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Bac S Liban 2013
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EXERCICE II : LE RUGBY, SPORT DE CONTACT ET D’ÉVITEMENT
1. Le rugby, sport de contact
1.1. (0,25 pt) Les vitesses sont définies dans le référentiel terrestre lié au sol.
1.2. (0,25 pt) Le système S = { joueur A + joueur B } étant supposé isolé, la quantité de
mouvement du système S est conservée avant et après l’impact :
pS,avant = pS,après
Schématiquement, on a :
Avant impact
Après impact
vA
vB ≈ 0
A
B
vS
A
sol
B
p A + pB = pS,après
mA .v A + mB .v B = ( mA + mB ) .v S
Or vB ≈ 0 donc v B = 0 :
mA .v A = ( mA + mB ) .v S
En projection selon un axe horizontal lié au sol, orienté dans le sens du mouvement de A, il
vient : mA .v A = ( mA + mB ) .v S
(0,5 pt) Finalement : v S =
(0,5 pt) v S =
mA
.v A
mA + mB
115
× 5,0 = 2,6 m.s−1.
115 + 110
2. Le rugby, sport d’évitement.
2.1. Étude du mouvement du ballon
2.1.1. On étudie le système { ballon }, de masse m constante, dans le référentiel terrestre
supposé galiléen. Les actions dues à l’air étant négligées, le ballon n’est soumis qu’à son
poids, P = m.g .
y
La deuxième loi de Newton appliquée au ballon donne :
g
dp d(m.v) dm
dv
(0,25 pt) ∑ Fext =
=
=
.v + m.
dt
dt
dt
dt
v0
dp
(0,25 pt) Or m = cte donc
= m.a
dt
Soit P = m.a , mg = ma
d’où : a = g .
O
α
x
a x = 0
(0,5 pt) En projection dans le repère O, i, j , il vient : a 
a y = − g
(
)
dv

ax = x = 0

 v x = C1
dv

dt
2.1.2. (1 pt) On a : a =
soit a 
donc v 
dt
 v y = −g ⋅ t + C2
a = dv y = −g
y

dt
où C1 et C2 sont des constantes d’intégration qui dépendent des conditions initiales.
Or v(t = 0) = v 0
 v 0x = v 0 .cos α
avec v 0 
 v 0y = v 0 .sin α
donc
C1 = v 0 .cos α

0 + C2 = v 0 .sin α
 v x = v 0 .cos α
v
 v y = −g ⋅ t + v 0 .sin α
 dx
 x(t) = ( v 0 .cos α ) .t + C'1
 dt = v 0 .cos α
dOM

Et : v =
soit v 
donc OM 
1
2
dt
 dy = −g ⋅ t + v .sin α
 y(t) = − g ⋅ t + ( v 0 .sin α.) t + C'2

2
0
 dt
où C’1 et C’2 sont des constantes d’intégration.
Or OM(t = 0) = 0
0 + C'1 = 0
donc 
0 + 0 + C'2 = 0
Finalement :
 x(t) = ( v 0 .cos α ) .t

OM 
1
2
 y(t) = − g ⋅ t + ( v 0 .sin α ) .t

2
x
v 0 .cos α
Pour avoir l’équation de la trajectoire y(x), on reporte l’expression de t dans y(t) :
t=
2.1.3. (0,25 pt) On isole le temps « t » de l’équation x = (v0.cosα).t soit
2



1 
x
x
y(x) = − g ⋅ 
 + v 0 .sin α. 
 soit
2  v 0 .cos α 
 v 0 .cos α 
y(x) = −
g
2. ( v 0 .cos α )
2
.x 2 + tan α.x
2.1.4. (4X0,5 pt)
Équation : vx(t) = v0.cosα
Justification : le graphe est une droite
horizontale. Seule la composante vx est
constante au cours du temps.
Équation : x(t) = v0.cosα.t
Justification : le graphe est une droite passant
par l’origine. Seule la composante x(t) est une
fonction linéaire du temps.
Équation : vy(t) = − g.t + v0.sinα
Justification : le graphe est une droite
décroissante, donc son coefficient directeur
est négatif. Seule la composante vy est une
fonction affine avec un coefficient directeur
négatif ( − g).
Équation : y(t) = − ½.g.t² + v0.sinα.t
Justification : le graphe est une parabole de
concavité tournée vers le bas. Seule la
composante y(t) est une fonction parabolique
du temps.
2.2 Une « chandelle » réussie
2.2.1. (0,5 pt) Lorsque le ballon touche le sol, y(t) = 0
1
 1

soit − g ⋅ t 2 + v 0 .sin α.t = 0 donc  − g ⋅ t + v 0 .sin α  .t = 0
2
 2

La solution t = 0 correspond au moment où le ballon est frappé par le rugbyman à l’origine
1
du repère. La solution − g ⋅ t + v 0 .sin α = 0 correspond à la date pour laquelle le joueur
2
récupère le ballon :
2.v 0 .sin α
1
1
− g ⋅ t + v 0 .sin α = 0 soit g ⋅ t = v 0 .sin α d’où : t =
g
2
2
2 × 10 × sin(60)
(0,25 pt) t =
= 1,8 s.
9,81
(0,5 pt) On vérifie bien sur le graphe y(t) la valeur obtenue par calcul :
Date pour laquelle
le joueur récupère
le ballon.
2.2.2.
Méthode 1 : (0,5pt) pour que la chandelle soit réussie, la vitesse v1 du joueur doit être égale à
la composante horizontale vx de la vitesse du ballon soit :
v1 = v0.cosα
v1 = 10,0×cos(60) = 5,0 m.s−1
Méthode 2 : (0,5pt) pendant la durée t = 1,8 s du vol du ballon, le joueur parcourt la distance
d = x(t= 1,8 s) :
x(t) = v0.cosα.t
d = 10,0×cos(60)×1,8 = 9,0 m
d
9,0
soit : v1 =
= 5,0 m.s−1.
La vitesse v1 du joueur est alors : v1 =
t
1,8