2z 2 + 5z + 1
2i (z + 2)(z + 12 )
1
pôle d’ordre 1 à l’intérieur du cercle unitaire en z = − et
2
1
1
1
1
1
Res(f, − ) = lim 1 (z + )f (z) =
=
1
2
2
2i
3i
+
2
−
z→− 2
2
d’où l’affirmation.
1.8.3
Transformation de Fourier
Soit f une fonction qui n’a qu’un nombre fini de singularités zk dans le démiplan supérieur et aucune sur l’axe réel et telle que lim |f (z)| = 0 si Imz ≥ 0.
|z|→∞
Alors, pour tout p > 0
∫
∑
f (x)eipx dx = 2πi
Res(f (z)eipz , zk ).
R
(1.67)
Imzk >0
Démonstration. On choisit C comme la réunion du segment [−R, R] et le
demi-cercle |z| = R, Im ≥ 0 pour r suffisamment grand (tel que les points
singuliers soient à l’intérieur). Par le théorème des Résidus :
∫ R
∫ π
∑
it
f (x)eipx dx = 2πi
Res(f (z)eipz , zk ) +
f (Reit )eipRe iReit dt.
−R
0
Imzk >0
Pour démontrer que l’intégrale sur le demi-cercle tend vers zéro lorsque R → ∞
nous posons M (R) = max |f (Reit )|. Rar l’hypothèse M (R) → 0 lorsque R → ∞.
0≤t≤π
En utilisant eit = cos t + i sin t nous trouvons que
∫ π
it ipReit
it
IR : = f (Re )e
iRe dt
∫ π0
f (Reit ) · eipR cos t · e−pR sin t · iReit dt
≤
0
∫ π
≤ RM (R)
e−pR sin t dt
0
∫
π/2
= 2RM (R)
e−pR sin t dt
0
∫
π/2
≤ 2RM (R)
≤ 2RM (R)
∫0 ∞
0
e−pR π t dt,
2
e−pR π t dt ≤
2
car sin t est concave sur [0,
π
] et p > 0,
2
πM (R)
.
p
Si p < 0,alors sous les mêmes conditions pour f dans le demi-plan inférieur
∫
∑
f (x)eipx dx = −2πi
Res(f (z)eipz , zk ).
(1.68)
R
Imzk <0
CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS DE L’ANALYSE COMPLEXE
Exemple.
Soit a > 0. Alors
∫
38
eipx
πe−a|p|
dx =
.
2
+x
a
(1.69)
a2
R
Soit p > 0. La fonction g(z) =
eipz
eipz
1
1
=
(
−
) a un pôle d’orde
2
+z
2ia z − ia z + ia
a2
1 dans le demi-plan supérieur et
e−ap
2ia
d’où l’affirmation pour p > 0. De même si p < 0, il y a un a un pôle d’orde 1
dans le demi-plan inférieur et
Res(f, ia) =
eap
2ia
et on obtient le résultat. Si p = 0, alors le résultat suit par (1.62) car z(z 2 +
a2 )−1 → 0 lorsque z → ∞.
Res(f, −ia) = −
1.8.4
Transformation de Mellin
Soient a ∈ C, Re a > 0, a ∈
/ Z+ et g(z) = z a f (z) n’a qu’un nombre fini de
singularités zk dans le plan complexe et aucune sur l’axe réel nonnégatif et telle
que |z a f (z)| → 0 lorsque z → ∞ et z → 0. Alors,
∫ ∞
2πi ∑
f (x)xa−1 dx =
Res(f (z)z a−1 , zk ).
(1.70)
1 − e2πia
0
k
Transformation de Mellin - contour d’intégration - graphique
.
Démonstration. On choisit la détermination du ln avec arg z ∈]0, 2π[. DOnc
sur C \ [0, ∞[ :
z a = ea ln z .
On choisit C = C(r, R, δ) composé de quatre

C1 : teiδ ,


 C : Reit ,
2
C ←→
i(2π−δ)
C
,

3 : (R + r − t)e


i(2π−t)
C4 : re
,
morceaux :
r
δ
r
δ
≤t≤R
≤ t ≤ 2π − δ
≤t≤R
≤ t ≤ 2π − δ.







(1.71)
CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS DE L’ANALYSE COMPLEXE
39
Alors, pour R suffisamment large, r, δ suffisamment petits :
I
∑
f (z)z a−1 dz =
Res(f (z)z a−1 , zk ).
C
k
Sur les quatre parties C1 , . . . , C4 on a :
∫
∫
C1
∫
R
R
f (teiδ )eiδ(a−1) ta−1 eiδ dt −→
f (z)z a−1 dz =
f (t)ta−1 dt,
δ→0+
r
r
et après le changement de variable s = R + r − t
∫
∫
∫
R
f (z)z a−1 dz = −
f (seiδ )ei(2π−δ)(a−1) sa−1 ei(2π−δ) ds −→ −e2πia
C3
δ→0+
r
∫
et
f (t)ta−1 dt,
r
I
f (z)z
∫
R
a−1
dz −→
δ→0+
C2
f (z)z a−1 dz,
SR (0)
I
f (z)z a−1 dz −→ −
δ→0+
C4
f (z)z a−1 dz.
Sr (0)
En appliquant (1.32) les intégrales sur les cercles vérifient les estimations suivantes (avec Ma (R) = max |Ra eiat f (Reit )|) :
0≤t≤2π
I
f (z)z
a−1
SR (0)
I
f (z)z
dz ≤ 2πMa (R) −→ 0,
R→∞
a−1
Sr (0)
dz ≤ 2πMa (r) −→ 0
r→0+
d’où le resultat.
1.9
Pôles sur le contour - la Valeur Principale
La valeur principale d’une intégrale généralisée.
lim |f (x)| = ∞. En générale l’intégrale généralisée
Soit a < x0 < b et
x→x0
∫
∫
b
ϵ→0+
a
∫
x0 −ϵ
b
f (x) dx
f (x) dx + lim
f (x) dx = lim
η→0+
a
x0 +η
n’existe pas mais la limite
∫
b
f (x) dx +
lim
ϵ→0+
∫
x0 −ϵ
a
f (x) dx
x0 +ϵ
existe. Dans ce cas on l’appelle la valeur principale et on écrit
( ∫ x0 −ϵ
)
∫ b
∫ b
f (x) dx +
f (x) dx .
P
f (x) dx = lim
a
ϵ→0+
a
x0 +ϵ
(1.72)
CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS DE L’ANALYSE COMPLEXE
40
De même façon on définit :
∫
∫
∞
P
R
f (x) dx = lim
f (x) dx,
R→∞
−∞
(1.73)
−R
et plus généralement si lim |f (x)| = ∞, k = 0, . . . , n, x0 < x1 < . . . < xn , on
x→xk
définit :
∫
∞
P
f (x) dx
−∞
(∫
= lim
R→∞max ϵk →0+
∫
x0 −ϵ0
lim
)
f (x) dx .
R
f (x) dx + . . . +
−R
(1.74)
xn +ϵn
Si l’intégral généralisée existe, alors
∫ ∞
∫
P
f (x) dx =
−∞
∞
f (x) dx.
−∞
Exemples.
∫ 4
1
1.
dx n’existe pas mais
x
−1
∫
4
P
−1
1
dx = lim
ϵ→0+
x
(∫
−ϵ
−1
1
dx +
x
∫
ϵ
4
1
dx
x
)
= lim (ln ϵ − ln 1 + ln 4 − ln ϵ = 2 ln 2.
ϵ→0+
∫
∞
2.
−∞
x
dx n’existe pas mais
1 + x2
∫
∞
P
−∞
x
dx = lim
R→∞
1 + x2
∫
R
−R
x
dx
1 + x2
= lim ln(1 + R2 ) − ln(1 + R2 ) = 0.
R→∞
Lien avec les résidus. Soient z0 ∈ C un pôle d’ordre 1 de f et Cr donné par
z(t) = z0 + reit , t1 ≤ t ≤ t2 . Alors,
∫
lim
f (z) dz = i(t2 − t1 )Resf (z0 ).
(1.75)
r→0+
Cr
En fait, on peut écrire f (z) =
de z0 d’où l’affirmation.
Resf (z0 )
+g(z) et g holomorphe dans un voisinage
z − z0
CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS DE L’ANALYSE COMPLEXE
41
Théorème des Résidus de Cauchy avec des pôles sur l’axe réel. Soit
f une fonction holomorphe dans le demi-plan supérieur sauf dans un nombre
fini de points zk , Imzk > 0, k = 1, . . . , n et avec des pôles d’ordre 1 xl ∈ R,
l = 1, . . . , m et telle que lim |zf (z)| = 0 si Imz ≥ 0. Alors,
|z|→∞
∫
∞
P
f (x) dx = 2πi
−∞
n
∑
Res(f, zk ) + πi
k=1
m
∑
Res(f, xl ).
(1.76)
l=1
Transformation de Fourier. Soit f une fonction holomorphe dans le demiplan supérieur sauf dans un nombre fini de points zk , Imzk > 0, k = 1, . . . , n
et avec des pôles d’ordre 1 xl ∈ R, l = 1, . . . , m et telle que lim |f (z)| = 0 si
|z|→∞
Imz ≥ 0. Alors,pour tout p > 0
∫ ∞
n
m
∑
∑
P
f (x)eipx dx = 2πi
Res(f (z)eipz , zk ) + πi
Res(f (x)eipx , xl ).
−∞
k=1
l=1
(1.77)
Comme dans (1.68) on peut généraliser (1.77) au cas p < 0 en passant par le
demi-plan inférieur.
Théorème des Résidus de Cauchy avec des pôles sur l’axe réel contour d’intégration - graphique .
Exemple.
1. Alors,
1
a un pôle d’ordre 1 en z = 0 avec Res(f (x)eipx , 0) =
z
∫ ∞ ipx
e
dx = πi.
P
−∞ x
La fonction f (z) =
En échangeant x par −x :
∫
∞
P
−∞
∫
d’où
∞
P
−∞
e−ipx
dx = −πi
x
sin(px)
dx = π,
x
∫
∞
P
−∞
cos(px)
dx = 0
x
(1.78)