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INÉGALITÉS n1 1. Montrer que k! n! . k0 2. Montrer que pour tout réel x, e x 1 x ; en déduire que pour x 1, e x 1 ; 1x représenter ces deux linégalités. 3. Montrer que x, y 2 x y xy. Etudier la réciproque. n1 4. Pour quelles valeurs de a 1 a-t-on a k a n pour tout entier n 1 ? k0 En déduire que le nombre des ancêtres de la n-ième génération au dessus de la nôtre est supérieur à la totalité de nos ancêtres jusqu’à la n 1ième. 5. : y a. Montrer que si x, y 0, alors xy x 2. b. En déduire que si x 1 , x 2 , . . . , x n sont n réels strictement positifs, n n xk k1 k1 1 xk n2. 6. : a. Montrer que si x 0, alors x 1x 2. b. En déduire que si a 0, alors la moyenne arithmétique des réels 1, a, a 2 , a 3 , . . , a 2n est an. 7. Compléter par les bons connecteurs logiques, et justifier : a. |a| b a b ... a b b. |a| b a b ... a b c. |a| b a b ... a b (avec b 0 ) p 8. Montrer que pour tout réel x et tout entier q 0 il existe un entier p tel que x q 1 . 2q Exemple : x et q 7. 9. Démontrer par disjonction de cas que pour tout réel x, x x 2 1/2 ; le redémontrer en utilisant un trinôme. 10. Quel est le plus petit réel a tel que pour tout réel x on ait x x 2 a ? 11. Hachurer la partie du plan définie par y x 2 x y 2 0. 12. Étudier et dessiner la partie du plan définie par 2 |x| ||y| 3| 4. 1 . 13. Montrer, pour x 0, 1 et n entier naturel : 1 nx 1 x n 1 nx Représenter pour n 2. 14. Soient a et b deux réels 0. a. Montrer a b a b ; quand a-t-on égalité ? b. En déduire a b |a b| ; quand a-t-on égalité ? 15. Soit E l’équation à coefficients réels : a 0 a 1 x . . . a n x n 0 ( n entier naturel non nul). a. Supposons que cette équation possède une solution x réelle de valeur absolue 1. n Montrer que |a n x | |x| n1 n1 n1 k0 k0 |a k | ; en déduire que |x| |a k | . |a n | b. En déduire que les solutions de l’équation E ont toutes une valeur absolue n1 M max k0 |a k | ,1 . |a n | PARTIES ENTIÈRES 16. On considère la suite u 1 1, u 2 u 3 2, u 4 u 5 u 6 3, etc... Montrer que u n 2n 1/4 1/2 . LOGIQUE 17. Le théorème de Pythagore énonce que si un triangle ABC est rectangle en A alors . . . . . . 2 . . . 2 . On donne à un élève un triangle de côtés 6, 7 et 8 : il conclut qu’il n’est pas rectangle car 64 61 49 36. A-t-il utilisé le théorème de Pythagore ou bien sa réciproque ? 18. Soit un connecteur logique tel que si P est vrai et Q vrai, alors P Q est vrai et si P est vrai et Q faux, alors P Q est faux ; montrer que si P Q prend les mêmes valeurs de vérité que nonQ nonP , mais pas les mêmes valeurs de vérité que Q P, alors est le connecteur d’implication. 19. Soit f une fonction réelle définie sur un intervalle I. Exprimer en langage formalisé l’énoncé : la fonction f garde un signe constant sur I. En donner la négation. 20. P : Il y a toujours un médecin de garde Q : Il y a un médecin toujours de garde Soit M l’ensemble des médecins et Gt l’ensemble des médecins de garde à l’instant t. Écrire P et Q en langage formalisé. 21. Déterminer la valeur de vérité des énoncés suivants (avec justification) a. m R x R / x 3 mx 1 0. b. x R / m R x 3 mx 1 0. c. x R m R / x 3 mx 1 0. 22. Soit f la fonction carré ; vrai ou faux ? a. x R / y R fx y fx b. y R x R / fx y fx (illustrer) 23. Vrai ou faux ? a. x R x 1 x 2 b. x R / x 1 x 2 24. Déterminer x R / x 1 x 2 et x R / x 1 x 2 . 25. On considère les énoncés P et Q concernant une fonction f de R dans R. P : a 0 m 0 x a, a |fx| m Q : m 0 a 0 x a, a |fx| m Donner un exemple de f ne vérifiant pas P et un exemple de f vérifiant P mais pas Q. 26. Soit A une partie de R ; donner la définition en langage formalisé de "A possède un plus petit élément" ; donner un exemple de partie n’ayant pas de plus petit élément ; montrer l’unicité du plus petit élément d’une partie. 27. Soit f , g deux applications de R dans R. a. Montrer que si f et g sont croissantes alors f g aussi. b. Montrer que si f f et f f f sont strictement croissantes alors f est strictement croissante. 28. Sachant que 6 est irrationnel, montrer que 6 3 2 est irrationnel. 29. Rationnels ou irrationnels ? a. 8 63 8 63 b. 7 48 7 48 30. Montrer que si a, a , b, b sont 4 rationnels, b et b 0, vérifiant a b a b avec b irrationnel, alors a a et b b . 31. Soit f une application de R 2 dans R ; montrer qu’il existe un unique couple de fonctions g, h de R 2 dans R tel que f g h, avec g symétrique et h antisymétrique (gx, y gy, x et hx, y hy, x. 32. Soit f une application de R dans R et T 0 ; montrer qu’il existe un unique couple d’applications g, h de R dans R tel que f g h avec g T-périodique et h nulle sur 0, T. 33. Montrer que x R \N a N / n N n a nx nx n a nx nx 1 Indication : écrire x x fracx ; On donnera une expression de a en fonction de x. SOMMES ET PRODUITS n n 34. Simplifier a k1 a k b k a k1 b k1 b k (formule de ”sommation par parties”). k0 k0 2n n 35. Démontrer que 4k 2 k. n 36. Calculer k1 kn1 k 1 1 k . k1 n 1 n Rep : . n! 37. : n a. Calculer T n i2 i en calculant 2T n . i0 n n b. Déterminer S n 2 mini,j . i0 j0 n1 Rep : T n n 12 2 Rep : S n 6. 2 n 2n 5. 38. : n a. Calculer T n i2 i en calculant 2T n . i0 n n b. Déterminer S n 2 maxi,j . i0 j0 n1 Rep : T n n 12 2 Rep : S n 2n 12 n1 3. n 39. fp, q k p n k q ; montrer que fp, q fq, p, simplifier fp 1, q fp, q 1 ; k0 en déduire f1, 1 , ainsi que f2, 2 en fonction des S p fp, 0 pour 0 p 4. n 40. Calculer 1 12 et déterminer sa limite quand n tend vers l’inifini. k k2 Rep : 1 1 1n 2 41. Montrer qu’il existe a, b, c, d indépendants de k tels que k 2 a 2 c ; en déduire une expression sans somme de k4 k2 1 k bk 1 k dk 1 n k1 k . k4 k2 1 RÉCURRENCES 42. Démontrer par récurrence sur n que tout entier n 8 peut s’écrire sous la forme 3a 5b avec a et b entiers naturels. 43. Démontrer par récurence forte que tout entier 2 est décomposable en produit de facteurs premiers. n 44. Soit a un nombre impair ; montrer que pour tout entier n 1, a 2 1 est divisible par 2 n2 . 45. Démontrer par récurrence forte que tout entier naturel non nul est somme de puissances de 2 distinctes (n N K N / n 2 k . kK 46. Démontrer que pour tout entier n 1 et toute famille de n réels strictement positifs n x1, x2, . . . , xn, n xk k1 k1 1 xk n2. 47. Soit x un réel tel que a x 1x soit entier ; montrer que pour tout entier naturel n a n x n 1n est alors un entier. Calculer le(s) nombre(s) x et les 4 premiers termes de la x suite pour a 4. 48. Démontrer que pour tout entier n 1, 2!4!. . . . 2n! n 1! n . 49. Démontrer que pour tous entiers naturels a et b, ab! est divisible par a b et b a . 4n! 5n! 50. Démontrer que est divisible par 24 n ; trouver de même un diviseur de . n! n n! n! 51. Montrer que 11. 22. . . . nn 1!2!. . . n 1! a. Par récurrence sur n. b. Directement. 52. On définit une suite par u 0 1 et u n1 u n 4 u n /2 ; calculer u n en fonction de n. Rep : (2**(2**n)-1)/2**(2**(n)-1). 53. Soit a un réel donné. On définit une suite u n par u 0 1 et pour tout naturel n : u 2n u n 2 u 2n1 au n 2 a. Que vaut u n (justifier)? b. Par combien de multiplications obtient-on a 100 par cette méthode ? n 54. Montrer que pour tout entier n et tout entier q, n k k0 F kq F 2nq . n n 55. Montrer que pour tout entier n 1, 1 k1 n k1 k k n 1 . k k1 56. Montrer que 2 4 2 est divisible par 7, pour tout naturel n. 57. Déterminer toutes les applications f de Z dans lui-même vérifiant fn m fn fm pour tous entiers n et m. 58. Z 2 est muni des opérations naturelles n, m n , m n n , m m et kn, m kn, km, pour tous entiers n, n , m, m , k. Déterminer toutes les applications f de Z 2 dans lui-même vérifiant fn, m n , m fn, m fn , m pour tous entiers n, n , m, m . On montrera qu’une telle application vérifie fkn, m kfn, m pour tous entiers n, m, k, et ensuite, on utilisera le fait que n, m n1, 0 m0, 1. REP : fn, m an bm, cn dm. 59. Montrer par récurrence sur n que l’on peut toujours séparer tous les timbres d’une planche rectangulaire de n timbres sur m timbres en nm 1 déchirures. 60. Soit u n le nombre maximal de parts (de formes quelconques) que l’on peut obtenir en coupant une pizza par n coups de couteau rectilignes (ou, plus mathématiquement, le nombre maximal de régions déterminées par n droites dans un plan). Trouver une relation de récurrence entre u n et u n1 et en déduire la valeur de u n . 61. Où se trouve l’erreur dans le raisonnement par récurrence forte suivant ? Soit a un réel ; montrons que a n 1 pour tout naturel n. C’est vrai pour n 0 ; H.R. : pour tout entier k de 0 à n, on a a k 1 n n a 1. 1 1 , ce qui achève la récurence forte. Alors a n1 a n1 1 a 62. On définit la suite de Fibonacci par F 0 0, F 1 1, F n F n1 F n2 . Montrer que F 2n F n F n1 F n1 et F 2n1 F 2n F 2n1 . 63. On définit la suite de Fibonacci par F 0 0, F 1 1, F n F n1 F n2 . On aimerait trouver un minorant de F n pour n 1 de la forme a. b n , avec a et b 0 . a. Déterminer la plus grande valeur de b de sorte que dans la démonstration par récurence double de F n a. b n , la démonstration de l’hérédité reste valable ; on trouvera b . b. Trouver alors la meilleure valeur de a telle que l’initialisation (pour n 1 et 2 soit valable. c. Trouver de même une majoration de F n . REP : n2 F n n1 64. On définit la suite de Fibonacci par F 1 1, F 1 0, F n F n1 F n2 et on définit une suite u n par u 0 a, u 1 b, u n u n1 u n2 . a. Montrer que pour tout naturel n u n a F n1 b F n . b. On définit une suite v n par v 0 0, v 1 1, v n v n1 v n2 v n1 v n2 . On demande d’exprimer v n à l’aide de la suite de Fibonacci. 65. (suite de Sylvester) : Soit u n une suite définie par u 1 2 et u n1 u 1 . . . u n 1; montrer que pour tout n2 n1 n 2, 2 2 u n 2 2 . 66. Soit u n une suite de réels vérifiant u ij u i u j pour tous entiers i, j 1 ; montrer que n pour tout entier n 1, on a l’encadrement u n u k nu 1 (la première inégalité sera k k1 montrée par récurrence forte, la deuxième provenant de u k ku 1 . Appliquer à u n n . 67. Soit p n le n ième nombre premier. a. Montrer (sans récurrence) que p n1 p 1 . . . p n 1. n1 b. Montrer (par récurrence forte) que p n 2 2 . FORMULE ET COEFFICIENTS DU BINÔME 68. : a. Montrer que si x 0, alors x 1x 2. n n b. En déduire que si a, b 0, 1 a 1 ba 2 n1 . b p 69. Pour n entier impair, n 2p 1, on pose fa, b k0 n n ga, b k a nk b k , a nk b k k kp1 n a. Montrer que ga, b fb, a à l’aide d’un changement d’indice. p n b. En déduire que a b n a k b k a n2k b n2k . k k0 c. Formule similaire pour n pair ? 70. Calculer Rep : 2 j de deux façons différentes. i 0ijn n1 1. n n 71. Calculer i0 ji n j j i (intervertir les deux signes de sommation). Rep : 3 n . n n 72. Calculer : i0 ji n j j i a i b ji c nj REP : a b c n n n ij 73. Calculer Rep : . i i0 j0 2n 2 1. n1 n 74. Montrer que P k0 n k est égal à 2 3n . 3 5n . 4 7n . . . n n1 . 75. Soit f n une suite d’entier du type fibonaccien vérifiant pour tout naturel n : f n2 f n1 f n . Montrer pour tous naturels n et p : p f n2p k0 76. 77. 78. 79. p k f nk FORMULE DE BERNOULLI fx x n avec n entier 1 : calculer la dérivée de f en utilisant la formule de Bernoulli. Soient trois entiers naturels non nuls m, n, a avec m n a. Montrer que m a n a m na. b. Montrer que si m a n a a, alors a 1. ENSEMBLES On a dans les réels : x y z x y z et x y z x y z Pouvez-vous trouver, et démontrer, des formules similaires dans les ensembles ? E, G, F étant 4 ensembles, montrer : a. E G F G E F G b. E F G H E G F H 80. Soient X, Y, Z 3 parties d’un ensemble E ; montrer que X Y X Z X Y X Z 81. Soient X, Y, Z 3 ensembles. a. Montrer que X Y\X Y X\Y Y\X ; on note cet ensemble X Y . b. Montrer que Z X Z Y X Y. 82. Dans cet exercice les lettes majuscules désignent des ensembles. On pose X Y X Y\X Y X\Y Y\X, et on admet que X Y Z X Y Z. Faire une figure illustrant X Y Z et une figure illustrant X Y Z T. Montrer que x appartient à X 1 X 2 . . . . X n si et seulement si x appartient à un nombre impair d’ensembles X k (plus précisément ssi l’ensemble K des indices k tels que x appartient à X k possède un nombre impair d’éléments). 83. E est un ensemble, A et B en sont des parties. a. Montrer que si A B E alors pour toutes parties X et Y de E, XA YA XY XB YB b. Etudier la réciproque de a. c. Montrer que si A B alors étant données une partie X 1 de A et une partie X 2 de B, X A X1 il existe une partie X de E telle que . X B X2 d. Etudier la réciproque de c. TRIGO 3 1 84. : Calculer . sin cos 18 18 Rep 4. 85. a b c ; calculer tan a tan b tan b tan c tan c tan a. 2 86. : P cos cos 2 cos 4 7 7 7 a. Calculer P sin , en déduire P. 7 b. Montrer par linéarisation que 4P cos cos 3 cos 2 1 7 7 7 c. En déduire une équation du troisième degré dont 2cos est solution. 7 Rep : P 1/8. 87. S cos 2 cos 4 cos 6 7 7 7 a. Linéariser S sin , en déduire S. 7 b. Vérifier que S cos 2 cos 3 cos . 7 7 7 c. En déduire une équation du troisième degré dont 2cos est solution. 7 Rep : S 1/2. 88. Montrer que cos 2 cos 4 cos ; en déduire une équation du troisième degré dont 9 9 9 2cos est solution. 9 89. Montrer que cos 2 cos 4 cos ; en déduire par linéarisation la valeur de 9 9 9 2 4 P cos cos cos . 9 9 9 90. Montrer que sin sin 2 sin 4 ; en déduire par linéarisation la valeur de 9 9 9 P sin sin 2 sin 4 . 9 9 9 91. Soient a, b, c 3 réels ; à l’aide du trinôme du second degré Px x 2 2cos a cos bx cos 2 a cos 2 b 1, déterminer une factorisation (la plus poussée possible) de l’expression E cos 2 a cos 2 b cos 2 c 2 cos a cos b cos c 1. 92. : a. Calculer cos 2 cos 2 3 cos 2 5 cos 2 7 . 16 16 16 16 b. Généraliser cette formule. 93. : a. Vérifier que si 0 , 2 cos 2 2 cos . 2 2 b. En déduire la valeur de 2 2 . . . . 2 (n radicaux). Rep : 2 cos . 2 n1 94. On pose fx |cos x| |sin x| ; a. Montrer que fx 1 pour tout x. b. Réduire l’intervalle d’étude et étudier f ; tracer la courbe. 95. Un segment de longueur constante est tel que ses extrémité A et B coulissent sur deux axes perpendiculaires en C. Pour quelle(s) position(s) du segment AB le triangle ABC a-t-il un périmètre (resp une aire) maximal(e) (resp minimal(e))? 96. Un point C décrit un cercle de diamètre AB ; I est le milieu de AC. Quel est le maximum de l’angle ABI ? Rep : arcsin 1/3. FONCTIONS, LIMITES 97. Soit f une fonction de R dans R T-périodique. On pose gx fx T/2. montrer f paire ssi g paire, idem avec impaire. 98. Soit f une fonction de R dans R vérifiant T 0 x R f T x f T x fx 2 2 et g définie par gx f T x 4 a. Etudier la périodicité et la parité de f et g. b. Donner un exemple de tel couple f, g 99. Déterminer les limites des fonctions suivantes en x 0 . 3 2 a. fx x x sin x 3 , x 0 x x 2 cos x x 3 2x 3 b. fx x 0 6 (rep 1/13) 15 x x 2 27 c. fx sin x sin 3x , x 0 (rep 2 2 4 1 2 cos x 100. Démontrer qu’il existe deux fonctions f 1 et f 2 continues sur R telles que x, m R m 2 x 2 x 1 0 x f 1 m ou x f 2 m. 101. : x4 1 a. Asymptote en à la courbe de la fonction f telle que fx x1 Rep: y x 1. b. Limite en /6 de f telle que fx c. Limite en 1 de f telle que fx 2 cos x 3 (Rep : 1/3) cos x cos 5x x3 2 2x ( Rep : 1/2) x2 3 2 2 x2 102. : x4 x a. Asymptote en à la courbe de la fonction f telle que fx rep: y x 2 x2 b. Limite en /5 de f telle que fx sin x sin 4x rep -1/2sin(pi/5) cos 2x cos 3x x2 6x c. Limite en 2 de f telle que fx rep : -2 2x 3x 2 DERIVÉES 103. Soit f une fonction continue sur R de limite nulle aux deux infinis. Pour 1 x 1, on x pose gx f 1 |x| a. Prolonger g par continuité en -1 et 1. b. Montrer que g est dérivable en 1 de dérivée nulle ssi lim xfx 0; x c. Donner un exemple avec f non constante et tracer les courbes de f et g. x 3 2x 3 104. Limite en ??? de f définie par fx , en utilisant la petite règle de 15 x x 2 27 l’Hospital. 105. Limite en ??? de f définie par fx sin x sin 3x , x 0 en utilisant la petite règle de 4 1 2 cos x l’Hospital (rep 2 2 . 2 cos x 3 106. Limite en ??? de f telle que fx , en utilisant la petite règle de l’Hospital cos x cos 5x (rep : 1/3). x3 2 2x 107. Limite en ??? de f telle que fx ,en utilisant la petite règle de x2 3 2 2 x2 l’Hospital ( rep : 1/2). 108. Limite en ??? de f telle que fx sin x sin 4x , en utilisant la petite règle de cos 2x cos 3x l’Hospital. rep -1/2sin(pi/5). x2 6x 109. Limite en ??? de f telle que fx . en utilisant la petite règle de 2x 3x 2 l’Hospital. rep : -2, 110. Etudier la dérivabilité en 0 à droite de f définie par fx sinx n suivant les valeurs de n entier 0. 111. Etudier la dérivabilité en 2 de f définie par fx 1 sin x . 112. Montrer que sin 2 x tan x x 3 pour x 0, 2 (dériver trois fois). 113. Etudier la fonction f définie par fx 1 sin x . 114. Etudier la fonction f définie par fx sin 2x . 2*sin(x)*(4*cos(x)^21)/(2*cos(x)-1)^2/(2*cos(x)1)^2 sin 3x 115. Etudier la fonction f définie par fx sin 3x . -1/2*sin(x)*(4*cos(x)^21)/cos(x)^2 sin 2x 116. Soient 0 a b deux réels. On rappelle que la moyenne arithmétique de a et b est a b , et la moyenne géométrique ab . 2 On pose ft ta 1 tbtb 1 ta (moyenne de Ramanujan). a. Déterminer l’ensemble de définition de f et réduire l’intervalle d’étude. b. Variations. c. En déduire ab a b . 2 LOGARITHMES ET EXPONENTIELLES 3 117. On pose fx x cos ln x ; montrer que f x f 1x . 2 6 118. M étant le point courant de cordonnées x, ln x de la courbe de la fonction ln, étudier les variations de la pente de la droite OM en fonction de x. 119. Trouver une formule utilisant la partie entière et le logarithme décimal donnant le premier chiffre d’un entier écrit en base 10. 120. En physique on définit l’ordre de grandeur fx d’un réel positif x non nul comme la plus grande puissance de 10 inférieure ou égale à x ; par exemple f1732 10 3 (attention "puissance de 10" signifie ici : le nombre 10 élevé à une puissance entière, pouvant être négative). a. Donner une formule pour fx en utilisant la fonction partie entière. b. Donner un exemple où fx 1 x 2 est différent de fx 1 fx 2 mais montrer que cette formule est exacte si x 2 est une puissance de 10. 121. : a. Montrer que pour |x| 1, ln1 x x ln1 x (faire une figure). n n b. En déduire que pour tout entier n 2, 1 1n e 1 1n , puis que n n1 1 1n e 1 1n . 122. Tracer les courbes des fonctions f définies par fx a lnx suivant les diverses valeurs de a. 123. On pose fx e x ke x . Montrer que pour k non nul, C f possède toujours un axe ou un centre de symétrie. 124. fx x 1 ; montrer que la courbe de f possède un centre de symétrie. Etudier f et e 1 tracer sa courbe. 125. M étant le point courant de cordonnées x, e x de la courbe de la fonction exp, étudier les variations de la pente de la droite OM en fonction de x. x 126. Résoudre dans R l’équation x x x . 127. Dérivée multiplicative. a. Soit f une fonction strictement positive et dérivable en x. On désigne par "taux 1 fx u u d’accroissement multiplicatif" le nombre u . Quelle est la limite fx de u quand u tend vers 0 ? b. Pour une fonction f strictement positive et dérivable, on appelle dérivée multiplicative de f et on note D m f la fontion qui à x fait correspondre la limite de u quand u tend vers 0. Montrer les formules suivantes : D m fg D m fD m g, D m f D m f , D m f g D m f g f g ; D m f D m g ssi f kg. APPLICATIONS 128. Soit f l’application de R 2 dans R 2 définie par fx, y x y, x y et soient a, b, a , b 4 réels vérifiant a b, c d. a. Démontrer que R f 1 a, b c, d est un rectangle plein dont on donnera les coordonnées des sommets. b. Déterminer le plus petit rectangle du type a , b c , d contenant R. 129. Soit f l’application de R 2 dans R 2 définie par fx, y x y, x y et soient a, b, a , b 4 réels vérifiant a b, c d. a. Démontrer que R fa, b c, d est un rectangle plein dont on donnera les coordonnées des sommets. b. Déterminer le plus petit rectangle du type a , b c , d contenant R. 130. On considère une application f de E dans E vérifiant f 2 f f f . a. Montrer que si f est injective ou surjective alors f id E . b. Donner un exemple avec E R 2 autre que l’identité ou une fonction constante. 131. On considère une application f de E dans E vérifiant f 3 f f f f . a. Montrer que si f est injective ou surjective alors f 2 id E . b. Donner un exemple avec E R 3 de telle f ne vérifiant ni f 2 f ni f 2 id E . 132. On considère une application f de E dans E vérifiant f 3 f f f id E . a. Montrer que f est bijective en utilisant la méthode "deus ex machina". b. Déterminer toutes les applications f de C dans C définies par une expression du type fz az b vérifiant f 3 id E . Les interpréter géométriquement. 133. Soit f une application de E vers F. On note f l’application de PE vers PF qui à toute partie X de E fait correspondre fX, et f l’application de PF vers PE qui à toute partie Y de F fait correspondre f 1 Y. a. Montrer f injective ssi f injective, f injective ssi f surjective. b. Montrer f surjective ssi f surjective, f surjective ssi f injective. xy x 3 3 134. Soit f de R dans R définie par f y z yz zx 0 a. Déterminer f 1 0 : f est-elle injective ? 0 b. Déterminer fR 3 : f est-elle surjective ? 135. Donner un exemple d’application f de R 2 dans R 2 telle que fR 2 et f 1 0, 0 soient égaux tous les deux à la droite d’équation y x ; f est-elle surjective? Injective ? 136. On définit f de Z N dans Q par fa, b a 1b ; étudier l’injectivité et la surjectivité de f. 137. Soit S la sphère de R 3 de centre 0, 0, 0 et de rayon 1 et f l’application de R 2 dans S qui à , fait correspondre cos cos , sin cos , sin . a. Vérifier que f , f, . b. Montrer que les restrictions de f à , , et , 0, 2 sont 2 2 2 2 surjectives. c. Déterminer une partie A de R 2 telle que la restriction de f à A soit bijective. 138. Soit f définie de E 0, 2 dans lui-même par fx, y xy , xy ; déterminer pour que f f soit égal à id E ; que peut-on dire de f dans ce cas ? 139. Soit f l’application de N 2 dans N définie par fp, q 2 p 2q 1 ; montrer que f est bijective. x 140. Soit f : R 1, 1 définie par fx ; montrer que f est bijective, préciser 1 |x| l’application réciproque, et tracer les deux courbes. 141. Si f est une application de E vers F, on dit qu’une partie A de E est un domaine d’injectivité de f si la restriction de f à A est injective, et ce domaine est dit maximal si le seul domaine d’injectivité contenant A est A. f:RR a. Déterminer un domaine d’injectivité maximal pour x x2 et pour f:RR x x3 x b. Montrer que si A est un domaine d’injectivité, A est maximal ssi fA fE. SYSTEMES LINEAIRES x y 2mz 2m x my 2z 3 m 142. Résoudre et discuter le système de paramètre m : mx y 2z m 1 Rep : m 1 : x y 2z 2 ; m 2 : x 1 2z, y 3 2z ; sinon : x y z 1. x ay a 2 z a 3 143. Résoudre et discuter le système de paramètres a, b, c : x by b 2 z b 3 On x cy c 2 z c 3 n’étudiera complètement que les cas (a b, b c et a, b, c distincts. xyz 1 ax by cz d 144. Résoudre et discuter le système de paramètres a, b, c, d : On a2x b2y c2z d2 indiquera bien quels sont les cas particuliers, mais on n’étudiera complètement que les cas (a b, b c et a, b, c distincts. GÉOMÉTRIE 145. Donner un exemple de 4 points qui ne sont pas dans un même plan, et le prouver. 146. L’espace est rapporté à Oxyz ; soit D une droite qui n’est ni parallèle à la droite Ox, ni parallèle à la droite Oy. Montrer que D est de façon unique l’intersection d’un plan parallèle x 3 à la droite Ox et d’un plan parallèle à Oy. Appliquer à D : y 1 2 z 2 3 1 147. Valeurs de a pour que A 0 a a 1 ,B a 0 ,C 1 0 1 ,D 1 soient coplanaires ? 1 Équation du plan dans ce cas ? 148. Déterminer a pour que les droites AB et A B soient sécantes , sachant 1 A 0 ,B 2 0 1 ,A 1 1 ,B 1 ; coordonnées du point d’intersection ? a 2 2 3 Équation du plan les contenant ? 149. Déterminer a pour que les droites D AB avec A1, 1, 1 et B0, 2, 3 et 2x 3y 3z 0 D soient sécantes ; déterminer alors leur point d’intersection et xyz a l’équation cartésienne du plan les contenant. 150. Quelle est l’image de la droite y ax par la symétrie de base y bx et de direction y cx ? ab c 2bc REP : y x. 2a b c FONCTIONS HYPERBOLIQUES 151. : a. Simplifier shx chx ch2x ch4x. . . ch2 n x. n b. On pose f n x ch k1 x 2k ; déterminer lim f n x pour x 0, puis pour x 0. n c. Montrer que la fonction f définie par fx lim f n x est continue sur R. n n 152. Calculer k0 n k chkx. n Rep : 2 ch n x ch x . 2 2 TRIGO RÉCIPROQUE 153. Calculer cosarctan x, cos2 arctan x,cos1/2. arctan x sans faire intervenir de fonction trigonométrique. 154. Montrer, par les angles, puis par les dérivées, que arcsin x arctan x 2 (pour quels x ?) n 1x et exprimer de même arccos x. 155. Montrer, par les angles, puis par les dérivées, que arcsin x arctan x 1x 2 (pour quels x ?) ; en déduire que n1 k1 n arctan 1 arcsin 1 k k k2 1 sin x . 1 sin x a. Montrer que f est prolongeable par continuité sur R. b. Calculer fx . c. Simplifier fx pour x , et tracer la courbe de f sur 3 , 3 . 2 2 2 2 157. : a. Montrer que arccoscos x x 2. arrondi x (arrondix est l’entier le plus 2 proche de x b. Trouver une formule similaire pour arctantan x. 158. Pour quelles valeurs de a et b de 0, 1 a-t-on arcsin a arcsin b arcsin a 1 b 2 b 1 a 2 ? 156. fx arctan 159. On suppose connu que x 0, sin x x tan x ; en déduire que 2 2 x a. x 0, sin x x (indication : tan 2 x sin x2 et 2 1 sin x 1 x2 1 2 x 0, 1 1 x cos x ; en déduire un encadrement de tan x. 1 x2 y y b. y 0, 1 y arcsin y et y 0 arctan y y. 2 1y 1 y2 160. On pose fx sin x x ; montrer que f possède une fonction réciproque définie sur R ; tracer les courbes de f et f 1 ; déterminer l’ensemble de dérivabilité de f; calculer f 1 0 et f 1 1 . 2 COMPLEXES 161. Soit a un complexe de module 1 et U l’ensemble des complexes de module 1 ; pour tout a complexe différent de a, on pose fz zz a ; montrer que f définit une bijection de R sur U. 162. Résoudre dans C l’équation d’inconnue z : 4z 3 10 4iz 2 9 17iz 3 9i 0 sachant qu’elle a une solution imaginaire pure. Rep : 3i/2, 1 i/2, 2 i. 163. Résoudre dans C l’équation d’inconnue z : z 3 41 iz 2 2 11iz 3 15i 0 sachant qu’elle a une solution imaginaire pure. Rep : 3i, 3 2i, 1 i. 164. Résoudre dans C l’équation d’inconnue z : 2z 4 6 7iz 2 4 3i 0 . Rep : 1 i/2, 2 i 165. Résoudre dans C l’équation d’inconnue z : z 4 3 6iz 2 216 63i 0. Rep : 1 3i, 3 2i 166. Soient u et v deux complexes de module 1 ; construire graphiquement les deux racines carrées de uv. 167. Soient z, z deux complexes, z 0 ; montrer que |z z | |z| |z | zz R a. par le calcul b. géométriquement 168. Soit u un complexe ; montrer que u est de module 1 ssi 1 u 1u est un réel de 1, 1. 2 169. Montrer que |u| |v| |w| |u v w| |uv vw wu|. 170. On pose u n 1 i n , A n le point image de u n ; indiquer comment on construit géométriquement A n à partir de A n1 et O; appliquer ceci sur une figure indiquant les premiers points de la suite. 171. Soit x iy un complexe non nul d’argument , ; montrer que si x, y 0, y y arccos 2x 2 arcsin 2 2 arctan x . Donner au moins une formule pour les trois x y x y autres cas des signes de x et y. 172. On considère l’application f du plan complexe dans lui-même qui à tout point d’affixe z fait correspondre le point d’affixe z 2 . a. Déterminer l’image par f des droites V a : x a et H a : y a. Nature de ces courbes ? Comment obtient-on H a à partir de V a ? b. Représenter graphiquement fV a et fH a pour a 2, 1, 0, 1, 2. 173. Montrer que pour tous complexes a et b, on a |a b| 2 1 |a| 2 1 |b| 2 . Etudier le cas d’égalité et placer dans le plan les points Aa et Bb dans ce cas. xyz a 174. Soient x, y, z et a, b, c C ; montrer que 3 a b c 3x x jy jz b a jb jc 3z x jy jz c a jb jc 3y xyz a A quelle CNS portant sur a, b, c les solutions x, y, z du système x jy jz b x jy jz c sont-elles réelles ? 175. Sooient x, y, z, t et a, b, c, d C 4 ; montrer que : xyzt a x iy z it b xyzt c a b c d 4x x iy z it d a ib c id 4y a b c d 4z a ib c id 4t xyzt a x iy z it b A quelle CNS portant sur a, b, c, d les solutions du système xyzt c x iy z it d sont-elles réelles ? 176. On pose S 0 03kn n n 3k , S1 03k1n n n 3k 1 , S2 03k2n n 3k 2 . Exprimer 1 1 , 1 j n , 1 j en fonction de S 0 , S 1 , S 2 ; en déduire la valeur de ces derniers. 2 n 21 n cos n q 2 2 n 2 cos n 2q 3 3 rep : S q (ou 3 3 177. On pose n n n n S0 , S1 , S2 , S3 4k 4k 1 4k 2 4k 3 04kn 04k1n 03k2n 04k3n Exprimer 1 1 n , 1 i n , 1 1 n , 1 i n en fonction de S 0 , S 1 , S 2 , S 3 ; en déduire la valeur de ces derniers (on mettra 1 i et 1 i sous forme trigonométrique). 178. Résoudre dans C (n étant un entier 1 fixé) : z n R ; tracer l’ensemble des solutions pour n 2 puis 3. 179. Soit u une racine cinquième de 1 autre que 1 , A u u 4 , B u 2 u 3 . Calculer A B et AB ; en déduire cos 2 et sin 2 . 5 5 180. Soit u une racine septième de 1 autre que 1 , A u u 2 u 4 , B u 3 u 5 u 6 . 2i Calculer A B et AB ; en déduire A et B si u e 7 . u u2 u3 . 181. Soit u une racine septième de 1 ; calculer 1 u2 1 u4 1 u6 Rep : 2 ou 3/2. 182. Déterminer de deux façons les racines quatrièmes de 3 i et en déduire cos , sin . 24 24 183. Soit n un entier 0 ; a. Résoudre en utlisant les racines n ièmes : 1 iz n 1 iz n (on doit trouver 5 réels). b. Résoudre algébriquement pour n 5 ; en déduire les valeurs de tan et tan 2 . 5 5 INTÉGRATION 184. Montrer par récurrence que pour n naturel et x 0, 2 2n 3 2n1 ch x 1 x . . . x et sh x x x . . . x . 2 3! 2n! 2n 1! 185. Montrer par récurrence que pour n naturel et x 0, 2 n 2 n n 1 x x . . . x e x 1 x x . . . x x e x . 2 n! 2 n! n! b 186. Calculer b xx a dx, a b. a a. En montrant que la courbe de la fonction à intégrer est un demi-cercle. b. En faisant un changement de variable correspondant à la paramétrisation par l’angle au centre de ce demi-cercle. 1 187. Calculer x arcsin x dx 0 a. En commençant par effectuer une intégration par parties (puis Binet). b. En commençant par effectuer le changement de variable : t arcsin x. c. Représenter l’aire calculée. 2 dx 188. Calculer 1 x x2 1 a. En posant t 1/x b. En posant t x 2 1 c. En posant t x x 2 1 d. facultatif : En posant t argch x. 2 2 dx 189. Calculer 3 x x2 1 a. En posant t 1/x b. En posant t x 2 1 c. En posant t x x 2 1 d. facultatif : en posant t argsh x. 1 dx 190. Calculer 3 /2 x 1 x2 a. En posant t 1/x b. En posant t 1 x 2 c. En posant t arcsin x x 191. On pose Ex ex dx ; calculer à l’aide de Ex les primitives suivantes : a. dxx xe b. e x ln xdx c. d. xe2 dx e dx x ex dx e dx x 1 x 2 e. f. 1 x 192. On pose I n I2, I3, I4. 193. Calculer 0 Rep : 2 et . cos n xdx ; montrer par IPP que nI n sin x cos n1 x n 1I n2 ; en déduire dx , puis xdx . 0 1 sin x 1 sin x x2 194. Etudier la fonction f définie par fx lndtt ; ensemble de définition, signe, x prolongements en 0 et 1, dérivée, variations, limites, tracé. 195. Soit f une fonction continue croissante sur R ; on pose, pour x 0, Mx valeur moyenne de f sur 0, x ; montrer que M est croissante sur R . 196. Soit f une fonction dérivable injective de dérivée jamais nulle sur un intervalle I et f 1 sa fonction réciproque définie sur J fI , F une primitive de f; montrer qu’une primitive de f 1 est la fonction G définie par xf 1 x Ff 1 x . Appliquer au calcul de primitives de ln, d’arcsin et d’ arctan et comparer avec leur calcul habituel. RELATIONS 197. On définit dans l’ensemble des fonctions réelles définies sur 0, les relations R et S : f R g 0 A 0 x A |fx gx| et f S g A 0 0 x A |fx gx| a. Vérifier que R est réflexive, symétrique et transitive (on admettra que S aussi). b. Quelle relation implique l’autre ? Donner un exemple de couple f, g vérifiant l’une et pas l’autre. 198. On dit qu’une relation R dans un ensemble E est strictement antisymétrique si x, y E xRy yR x. a. Donner un exemple. b. Une relation strictement antisymétrique est-elle antisymétrique ? c. Trouver une condition du type : R est strictement antisymétrique ssi R est antisymétrique et ................ 199. Une relation antisymétrique est dite maximale si on ne peut pas rajouter de couple dans son graphe sans perdre sa propriété d’antisymétrie ; par exemple, la relation de table a b a b c c est antisymétrique maximale, tandis que la relation de table a a c b c b est antisymétrique non maximale. Combien de couples une relation antisymétrique maximale sur un ensemble à n éléments possède-t-elle dans son graphe ? Combien existe-t-il de relations antisymétriques maximales dans un ensemble à n éléments ? RELATIONS D’ORDRE 200. L’ensemble des nombres entiers naturels est muni de la relation de divisibilité ; déterminer l’ensemble des majorants (pour cette relation) de l’ensemble A 1, 2, 3, 4, 6, 12, puis l’ensemble des majorants de l’ensemble B 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. 201. Déterminer toutes les relations d’ordre sur un ensemble à 3 éléments. Indiquer celles qui sont totales. n 202. On définit dans R la relation R par uRv n N / v u 2 ; a. R est-elle une relation d’ordre ? b. Même question en remplaçant R par C. 203. On définit dans R 2 la relation : x, yRx , y x x y y . Est-ce une relation d’ordre ? 204. On définit dans R 2 la relation d’ordre lexicographique : x x . x, y x , y ou x x et y y a. Est-elle totale ? b. Toute partie non vide majorée de R 2 possède-t-elle une borne supérieure ? 205. On définit dans l’ensemble R R des applications de R vers R la relation par f g x R fx gx a. Vérifier que est bien une relation d’ordre. Est-elle totale ? b. Soient f et g appartenant à R R ; à quelle condition A f, g possède-telle un maximum ? A possède-t-elle toujours une borne supérieure ? c. Toute partie non vide majorée de R R possède-t-elle une borne supérieure ? d. Soit X une partie de R et F X f R R / fR X ; montrer que F X possède un maximum dans R R ssi X en possède un dans R. 206. On définit dans l’ensemble des parties non vide de R la relation R par : A R B x A y B x y a. Etudier la réflexivité, la transitivité, et l’antisymétrie de R. Est-ce une relation d’ordre ? b. On définit maintenant, toujours dans l’ensemble des parties non vide de R la relation S par : A S B A R B ou A B On admettra que S est bien une relation d’ordre : est-elle totale ? c. Vérifier que PR\ possède un plus petit élément et un plus grand élément pour S. 207. Théorème du point fixe pour une fonction croissante a. Soit f une fonction croissante de [0,1] dans lui-même ; montrer qu’elle possède un point fixe (cad qu’il existe un de [0,1] tel que f . Indication : considérer l’ensemble A x 0, 1 / fx x ; montrer qu’il n’est pas vide et considérer sa borne inférieure ; vérifier que 0, 1 et montrer que f . b. Montrer que ce théorème est faux si l’on remplace [0,1] par ]0,1]. 208. Déterminer inf ab et sup ab . 2 2 2 2 a,b0 a b a,b0 a b OPÉRATIONS 209. Soit une loi associative dans E telle que pour tous x, y, z de E, x x x et x y z y z x. Montrer que est commutative. Rep : xy xxy yxx yx. 210. On définit dans R la loi par x y ax y xy. a. A quelle condition sur a est-elle associative ? b. Etudier alors ses autres propriétés. 211. Soit E un ensemble fini, et A l’ensemble des applications de E dans E non bijectives ; montrer que A est une partie stable de E E pour la loi (ce qui fournit donc un exemple de loi associative sans élément neutre et non commutative) ; vérifier que cette propriété est fausse si E R. 212. Etudier les propriétés de la loi définie dans R par x y arrondix y. Que dire de la restriction de à Z ? Idem pour x y arrondix arrondiy. 213. Etudier les propriétés de la loi définie dans R 2 par x, y x , y x y , y x . 214. Etudier les propriétés de la loi définie dans R 2 par x, y x , y xx yy , xy yx . 215. Etudier la distributivité de l’intersection sur la différence ensembliste dans PE. 216. On considère un ensemble E muni de 2 opérations et vérifiant : 1) est commutative, associative, distributive par rapport à , possède un neutre noté 0 et un absorbant noté 1, et tout élément est idempotent ( x x x 2) Il existe une application EE xx vérifiant x y x y, 0 1, x x, x x 1. a. Vérifier que x y x y. b. Montrer que est commutative, associative, distributive par rapport à , possède un neutre 1 et un absorbant 0, et tout élément est idempotent. c. Montrer que x x y x (indication : x 0 x, et que x x y x. d. On définit x y par x y x ; vérifier que cela équivaut à x y y. e. Montrer que est une relation d’ordre et que quel que soit x, 0 x 1. f. Montrer que infa, b a b, supa, b a b. g. Donner deux exemples. 217. On définit dans , la loi par a b arctan sin a sin b 2 2 cos a cos b a. Montrer que cosa b cos a cos b et calculer sina b. 1 sin a sin b b. Montrer que , , est un groupe. 2 2 218. : a. Soit une loi associative dans E ayant un élément neutre e ; montrer que si deux éléments symétrisables commutent, alors leurs symétriques commutent. b. Soit G un groupe multiplicatif, H et K deux sous-groupes de G tels que hk kh pour tous h, k de H K ; montrer que HK hk / h H, k K est un sous-groupe de G. 2i 219. Soit A x jy / x, y Z 2 Z jZ où j e 3 . a. Montrer que A est un sous-anneau de C. b. Montrer que z A |z| 2 N c. Montrer qu’un élément de A est inversible ss’il est de module 1. En déduire l’ensemble G des inversibles de A. En donner la table et la structure. 220. Soit A x y 3 2 / x, y Z 2 Z 3 2 Z . a. Montrer que 3 4 A. b. Montrer que A est un sous-groupe de R mais pas un sous-anneau. 221. Montrer que si dans un anneau intègre A un élément a possède un inverse à droite b, alors b est aussi inverse à gauche de a. 222. On définit dans R la loi par x y x y xy. a. Montrer que R, est isomorphe à R, par un isomorphisme du type fx x a ; en déduire les propriétés de * . b. Calculer 1 2 . . . n. ARITHMÉTIQUE 223. Montrer qu’une partie de N stable pour l’addition et contenant 0 n’est pas forcément de la forme aN. 224. On divise deux entiers a b par leur différence a b. Comparer les quotients et les restes obtenus. 225. Soit a, b, c un triplet pythagoricien, c’est-à-dire un triplet d’entiers 0 vérifiant c 2 a 2 b 2 . Montrer que a ou b est multiple de 4. 226. Comment remarque t-on qu’un nombre écrit dans une base impaire est pair ? 227. Montrer de 2 manières différentes que lorsqu’on retranche 1 à un carré impair, on obtient un multiple de 8. 228. Montrer que pour n 2, le dernier chiffre (en base 10) d’un nombre de Fermat n F n 2 2 1 est toujours un 7. 229. Montrer que si a et b sont des entiers non multiples de 5, alors un, et un seul, des nombres a 2 b 2 et a 2 b 2 est multiple de 5. 230. : a. Montrer que si une somme de deux carrés non nuls N a 2 b 2 est un multiple de 4, alors N/4 est aussi une somme de deux carrés non nuls. b. En déduire qu’une puissance de 4 n’est jamais la somme de deux carrés non nuls. c. Montrer que le double d’une puissance de 4 est d’une et d’une seule façon la somme de deux carrés non nuls. 231. Soit u n la suite définie par u 0 1, u 1 2, u n u n1 u n2 ( u n F n2 . a. On exécute l’algorithme d’Euclide sur le couple d’entiers u n , u n1 ; combien de divisions euclidiennes a-t-on effectuées ? b. On exécute l’algorithme d’Euclide sur le couple d’entiers a, b, a b 0, et on constate qu’on a dû effectuer n divisions euclidiennes. Montrer que a u n et b u n1 . c. Vérifier que u n n où est le nombre d’or 2 1 et en déduire que si b possède k chiffres en base 10, l’algorithme d’Euclide donne le pgcd en 5k 1 coups au plus quel que soit a. 232. Montrer que si a et b sont deux entiers, a 4 4b 4 n’est jamais premier, sauf si a 4 b 4 1. 233. Montrer que si p 3 ou 7 et a et b sont des entiers, a 2 b 2 multiple de p implique a et b multiples de p (on peut montrer que cette propriété est même vraie pour tout premier p non congru à 1 modulo 4). 234. Soit p un nombre premier impair. On dit qu’un entier r est une racine n ième d’un entier a modulo p si r n a p. a. Montrer que que tout entier non multiple de p possède un inverse modulo p et que si deux entiers a et b ont un produit congru à 0 modulo p, l’un d’entre eux est congru à 0 modulo p. b. Déterminer les racines carrées de 1 modulo p. c. Donner un exemple de p tel que 3 possède une racine carrée, et un exemple où il n’en possède pas. On se propose dans la suite de déterminer les racines cubiques de 1. d. Résoudre x 2 x 1 0 p (indication : multiplier par 4 et mettre sous forme canonique). e. En déduire que si 3 possède une racine carrée a modulo p alors 1 possède 3 racines cubiques modulo p, (on les exprimera en fonction de a d’un inverse b de 2) et que sinon, il n’en possède qu’une. Déterminer par exemple les racines cubiques de 1 modulo 5 et 7. 235. : a. Déterminer un entier u tel que 4u est congru à 1 modulo 7. b. On se propose de résoudre en nombres entiers l’équation 7x 4y 100. i. Montrer que si x, y est solution, y est forcément congru à 4 modulo 7. ii. En déduire l’ensemble des solutions de cette équation et, parmi celles-ci, celles qui sont formées de nombres 0. c. Dans un champ, il y a en tout 100 poules, vaches et cochons, avec plus de vaches que de cochons. Une vache mange à elle seule 5 tartes ; un cochon en mange 3, et trois poules en mangent 1. A eux tous, ils mangent 100 tartes. Combien y a-t-il de poules, de vaches, et de cochons? 236. Le petit théorème de Fermat pour les premiers jumeaux (on suppose connu le petit théorème de Fermat habituel). Montrer que si p et q p 2 sont des nombres premiers jumeaux, alors 2 q 3q 2 modpq. 237. On suppose connu le petit théorème de Fermat : si p est premier et a non multiple de p alors a p1 1 mod p. Cependant, la réciproque est fausse. On dira donc qu’un entier n est pseudo-premier en base a si n n’est pas premier mais a n1 1 mod n. Soit alors a un entier 2, p un nombre premier ne divisant pas aa 2 1, et considérons 2p n a2 1. a 1 a. Montrer que n est un entier non premier impair. b. Vérifier que a 2p 1 mod n. c. Montrer que p divise n 1 (utiliser le théorème de Fermat). d. En déduire que n est pseudo-premier en base a. e. En déduire qu’il y a une infinité de pseudo-premiers en base a. f. Trouver un pseudo premier en base 2. 238. Soient k, n deux entiers, 1 k n 1 ; donner une condition suffisante pour que a. b. n k n k soit divisible par n. soit divisible par nn 1/2. c. Montrer que le cas b) est obtenu si n et n 1/2 sont premiers, et 5 k n 3 (dans 2 ce cas, n est appelé un nombre premier "sûr"). p 239. Montrer que si p est premier, alors restes dans la division par p de k p1 k 0 p pour 1 k n 1 ; en déduire les et de p1 k . 240. Montrer que si un entier 0 est à la fois un carré et un cube alors c’est une puissance sixième. Généraliser à une puissance n-ième et une puissance m-ième. 241. Le maximum de 2 réels est noté a b et le minimum a b ; a. En utilisant le fait que a b a b a b, donner une formule exprimant a b c uniquement à l’aide de et . abc. pgcda, b, c b. Montrer que pour a, b, c entiers 0, ppcma, b, c . pgcda, bpgcdb, cpgcdc, a Vérifier par exemple pour le ppcm de 6,10 et 15. 242. Soit p n la suite croissante des nombres premiers. a. Montrer que p n1 p 1 . . . . p n 1. b. Montrer que tout entier 7 est la somme de 2 nombres premiers entre eux 2. c. En déduire que pour n 3, p n1 p n2 p 1 . . . . p n (appliquer b) à p 1 . . . . p n . SUITES 243. Etudier le sens de variation de la suite u n définie par u n 3 n 2 n . 2n n 244. Etudier le sens de variation de la suite u n définie par u n 2n définie par v n nu n ; en déduire un encadrement de n 4n et de la suite v n . 245. Soit a n n1 une suite croissante ; a. montrer que pour tout n 1 et tout k |1, n| k n n ai k i1 n ai i1 k Indication : étudier u n k a i n ai . i1 i1 b. En déduire que si a n n1 est une suite croissante à termes strictement positifs alors pour tout n 1 et tout k |1, n| k ai i1 n n k ai i1 2n n n 4n u a. Montrer que un1 n 246. On pose u n b. Montrer que u n 2n n n 1 2n 1 , en déduire le sens de variation de u n . 2 nn 1 n , en déduire que u n est majorée, et que 2n 1 4n . 2n n 247. Étudier le sens de variation de la suite u n définie par u n 1 . kn k1 n 248. On pose r n 1 k k1 n . n1 b. En déduire que la suite u n définie par u n r n est croissante et majorée. n 249. On dit qu’une suite est "périodique APCR" s’il existe un rang à partir duquel elle est périodique. Donner un exemple de suite prenant un nombre fini de valeurs et qui n’est pas périodique APCR. Montrer que ce dernier phénomène ne peut pas se produire si la suite est définie par récurrence simple ( u n1 fu n . 250. Soit u n une suite numérique ; on pose v 0 u 0 et v n u n au n1 ; exprimer u n en fonction des termes de la suite v n . Idem pour w n u n nu n1 . 251. Soit u n le nombre qui s’écrit 123. . . n en base n 1 ; exprimer u n sous forme d’une somme et calculer cette somme à l’aide des suites géométriques. 252. 1 1 3 , 3 5 2 3 , 7 9 11 3 3 ; écrire la formule générale et la démontrer. 253. Arthur place S € à un taux mensuel de 1% ; chaque mois est prélevé sur la somme placée 1€ de frais fixes. Quelle somme aura-t-il au bout d’un an ? A partir de quelle somme ce placement est-il avantageux ? a. Montrer que r n n n 254. Si fx x k , on définit une suite de fonctions par récurrence en posant : f 0 x fx k1 et f p1 x xf p x. a. Donner et démontrer une formule développée pour f p x. n 2 b. En déduire par cette méthode k k . 2 k1 n 255. Calculer kx k . k1 a. Par une méthode utilisant les dérivées. b. Par une méthode n’utilisant pas les dérivées. 256. : n n a. Calculer kx k ; en déduire, pour |x| 1, la valeur de fx lim kx k . n k1 k1 b. Calculer f1/100 et en déduire les 200 premières décimales de 1/9801. 257. : n a. Calculer k n k1 n ; on pose u n k0 1 n . k b. Montrer que u n 1 n 1 u n1 . 2n c. En déduire u n 2 1n . 2 258. Achille parcourt l’axe des x à la vitesse V et une tortue à la vitesse v V/k ; leurs positions à l’instant t sont données par X Vt et x a vt ( a 0. On pose X 0 0 et x 0 a, positions d’Achille et de la tortue à l’instant 0 , et on définit deux suites X n et x n , de sorte que X n et x n soient les positions respectives d’Achille et de la tortue au même instant t n et que x n1 soit la position de la tortue au moment (t n1 où Achille atteint la position x n que la tortue avait à l’instant t n (donc X n1 x n . On demande de calculer x n en fonction de n, k, a. n1 REP : a k 1 1 ; écrire ce nombre en base 10 pour a 1 et k 10. k1 k 259. Soient a, b, c, d 4 termes consécutifs d’une suite de type Fibonacci ( u n2 u n1 u n1 ; montrer que A ad, B 2bc, C b 2 c 2 forment un triplet pythagoricien ( A 2 B 2 C 2 . 260. Déterminer u n en fonction de n sachant que n N u n2 6u n u n1 et u 0 2, u 2 13. 261. Déterminer u n en fonction de n sachant que n N u n2 6u n u n1 et u 0 u 1 1; 10u 0 u 3 1. 262. On définit les suites de Fibonacci F n et de Lucas L n par la même relation de récurrence : F n2 F n1 F n et L n2 L n1 L n et par les conditions initiales : F 0 0, F 1 1, L 0 2, L 1 1. a. Exprimer F n et L n en fonction de n en utilisant les deux solutions et de l’équation caractéristique. b. Montrer que pour p q F pq 1 q F pq F p L q . 263. Calcul d’une suite par un accumulateur. On définit par récurrence une fonction U de N R dans R par U0, x x et Un, x Un 1, nx ; que vaut Un, 1? 264. Calcul d’une suite récurrente double par un accumulateur. Une fonction f de R 2 dans R étant donnée, on définit une fonction U de N R 2 dans R par U0, a, b a , U1, a, b b et Un, a, b Un 1, b, fa, b ; montrer que pour a et b donnés, la suite u n définie par u 0 a, u 1 b, u n fu n2 , u n1 vérifie u n Un, a, b l’accumulateur est le couple a, b, qui "accumule" les résulats successifs de la suite) 265. Calculer le terme général de la suite u n la suite définie par u 0 1, u 1 cos x, u n 2 cos x. u n1 u n2 . Que retrouve-t-on ? Idem pour u 0 0, u 1 sin x, u n 2 cos x. u n1 u n2 . 266. Soit u n une suite récurrente double vérifiant u n2 au n1 bu n ; montrer que la suite v n u 2n est aussi une suite récurrente double et que l’équation caractéristique associée à v n a pour solutions les carrés des solutions de celle associée à u n . 267. Soit F n la suite de Fibonacci définie par F 0 0, F 1 1, F n F n1 F n2 . On demande n de calculer la somme Fn1 (on vérifiera que c’est un rationnel) et de donner ses 5 10 n1 premières décimales sans calculatrice. 268. Soit t 0, 1 et u n une suite définie par ses deux premiers termes et la relation u n1 u n2 u n moyenne ; calculer u n et exprimer sa limite comme moyenne de u 0 et t 1t u1. 269. On donne u0 1 n N u n1 u 0 u 1 . . u n 2 ; calculer u n en fonction de n. 1 270. u n 1 1 t n e t dt n! 0 a. Déterminer une relation de récurrence entre u n et u n1 ; en déduire u n . b. Déterminer lim u n à l’aide d’un encadrement. c. En déduire 1 . p! p0 n 271. u n ln 1 12 k k2 a. Simplifier u n ; en déduire sa limite. n b. En déduire la convergence de q n k1 1 k2 . 272. : a. Une personne décide de manger 1/10 d’une plaque de chocolat, le lendemain 1/10 du restant et ainsi de suite. Au bout de combien de temps aura-t-elle mangé la moitié ? Quelle fraction aura-t-elle mangé à l’infini ? b. Une personne décide de manger 1/4 d’une plaque de chocolat, le lendemain 1/9 du restant, le surlendemain 1/16 et ainsi de suite. Quelle fraction aura-t-elle mangé à l’infini ? 273. Soit u n et v n deux suites réelles telles que u n a et v n b pour tout n et u n v n a b. Que dire de u n et v n ? Est-ce encore exact si on suppose u n a et v n b pour tout n ? 274. : a. Donner un exemple de suite réelle bornée n’ayant ni plus petite valeur, ni plus grande valeur. b. Soit u n une suite réelle convergente. Montrer qu’elle possède une plus petite valeur, ou une plus grande valeur. On utilisera le fait que tout ensemble fini non vide de réels possède un plus grand et un plus petit élément. 275. Que dire d’une suite monotone ayant une sous-suite convergente? 276. Soit u n une suite réelle vérifiant u n l et l u n1 u n1 u n pour un certain réel l et tout entier naturel n. a. Montrer que la suite u n converge vers l. b. Déterminer les suites de la forme a n b , a 0 et 0 , vérifiant la propriété ci-dessus. c. Soit f une fonction réelle défnie sur un intervalle I et la suite u n définie par u 0 I et u n fu n1 ; déterminer les propriétés vérifiées par f pour être sûr que la suite u n soit bien définie et possède la propriété du départ de l’exercice. Faire une figure. d. Ecrire alors un algorithme python déterminant l à une précision donnée utilisant f . 277. Un escargot capable de parcourir 1 mètre par jour est situé (jour 1) à l’extrémité d’un ruban de longueur 10 mètres. Il voudrait parvenir à l’autre extrémité, mais chaque nuit lorsqu’il se repose, le ruban s’étire uniformément et s’allonge de 10 mètres. Cet escargot, ou l’un de ses descendants a-t-il des chances de parvenir à ses fins ? Indication : montrer que la distance u n qu’il lui reste à parcourir à la fin du jour n vérifie la relation de récurrence : u n1 1 1n u n 1, calculer u n et conclure en utilisant un résultat démontré dans le cours. 278. Nombre moyen de diviseurs. On pose D n la moyenne arithmétique du nombre de diviseurs des entiers entre 1 et n. a. Montrer que nD n est le nombre de couples de naturels d, d vérifiant dd n. n n . d b. En déduire que D n 1n d1 c. Redémontrer que ln n h n ln n 1 où h n est la série harmonique. d. En déduire que ln n 1 D n ln n 1. 279. Suites convexes. On dit qu’une suite u n est convexe si chaque terme est au-dessous de la moyenne des deux plus proches (u n u n1 u n1 . 2 a. Illustrer la propriété avec un diagramme en batons. b. Vérifier u n est convexe ssi u n1 u n croissante. un up c. Montrer que si u n est convexe alors pour tout p fixé, n p np1 est croissante. d. Montrer qu’une suite convexe bornée est décroissante convergente (donner un exemple non constant). e. Montrer que si u n est convexe, alors unn possède toujours une limite, finie ou infinie (donner un exemple de chacun des cas). n 280. Soit u n une suite de réels 0 de limite nulle ; montrer que u kk ne tend pas vers 0, 2 k0 n mais que k0 u nk tend vers 0. 2k 281. On pose pour n 1 : u n n n 1 ...... 2 1 . 2n 1 . b. Vérifier que pour n 2 u n 1 u n1 et en déduire lim u n . n n n u n1 c. Vérifier que pour n 2 u n n et en déduire limu n n . un n d. Calculer à la machine u 100 100 . n 282. u n 1 12 , v n u n unn ; montrer que u n et v n sont adjacentes. k a. Montrer que u n k1 n 283. q n 12 ; déterminer la plus petite valeur de a de sorte que u n k q n an soit k1 décroissante ; en déduire la convergence de q n et un calcul de sa limite à 10 3 près n a avec 1 (généralisation facultative : u n 1 , v n u n 1 k n k1 n 284. q n 12 ; montrer que q n 12 k n k1 et q n 1n sont adjacentes. En déduire que pour n 2, 12 12 1n . n k n 285. u n k1 kn1 1 , v u n 1 ; montrer que u n et v n sont adjacentes (on peut k. k! n n 2 n! 1 x montrer que la limite est e x 1 dx. 0 286. On donne la suite récurrente définie par u0 0 u n1 fu n 6 . x2 2 avec fx a. Faire une figure. b. Montrer que f f0, 1 0, 1. x 1x 2x 3 2x 6 c. On donne ffx x ; déterminer le comportement de 2 x 2 2 18 u 2n . d. En déduire celui de u 2n1 . n 287. Soit u n une suite décroissante de réels 0 telle que la somme S n u k possède une k0 limite finie S. a. Donner un exemple. b. Montrer que forcément u n 1n (indication : minorer S 2n S n n c. T n k u k u k1 ; exprimer T n en fonction de S n et u n et déterminer sa limite. k1 n 288. Soit n le plus grand diviseur impair de n et Sn k1 k . k a. Montrer que si n est impair, Sn Sn 1 1 et que sinon, Sn n 1 S n 2 2 2 calculer par exemple S100. b. Calculer S2 n . 1 Rep : 2 2 n n1 3 2 c. Montrer que Sn 2 n O1. Interpréter. 3 2 Rep : n Sn 2 n 1 3 3 n 289. Déterminer un équivalent simple quand n tend vers l’infini de u n k . k1 ; k1 n 290. Déterminer un équivalent simple quand n tend vers l’infini de u n 2 k et de k1 n v n 2 . k2 k1 291. Soit u n une suite telle que u n u n1 a n ; montrer que si u n est monotone et a n a n1 , alors u n a n , mais que ceci est faux si l’une de ces deux hypothèses n’est pas 2 vérifiée. n 292. On pose u n k ; montrer à l’aide d’une décomposition en éléments simples que k2 1 k2 u n h n 3 1 2 o 12 ( h n est la série harmonique). 4 2n n 293. Montrer que n! n n mais que lnn! lnn n (à l’aide d’une intégrale). DÉNOMBREMENTS 294. Dénombrer les grilles de mots croisés n n ayant exactement une case noire dans chaque ligne et dans chaque colonne. 295. Dénombrer les couples A, B formés de parties d’un ensemble E ayant n éléments dont l’intersection est réduite à un élément. 296. On tire au hasard et successivement deux parties A et B de E ayant n éléments ; quelle est la probabilité que ces deux parties a. soient disjointes b. soient de réunion égale à E c. soient incluses l’une dans l’autre ? 297. Quel est la moyenne du nombre d’éléments d’une partie de E, ensemble ayant n éléments ? Quel est son écart-type ? Rappel : l’écart-type est la racine carrée de la variance et la variance est la moyenne du carré moins le carré de la moyenne. Réponse : n/2 et n /2. 298. Calculer k X|1,n| kX Indication : échanger les deux . REP : nn 12 n2 . 299. Soit f une application de E dans E; montrer que f vérifie f 2 f f f si et seulement si la restriction de f à fE est l’identité de fE. En déduire dans le cas où E est fini possédant n éléments un calcul du nombre d’application f de E dans E vérifiant f 2 f. 300. Déterminer le nombre u n de parties de |1, n| ne contenant pas deux entiers consécutifs. On rappelle que la suite de Fibonacci F n est définie par F 0 0, F 1 1, F n F n1 F n2 . 301. Combien y a t il de types de classements avec ex æquos possibles de n concurrents? Par exemple, pour n 3 il y en a 4 : soit il n’y a pas d’ex æquos, soit il y a un premier et deux seconds ex æquos, soit il y a deux premiers ex æquos et un troisième, soit enfin trois premiers (et derniers !) ex æquos. 302. Combien y a t il de façons de classer 4 personnes avec des ex aequos possibles ? Réponse : 24 36 8 6 1. PROBABILITES 303. Une probabilité P sur l’univers a, b, c vérifie Pa, b , Pb, c . On demande les conditions sur , pour que P existe et de donner les valeurs des probabilités des évènements élémentaires. 304. On dit que B est presque inclus dans A si P B A 0. Montrer que cela équivaut à ce que P A B PA PB. Comment définirait-on le fait que deux évènements sont presque égaux? n n 305. Comparer P i1 Ai et PA i . i1 306. Soient A et B deux évènements. a. Démontrer que PA B PA PB 1 et préciser le cas d’égalité. b. Généraliser à plusieurs évènements. c. Une enquête tenue secrète révèle qu’au moins 70% des élèves de terminale détestent le français, au moins 75% la physique-chimie et au moins 80% les mathématiques. Combien d’élèves au moins détestent toutes ces matières à la fois ? 307. 6 chaussettes formant 3 paires se retrouvent mélangées dans un sac ; je tire 3 chaussettes au hasard. a. Quelle est la probabilité que les 3 chaussettes appartiennent chacune à une paire différente ? b. Remplacer 3 par n. On note p n la probabilité correspondante. c. Déterminer la limite de p n sans utiliser la formule de Stirling, puis en donner un équivalent en utilisant cette formule. 308. On jette n fois un dé équilibré à n faces. a. Quelle est la probabilité p n que la face une n’apparaisse jamais ? b. Limite de p n quand n tend vers l’infini ? 309. On jette n fois un dé équilibré à n faces. a. Soit X le nombre d’apparition de la face une. Loi de probabilité de X ? b. On note p n la probabilité que la face une apparaisse un nombre impair de fois, q n la probabilité que la face une apparaisse un nombre pair de fois. On demande d’exprimer p n et q n sous forme de somme. c. Calculer p n q n et p n q n et en déduire une expression simple de p n . d. Limite de p n quand n tend vers l’infini ? 310. Soient n, p N . Une urne contient n boules numérotées de 1 à n. On tire p boules avec remise. a. Calculer la probabilité que le numéro de la boule du p ième tirage soit supérieur ou égal à ceux des p 1 boules tirées précédemment. Vérifier que l’expression trouvée est bien inférieure ou égale à 1. b. Déterminer la limite de cette probabilité quand p , n fixé. c. Déterminer la limite de cette probabilité quand n , p fixé. 311. 2n électeurs votent pour élire l’un de deux candidats, A et B. Au dépouillement, exactement n électeurs ont voté pour A et n ont voté pour B. Mais un sondage de 2q électeurs a eu lieu à la sortie des urnes ( 1 q n (on suppose que les électeurs disent exactement pour qui ils ont voté). a. Quelle est la probabilité p q que ce sondage donne exactement q électeurs ayant voté A et q électeurs ayant voté B ? b. Etudier le sens de variation de la suite finie p q . q 1 p q1 2 . nq . Aide : on trouvera p q q1 nq 1 2 312. L’indépendance des évènements est-elle transitive ? 313. Un archer tire sur une cible située à 20 m et une cible située à 50 m. Il effectue trois tirs en changeant de cible à chaque fois. La probabilité d’atteindre la cible à 20 m (resp. 50 m) est p (respectivement q) avec q p. On suppose que les tirs sont indépendants. Il gagne le jeu s’il atteint les deux cibles consécutivement. Calculer la probabilité de gagner en commençant par la cible située à 20 m (resp. 50 m). Par quelle cible a-t-il intérêt à commencer ? 314. Un club photo est composé de n membres dont f sont des filles. Un premier membre, tiré au sort, est chargé de photographier un autre membre du club, lui aussi tiré au hasard. Calculer la probabilité que l’élève pris en photo soit une fille. 315. Une abeille va chaque jour sur l’une des deux fleurs A et B. Au jour 0, elle va à la fleur A. À chaque nouvelle journée, il y a une probabilité p 0, 1 qu’elle aille sur la même fleur que la veille. Pour tout entier n, on note A n l’évènement [l’abeille est sur la fleur A au jour n] et B n l’événement |[l’abeille est sur la fleur B au jour n . On pose a n PA n et b n PB n . a. Déterminer des expressions de a n , puis de b n en fonction de n. b. Vers quoi tendent les suites a n et b n ? Interpréter. 316. Une maladie est détectée par un test. Sur 1000 personnes testées, 5 sont détectées positives et sont réellement malades, 120 sont détectées positives et ne sont pas malades (les faux positifs), 2 sont détectées négatives et sont en fait malades (les faux négatifs). Avec des notations évidentes, calculer PP|M, PP|M, PM|P, PM|P (réponses en pourcentage). Réponse : 71%, 12%, 4%, 0,2%. 317. On organise une loterie avec n types de tickets vendus chacun à s euros ; il y a k tickets du k ième type, qui lorsqu’on les achète, donnent chacun un gain de n k euros. a. Quelle somme S la vente de de tous les tickets rapporte-t-elle à l’organisateur, et quel est pour lui le coût total S des lots ? b. Quelle est l’espérance de gain pour l’acheteur d’un ticket ? 318. On tire au hasard une partie d’un ensemble à n éléments. a. Quelle est l’espérance du nombre d’éléments de cette partie ? b. On tire au hasard (et successivement) deux parties d’un ensemble à n éléments. i. Quelle est la probabilité que ces deux parties soient disjointes ? ii. Quelle est l’espérance du nombre d’éléments de l’intersection de ces deux parties ? (indice : A\B et B\A sont disjointes) Rep. pour b) : 3/4 n et n/4. 319. Etant donné un système complet d’évènements A 1 , . . . , A n de probabilités respectives p 1 , . . . , p n , on considère la succession de tests informatiques : if A 1 then . . . elif A 2 then ..... elif A n then. . . . Soit X le nombre de tests réellement effectués (dès qu’un évènement est réalisé, les tests suivants ne sont pas effectués). a. Déterminer la loi et l’espérance de X. b. Application numérique : if 0 k 9 then. . . elif k 10 then. . . . . elif. . . . elif k 15 then ....., puis les tests en sens inverse. c. Dans quel ordre effectuer les tests pour minimiser l’espérance du b) ? 320. Probabilité d’extinction d’une descendance. On suppose que chaque individu a, au cours de sa vie, un probabilité p k d’avoir k enfants (avec 0 k 3. a. On désigne par q n la probabilité que la descendance d’un individu comporte au plus n générations (par exemple, q 1 p 0 . On demande d’exprimer q n en fonction de q n1 ; on montrera que q n est un polynôme de degré 3 en q n1 . b. On prend pour la suite p 0 1/8, p 1 3/8, p 2 3/8; p 3 1/8; montrer que q n tend vers 5 2. c. Quelle est la probabilité que la descendance d’un individu soit infinie ? d. Quelle est l’espérance du nombre de générations engendrées par un individu ? 321. Loi linéaire croissante. Soit X une variable aléatoire à valeurs dans |1, n| dont la loi de probabilité PX k croit proportionnellement à k. a. Montrer que PX k est défini de façon unique. b. Calculer EX et VX. n 1n 2 REP : EX 2n 1 , VX 3 18 322. Loi linéaire décroissante. Soit X une variable aléatoire à valeurs dans |1, n| dont la loi de probabilité PX k décroit proportionnellement à n k. a. Montrer que PX k est défini de façon unique. b. Calculer EX et VX. n 1n 2 REP : EX n 1 , VX 3 18 323. Loi parabolique. Soient n 2 et X une variable aléatoire à valeurs dans |0, n| dont la loi de probabilité PX k est du deuxième degré en k, avec annulation aux extrémités 1 et n. a. Montrer que PX k est défini de façon unique. b. Déterminer EX sans calcul, et calculer VX ; on donne n nn 12n 13n 2 3n 1 4 k . 30 k0 n 2n 2 REP : EX n , VX 2 20 324. Loi parabolique bis. On tire au hasard et simultanément trois nombres entiers situés entre 0 et n compris ( n 2. On désigne par X la variable aléatoire donnant le nombre médian. a. Déterminer PX k, pour 1 k n 1. Donner l’allure du diagramme en batons de cette loi de probabilités. n b. En déduire que kn k k0 n1 3 . c. Calculer EX, en utilisant l’expression de En X. n nn 12n 13n 2 3n 1 d. Calculer VX ; on donne k 4 . 30 k0 325. On tire au hasard successivement, avec remise, trois nombres entiers situés entre 1 et n compris. On désigne par X la variable aléatoire donnant le nombre médian (s’il y a deux nombres égaux, le nombre médian est celui-là). a. Déterminer PX k, pour 1 k n 1. REP : 6k 1n k 3n 2 b. Calculer EX. 326. Soient a 0 et X une variable aléatoire à valeurs dans |1, n| telle que, k |1, n| PX k a k . Montrer qu’il existe une unique valeur de a pour laquelle X est effectivement une variable aléatoire et calculer EX. 327. Montrer qu’une v.a. réelle qui prend trois valeurs distinctes a sa loi déterminée par son espérance et sa variance. n 328. Soit X une variable aléatoire à valeurs dans |1, n|, montrer que EX PX k et n k1 EX 2k 1PX k. 2 k1 329. On organise un jeu à N questions indépendantes, de difficulté croissante ; le jeu s’arrête à la première réponse fausse, ou au bout de N réponses exactes. k La probabilité de réussite à la question k est notée p k et on note r k j1 p j p 1 . . . p k . Soit X la variable aléatoire donnant le nombre de réponses exactes avant le premier échec, ou la fin du jeu. a. Calculer PX k pour 1 k N, et en déduire la loi de probabilité de X. Vérifier qu’il s’agit bien d’une loi de probabilité. N b. Montrer que EX r k . k1 c. On suppose qu’il existe deux réels et , tels que p 1 1, p N 1 et pour tout entier N k, 1 k N, p k k , . Calculer p k , r k et PX k. d. On suppose N pair , N 2n . Soit s n la probabilité de répondre correctement à la première moitié des questions et d’échouer à la question suivante. Déterminer un équivalent de s n quand n tend vers l’infini. n On rappelle la formule de Stirling : n! ne 2n . ESPACES VECTORIELS 330. Trouver un ensemble et deux opérations et . vérifiant tous les axiomes d’espace vectoriel sauf le dernier ( 1. x x ). 331. a. F x, y, z R 3 /2x 2 z 2 4y 2 4xy 2xz 0 est-il un sous-R espace vectoriel de R 3 ? b. G x, y, z C 3 /2x 2 z 2 4y 2 4xy 2xz 0 est-il un sous-C espace vectoriel de C 3 ? 332. Les sous-ensembles suivants de E R N en sont-ils des sous-espaces vectoriels ? a. u n E / u n est bornée b. u n E / u n est monotone c. u n E / n u n2 u n d. u n E / n u n1 u n 333. Les sous-ensembles suivants de E R N en sont-ils des sous-espaces vectoriels ? a. u n E / u n est croissante b. u n E / u n est monotone c. u n E / u n est la somme d’une suite croissante et d’une suite décroissante 334. Les sous-ensembles suivants de E R N en sont-ils des sous-espaces vectoriels ? a. u n E / p 1/n u np u n b. u n E / n p 1 / u np u n Rep : 01010101 0010101010 335. Les sous-ensembles suivants de E R R en sont-ils des sous-espaces vectoriels ? a. f E / a 0 /x |fx| a|x| b. f E / a 0 /x |fx| a|x| 336. L’ensemble des fonctions de R R dont la courbe présente une asymptote (horizontale ou oblique) au voisinage de est-il un sous-espace vectoriel de R R ? 337. Libre ou lié ? a. 1 0 1 2 , 0 1 2 1 , 2 1 3 1 , 3 3 7 1 b. cos, cos ², sin, sin ² c. f, g, h avec fx cos 2x cos x, gx sin 2x sin x, hx cos x. 338. On pose fx |x|, gx |x 1|, hx |x 1| . a. Montrer que f, g, h est libre. b. Soit E le sous-espace vectoriel de R R que cette famille engendre et F l’ensemble des fonctions qui sont affines sur , 1, affines sur 1, 0, affines sur 0, 1, et affines sur 1, . Etudier les inclusions entre E et F. 339. F M M 2,3 K / les lignes et colonnes de M ont une somme nulle . Justifier sans calcul que F est un sous-espace vectoriel de M 2,3 K et déterminer sa dimension. a b c M 340. F M 3,3 K / les lignes, les colonnes et les diagonales de M ont d e f g h i une somme alternée nulle ; justifier que F est un sev de M 3,3 K et déterminer sa dimenson. a b c 341. F M h K8 / a b c c d e e f g g h a d ; g f e justifier que F est un sev de K 8 et déterminer sa dimenson. 342. On donne trois réels a c b ; soit E f R a,b / f est affine sur a, c et affine sur c, b a. Montrer que E est un espace vectoriel de dimension 4. b. Quelle est la dimension de F E C 0 a, b, R f R a,b / f est affine sur a, c et affine sur c, b ? c. Montrer qu’une base de F est f 1 , f 2 , f 3 où f 1 x x a, f 2 x |x c|, f 3 x b x. 343. Montrer que l’ensemble des suites périodiques à valeurs dans K de période un entier p 0 donné est un sous-espace vectoriel de dimension p de K N . 344. Soit B e 1 , . . . , e n une base de E , u un vecteur de coordonnées a 1 , . . , a n dans B. Déterminer à quelle condition la famille B e 1 u, . . . , e n u est une base de E (on pourra commencer par le cas n 2. 345. F est l’ensemble des étoiles magiques à 5 branches de somme nulle ; montrer que F est un sev de dimension 5 de K 10 . 1 346. F vect 2 2 3 , 3 347. F vect 2 3 3 4 1 , 1 1 2 1 2 , 4 4 , 4 1 de F ? Base simple de F ? Rep :x z 2t 0 1 3 1 1 3 , 4 1 ; dim F ? Equations cartésiennes , 1 1 4 1 2 1 F ? Base simple de F ? Rep: 11x 9y z t 0 348. E R 1,1 ; fx 1 x ; gx 1/fx; hx 1x rgf, g, h, k? ; dim F ? Equations cartésiennes de 1 ; kx 1 x2 x ; 1 x2 349. Soit F x 1 , . . . x p une famille libre de vecteurs de E et u un vecteur de E; montrer que p p i1 i1 G x 1 u, . . . x p u est liée ssi 1 , . . . , p vérifiant i 1 tels que u i x i et que dans ce cas, le rang de la famille G vaut p 1. 350. F : xyzt 0 ; montrer F sev de K 4 , en déterminer une base, un x 3y 2z 0 supplémentaire G, et définir la projection de base F et de direction G. 351. F : x y z t 0 ,G : x y z t 0; montrer F sev de K 4 de dimension 3 (on admettra que de même pour G ; déterminer une base B de F G que l’on complètera en deux bases C et D de F et G. 352. Montrer que les 2 sous-ensembles de R R : F formé des fonctions T-périodiques, et G formé des fonctions nulles sur 0, T sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de RR. RÉELS LIMITES 353. Soit a n une suite de réels 0 non majorée ; montrer que l’ensemble des quotients d’un entier par un élément de cette suite est dense dans R ; qu’obtient-on si a n n, 10 n , ou 2 n ? 354. Equivalent simple quand x tend vers , 0, de 3 x 3 x 2 x 3 x 3 x 2 x . 355. Equivalent simple quand x tend vers , 0, de 3 x 3 x 2 x x 2 x . x2 ch x ch2x 356. Limite de cos x e , de quand x tend vers 0. cos x cos 2x cos x cos 2x tan 3x 357. Limite de tan 3 x , de tan 9x quand x tend vers . 2 tan 3x 6 ln1 x x ln x 358. Limite de quand x tend vers . ln x lnx 4 e x 359. fx ; déterminer l lim fx et un équivalent de fx l. x x x x ln3e 2e 360. fx ; D f ? lim f ? lim f ? x 0 2 361. Equivalent simple quand x tend vers de e x x . n n 362. Limite de 2 n 2 1 quand n tend vers . Limite de 3 n 2 2 n 3 quand n tend vers . CONTINUITÉ 363. Montrer que la fonction f définie par fx x arrondix (arrondix est l’entier le plus proche de x) est continue sur R ; tracer. 364. Montrer que la fonction f définie par fx x1 x (x est la partie fractionnaire de x) est continue sur R ; tracer. 365. Une autre caractérisation des fonctions affines. Soit f une fonction réelle continue sur R vérifiant, pour tous x et y : fx fy xy f . 2 2 a. Montrer que si f0 f1 0, alors f est périodique ; en déduire qu’elle est nulle. b. Montrer que f est affine. 366. Déterminer toutes les applications f de R dans R continues en 0 et 1 vérifiant x R fx 2 fx. fx 367. Soit f une fonction croissante sur 0, telle que la fonction x x soit décroissante sur 0, . a. Montrer que si 0 a b alors 0 fb fa b. En déduire que f est continue sur 0, . c. Donner un exemple non affine. fb fa b a a b a. b fx d. Montrer que si de plus, f est dérivable sur 0, , alors f x x . 368. Donner un exemple de fonction discontinue en tout point de R et qui possède une fonction réciproque (avec justification). 369. : a. Donner un exemple de fonction non constante dont l’ensemble des périodes soit dense dans R. b. Montrer que si une fonction dont l’ensemble des périodes est dense dans R est continue sur R, alors elle y est constante. 370. : a. Montrer qu’une fonction lipschitzienne sur un intervalle I borné (non forcément fermé) est bornée sur cet intervalle. b. En déduire que le produit de deux fonctions lipschitziennes sur I est une fonction lipschitzienne. Est-ce encore exact si on remplace I par R ? 371. Donner un exemple de fonction continue et bornée, qui n’est pas uniformément continue. 372. On pose fx sin x 2 ; f est-elle continue, uniformément continue, lipschitzienne sur R ? 373. Soit f une fonction uniformément continue sur R . a. Montrer qu’il existe 0 tel que si n x n 1 alors |fx| n 1 |f0|. b. En déduire qu’il existe a, b 0 tels que |fx| ax b pour tout x 0 (faire une figure ilustrative). 374. Soit f une fonction définie sur R vérifiant fx x pour tout x et dont le taux d’accroissement reste constamment dans l’intervalle 0, 1. a. Vérifier que f est continue et croissante sur R. b. Donner un exemple autre que fx x c. c. Montrer que |fx| |f0| |x| pour tout x puis que fx ~ x. x 375. Soit P X n a n1 X n1 . . . a 0 un polynôme à coefficients réels, avec les a i 0, l’un d’entre eux 0 ; montrer que P possède une unique racine 0. Px Indication : considérer fx pour x 0. xn 376. Soit f une fonction continue sur 0, vérifiant f0 0 ; montrer qu’elle possède un point fixe dans les cas suivants : a. fx x. x b. la courbe de f en l’infini possède une asymptote d’équation y x a avec a 0. 377. Soient f et g deux fonctions réelles continues sur un intervalle a, b vérifiant fa gb et fb ga ; montrer qu’il existe c de a, b tel que fc gc. Montrer que c’est faux si on ne suppose pas f continue. 378. Soit f une fonction continue sur R possédant un cycle (c’est-à-dire une liste de réels distincts a k 1kn tels que fa k a k1 pour 1 k n 1 et fa n a 1 . Montrer qu’alors elle possède un point fixe (commencer par n 2. Donner un exemple avec n 3. 379. Soit f une fonction continue sur R ayant des limites finies en et ; montrer qu’elle est bornée sur R. Atteint-elle forcément ses bornes sur R ? 380. Soient f et g deux fonctions de R vers R continues sur un intervalle fermé I ; on pose a sup f, b sup g, c sup f g. I I I a. Montrer a b c. b. Rappeler pourquoi il existe x 1 , x 2 de I tels que a fx 1 , b gx 2 . c. Montrer que si x 1 x 2 , a b c. d. Montrer que si x 1 x 2 , fx a pour x x 1 et fx b pour x x 2 , alors a b c. 381. Soient f et g deux fonctions croissantes sur un intervalle ouvert I , dont la somme est continue sur I ; montrer que f et g sont continues sur I. POLYNÔMES 382. Trouver des formules pour degP Q et valP Q. 383. Résoudre dans KX : P P P. 384. Résoudre dans KX : P P P 2 . Rep : 1, 0, X 2 . 385. Déterminer les fonctions polynomiales f PR, R bijectives dont la réciproque est aussi polynomiale. 386. Montrer que la famille X a k X b nk 0kn où a et b sont deux éléments de K distincts est une base de K n X. 387. Pour 0 k n, on pose P k 1 X n 2 n X k ; quel est le rang r de la famille F P 0 , P 1 , . . . , P n ? 388. Pour 0 k n, on pose P k X n1 1 n 1X 1X k ; quel est le rang r de la famille F P 0 , P 1 , . . . , P n ? 389. F P K n X / Pa 0 où a est un élément de K fixé ; montrer que K est un supplémentaire de F dans K n X et déterminer une base de F. 390. Déterminer tous les polynômes P KX tels que P2X 2PX. Donner un exemple d’application de R dans R non polynomiale vérifiant x R f2x 2fx. n 391. Déterminer le reste dans la division euclidienne de P cos a k X sin a k par X 2 1. k1 n REP : sin ak n X sin k1 ak . k1 392. Soit n un entier naturel et F P KX / XP 1 XP nP 0 . a. Montrer que P a k X k appartient à F ssi pour tout k 1 k 2 a k n k 1a k1 . k0 n b. En déduire que les éléments de F sont de degré n et, pour P a k X k de F, calculer k0 a k en fonction de a 0 . Quelle est la dimension de F ? c. Résoudre l’équation différentielle : xy 1 xy 2y 0. rep : _C1*(24*xx^2)_C2*(1/4*(-3-x)*exp(-x)1/4*Ei(1,x)*(24*xx^2) 393. Soit A un polynôme non constant, p un entier naturel degA, F l’ensemble des polynômes P dont le reste dans la division par A est de degré p. a. Montrer que F est un sous-espace vectoriel de KX. b. Soit m un entier degA. Déterminer la dimension de K n X F. 394. Déterminer le pgcd D de A X 5 X 4 2X 3 X 2 2 et de B X 5 X 3 X 2 2X 2 par l’algorithme d’Euclide ; déterminer U et V tels que AU BV D. 395. Montrer que si n et m sont des entiers naturels non nuls premiers entre eux, X n 1 X m 1 divise X nm 1 X 1. 396. Soit P a n X n . . . a 1 X a 0 un polynôme à coefficients entiers, a 0 a n 0. Montrer qu’une racine rationnelle de P ne peut être que le quotient d’un diviseur de a 0 par un diviseur de a n . Si a 0 est un nombre premier p et a 1 un nombre premier q, combien y a-t-il de racines rationnelles possibles ? Donner un exemple simple où p/q est racine, un exemple où 1 est racine, un exemple où 1/q est racine. 397. Soit a un élément de K différent de 1 et P KX un polynôme tel que Pk a k pour tout entier k de 1, n . Montrer que P est au moins de degré n. Indication : PX 1 aPX. 398. Soit P KX un polynôme tel que Pk 1/k pour tout entier k de 1, n. a. En considérant le polynôme Q XPX 1, montrer que P est au moins de degré n 1. b. Montrer qu’il existe un et un seul poynôme P n de degré n 1 tel que P n k 1/k pour tout entier k de 1, n défini par a X 1. . . X n 1 Pn n X (on donnera la valeur de a n . c. Calculer P n n 1. 399. Montrer qu’il n’existe pas de polynôme P RX tel que a. Pn 1/n pour tout naturel non nul n. b. Pn 2 n pour tout naturel n. c. Px e x pout tout réel x entre 0 et 1. 400. Déterminer tous les polynômes P à coefficients réels, scindés sur R, tels que PXPX 1 PX 2 . Indication : montrer d’abord que les seules racines possibles d’un tel polynôme sont 0 et 1. 401. Soient x 1 , . . . , x p p éléments distincts de K. On considère l’ensemble F A KX / Ax 1 Ax 2 . . . Ax p a. Montrer que F est un sev de KX et que les éléments de F sont les polynômes de la forme X x 1 . . . X x p Q a où Q est un polynôme et a une constante. b. Soit G vectX, X 2 , . . . , X p1 ; montrer que KX F G (indication : effectuer la division euclidienne de P par X x 1 . . . X x p . c. Quelle est la dimension de F K n X ? 402. : a. Montrer que si deux polynômes de QX sont premiers entre eux dans QX, alors ils sont premiers entre eux dans CX. b. En déduire qu’un polynôme irréductible de QX a toutes ses racines, réelles ou complexes, simples. c. En déduire qu’un polynôme de QX de degré 3 ayant une racine complexe multiple a forcément ses trois racines rationnelles (mais donner un exemple de polynôme de QX de degré 3 n’ayant pas de racine rationnelle). 403. Soient a et b deux éléments de K distincts, et k un élément de K. a. Montrer que les polynômes P vérifiant Pb kPa sont les polynômes de la forme k Xa Xb X aX bQ où Q est un polynôme et un élément de K. Que ba ab cela donne-t-il pour k 1? b. L’ensemble des polynômes précédents forme un espace vectoriel F ; Quelle est la dimension de F K n X ? 404. Montrer que la fonction n’est pas rationnelle, ce qui signifie qu’il n’existe pas de Px polynômes P et Q à coefficients réels tels que x 0 x Qx . n k 405. Soit P un polynôme de degré n, a un élément de K. Montrer que PX a a P k . k! k0 n a. En écrivant P a k X k et en utilisant la formule du binôme. k0 b. En utilisant la formule de Taylor pour P en x 0 : Px 0 X . . . . 2 4 2n 406. Montrer que les racines de 1 X X 1 n X sont d’ordre 2 au 2 4! 2n! maximum. 407. Déterminer l’ordre de 1 dans P X 2n1 2n 1X n1 X n 1 a. Par les dérivées. b. En remplaçant X par 1 X. 408. Trouver a, b, c pour que X 2n1 aX n1 bX n c P soit divisible par X 1 3 . Déterminer alors l’ordre de 1 dans P. 409. Que vaut fx? 410. Soit P un polynôme non constant qui est multiple de son polynôme dérivé. a. Montrer qu’il existe a tel que nP X aP . b. Vérifier que pour tout naturel k, nP k X a P k1 kP k . c. En déduire que a est racine d’ordre n de P et en déduire la forme générale de P. 411. Déterminer un polynôme P 0 de degré 3 tel que P 0 0 1, P 0 0 0, P 0 1 0, P 0 1 0 ; puis déterminer tous les polynômes P vérifiant les mêmes propriétés. a. Montrer que les polynômes P scindés sur R pairs (vérifiant PX PX ont pour p forme générale P a X 2 x 2k k où les x k sont des réels 0. k1 b. Montrer que la forme générale des polynômes pairs réels est alors p a X k1 q 2 ak k k1 2 X 2 2k 4 2k cos 2 k X 2 k où les a k sont des réels, les k sont des réels 0 , les k des réels différents de . 2 412. Soit P un polynôme unitaire à coefficients réels de degré n. Montrer que P est scindé sur R z C |Pz| |Im z| n . 413. On rappelle que si x 1 , . . . , x n sont n éléments de K distincts, pour tout i, 1 i n, il existe un unique polynôme de degré n 1 noté L i tel que L i x k i,k pour tout k, 1 k n, et que L i X x k 1kn,ki x i x k ; on demande de démontrer qu’il existe un unique 1kn,ki polynôme de degré 2n 1 noté M i tel que M i x k 0 et M i x k i,k pour tout k, 1 k n, et d’en donner une expression simple à partir de L i . Rep : M i X x i L 2i 414. : a. Montrer que X 3 X 2 1 possède une unique racine réelle a. b. Déterminer la décomposition de X 5 X 1 en produit de facteurs irréductibles réels, en utilisant a. 2 415. Factoriser X 2 X 1 1 dans CX puis dans RX . 416. Montrer que le polynôme à coefficients réels X 4 pX 3 qX 2 rX s possède deux couples de racines réelles opposées ssi p r 0, s 0 et q 2 s . 417. Soit P a 0 a 1 X . . . a n1 X n1 X n un polynôme normalisé à coefficients complexes dont toutes les racines ont un module inférieur ou égal à 1 ; montrer en utilisant les relations n entre coefficients et racines que |a k | . k 418. Soient a, b, c les 3 racines de X 3 px 2 qX 1 ; déterminer le polynôme unitaire ayant pour racines : 1 1 a. 1 a, b, c. b. ab, bc, ca. c. a b, b c, c a. 419. Soit ABC un triangle du plan complexe, et soient a, b, c les affixes respectives de A, B, C. a. Montrer que ABC est équilatéral ssi a 2 b 2 c 2 ab bc ca . b. En déduire la condition sur p, q, r pour que le polynôme X 3 pX 2 qX r ait ses trois racines formant un triangle équilatéral. 420. Soient a, b, c, d 4 complexes de module 1, i les fonctions symétriques associées. a. Montrer que 1 34 et des formules similaires pour 2 , 3 , 4 . 2 b. Qu’en déduit-on pour 1 4 3 , 24 ? DÉRIVABILITE 421. : a. Soit V un voisinage de x 0 et f et g deux fonctions définies sur V et dérivables en x 0 ; montrer que si x V fx gx, et fx 0 gx 0 alors f x 0 g x 0 . b. Application : fx x cos x ; calculer f k ( k entier) sans calculer f x d’une façon générale. 422. Soit f une application de 0, 1 dans lui-même, croissante, vérifiant f f f. a. On suppose f continue sur 0, 1 ; justifier qu’il existe a b tels que f0, 1 a, b ; déterminer alors f sur a, b puis sur 0, a et b, 1. b. Montrer que si f est dérivable sur 0, 1, alors f est constante ou l’identité. 423. : a. Déterminer toutes les fonctions f définies sur R et continues en 0 telles que f2x fx pour tout x. Montrer que l’hypothèse de continuité en 0 est indispensable pour obtenir ces solutions. b. En déduire toutes les fonctions f définies sur R et dérivables en 0 telles que fx f2x 2fx pour tout x (indication : gx x . Montrer que l’hypothèse de dérivabilité en 0 est indispensable pour obtenir ces solutions. 424. Déterminer toutes les fonctions f de classe C 2 sur R telles que x, y R fx y fx y 2fx fy REP : ax 2 . 425. Déterminer toutes les fonctions f de classe C 1 sur R telles que x, y R fx y fx y 2fx fy REP : ax 2 . 426. fx e x ax pour x 0 et b cos x pour x 0. Quelle est la classe maximale (D 0 , C 0 , C 1 , C 2 ) de f en 0 suivant les valeurs de a et b ? ln2e x e x 427. fx . x a. D f ? b. Prolonger f par continuité. c. Le prolongement f est il dérivable en 0 (on donne e x 1 x x 2 /2 ox 2 et ln1 x x x 2 /2 ox 2 ? d. Est-il de classe C 1 ? 428. fx cos x pour x 0, et fx ch x pour x 0 ; montrer que f est de classe C 1 sur R. 429. fx e x x ; étudier f, définir et étudier f 1 , déterminer la classe de f 1 , tracer les deux courbes, donner les valeurs exactes de f 1 1 et f 1 1 et des valeurs approchées de f 1 0 et f 1 0. 1 430. fx 1 sin 1 x x a. Prolonger f par continuité en 0. b. Montrer que f est alors dérivable sur R, strictement croissante sur R, et de dérivée s’annulant une infinité de fois dans tout voisinage de 0. 431. Calculer la dérivée (n 1ième de f : x x n ln x. x 432. Calculer la dérivée nième de f : x ex . Montrer que f n 1 1 n e n 1 k k! n!. k0 433. Appliquer la formule de Leibniz à la relation tan 1 tan 2 et en déduire que les dérivées successives de tan sont toutes constamment 0 sur 0, /2. x 434. On pose fx ex ; en appliquant la formule de Leibniz à x xfx, déterminer une relation de récurence permettant de calculer les termes de la suite f n x ; calculer f 4 1 par cette méthode. 435. Soit f une fonction continue sur a, b, dérivable sur a, b, telle que fa fb 0 ; montrer que pour tout d a, b, il existe un point de la courbe de f sur a, b où la tangente passe par d, 0. fx Indication : (faire une figure). xd 436. Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I , soit A et B deux points distincts de sa courbe représentative C tels que la tangente à C en A passe par B ; montrer qu’il existe un point C de C tel que la tangente à C en C passe par A. 437. Soit f une fonction dérivable sur a, b, a b telle que f a 0 et f b 0 f n’étant pas supposée continue). Montrer que f s’annule sur a, b. On montrera d’abord qu’il existe x 1 tel que fx 1 0, qu’il existe x 2 tel que fx 2 0, puis que f n’est pas injective, et on en déduira la conclusion cherchée. 438. Montrer que si P est un polynôme réel de degré n, l’équation Px e x possède au plus n 1 solutions et que si P n’est pas constant, l’équation Px sin x possède un nombre fini de solutions. 439. Soit f une fonction dérivable sur R telle qu’il existe un réel k 0 tel que pour tout x, f x k ; a. Montrer que f est une bijection de R dans R. Indication : utiliser le TAF sur 0, x. b. Montrer que ce résultat est faux si l’on suppose seulement f x 0 pour tout x. 440. Soit f une fonction dérivable sur 0, ; étudier les diverses implications entre a), b), c). a. fx l R x b. fx a fx 0 pour tout a 0. x c. f x 0. x réponse : a b ; c b ; a et non c : sin(x 2 )/x : c et non a : ln x. le reste s’en déduit... 441. Soit f une fonction de classe C n1 sur a, b, n fois dérivable sur a, b telle que f k a f k b 0 pour 0 k n 1. Montrer qu’il existe n valeurs distinctes dans a, b où f n s’annule. FRACTIONS RATIONNELLES 442. Soit F une fraction rationnelle ; montrer que si F n’est pas de degré nul, alors deg F deg F 1, mais que si F est de degré nul alors deg F deg F 2 ; en déduire que par exemple, il n’existe pas de fraction rationnelle dont la dérivée soit 1/X . 443. Montrer qu’il n’existe pas de fraction rationnelle F dont la dérivée soit de degré 1. 444. Soit P/Q la forme irréductible d’une fraction rationnelle F ; donner une CNS sur P et Q pour que F soit paire (resp. impaire). n 445. Calculer k2 k4 ; k 1 2 REP : n 14n 4 14n 3 34n 2 33n 6/12/n/n 1 6 4 3 2 446. Décomposer en éléments simples X X 53X 33X 3X 1 : X 2X X 1/(-1 X)^2 1/X 2/(1 X)^2 X 5 4 3 2 447. Décomposer en éléments simples X X 4 2X3 3X2 2X 1 : X X X X X1/((X-1)^2)1/X2/(X1)1/(X-1) 6 5 4 3X 3 3X 2 2X 1 : 448. Décomposer en éléments simples X X X X4 X3 X2 X X^21/(X-1)1/X2/(X1) 2 2 449. Calculer n 4 n 2 1 , sachant que 12 . 6 n n n n2 n1 450. Soit P un polynome de degré n à racines simples x 1 , . . . , x n . a. Décomposer 1/P en éléments simples en utilisant P . n b. En déduire que si n 2, k1 n 1 0 et si n 3, P x k k1 xk 0. P x k 451. A X a n , B X b m , A B ; montrer que la recherche de la décomposition en éléments simples de 1/AB revient à la recherche de la relation de Bézout entre A et B. Appliquer à X 1 3 et X 2 . APPLICATIONS LINÉAIRES 452. Donner un exemple d’application linéaire de K 3 dans K 4 dont le noyau soit la droite x y z et dont l’image soit incluse dans l’hyperplan x y z t 0. Quelle est alors cette image ? 453. Donner un exemple d’endomorphisme de K 3 dont l’image soit la droite x y z et dont le noyau contienne cette image. Quel est alors ce noyau ? 454. Donner un exemple d’endomorphisme de K 4 dont l’image soit l’hyperplan x y t 0 et dont le noyau soit inclus dans cette image. Quel est alors ce noyau ? 455. Soit l’application de R R dans lui même qui à toute fonction f fait correspondre la fonction f définie par fx fx T fx T 0 fixé) ; vérifier que est linéaire et déterminer son noyau et son image. 456. Soit l’application de R R dans lui même qui à toute fonction f fait correspondre la fonction f définie par fx fx fx ; vérifier que est linéaire et déterminer son noyau et son image. Pour l’image, on montrera d’abord qu’elle est incluse dans un sev F de R R bien connu, puis on montrera l’inclusion réciproque ; indication : calculer f pour f impaire. 457. Soit f un endomorphisme d’un espace vectoriel E de dimension finie. a. Montrer que dim ker f dim ker f 2 2 dim ker f (indication : ker f 2 ker f G, et la restriction de f à G est injective). b. Qu’en déduit-on pour Im f et Im f 2 ? c. Exemple où dim ker f 2 2 dim ker f ? 458. Soient f LE, F et g LF, G. Montrer g f est bijective f est injective, g est surjective et F Ker g Im f 459. Soient f, g deux endomorphismes bijectifs d’un plan vectoriel E 2 . Montrer que f, g libre dans LE 2 équivaut à x E 2 / f x , g x libre dans E 2 . L’une des implications est facile, et on montrera l’autre par contraposée, et en se plaçant dans une base de E 2 . 460. Soit l’application de E C R, R dans lui même qui à f fait correspondre f f, vérifier qu’elle est linéaire et étudier son injectivité et sa surjectivité. 461. Montrer que les espaces vectoriels KX 2 et KX sont isomorphes. L’isomorphisme trouvé est-il un isomorphisme d’anneaux ? 462. Soit T l’application de R R dans lui même qui à f fait correspondre Tf définie par Tfx fx 1. a. Vérifier que T est linéaire. b. Soit a 0 ; Donner un exemple de f non nulle telle que Tf af ; qu’en déduit-on pour l’injectivité de T a. Id ? c. Donner un exemple de f non nulle telle que Tf f. d. Soit a 0 ; Donner un exemple de f non nulle telle que Tf af. 463. Soit f un endomorphisme d’un plan vectoriel réel E 2 vérifiant f 2 id. a. Montrer que f est bijectif et donner son inverse. b. Montrer qu’il existe une base de E 2 où la matrice de f est 0 1 1 0 . 464. Soit f un endomorphisme de E vérifiant f id f id 0 avec . a. Montrer que kerf id Imf id et donner une égalité similaire. b. Montrer que E kerf id kerf id analyse et synthèse). c. En déduire que si E est de dimension finie, f possède une matrice diagonale. d. Qu’obtient-on si 0 et 1 ? e. Qu’obtient-on si 1 et 1? 465. Soit f un endomorphisme d’un espace vectoriel E 3 de dimension 3 tel que f 3 0 mais f 2 0. a. Montrer que si f 2 a 0, a, f a , f 2 a est une base. b. Quelle est la matrice de f dans cette base ? c. Déterminer le noyau et l’image de f. 466. Soit f un endomorphisme d’un espace vectoriel E de dimension n vérifiant f n 0 mais f n1 0. a. Montrer que si f n1 a est non nul, alors la famille B a, f a , . . . , f n1 a est une base de E. b. Déterminer la matrice de f dans B. c. Déterminer le noyau et l’image de f. 467. Soit f un endomorphisme d’un espace vectoriel E 3 de dimension 3 tel que f 2 0 mais f 0. a. Montrer qu’il existe trois vecteurs e 1 , e 2 , e 3 tels que e 1 , e 2 soit une base de ker f et e 1 fe 3 . b. Vérifier que e 1, e 2 , e 3 est une base de E 3 et écrire la matrice de f dans cette base. c. Caractériser les endomorphismes de E 3 de carré nul. TAYLOR, DL et ÉTUDE DE FONCTION 468. Soient a x 0 b trois réels fixés et f une fonction numérique de classe C 1 sura, b, 2 fois dérivable sur a, b. Montrer qu’il existe c a, b tel que : x ab x 0 fx 0 gx 0 0 f c où g est l’unique fonction affine prenant les mêmes 2 valeur que f en a et en b. Indication : poser x fx gx x 0 ab x 0 où est un réel (que l’on ne demande pas de calculer) déterminé de façon à ce que x 0 0, remarquer que s’annule trois fois et appliquer le théorème de Rolle. 469. Soient a b deux réels fixés et f une fonction numérique de classe C 1 sura, b, 2 fois dérivable sur a, b. Montrer qu’il existe c a, b tel que : b a 2 fb fa b af a f c. 2 Indication : poser x fb fx b xf x b x 2 où est un réel (que l’on ne demande pas de calculer) déterminé de façon à ce que a 0, et appliquer le théorème de Rolle. 470. Soit f une fonction de classe C 2 sur R telle que f 0 0 ; montrer que la fonction g définie pour tout x 0 par gx f x est de classe C 1 sur R (on trouvera g 0 f 0/2. 471. DLP 7 de sin 2 x tan x en 0. REP : x^3x^7/15. 1 472. Déterminer le DLP 3 de fx e x en x 0 0, sans utiliser la formule de Taylor-Young. En déduire pour quelle valeur x 0 la courbe de f possède en x 0 , fx 0 un point d’inflexion ; tracé de la courbe au voisinage de ce point. 473. Déterminer le DLP 3 de fx xe x en x 0 , sans utiliser la formule de Taylor-Young. En déduire pour quelle valeur x 0 la courbe de f possède en x 0 , fx 0 un point d’inflexion ; tracé de la courbe au voisinage de ce point. 474. Déterminer le DLP 3 de fx lnxx en x 0 0, sans utiliser la formule de Taylor-Young. En déduire pour quelle valeur x 0 la courbe de f possède en x 0 , fx 0 un point d’inflexion ; tracé de la courbe au voisinage de ce point. 475. fx 1x x 1 . Montrer que f possède un DLP 3 en 0 ; qu’en déduit-on pour f en 0 ? e 1 Tracer l’allure de la courbe au voisinage de 0. 1 476. fx 1x . ln1 x a. Montrer que f possède un DLP 3 en 0 ; qu’en déduit-on pour f en 0 ? b. Etudier la fonction f et tracer sa courbe. 477. : Inégalités de Huygens. a. Déterminer a et b de sorte que a sin x b tan x x soit, quand x tend vers 0, un infiniment petit minimal (c’est-à-dire que la partie principale de a sin x b tan x x soit de degré maximal) ; ensuite, pour cette valeur de a, b, comparer x et a sin x b tan x sur 0, /2. b. Même question en remplaçant tan x par sin 2x. 478. Soit f une fonction injective et de classe C au voisinage de 0, de DLP 3 en 0 : fx x ax 2 bx 3 ox 3 ; déterminer en fonction de a et b le DLP 3 de f 1 en 0. Vérifier pour fx ln1 x. 479. Partant du dévelopement tan x x ox et utilisant la relation tan x 1 tan 2 x , déterminer le DLP 3 de tan en 0, puis réutilisant ce DL, obtenir le DLP 5 , puis le DLP 7 . 480. Déterminer le DLP 7 de tan en 0 par intégration de celui de 1/ cos 2 . 481. Où est l’erreur dans le raisonnement suivant ( x ? ln 1 1x sin 1 1x o 1x 1 o 1x 1x 1 o 1x x1 x1 x1 1 1 1 1 o x 2 xx 1 xx 1 x Déterminer le bon équivalent. 482. Equivalent quand x de fx ch x 1 ch x ; limite quand x de fx 1/ x . x1 483. DLG de x quand x à la précision 1/ x . x 1 x REP : 1 ln x 2 x 1 x o 1 x . 3 484. fx x 2 1 ; DLP en 0 à l’ordre 2n 1 et DLG en à la précision 12n (écrit avec un x 1 x et avec des ...) xx 1 485. fx ; DL à tout ordre de f en 0, en 1, en . x1 x 486. Etudier f définie par fx x x . 487. Un point Pt, 1 parcourt la droite y 1 ; soit Q le projeté de P sur Ox et M le projeté de Q sur OP ; on demande de tracer le lieu C de M quand P varie (appelé cissoïde de Dioclès). On montrera que C a pour équation cartésienne x 2 1 y y 3 , que l’on mettra sous la forme x fy et on étudiera f. 488. Etudier une fonction permettant de tracer la courbe d’équation cartésienne y 2 x 1 x 3 . On étudiera la position par rapport aux asymptotes. 489. Etudier une fonction permettant de tracer la courbe d’équation cartésienne y 2 3x 1 x 2 x 1. On étudiera la position par rapport aux asymptotes. On montrera que les 3 asymptotes forment un triangle équilatéral. 3 490. fx x 2 6x ; étudier f ( branches infinies) ; étudier les suites récurrentes associées à 3x 2 f. e 1/x ; on calculera d’abord fx fx et on 491. Etudier la fonction f définie par fx 1/x e 1 en déduira une réduction de l’ensemble d’étude. On prolongera par continuité en 0 à droite et étudiera la dérivabilité en 0 à droite. On n’oubliera pas la branche infine qui s’obtiendra par un DL. MATRICES 492. Déterminer toutes les matrices carrées d’ordre 2 qui commutent avec leur transposée. 493. Soit A une matrice carrée d’ordre n vérifiant |i j| 2 Ai, j 0 ; montrer qu’alors |i j| 3 A 2 i, j 0. 494. Les ensembles G x x / x K x y et H 0 0 sont-ils des groupes pour la multiplication des matrices ? / x, y K 0 0 0 1 1 495. : A 1 0 1 : calculer A n pour n entier naturel ; peut-on étendre les résultats à n 0 0 1 entier négatif ? 1 1 1 496. A 0 1 1 : calculer A n pour n entier naturel en utilisant la formule du binôme ; 0 0 1 peut-on étendre les résultats à n entier négatif ? 0 1 1 497. A 1 0 1 : calculer A n pour n entier naturel en utilisant la formule du binôme ; 1 1 0 peut-on étendre les résultats à n entier négatif ? 498. Montrer qu’une matrice A de M np K est de rang 1 si et seulement si A est le produit d’une matrice colonne non nulle par une matrice ligne non nulle. 499. Soit A une matrice de M n K de rang 1 ; montrer qu’il existe un nombre tel que pour tout p entier 1 , A p p1 A a. Méthode 1 : montrer d’abord que A CL où L est une matrice ligne et C une matrice colonne et utiliser le fait que LC est un nombre. b. Méthode 2 : soit f l’endomorphisme de K n associé à A ; montrer que f x x e et calculer f p x . 500. Montrer que si A et B sont deux matrices de M n K vérifiant traceAM traceBM pour toute matrice M de M n K , alors A B. A l’injectivité de quelle application ceci équivaut-il ? 501. Déterminer le rang de la matrice 0 1 0 .. 0 1 0 1 .. 0 1 0 .. .. .. .. .. .. .. .. 0 1 0 .. .. 1 0 1 0 .. 0 1 0 .. . 502. Soit D une matrice diagonale de M n K dont tous les coefficients diagonaux sont distincts ; on considère l’endomorphisme f de M n K défini par fM MD DM. On demande de déterminer le noyau et l’image de f. 503. En dimension 3, un vecteur u a des coordonnées x, y, z dans une base i, j, k et des coordonnées X, Y, Z dans une base I, J, K vérifiant X x 2y, Y x y z, Z x y 2z ; on demande les expressions de I, J, K en fonction de i, j, k. 504. On donne dans un espace vectoriel de dimension finie trois bases B 0 , B 1 , B 2 ; On connait la matrice P 1 de passage de B 0 à B 1 et la matrice P 2 de passage de B 0 à B 2 ; on considère l’endomorphisme f qui transforme la base B 1 en la base B 2 . a. Quelle est en fonction de P 1 et P 2 la matrice A de f dans la base B 0 ? b. Faire une application numérique où B 0 est la base canonique de R 2 et B 1 , B 2 deux bases très simples. 0 1 0 0 505. Soit f l’endomorphisme de matrice A 1 0 0 0 0 0 0 1 dans une base B ; 0 0 1 0 a. Montrer qu’il existe une base C B, non obtenue par permutation des éléments de B, dans laquelle f a aussi pour matrice la matrice A. b. Si P est la matrice de passage de B vers C, que peut on alors dire de A et P ? Vérifier. c. Déterminer une base D dans laquelle la matrice de f est diagonale ; donner la nature de f. 506. Dans K 3 on donne P d’équation x 2y 3z 0 et D d’équation x 2y 3z. On demande de donner un exemple d’endomorphisme de K 3 f tel que ker f P et Im f D. Matrice de f dans une base adaptée à la décomposition K 3 P D ? Vérifier la formule du changement de base sur cet exemple. 507. Soit f un endomorphisme de E. a. Montrer que E Im f ker f équivaut à l’existence de deux sous-espaces supplémentaires F et G et d’un élément f 0 de GLF tels que pour tout x de E f x f 0 x F . b. En déduire que si A est une matrice carrée d’ordre n, K n Im f A ker f A ssi A est semblable à une matrice formée d’une matrice inversible bordée de zéros à droite et en dessous. 508. Soit M une matrice carrée d’ordre n 2. a. Montrer que si M est inversible à coefficients tous non nuls, alors M 1 ne peut avoir plus de n 2 2n coefficients nul (raisonner par contraposée). b. Donner un exemple de matrice dont tous les coefficients sont non nuls et dont l’inverse a n² 2n coefficients nuls. COMPLÉMENTS D’ALGÈBRE LINÉAIRE 509. Soit p un projecteur de E, et F un sev de E ; montrer que pF F ker p Im p p 1 F F Im p ker p 510. Soient p et q deux endomorphismes de E ; montrer que p et q sont deux projecteurs associés ssi p q id Im p Im q 0 511. Soit s un endomorphisme de E ; montrer que s est une symétrie ssi Ims id Ims id 0 512. Soient F 1 , F 2 , . . . F p p sous-espaces vectoriels de dimensions finies d’un même espace vectoriel. Montrer que si dim F 1 dim F 2 . . . dim F p dimF 1 . . . . F p , alors les F i sont en somme directe. 513. Soient F 1 , F 2 , . . . F p p sous-espaces vectoriels d’un même espace vectoriel. Montrer que les F i sont en somme directe ssi x 1 , . . . , x p F 1 . . . F p i x i 0 x 1 , . . . , x p libre. EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 514. Résoudre : 1 x 2 y 4xy 2 5x 6x 2 x 3 e x y /x 2 1 2 e x x 1. 515. Résoudre : x1 x 2 y 1 x 2 y sur R , R , R. 516. Résoudre 1 x 4 y 1 x 4 y sur 1, 1. 517. Un escargot avance à une vitesse V e sur un élastique rectiligne de longueur L dépendant du temps, élastique attaché en O et placé sur Ox. a. Montrer que l’abscisse x de l’escargot est régie par l’équation différentielle : x Ve x L L et que la longueur y L x restant à parcourir par l’escargot pour atteindre l’extrémité de l’élastique est régie par y V e y L L b. On suppose V e constante 0 et L L 0 Vt avec V constante 0, L 0 0 ; à l’instant 0 l’escargot est en O. Déterminer y en fonction de t. REP : y L 1 V e ln L . V L0 c. En déduire que l’escargot atteint l’extrémité de l’élastique en un temps fini T à calculer, ainsi que la longueur L 1 de l’élastique à ce moment. V V REP : T L 0 e V e 1 , L 1 L 0 e V e . V d. AN : V e 10 m/j, V 100 m/j, L 0 100 m. REP : 60 ans et 2203 km. REM : on peut remplacer l’escargot par un vaisseau spatial et l’élastique par l’univers en expansion... 518. Résoudre : y 2y 2y 5 cos x y e x sinx e x cos x 2 sin x cos x 519. Résoudre : y y 4x cos x 5e 2x y sin x cos x x cos x x 2 sin x e 2x 520. Résoudre l’équation différentielle non linéaire : y y y 2 (on ne cherchera que les solutions qui ne s’annulent jamais). 521. Résoudre le système différentiel : x 2x y 2cos t sin t , (c’est-à dire y x 2y 2cos t sin t déterminer tous les couples de fonctions x et y dérivables sur R vérifiant x t 2xt yt 2cos t sin t t R ; indication : déterminer une équation du y t xt 2yt 2cos t sin t second ordre vérifiée par x. Rep : exp(2*t)*(acos(t)bsin(t))cos(t) , exp(2*t)*(-asin(t)bcos(t))sin(t) 522. On donne l’équation : mx t mg kx t, m, g, k 0. a. Interpréter physiquement. b. Résoudre l’équation sans second membre i. En considérant l’équation comme du premier ordre en x . ii. En utilisant le cours sur les équations du second ordre. c. Déterminer la solution vérifiant x0 x 0 0. d. Interpréter les résultats. DÉTERMINANTS 4 1 2 523. Montrer que ce taquin 5 6 3 est impossible à reconstituer. 7 8 /// 4 1 2 Facultatif : montrer que celui-ci est possible : 5 6 3 . 8 7 /// 524. Factoriser 2b bca 2b abc 2a 2a 2c 2c cab a b ab a 2 b 2 525. Factoriser b c bc b 2 c 2 c a ca c 2 a 2 526. Soient C 1 , C 2 , C 3 trois colonnes à 3 coordonnées chacunes ; exprimer detC 1 C 2 , C 2 C 3 , C 3 C 1 en fonction de detC 1 , C 2 , C 3 ; appliquer à ab dc cd db ac bd . cb bc ad 527. Soient C 1 , C 2 , . . C n n colonnes à n coordonnées chacunes ; simplifier detC 1 C 2 , C 2 C 3 , . . . , C n1 C n , C n C 1 . 0 1 2 528. Soit f un endomorphisme de matrice A 1 0 2 ; déterminer à l’aide d’un 2 1 0 déterminant les valeurs de telles qu’il existe un vecteur non nul x vérifiant f x x (ne pas développer le déterminant, le factoriser à l’aide de combinaisons) ; déterminer l’un des vecteurs x pour chaque valeur de obtenue. 529. : a. Soit S n ; montrer que si n est impair et i i pour tout i, alors est différente de son inverse. b. Soit A une matrice carrée symétrique d’ordre impair à coefficients entiers dont les éléments diagonaux sont pairs ; montrer que son déterminant est un nombre pair. 530. Montrer que le déterminant d’une matrice d’ordre n dont tous les coefficients sont égaux à 1 ou 1 est un entier multiple de 2 n1 . Indication : faire des combinaisons de colonnes. t 531. Soit U la matrice de M n K telle que Ui, j 1 si i divise j, 0 sinon, et soit A UU ; déterminer Ai, j et calculer le déterminant de A. 532. : a. Déterminer la matrice canonique, la trace et le déterminant de l’endomorphisme de M 2 K qui à toute matrice fait correspondre sa transposée. b. Quels sont la trace et le déterminant d’une symétrie d’un espace vectoriel de dimension n? c. Déterminer la trace et le déterminant de l’endomorphisme de M n K qui à toute matrice fait correspondre sa transposée. 533. Montrer que A A n K det A 0 n est pair 534. Soient A,B, C trois matrices carrées d’ordre n. a. Montrer que det b. Montrer que det c. Montrer que det A B 0 C A B B A A B B A det A det C detA B detA B detA iB detA iB 535. Quel est le déterminant de la comatrice d’une matrice A d’ordre n 2 ? ESPACES EUCLIDIENS 536. Soit E un espace euclidien de dimension n et B e 1 , . . . , e p une famille de vecteurs p unitaires de E telle que pour tout vecteur x , x x |e k ; montrer que cette famille 2 2 k1 est une base orthonormée de E. 537. Soit E un espace euclidien de dimension n et B p e 1 , . . . , e p une famille libre de vecteurs de E telle que pour tout vecteur x , x x |e k . 2 2 k1 a. Montrer que p n (on considérera l’orthogonal de vectB. Soit i entre 1 et n b. Montrer que e i 1. c. Montrer que e i 1 (on considérera un vecteur non nul de l’orthogonal de B\ e i . d. Montrer que B est une base orthonormée de E. b 538. Soit f une fonction positive continue, non nulle sur a, b, a b ; on pose I n f n ; a montrer que pour n 1, I n I n1 I n1 ; déterminer le cas d’égalité ; que dire de la suite I n1 ? In 1 539. L’espace E C0, 1, R est muni du produit scalaire f | g fg. 0 Pour toute fonction f de E, on désigne par f n la suite de fonctions définies par f n x nxfx pour 0 x 1/n (faire une figure). f n x fx pour 1/n x 1 a. Vérifier que f n appartient bien à E pour tout n 1. b. Montrer que si f est orthogonale à f n pour tout n 1 alors f est nulle. c. Soit F f E / f0 0 ; montrer que F 0. d. Quelle propriété des orthogonaux, vraie dans un espace euclidien, n’est donc pas vraie ici ? 540. Soient x 1 , . . x n n réels distincts ; on considère l’application de R n1 X dans R n définie par P Px 1 , . . . , Px n a. Montrer que est un isomorphisme d’espaces vectoriels. b. On définit une application de R n1 X 2 dans R par P | Q n Px k Qx k ; vérifier k1 que cette application est un produit scalaire (on pourra utliser . c. Trouver une base orthonormée pour ce produit scalaire (penser aux polynômes de Lagrange). 541. Soit s un endomorphisme de E ev euclidien ; montrer que s est une symétrie orthogonale ssi Ims id Ims id. 542. Soit A une matrice orthogonale d’ordre n. a. Montrer que la valeur absolue de la somme des coefficients de A est inférieure ou égale à n. (indication, considérer la colonne Attila C puis AC|C). b. Montrer que la somme des valeurs absolue des coefficients est comprise entre n et n n. 543. L’espace vectoriel euclidien E 4 est rapporté à la base B F le sous-espace vectoriel de E 4 d’équation xy zt i , j , k, l orthonormée. Soit . a. Déterminer une base B 1 orthogonale de F et une base B 2 orthogonale de G F . b. On oriente F et G de sorte que B 1 et B 2 sont directes ; déterminer la matrice dans B 1 B 2 puis dans B de l’isométrie f de E 4 dont les restrictions à F et G sont des rotations d’angle /2. 1 544. Compléter la matrice 1 9 4 . 8 4 . de sorte à obtenir une matrice orthogonale 4 . . directe (resp indirecte) et étudier les isométries correspondantes. 545. Soit f l’endomorphisme de E 4 espace vectoriel euclidien de matrice 1 1 1 1 A 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 dans la base B i , j , k, l orthonormée. a. Vérifier que A est orthogonale et déterminer A 2 . b. Déterminer les caractéristiques géométriques de f. a b b 546. Déterminer les valeurs possibles de a et b pour que la matrice b a b b b a orthogonale ; étudier les isométries correspondantes. soit 1 2 547. Compléter la matrice A 1 5 avec des entiers égaux à 1, 2, 4 de 2 4 sorte à obtenir une matrice orthogonale. Déterminer l’ensemble des vecteurs invariants et celui des vecteurs anti-invariants de l’endomorphisme associé. 1 Rep : A 1 5 2 2 4 2 1 4 2 2 1 2 4 2 2 1 4 a b . . . . 548. a, b, c, d 0, 0, 0, 0; A b a .. .. ; remplacer les .... de sorte que c d a . . d c .. a A soit orthogonale. Déterminer alors l’inverse et le déterminant de A. a2 b2 c2 d2 SERIES 2 549. : Etudier la convergence de la série de terme général u n ln 2n ; calculer sa n 1 somme en commençant à n 2. 550. : a. Déterminer tous les polynômes P tels que la suite de terme général u n n Pn soit de limite nulle. b. Déterminer tous les polynômes P tels que la série de terme général u n n Pn soit convergente. c. Idem avec u n n 2 Pn . 551. : a. Où se trouve l’erreur dans le raisonnement suivant ? On sait que n 2 u 2n est convergente et on veut montrer que u n l’est aussi , sachant u n 0 pour tout n. Supposons que n 2 u 2n 1n ; alors, comme 1n est divergente, n 2 u 2n le serait ce qui est absurde. Donc n 2 u 2n 1n et par conséquent u n n13/2 , donc u n est convergente. b. Montrer la propriété annoncée en utilisant l’inégalite de Cauchy-Schwarz dans R n . INTÉGRATION 552. On pose ft tt t 2 x a. Représenter les courbes de f et F où Fx ftdt. 0 b. Calculer Fn pour n entier naturel. 553. f est continue sur R et a et b sont deux réels ; b a. on pose gx ft xdt ; montrer que g est de classe C 1 et calculer sa dérivée. a x b. Idem pour hx ft xdt . 0 b 554. f est continue sur R ; on pose gx ft x. sint cdt, avec a b, c fixés. a a. Montrer que g est continue en 0 ; on utilisera la continuité uniforme de f sur a 1, b 1. b. Montrer en se ramenant au a) que g est continue sur R. c. Calculer gx pour fx sin x, a 0, b , c 0. 555. Exercice utilisant les intégrales. Soit f une fonction de classe C 1 sur a, b, a b ; fb fa fb fa a. Montrer que si x a, b f x , alors x a, b f x ba ba (et f est donc affine sur a, b. fb fa b. On suppose que f a et f b sont et que f est deux fois dérivable sur ba a, b ; montrer qu’il existe c a, b tel que f c 0 (figure). Indication : commencer par le cas fa fb. 556. Soit f une fonction de classe C 1 sur a, b, M max |f |. a,b b a. Montrer que si fa 0, alors f M b a 2 , avec égalité ssi f est affine sur 2 a [a, b. b b. Montrer que si fa fb 0, alors f M b a 2 , avec égalité ssi f est nulle 4 a sur a, b. Indication : couper l’intervalle en 2. c. Vérifier l’inégalité du b pour fx x ax b. x 0 f 557. Soit f une fonction CM croissante sur R ; on pose, pour x 0, Fx x ; montrer que F est croissante sur R a. En supposant f continue sur R b. Sans supposer f continue sur R 558. Soit f une fonction dérivable injective de dérivée jamais nulle sur un intervalle I et f 1 sa fonction réciproque définie sur J fI , F une primitive de f; montrer qu’une primitive de f 1 est la fonction G définie par xf 1 x Ff 1 x . Appliquer au calcul de primitives de ln, d’arcsin et d’ arctan et comparer avec leur calcul habituel. 559. Soit f une fonction dérivable injective sur un intervalle a, b et f 1 sa fonction réciproque ; b fb calculer f f 1 ; interpréter géométriquement. a fa 560. : Soit f la fonction définie par fx cos 1x pour x 0 et f0 1 ; on se propose de démontrer que cette fonction, bien que discontinue en 0, possède une primitive sur R. a. Soit g la fonction définie par gx x 2 cos 1x pour x 0 et g0 0 ; montrer que g est dérivable sur R et donner l’expression de sa dérivée, sur R et en 0. b. Démontrer ce qui a été annoncé. 561. Déterminer toutes les fonctions f dérivables sur R à valeurs dans 0, , telles que f x sinfx. Tracer la courbe de la solution f vérifiant f0 . 2 2 arctan ke x . n 562. u n 1 n1 n a k b nk ( a, b 0 ) ; déterminer lim u n . k0 n 563. u n n1 ka n kb ( a, b 0 ) ; déterminer lim u n . n k0 b REP : 1e ba b a . a PROBAS 2 564. On tire au hasard un nombre entre 1 et n et on considère les 3 évènements A : tirer 1 ou 2, B : tirer 2 ou 3, C : tirer 3 ou 1. Montrer qu’il n’existe aucune valeur de n pour lesquelles ces 3 évènements sont mutuellement indépendants, mais une pour laquelle ils sont 2 à 2 indépendants.