Cours complet sur les limites de suites - Mathparadise

[ Limite de suites \
Table des matières
I
Introduction
1
II Définitions
1
Limite finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Limite infinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
1
III Limites usuelles
2
IV Opérations sur les limites
2
V Formes indéterminées
3
VI Limite par encadrement
4
VIILimite et variations
5
Limites de suites
I Introduction
On considère la suite (u n ) définie pour tout entier naturel n par
un =
1. Montrer que la suite est minorée par 2.
2n + 3
n +1
2. A l’aide de votre calculatrice, conjecturer le comportement de la suite pour des valeurs très
grandes de n.
3. Déterminer le rang à partir duquel on a
4. Déterminer le rang à partir duquel on a
1,9 < u n < 2,1
1,999 < u n < 2,001
5. e étant un réel strictement positif, déterminer le rang à partir duquel on a
2 − e < un < 2 + e
II Définitions
1 Limite finie
Définition
Dire qu’un réel ℓ est limite de la suite (u n ) signifie que tout intervalle ouvert contenant ℓ
contient tous les termes à partir d’un certain rang ou, ce qui revient au même, pour tout
intervalle ouvert I contenant ℓ il existe un entier N tel que si n > N alors u n est dans I.
On dit que la suite converge vers ℓ et on notera lim u n = ℓ.
n→+∞
Propriété
La limite d’une suite si elle existe est unique.
2 Limite infinie
Définition
Dire que la suite (u n ) a pour limite +∞ signifie que tout intervalle du type ]A; +∞[ contient
tous les termes à partir d’un certain rang ou, ce qui revient au même, pour tout réel A il existe
un entier N tel que si n > N alors u n > A.
On dit que la suite diverge vers +∞ et on notera lim u n = +∞.
n→+∞
Définition
Dire que la suite (u n ) a pour limite −∞ signifie que tout intervalle du type ] − ∞; A[ contient
tous les termes à partir d’un certain rang ou, ce qui revient au même, pour tout réel A il existe
un entier N tel que si n > N alors u n < A.
On dit que la suite diverge vers −∞ et on notera lim u n = −∞.
n→+∞
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Limites de suites
Remarque :
Si une suite diverge, cela ne signifie pas qu’elle tend vers l’infini, cela signifie que la suite n’a pas
de limite ou qu’elle tend vers l’infini.
III Limites usuelles
Propriété
lim n 2 = +∞
lim n = +∞
n→+∞
lim
n→+∞
n→+∞
1
=0
n→+∞ n 2
1
=0
n→+∞ n
1
lim p = 0
n→+∞ n
lim
lim
lim n k = +∞
Pour tout entier naturel non nul k,
p
n = +∞
1
lim
n→+∞ n k
n→+∞
=0
IV Opérations sur les limites
Soient (u n ) et (v n ) deux suites, ℓ et ℓ′ deux réels.
Théorème
Somme de deux suites
lim u n
ℓ
ℓ
ℓ
lim v n
′
+∞
−∞
+∞
+∞
−∞
+∞
−∞
−∞
+∞
−∞
+∞
−∞
On ne peut pas conclure
n→+∞
ℓ
n→+∞
lim u n + v n
n→+∞
ℓ + ℓ′
Théorème
Produit de deux suites
lim u n
ℓ
lim v n
′
n→+∞
ℓ
n→+∞
lim u n × v n
n→+∞
ℓ × ℓ′
ℓ<0
ℓ>0
ℓ<0
+∞
+∞
−∞
0
+∞
+∞
−∞
+∞
−∞
−∞
∞
−∞
+∞
+∞
+∞
−∞
+∞
On ne peut pas conclure
Définition
lim u n = 0+ signifie que lim u n = 0 et que u n > 0 à partir d’un certain rang.
n→+∞
n→+∞
−
lim u n = 0 signifie que lim u n = 0 et que u n 6 0 à partir d’un certain rang.
n→+∞
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n→+∞
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Limites de suites
Théorème
Quotient de deux suites
On suppose que pour tout entier n,
v n 6= 0
Cas où la suite u est positive à partir d’un certain rang
lim u n
ℓ
ℓ
0
ℓ>0
ℓ>0
+∞
+∞
+∞
+∞
lim v n
ℓ′ 6= 0
∞
0
0+
0−
0+
0−
ℓ′ > 0
ℓ′ < 0
un
n→+∞ v n
ℓ
ℓ′
0
On
ne
peut pas
conclure
+∞
−∞
+∞
−∞
+∞
−∞
n→+∞
n→+∞
lim
+∞
+∞
ou
−∞
On
ne
peut pas
conclure
Dans le cas où la suite u est négative à partir d’un certain rang on constitue un tableau
analogue en utilisant la règle des signes
Théorème
Racine carrée d’une suite
u est une suite à termes positif.
lim u n
ℓ
+∞
n→+∞
p
p
lim u n
ℓ +∞
n→+∞
V Formes indéterminées
Lorque nous sommes dans une situation où les théorèmes précédents ne permettent pas de donner la limite, que l’on appelle une forme indéterminée, il faut changer la forme de l’expression.
Exemples
u n = n 2 − 10n + 3
lim n 2 = +∞ et lim −10n + 3 = −∞ on a donc une forme indéterminée.
n→+∞
n→+∞
On va factoriser n 2 , pour tout entier naturel n non nul on a :
µ
¶
2
+
un = n 1 −
La nouvelle forme ne comporte plus de forme indéterminée, on peut facilement déterminer la
limite :
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Limites de suites
Déterminer les limites, si elles existent des suites de terme général
p
u n = 5 n−2n et v n =
7n + 3
.
n 2 − 7n + 2
VI Limite par encadrement
Théorème
n 0 est un entier naturel et ℓ un réel
un 6 v n 6 w n
Soit (u n ), (v n ) et (w n ) trois suites qui vérifient, pour tout n > n 0 ,
et si les suites (u n ) et (w n ) convergent vers la même limite ℓ alors (v n ) converge aussi vers ℓ
Théorème
Soit n 0 un entier naturel et (u n ) et (v n ) deux suites qui vérifient, pour tout n > n 0 ,
un 6 v n
• Si la suite (u n ) diverge vers +∞ alors (v n ) diverge vers +∞
• Si la suite (v n ) diverge vers −∞ alors (u n ) diverge vers −∞
Démonstration :
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(à connaitre pour le bac)
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Limites de suites
Propriété
q étant un réel
1. Si q > 1 alors lim q n = +∞ ;
n→+∞
2. Si −1 < q < 1 alors lim q n = 0 ;
n→+∞
3. Si q 6 −1 alors la suite de terme général q n n’a pas de limite.
Démonstration :
(à connaitre pour le bac)
Démonstration dans le cas où q > 1 :
On utilise l’inégalité de Huygens (qui se démontre par récurrence) :
(1 + a)n > 1 + na
où a est un réel positif et n un entier naturel
VII Limite et variations
Théorème
Toute suite croissante et majorée converge vers une limite inférieure ou égale à ce majorant.
Corollaire
Toute suite décroissante et minorée converge vers une limite supérieure ou égale à ce minorant.
Théorème
Toute suite croissante et non majorée diverge vers +∞.
Corollaire
Toute suite décroissante et non minorée diverge vers −∞.
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