1 Séries enti`eres, fonctions holomorphes

Université Pierre et Marie Curie
LP336 - Mathématiques
Emmanuel schenck
Année 2007/2008
EXERCICES D’ANALYSE COMPLEXE
1
Séries entières, fonctions holomorphes
Exercice 1. Montrer que les fonctions suivantes sont holomorphes :
z 7→ ez
z 7→ z n , n ∈ N
z 7→ P (z), P ∈ C[z]
Exercice 2. Fonctions usuelles.
1. Calculer le module et l’argument de ez .
2. L’exponentielle complexe peut-elle s’annuler ?
3. Exprimer cos(iz), sin(iz), cosh(iz), sinh(iz) en fonction des fonctions cos, sin, cosh, sinh.
4. La fonction z 7→ cos z est-elle bornée sur C ?
Exercice 3. Conditions de Cauchy-Riemann.
1. Soit f (z) = x2 + y 2 + ixy, où z = x + iy. La fonction f est-elle holomorphe ?
2. Trouver les fonctions holomorphes dont la partie réelle ne dépend pas de x.
3. Écrire les équations de Cauchy-Riemann en coordonnées polaires.
Exercice 4. Déterminer le rayon de convergence des séries suivantes :
a)
X
n≥0
nz n
b)
X
n!z n
c)
n≥0
X zn
n≥0
n!
d)
X
(ln n)2 z n
n≥0
Exercice 5. Montrer que les fonctions z 7→ cos z, z 7→ sin z sont analytiques sur C.
Exercice 6. Soit f la série définie par :
f (z) =
X z 2n
(2n)!
n≥0
Déterminer son rayon de convergence, et montrer que f 00 (z) = f (z).
2
Théorème de Cauchy, formule des résidus
Exercice 7.
1. Calculer la valeur de l’intégrale
d’équation y = x2 .
Rb
2. Calculer a z cos z 2 dz
Exercice 8.
1. Calculer
2. Calculer
R
dz
γ zn
R
γ
R
γ
sin z dz de l’origine au point 1 + i, le long de la parabole
où γ est le cercle de centre (0, 0) et de rayon 1.
z̄ dz où γ est le cercle de centre (0, 0) et de rayon 2.
Exercice 9. En utilisant le théorème de Cauchy, calculer les intégrales suivantes :
Z +∞
Z +∞
2
−2iπxy −πx2
a) f (y) =
e
e
dx (pour y réel)
b) I =
e−ix dx
−∞
−∞
Pour l’intégrale a) on choisira un contour rectangulaire. Pour b), prendre un secteur d’angle bien
choisi.
Exercice 10. Montrer, en intégrant suivant un contour qui évite l’origine :
Z +∞
sin x
dx = π
x
−∞
Exercice 11. Soit f et g deux fonctions holomorphes, telles que la fonction méromorphe f /g
admette un pôle simple en z0 . Montrer que le résidu en z0 est donné par :
Res(f /g, z0 ) =
f (z0 )
g 0 (z0 )
Exercice 12. Trouver le résidu des fonctions suivantes au point considéré :
a)
z2 + 1
en 0
z
ez
d) 4 en 0
z
b)
z−1
(z+1)(z 3 −5)
en 0
e)
z−1
(z 2 −1)(z+2)
en 1
cos z
en 0
sin z
1
en 1
f) n
z −1
c)
Exercice 13. Donner les pôles ainsi que les résidus correspondant à ces pôles pour les fonctions
suivantes :
eiz
2z + 3
;
1 + cos z
(z − 1)3 ez
Exercice 14. Développer la fonction
f (z) =
1
z(z − 1)
en série de Laurent pour |z| < 1 et pour |z| > 1.
eiz
λ+z
Fig. 1 – Contour d’intégration de
Exercice 15. Développer en série de Laurent la fonction
1
f (z) = e (1−z)2
au voisinage de sa singularité, dont on précisera la nature. En déduire la valeur de
tout chemin γ fermé.
Exercice 16. Calculer, pour a > 0 et y réel :
Z +∞
−∞
R
γ
f (z) dz pour
e−2iπxy
dx
a2 + x2
iz
e
Exercice 17. Soit λ > 0. En intégrant la fonction f (z) = λ+z
sur le contour de la figure 1, montrer
que
Z +∞ −λx
Z +∞
e
sin x
dx =
dx
λ
+
x
1
+ x2
0
0
Exercice 18. Calculer, en utilisant un secteur d’angle π/3 :
Z +∞
dx
1 + x6
0
Généraliser la méthode précédente pour calculer la valeur de
R +∞
0
dx
1+xn ,
n ≥ 2.
Exercice 19. (Intégrales trigonométriques)
On cherche dans cet exercice à évaluer des intégrales du type :
Z 2π
T =
Q(sin t, cos t)dt
0
où Q est une fraction rationnelle, qu’on supposera sans singularité sur le cercle unité.
Fig. 2 – Contour d’intégration pour la valeur principale de Cauchy
1. En posant z = eit , exprimer T comme l’intégrale sur le cercle unité d’une fonction f qu’on
précisera.
2. Montrer qu’on peut alors exprimer T à l’aide des résidus de f à l’intérieur du cercle unité.
3. En utilisant les résultats précédents, calculer :
Z 2π
dt
(a > 1)
a)
a + sin t
0
Z
b)
0
2π
dt
1 + sin2 t
Exercice 20. (Valeur principale de Cauchy) Soit x0 ∈ R et f une fonction méromorphe sur C,
holomorphe au voisinage de l’axe réel, tendant vers 0 en module à l’infini. On cherche à étudier
des intégrales du type :
Z +∞
f (x)
I=
dx
−∞ x − x0
où à priori, f (x0 ) 6= 0.
1. Expliquer pourquoi l’intégrale n’est pas définie si f (x0 ) 6= 0.
2. On peut définir l’intégrale I au sens de la valeur principale, en posant :
Z +∞
Z
f (x)
f (x)
def
vp
dx = lim
dx
²→0
−∞ x − x0
|x−x0 |>² x − x0
En utilisant chemin qui contourne x0 (cf. figure 2), montrer que l’on a :
Z +∞
X
f (x)
f (z)
vp
dx = 2iπ
Res(
, p) + iπf (x0 )
z − x0
−∞ x − x0
p∈C+
où C+ dénote le demi-plan complexe supérieur.
Exercice 21. * En intégrant la fonction z 7→
Z
ln z
z−1
sur le contour de la figure 3, donner la valeur de
2π
ln(sin θ)dθ
0
Fig. 3 – Contour d’intégration de
3
ln z
z−1
Calcul de Sommes
Exercice 22. On se propose de construire une méthode de calcul de séries en utilisant la méthode
des résidus.
def
1. Rappeler pourquoi la fonction z 7→ cot πz = 1/ tan πz est méromorphe. Où sont situés ses
poles ?
2. Donner une expression du résidu pour chacun de ses poles.
3. Soit f une fonction holomorphe au voisinage de l’axe réel. Justifier que la fonction :
z 7→ f (z)π cot πz
est méromorphe au voisinage de l’axe réel, et donner son résidu en chacun de ses pôles.
4. On suppose que la fonction f décroit assez rapidement à l’infini pour que la série
X
S=
f (n)
n∈Z
ait un sens. En utilisant les questions précédentes, écrire S comme une somme de résidus
d’une fonction bien choisie.
5. En supposant que f tend vers 0 en module à l’infini, montrer qu’en utilisant les lemmes de
Jordan on peut exprimer S en faisant intervenir seulement les résidus de f en dehors de
l’axe réel.
6. Existe-t-il d’autres fonctions que z 7→ cot z pour lesquelles on aurait pu construire un
méthode similaire ?
Exercice 23. En utilisant la méthode étudiée à l’exercice 22, calculer :
a)
+∞
X
n=1
1
2
n + a2
b)
+∞
X
(−1)n
n=1
n4
c)
+∞
X
coth nπ
n=1
n7
4
Logarithmes, puissances
Exercice 24. Calculer les expressions suivantes dans les deux cas : 1) lorsque log est défini avec
une coupure sur l’axe négatif, 2) lorsque log est défini avec une coupure sur l’axe positif.
a) log i
b) log −i
c) log(−1 + i)
d) ii
Exercice 25. On considère la détermination principale du logarithme sur C \ R− . Pour chacun
des cas a > 0 et a < 0, trouver la limite :
lim log(a + i²) − log(a − i²)
²→0
Exercice 26. (Formule des compléments)
Fig. 4 – Contour d’intégration pour le calcul de Is
1. Soit s ∈]0, 1[. Justifier la convergence de l’intégrale définie par :
Z +∞ s−1
x
Is =
1+x
0
2. Montrer que Is =
π
sin πs
en utilisant le contour de la figure 4.
3. On définit la fonction Γ d’Euler par :
Z
Γ(t) =
+∞
e−x xt−1 dx
0
Montrer que cette fonction est bien définie. (Cette fonction généralise aux réels la notion de
factorielle. On peut vérifier que l’on a en effet Γ(x + 1) = xΓ(x) pour x réel, et donc que
pour tout n ∈ N, Γ(n + 1) = n!)
4. En utilisant les questions précédentes, montrer :
Γ(s)Γ(1 − s) =
π
sin πs
Exercice 27. On note
H
l’intégrale curviligne sur le cercle unité.
1. Montrer que l’on a, pour x > 0 :
Z π
I
dz
2
ln(x − 2x cos θ + 1)dθ = ln(1 − xz)
iz
0
On prendra le contour proposé figure 5.
2. Justifier que la formule précédente est en fait valable pour tout x ∈ R.
Fig. 5 – Contour pour l’exercice 27. Noter qu’ici x > 1.
Exercice 28. * Calculer pour n > 2 l’intégrale suivante1 :
Z +∞
ln x
In =
dx
1 + xn
0
Exercice 29. * Soit f une fonction holomorphe sur un domaine U simplement connexe de C privé
d’une coupure.
1. Montrer que si f prend la même valeur de part et d’autre de la coupure au voisinage de celle
ci, f est holomorphe sur U tout entier2 .
1
est holomorphe sur
2. En utilisant le résultat précédent, montrer que la fonction z 7→ √1−z
2
C \ [−1, 1].
3. On sait montrer par un calcul de primitive (comment ?) que :
Z 1
dx
√
=π
1 − x2
−1
Retrouver ce résultat par intégration dans le plan complexe.
1
2
Indication : s’inspirer du contour proposé dans l’exercice 18.
Utiliser la réciproque du théorème de Cauchy...