MAT 3101 - Éléments d`analyse et intégration

POUGNES PHOENIX TSP
MAT 3101 - Éléments d’analyse et intégration
Théorie de la mesure
Tribus (engendrées)
Définition (Tribu). Par lemme, A est une tribu sur Ω si c’est une partie de P (Ω)
(famille de parties de Ω) telle que :
— Ω ∈ A ou ∅ ∈ A
— ∀A ∈ A , Ac ∈TA
S
— ∀(An ) ∈ A N , n∈N An ∈ A ou ∀(An ) ∈ A N , n∈N An ∈ A
Remarques. Pour montrer qu’une partie A appartient à une tribu A , on essayera donc de
l’exprimer en tant qu’union, intersection et/ou complémentaire 1 d’éléments de A .
. Pour montrer qu’un ensemble est une tribu, on ne vérifie ces points que dans les cas très
simples. En général, une tribu est difficile à expliciter et on travaille donc de fait avec des tribus
engendrées et le théorème associé.
Définition (Tribu engendrée). Soit C une famille de parties de Ω. Par proposition, il existe une
unique tribu σ(C) telle que :
— C ⊂ σ(C)
— Pour tout tribu A : C ⊂ A ⇒ σ(C) ⊂ A
La tribu engendrée par C est donc la plus petite tribu contenant C.
Définition - Proposition (Tribus Boréliennes). Pour tout k ∈ N, on note B(Rk ) la tribu
engendrée par l’ensemble des ouverts de Rk .
On montre en exo à connaître 2 que c’est aussi la tribu engendrée par les fermés de Rk , et que :
B(R) = σ({]a, b[}a,b∈R ) = σ({]a, b]}a,b∈R ) = σ({[a, b[}a,b∈R ) = σ({[a, b]}a,b∈R )
Ce sont clairement les tribus les plus importantes du cours.
Proposition (Égalité de tribus engendrées). Soit C et soit D deux familles de parties de Ω.
D ⊂ σ(C)
⇒ σ(C) = σ(D)
C ⊂ σ(D)
En pratique, pour montrer par exemple que D ⊂ σ(C), on montre souvent que D ⊂ C
(car C ⊂ σ(C) par définition de σ(C)).
1. Notons par ailleurs que : Pour F tribu : (A, B ∈ F ) ⇒ (A\B = A ∩ B c ∈ F )
2. Outre des définitions de topologie, la clé de ces démonstrations est le théorème énoncé à cette page,
et ça sera le cas dans la plupart des exos sur les tribus.
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Espaces mesurables, mesurés
Définition (Espace mesurable, mesuré). Couple (Ω, A ) où A est une tribu. Cet espace devient
un espace mesuré (Ω, A , ν) si l’on y adjoint une mesure ν dans le sens suivant.
Définition (Mesure positive). Soit A une tribu sur un ensemble Ω.
Soit ν : A → R+ ∪ {∞} une application. On dit que ν est une mesure (positive) si elle est
σ-additive 3 , i.e :
∀(An ) ∈ A N /(i 6= j ⇒ Ai ∩ Aj = ∅), ν(
[
An ) =
n∈N
X
ν(An )
n∈N
Remarque. Si ν(Ω) < ∞, la mesure est dite finie.
Si ν(Ω) = 1, la mesure est dite de probabilité.
Définition (Mesure de Lebesgue). Il existe une unique mesure λ sur (R,B(R)) telle que :
∀a, b ∈ R, λ([a, b]) = |b − a| ; il s’agit de la mesure de Lebesgue.
Définitions. Un élément A d’une tribu F est dit :
— ν-négligeable si : ∃B ∈ F , A ⊂ B et ν(B) = 0
— vraie ν-presque partout (ν − p.p) si Ac est ν-négligeable.
Les 3 propriétés suivantes sont très importantes et sont à maîtriser pour le CF.
Proposition (Monotonie).
∀A, B ∈ A : A ⊂ B ⇒ ν(A) ≤ ν(B)
Proposition (Sous-additivité). Soit (An ) ∈ A N :
∀(An ) ∈ A N : ν(
[
n∈N
An ) ≤
X
ν(An )
n∈N
Proposition (Continuité monotone). Soit (An ) ∈ A N :
S
— ∀n ∈ N : An ⊂ An+1 ⇒ ν( n∈N An ) = lim ν(An ) (croissance)
n→+∞
T
— ν(A0 ) < ∞ et ∀n ∈ N : An ⊃ An+1 ⇒ ν( n∈N An ) = lim ν(An ) (décroissance)
n→+∞
3. L’additivité désigne la même propriété mais sur des union et somme finies, la nuance est importante.
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Intégrale de Lebesgue
Propriétés fondamentales
Définition (Fonction mesurable). Pour (Ω, F ) et (E, E ) deux espaces mesurabes,
f : Ω → E est dite F /E -mesurable ssi : f −1 (E ) ⊂ F
Remarque. Cette définition est à utiliser en dernier recours. Pour montrer qu’une fonction est
mesurable, utiliser dans l’ordre les méthodes présentées dans la suite.
Méthode (Mesurabilité). Soit f, g, (fn ) des fonctions, λ ∈ R.
— Si f et g sont mesurables, alors f + g, λf , f g, sup(f, g), inf(f, g), f + , f − , |f |... le sont
aussi.
— Si (fn ) est une suite convergente de fonctions mesurables, alors la limite est mesurable.
— Si f est borélienne 4 et continue, alors elle est mesurable.
— Si f est l’indicatrice 5 d’un ensemble appartenant à la tribu de l’espace de départ, alors
avec ({0, 1}, P ({0, 1})) comme espace d’arrivée, f est mesurable.
— Version simplifiée de la définition : restriction à un "générateur" de E

 f : (Ω, F ) → (E, E )
E = σ(C) ⇒ f −1 (E ) ⊂ F

f −1 (C) ⊂ F
Si ν est une mesure, l’intégrale de Lebesgue de f sur A par rapport à ν est la quantité
Z
Z
∆
f dν =
f (x)ν(dx)
A
A
Par construction 6 de l’intégrale de Lebesgue , on finit par pouvoir intégrer n’importe quelle
fonction réelle ou complexe 7 mesurable f :
Réciproquement, n’oubliez pas que toutes les fonctions de tous les points suivants dont on prend
l’intégrale seront mesurables. Se concentrer sur les autres hypothèses de chaque théorème, mais
ne pas oublier de dire que les fonctions sont mesurables dans les copies.
Remarque.
∀A ∈ A ,
Z
1A dν = ν(A)
4. f : (Ω, F ) → (E, E ) est dite borélienne si les tribus F et E sont boréliennes.
5. ∀x ∈ E, f (x) = 1A (x)
6. Construction qui risque peu de faire l’objet de questions au CF. On définit d’abord l’intégrale sur
k
P
les fonctions étagées f =
αi 1[f =αi ] , puis sur les fonctions mesurables et positives, puis de signe quelconque.
i=1 R
R
R
7. Pour f : R → C, on pose : f (x)ν(dx) = <(f (x))ν(dx) + i =(f (x))ν(dx)
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Proposition (Monotonie). Si f et g sont positives :
Z
f ≤g⇒
Z
f dν ≤
gdν
Proposition (Lemme de Fatou 8 ). Si (fn ) est une suite de fonctions positives :
Z
lim
Z
fn dν ≥
lim fn dν
n
n
Définition - Proposition (Intégrabilité). f est dite intégrable 9 ssi :
R
|f |dν < ∞
Si f est intégrable, on a les propriétés suivantes :
—
—
—
—
Linéarité.
R
R
SiR g est mesurable
et
|g|
≤
f
,
alors
g
est
ν-intégrable
et
|g|dν
≤
f dν
R
| f dν| ≤ |f |dν
ν([|f | = ∞]) = 0
Théorèmes d’interversion
Notez que ces théorèmes sont bien plus puissants que ceux vus en prépa en raison de leurs
hypothèses moindres. D’ailleurs, sauf précision contraire, les égalités suivantes seront vraies même
en cas de divergence des objets considérés.
Théorème de convergence monotone et conséquence
Proposition (Convergence monotone). Si (fn ) est une suite positive et croissante 10 :
Z
Z
( lim fn )dν = lim (
n→∞
n→∞
fn dν)
Proposition (Additivité pour des séries positives). Si (fn ) est une suite de fonctions positives :
Z X
∞
∞ Z
X
(
fn )dν =
( fn dν)
n=0
n=0
8. Très peu de chances de tomber. Mais au cas où : limn an = lim ( inf ap ), limn an = lim (sup ap )
n→∞ p≥n
9.
10.
n→∞ p≥n
En toute rigueur, il faut préciser par rapport à quelle mesure. Sans précision :
Dans les sujets, la mesure implicitement utilisée sera celle de Lebesgue, λ. On note alors dx au lieu de λ(dx)
Dans cette fiche, ce sera une mesure quelconque ν fixée.
∀x ∈ R, ∀n ∈ N, fn (x) ≤ fn+1 (x) (ou simplement ∀n ∈ N, fn ≤ fn+1 )
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Théorème de convergence dominée et conséquences
Proposition (Convergence dominée). Soit I un intervalle. Si (fn ) est une suite p.p-convergente :
∃g,
∀n
R ∈ N, |fn | ≤ g, ν − p.p
⇒
I |g|dν < ∞ (domination)
Z
Z
( lim fn )dν = lim ( fn dν)
n→∞
n→∞
P
Proposition (Permutation série/intégrale). Si pour presque tout x,
fn (x) converge :
N
P
Si ∃ g intégrable, pour presque tout x, |
fn (x)| ≤ g(x)
n=0
∞ R
∞
R P
P
|fn | dν existe et est < ∞, alors :
ou l’une des quantités
|fn |dν =
n=0
n=0
Z
∞
X
!
fn
dν =
n=0
∞ Z
X
fn dν
n=0
Proposition (Inversion limite/intégrale). Soit x0 ∈ R = [−∞, ∞]. Si pour presque tout ω ∈ R,
lim f (x, ω) existe et s’il existe g dominant localement 11 f (·, ω), alors :
x→x0
Z 

Z
lim f (x, ω) dω = lim  f (x, ω)dω 
x→x0
x→x0
R
R
Remarque. (Continuité sous le signe
R
)
Il s’agit de la proposition précédente en tout point x0 ∈ R où f (·, ω) est continue.
R
Proposition (Dérivation sous le signe ). Soit [a, b] un voisinage de x0 ∈ R. Si pour presque
(·,ω)
,
tout ω ∈ R, f (·, ω) est dérivable sur [a, b] et s’il existe g dominant localement df dx
R
alors f (·, ω)dω est dérivable en x0 , avec :
R
Z df (x, ω)
dx


Z
d 
dω =
f (x, ω)dω 
dx
R
R
On peut étendre à des dérivées d’ordres supérieurs par récurrence en dominant à chaque fois la
dernière des dérivées partielles...
Conclusion :
Pour réussir les exos contenant de l’interversion, il faut donc en gros se demander si le résultat
semble être une conséquence du théorème de convergence dominée ou plutôt du théorème de
convergence monotone.
11. Au voisinage de x0 pour x et pour presque tout ω ∈ R, |f (x, ω)| ≤ g(ω), où g est intégrable
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Fonctions de variables complexes
Dans toute la suite, Ω désignera un ouvert de C, et f une application Ω → C pour laquelle on
notera abusivement : f (z = x + iy) = P (x, y) + iQ(x, y), avec P et Q réelles.
Dérivation : Holomorphie, caractère analytique
Définition (Holomorphie). C’est en gros la dérivabilité dans C :
f est holomorphe en a ∈ C ssi lim
h→0
f (a+h)−f (a)
h
existe et est unique
quelque soit la manière dont h tend vers 0. On note alors f ’(a) cette limite.
Les théorèmes sur la somme, le produit et autres constructions algébriques à partir de fonctions
dérivables s’appliquent aux fonctions holomorphes 12 .
Proposition (Conditions de Cauchy). f est holomorphe en a = a1 + ia2 ∈ Ω ssi P et Q sont
différentiables en (a1 , a2 ), avec en ce point :
dQ
dP
dQ
dP
(a1 , a2 ) =
(a1 , a2 ),
(a1 , a2 ) = −
(a1 , a2 )
dx
dy
dy
dx
Remarque : ce sont les conditions de Cauchy en cartésiennes 13 .
Définition - Proposition (Analytique). f est analytique en z0 ∈ Ω si elle y est développable en
série entière :
∃(an ) ∈ CN , ∃B̄(z0 , r) ⊂ Ω, ∀z ∈ B(z0 , r), f (z) =
∞
X
an (z − z0 )n
n=0
Une fonction analytique est holomorphe (et même infiniment dérivable - et continue au passage)
sur B(z0 , r), on la dérive comme pour les séries entières 14 .
Proposition (Théorème de Cauchy). Équivalence holomorphe/analytique :
On admet que toute fonction holomorphe est analytique d’après ce théorème.
∀r ∈ R∗+ : B̄(z0 , r) ⊂ Ω ⇒

∞
P


an (z − z0 )n
 f (z) =
n=0


 ∀n ∈ N, an =
1
2πrn
R2π
f (z0 + reit )e−int dt
0
La "dérivabilité" d’une fonction complexe se déduit donc, par ordre de préférence : soit d’une
construction algébrique de fonctions "dérivables", soit du caractère analytique (qui se voit), soit
des conditions de Cauchy, soit de la définition. Réciproquement, le théorème de Cauchy assure
l’équivalence entre l’holomorphie et le caractère analytique (voir p37 du poly pour des détails).
12. Note : les composées de fonctions dont les ensembles d’arrivée et de départs concordent sont bien définies.
13. En polaire, ça donne : r dP
= dQ
, dP = −r dQ
. C’est en général rappelé dans les sujets.
dr
dθ dθ
dr
14. Par ailleurs : ∀z ∈ B(z0 , r), ap =
f (p) (z0 )
p!
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Intégration : Calcul d’intégrales curvilignes, utilisation des résidus
Définition (Intégrale curviligne). Soit γ : [α, β] → Ω un arc/contour orienté 15
(C 1 par morceaux). Par définition :
Z
∆
Z
β
f (z)dz =
γ
f [γ(t)]γ 0 (t)dt
α
Concrètement, privilégier les contours fermés (lacets) i.e. tels que γ(α) = γ(β)
afin d’utiliser les théorèmes associés 16 . LE théorème clé est celui des résidus.
Proposition (Théorème des résidus). Soit γ un lacet fermé orienté, inscrit dans Ω
un ouvert simplement connexe 17 et f : C → C holomorphe en tout point de γ et de son intérieur
sauf en des points singuliers (sk )nk=1 de Ω ; alors :
Z
f (z) dz = 2iπ
γ
n
X
Résidus : Res(f, sk ) = c−1 , où (cn )n∈Z est la
famille des coefficients de la décomposition en
série de Laurent de f : pour tout z dans une cou∞
P
ronne centrée en sk , f (z) =
cn (z − sk )n
Indγ (sk )Res(f, sk )
k=1
n=−∞
Indices : Indγ (sk ) est le nombre algébrique de
Pour
un
pôle
d’ordre
p
:
fois que γ tourne autour de sk : +1 en cas de
dp−1
tour dans le sens trigonométrique, −1 dans le
1
[(z − sk )p f (z)]
Res(f, sk ) = lim (p−1)!
sens indirect.
z→sk
dz p−1
En cas de doute sur ce théorème essentiel, CF pages 44-45 du polycopié !
Proposition (Théorème de Cauchy homotope). Théorème des résidus sans résidus.
R
Si γ est fermé, et f holomorphe sur γ et son intérieur, f (z) dz = 0
γ
Méthode (Usage du lemme de Jordan). Pour des arc de cercles γr de rayons r centrés en a ∈ Ω :

R

lim (z − a)f (z) = 0 ⇒ lim f (z)dz = 0
 z→a
r→0 γr
R
(f devant être continue)
lim
zf
(z)
=
0
⇒
lim f (z)dz = 0

 |z|→∞
r→∞
γr
Il suffit donc de majorer zf (z) par une fonction g(r) → 0 indépendante de γr et d’invoquer le
lemme. À réserver aux arcs de cercles, souvent en combinaison avec le théorème des résidus.
R
15. γ change de signe suivant le sens de parcours de γ. Notons par ailleurs que dans ce contexte, si α ≥ β,
alors l’intervalle [β, α] est simplement parcouru en sens indirect, donc on rajoute un signe −.
16. Dans les exos (durs) avec des intégrales réelles a priori incalculables, il faut aussi le faire, quitte à ensuite
décomposer le lacet en portions d’arcs où le calcul de l’integrale curviligne est simple.
17. On peut "réduire continûment" γ à un point de Ω.
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Espaces de Hilbert (ancien programme, chapitre bientôt remplacé)
Définition - Proposition (Espaces de Banach). C’est un espace vectoriel normé (E, || · ||) complet pour la norme associée, ie toute suite de Cauchy 18 est convergente dans l’espace considéré.
On montre qu’un evn est complet ssi toute série normalement convergente est convergente, ie
∞
∞
P
P
ssi : ∀(un ) ∈ E N :
||un || < ∞ ⇒ ∃S, ||
un − S|| → 0
n=0
n=0
Définition (Espace de Hilbert). (E, || · ||) est un espace de Hilbert ssi, de manière équivalente :
— C’est un ev muni d’un produit scalaire et complet pour la norme associée
— C’est un espace de Banach dont la norme est issue d’un produit scalaire
Proposition (Théorème important 19 ). Si H est un espace de Hilbert, pour toute suite (un ) ∈ H N
P
P
d’éléments deux à deux orthogonaux :
un CV ⇔
||un ||2 CV , et si cela se vérifie,
P
P
on a en plus :
||un ||2 = || un ||2 (se prouve par caractérisation des suites de Cauchy)
Proposition (Théorème). Si F est un sev fermé d’un espace de Hilbert H,
la projection orthogonale de h ∈ H sur F est l’unique f ∈ F tel que : ∀f1 ∈ F, (h − f |f1 ) = 0
Définition - Proposition (Totalité). une partie A d’un espace de Hilbert H est dit total ssi
V ect(A) est dense dans H, ssi V ect(A) = H, ssi A⊥ = {0} ssi (∀a ∈ A, (u|a) = 0) ⇒ u = 0
On a alors de plus : ||f ||2 =
Proposition (Décomposition). Soit H
P
j
|cj (f )|2
un espace de Hilbert séparable 20 , alors :
∀f ∈ H, ∃(cj (f )) ∈ CN , (ej ) ∈ H N ,
P
P
f = j cj (f )ej = j (f |ej )ej ,
Définition (Support). Pour f : R → C,
suppf = {x ∈ R/f (x) 6= 0}
où (ej ) est une base orthonormale de H total C’est donc un fermé, et donc un compact
(base hilbertienne).
(car R est de dimension finie).
Définition (Espaces fonctionnels usuels). Il faut connaître :
L1 (RN ) : Espace des fonctions réelles sommables pour la relation d’équivalence f = g .
p.p.
R
Muni de la norme ||f ||1 = RN |f (x)|dx, c’est un espace de Banach.
L2 (RN ) : Espace des fonctions réelles de carrés sommables (même relation d’équivalence).
R
Muni du produit scalaire 21 (f |g) = RN f (x)g(x)dx, c’est un espace de Hilbert séparable.
L∞ (RN ) : Espace des fonctions réelles essentiellement bornées. Muni de la norme
||f ||∞ = suppess|f | = inf{a ∈ R/λ({f (x) > a})}, c’est un espace de Banach.
Remarque. ∀A ⊂ RN : ν(A) < ∞ ⇒ L∞ (A) ⊂ L2 (A) ⊂ L1 (A)
18. (un ) est de Cauchy ssi :
lim ||un − up || = 0
n,p→∞
19. Théorème dont la démonstration est le seul exo sur les espaces de Hilbert que l’on trouve dans les annales...
20. Séparable : admettant une famille dénombrable dense. Tout espace séparable admet une base hilbertienne.
21. C’est une convention de conjuguer g ou bien f , cela est arbitraire et devra être précisé dans les exos.
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Transformation de Fourier
(Li (R))i=1,2 sont des espaces de Hilbert, d’où l’ancienne légitimité du chapitre précédent.
Dans L1 (R)
Transformée de Fourier : F : f ∈ L1 (R) → fe ∈ L∞ (R), où :
R∞
∀ν ∈ R, fe(ν) =
f (x)e−2iπνx dx (= F[f (x)] par abus de notation)
−∞
Transformée inverse : Si fe ∈ L1 (R), alors pour tout point x où f est continue :
R∞
f (x) =
fe(ν)e2iπνx dν (si f est continue en x)
−∞
Produit de convolution : ∀x ∈ R, (f ∗ g)(x) =
R∞
f (t)g(x − t)dt
−∞
e
— Si f, g ∈ L1 (R), f ∗ g F
−
→ f · ge
e
— Si f, g ∈ L1 (R) ∩ L2 (R), f · g F
−
→ f ∗ ge
Dans L2 (R)
L2 (R) = {f : R → C/
R∞
|f (x)|2 dx < ∞} est muni du produit scalaire (f |g) =
−∞
R∞
f (x)g(x)dx.
−∞
Théorème de Plancherel : F est une isométrie d’espace de Hilbert :
R∞
R∞
∀f, g ∈ L2 (R), (f |g) =
fe(ν)e
g (ν)dν = (fe|e
g)
f (x)g(x)dx =
−∞
−∞
Théorème de Parseval : Théorème de Plancherel avec f = g :
R∞
R∞
∀f ∈ L2 (R), ||f ||2 =
|f (x)|2 dx =
|fe(ν)|2 dν = ||fe||2
−∞
−∞
Tous les éléments utiles du chapitre se trouvent être résumés sur cette page, mais chacune des
hypothèses est absolument nécessaire et doit être précisée : la transformation de Fourier n’est
pas toujours inversible, la deuxième formule sur le produit de convolution nécessite des
fonctions de L2 (R) en plus d’être dans L1 (R), etc.
Ce chapitre doit absolument être maîtrisé car les 2/3 de ce qui suit vont en dépendre 22 ...
22. Ainsi que le module SIC 3601, qui tient beaucoup à cœur à l’auteur.
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Extension : Transformation de Laplace (points essentiels)
Concrètement, la transformation de Laplace est une extension de la transformée de Fourier, et
n’est à peu près jamais 23 tombé aux CFs. On se contentera donc de résumer la terminologie,
tous les résultats s’appuyant sur la transformation de Fourier.
Définitions diverses :
Fonctions causales : Fonction f telle que : ∀t < 0, f (t) = 0
Transformée de Laplace : Pour f : R → C localement sommable 24 ,
la transformée de Laplace (unilatérale) de f est la fonction
fˆ : C → C
R∞
p 7→ 0 f (t)e−pt dt
Il existe une transformée bilatérale 25 , inutile car on s’intéresse à des fonctions causales.
Original : Fonction f : R → C causale, localement sommable, telle que :
∃M > 0, s ∈ R, ∀t ∈ R, |f (t)| ≤ M est
Image : Transformée de Fourier d’un original.
Proposition (Lien entre transformées de Fourier et Laplace). Pour tout fonction f causale
admettant une transformée de Fourier, on a :
ω
∀ω ∈ R, fˆ(iω) = f˜( )
2π
Domaine/abscisse de sommabilité : Posons p = x + iω
Abscisse de sommabilité d’un original f : α = inf{x ∈ R, t → |f (t)|e−tx ∈ L1 (R)}.
Domaine de sommabilité : Pour x < α, t 7→ |f (t)|e−pt n’est pas intégrable, pour
x > α, cette fonction l’est 26 . Le domaine de sommabilité est donc un demi-plan ouvert.
Transformée inverse, contour de Bromwich : Pour un original f d’abscisse de somma1 R ˆ
bilité α, en tout point t de continuité de f et pout tout x0 > α, f (t) =
f (p)ept dp,
2iπ Dx
où Dx = {x + iω, ω ∈ R} est le contour de Bromwich.
Propriétés Les plus importantes sont :
— La convolution
— La dérivation
— La intégration
Tous ces résultats sont écrits dans le poly et découlent de la transformée de Fourier.
23. Ou alors les annales sont trop vieilles et les pougnes Phoenix n’ont pas bossé avec.
Rb
24. Intégrable sur tout [a, b] ⊂ R. On note : L1loc (C) = {f : R → C, ∀[a, b] ⊂ R, |f | < ∞}
a
25. En intègrant sur R entier. Mais puisqu’intégrer une fonction causale sur R ou R+ est équivalent...
26. Si x = α, on ne sait pas.
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Distributions
Fonctions tests - Espace D = {f ∈ C ∞ (R, C), suppf borné donc compact} ⊂ S
D
Propriétés 27 à connaître
• φ∈D ⇒φ0∈D
φ∈D
•
⇒ αφ ∈ D
α ∈ C ∞ (R, C)
Convergence dans D : φn −−−→ φ ⇔
n→∞
(
∃Bborné ∈ R, ∀n ∈ N, suppφn ⊂ B
(k)
∀k ∈ N, sup|φn (t) − φ(k) (t)| −−−→ 0
n→∞
t∈R
Espace de Schwartz - Espace S = {f ∈ C ∞ (R, C), ∀n, m ∈ N, x 7→ xn φ(m) bornée } ⊃ D
Propriétés 28 à connaître
0
• φ
∈ S ⇒ φ ∈ S , τa φ ∈ S
φ∈S
⇒ αφ ∈ S
•
α ∈ OM
Convergence dans D :
S
φn −−−→ φ ⇔
n→∞
(q)
∀p, q ∈ N, sup|x|p |φn (t) − φ(q) (t)| −−−→ 0
n→∞
t∈R
Distributions - Espace D ’ = {formes linéaires continues sur D}
Montrer qu’une forme linéaire 29 sur D Multiplication ∀(α, φ) ∈ C ∞ (R, C) × D :
est une distribution (i.e. montrer la < αT, φ >=< T, αφ >
continuité sur D) :
D
φn −−−→ 0 ⇒
n→∞
< T, φn >−−−→ 0 (par majoration en général)
n→∞
Dérivation
(À appliquer dans l’ordre)
• Àcombiner aux points suivants :
T ∈ D0
⇒ (αT )0 = α0 T +αT 0
α ∈ C ∞ (R, C)
• Si Tf est régulière : Formule des sauts :
avec f : R → C discontinue sur (ak )pk=1 :
p P
−
(Tf )0 = Tf 0 +
f (a+
k ) − f (ak ) δ(ak )
Distributions de Dirac :
∀φ ∈ D, < δ(a) , φ >= φ(a) (δ(0) = δ)
Distributions régulières Tf
k=1
∀f ∈ L1loc , ∀φ ∈ D, < Tf , φ >=
• Si T est singulière : ∀k ∈ N :
∀φ ∈ D, < T (k) , φ >= (−1)k < T, φ0 >
R
R f (t)φ(t)dt
(Une distribution singulière n’est pas régulière.)
Convergence dans D ’ :
Théorème
∀f, g ∈
L1loc
: Tf = Tg ⇔ f = g
(d’où l’identification fréquente de f et Tf )
D0
Tn −−−→ T ⇔ lim < Tn , φ >=< T, φ >
n→∞
n→∞
27. Ces propriétés passent à la limite dans D.
28. Voir poly pour notations.
29. Insiter sur ce point dans les copies, car la continuité en 0 n’est suffisante que parce que la forme est linéaire.
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POUGNES PHOENIX TSP
Distributions tempérées - S ’ = {formes linéaires continues sur S } ⊂ D ’
Montrer que T est une distribution tempérée sur D :
• Montrer que T est définie (pas toujours évident) et est une forme linéaire
• Montrer la continuité (en 0 grâce à la linéarité) :
S
φn −−−→ 0 ⇒ < T, φn >−−−→ 0. Le 2ème point se fait en général par majoration.
n→∞
n→∞
Tout ce qui précède concernant les distribution est valable pour les distributions tempérées. Leur
utilité est de pouvoir en calculer la transformée de Fourier.
Transformée de Fourier d’une distribution tempérée T
Définition. La transformée de Fourier d’une distribution tempérée T est la fonctionnelle F[T ]
définie par : ∀φ ∈ S , < F[T ] , φ >=< T, F[φ] >
On a une formule très analogue pour la Transformée de Fourier inverse.
Remarque. Pour les distributions régulières Tf , cette définition implique que F[Tf ] = TF[f ] ,
ce qui flatte l’intuition.
Finalement, cela permet de tout rapporter aux transformées de Fourier, maîtrisées sur L1 grâce
à une formule. Les principales propriétés en découlent viennent alors soit du poly, soit de simples
calculs sur les transformées de Fourier usuelles.
Même si ce chapitre est le dernier du module, le travailler sérieusement car il tombe chaque
année, et parfois de manière prépondérante (voir CF1 2015-2016 par exemple)...
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