I Translation et égalité vectorielle.

TRANSLATIONS ET VECTEURS
I Translation et égalité vectorielle.
a) Translation.
Définition : Dire que le point N’ est l’image du point N par la translation qui transforme A
en B, signifie que le quadrilatère NABN' est un parallélogramme.
On a (NN')//(AB) et NN' = AB.
Si L est sur ( AB ), son image L' sera également sur (AB) et
ABL’L sera un parallélogramme aplati.
u
b) Ecriture vectorielle d'une
translation.
Concrètement, appliquer au point M, la translation qui transforme A en B, signifie que l'on
doit faire le même trajet qui va de A à B en partant de M. Ce trajet est caractérisé par sa
direction, son sens et sa longueur. Les couples (A,B), (L,L'), (N,N'), (M,M'), (P,P') et (S,S')
représentent le même déplacement. On définit ce déplacement par ce qu'on appelle un
vecteur noté 
u .
AB est un représentant du
Le vecteur 
u
vecteur  :
Un vecteur est caractérisé par :
–
sa direction
–
son sens
–
sa longueur
AB .
Le point A est l'origine du vecteur 
A
B
AB .
B est l'extrémité du vecteur 
La translation qui transforme A en B sera appelée translation de vecteur 
AB .
FAIRE n°1 p 218.
b) Égalités de vecteurs.
Définition: Deux vecteurs sont égaux lorsqu'ils ont la même direction, le même sens et
la même longueur.
Lorsque 
AB = 
CD :
B
D
♦cela signifie que D est l'image de C
par la translation de vecteur 
AB
A
♦cela signifie que C a pour image D
par la translation de vecteur de 
AB .
C
Propriété :
AB = 
CD alors ABDC est un parallélogramme (éventuellement aplati).
Si 
(attention à l'ordre des sommets du parallélogramme)
Démonstration: Supposons que
parallélogramme:

AB = 
CD et montrons que ABDC est un
On sait que 
AB = 
CD donc le quadrilatère ABDC possède deux côtés opposés [AB]
et [CD] parallèles (les vecteurs ont la même direction) et égaux (les vecteurs ont la même
longueur).
Or si un quadrilatère possède deux côtés opposés parallèles de même longueur alors c'est un
parallélogramme.
Donc ABDC est un parallélogramme.
B
B
D
D
C
A
C
A
Propriété réciproque :
Si ABDC est un parallélogramme (éventuellement aplati) alors

AB = 
CD .
(attention à l'ordre des sommets du parallélogramme)
Démonstration: Supposons que ABDC soit un parallélogramme
et montrons que 
AB = 
CD .
On sait que ABDC est un parallélogramme
Or si un quadrilatère est un parallélogramme alors il a les côtés opposés deux à deux
parallèles et de même longueur.
Donc [AB] et [CD] sont parallèles et de même
longueur c'est-à-dire que les vecteurs 
AB et

CD ont donc la même direction et la même
longueur.
De plus le sens de A vers B est le même que celui de
C vers D donc 
AB et 
CD ont le même sens.
B
D
A
C
Finalement, les vecteurs 
AB et 
CD sont donc égaux.
FAIRE n°3 p 218.
Construire l'image d'un point.
On veut placer le point D', image du point D par la translation de vecteur 
AB . Pour cela,
il faut construire le parallélogramme ABD'D.
Programme de construction :
On trace un arc de cercle de centre
D de rayon la longueur de [AB].
B
On trace un autre arc de cercle de
centre B et de rayon la longueur de
[AD].
D'
A
On place le point D' à l'intersection
des deux arcs de cercles.
D
FAIRE n°9p219.
Faire fiche sur construction d'images de points au compas par une translation.
Propriété :
Si 
AB = 
CD alors les segments [AD] et [BC] ont le même milieu.
Démonstration: Supposons que
[BC] ont le même milieu.

AB = 
CD et montrons que les segments [AD] et
On sait que 
AB = 
CD
donc ABCD est un
parallélogramme dont les
diagonales sont [BC] et [AD].
Or dans un parallélogramme, les
diagonales se coupent en leur
milieu.
Donc [BC] et [AD] ont le
B
D
A
C
même milieu.
Propriété réciproque :
Si les segments [AD] et [BC] ont le même milieu alors

AB = 
CD
Démonstration: Supposons que les segments [AD] et [BC] ont le même milieu et
montrons que 
AB = 
CD :
On sait que dans le
quadrilatère ABDC les
diagonales [AD] et [BC] se
coupent en leur milieu.
Or si un quadrilatère possède
des diagonales qui se coupent
en leur milieu alors c'est un
parallélogramme.
B
D
A
C
Donc ABDC est un
parallélogramme. On en déduit
que 
AB = 
CD .
Propriété :
C
B
Si 
AB = 
BC alors B est le milieu du
segment [AC].
A
Propriété réciproque :
Si B est le milieu du segment [AC] alors

AB = 
BC
FAIRE n°10 et 11 p219.
Faire fiche d'exercices sur la construction de l'image d'un point par deux translations
successives.
II Somme de vecteurs.
a) Composée de deux translations
Soient quatre points non alignés A,B,C et M.
B
1°) Construire M1 l'image de M par la translation
de vecteur 
AB .
A
C
2°) Construire M' image de M1 par la translation de
vecteur 
BC .
3°) Construire N l'image de M par la translation de
vecteur 
AC .
Que remarque-t-on ? Effectuer les deux translations
de vecteurs 
AB et 
BC à la suite revient à
M1
M
N
M'
effectuer la translation de vecteur 
AC .On dit que 
AC est la somme des vecteurs

AB et 
BC .
On note 
AC = 
AB + 
BC
Cette relation est appelée RELATION de CHASLES
Cette relation permet de transformer un vecteur en une somme de vecteurs et vice-versa.
Elle est très utile pour le calcul vectoriel.
Exercice d'application : Simplifier les écritures suivantes :
u = 
AB + 
BC
v = 
BD
AC + 
CB + 
t =

CA + 
BC
b) Vecteur nul, vecteurs opposés et notations.
Pour tout vecteur 
BB = 
AB , on a 
AB + 
AB
vecteur 
BB est appelé vecteur nul et est noté 0 .
d'après la relation de Chasles. Le
On a pour tous points A, B, C et D : 
BB = 
DD = 0
AA = 
CC = 
Pour tout vecteur 
AB , on a 
AB + 
BA = 
AA = 0 d'après la relation de
Chasles. Les vecteurs 
BA et 
AB sont appelés vecteurs opposés.
On note 
AB = - 
BA .
Par commodité, on notera 2 
AB la somme

AB + 
AB .
2 
AB =

AB + 
AB
Conséquences :
Propriété :
C
B
Si B est le milieu du segment [AC] alors

BA + 
BC = 0 .
A
Propriété réciproque :
Si 
BA + 
BC = 0
alors B est le milieu de [AC].
Exercice d'application :
a. Compléter les égalités vectorielles
suivantes :

AB = ...........

AI = ...........
B
ABCD est un
parallélogramme
de centre I
C

BC = ............
;
;
I
.......... = 
IB

IA + ........... = 0 ; 
IB + .........= 0
A
D
b. En utilisant ces égalités (et éventuellement la relation de Chasles), démontrer que :

IA
IC + 

IB + 
ID = 0

AB + 
CD = 0

AI + 
BC = 
AC
DI + 

BA + 
CI + 
CA
DI = 
FAIRE n°76 p226 ( i,j,k,l,m).
Faire fiche introduction composée de deux symétries centrales.(conjecture du résultat)
c) Composée de deux symétries centrales.
B
Soient trois points non alignés M, I et J.
M
1°) Construire
M1 l'image de M par symétrie
A
centrale de centre I.
3°) Montrer que
M1 ' = 2 

IJ .
MM
M
Démonstration 1:
Dans le triangle MM1M', on a :
N
I
C
2°) Construire M' image de M1 par la
symétrie centrale de centre J .
M'
M1
J
♦I est milieu de [MM1] car M1 est l'image
de M par symétrie centrale de centre I.
M'
♦J milieu de [M1M'] car M' image de M1 par la symétrie centrale de centre J
Donc d'après le théorème des milieux, (IJ) et (MM') sont parallèles et 2IJ = MM'.
De plus, le sens pour aller de M à M' est le même que celui pour aller de I en J , on en déduit

que
IJ .
MM ' = 2 
Démonstration 2 : (plus élégante et puissante!)
On a 
MI + 
IJ + 
MM ' = 
JM ' d'après la relation de Chasles.
Or I est milieu de [MM1] donc 
MI = 
IM 1
et J est milieu de [M1M'] donc 
M1J = 
JM '
donc 
MM ' =

MM ' =

MM ' =

IM 1 + 
IJ + 
M1J

IM 1
+ 
M1J + 
IJ

IJ + 
IJ

IJ
MM ' = 2 
Appliquer la symétrie de centre I suivie de la symétrie de
centre J revient à appliquer la translation de vecteur 2 
IJ .
Attention l'ordre des symétries a une importance !!
Appliquer la symétrie de centre J puis I revient à faire la translation de vecteur 2 
JI .
III. Coordonnées d’un vecteur dans un repère orthonormé.
C
a) Définition :
Les coordonnées d’un vecteur dans un repère
orthonormé décrivent le déplacement qu’il représente.
Ainsi, un déplacement de « 4 unités vers la droite, 3
unités vers le bas » sera représenté, dans un repère
orthonormé, par un vecteur de coordonnées (4 ;-3), on
note 
AB (4;-3).
A
D
Un déplacement de « 2 unités vers la gauche, 1 unité
vers le haut » sera représenté, dans un repère
orthonormé, par un vecteur de coordonnées (-2 ;1), on
note 
CD (-2;1).
Faire n°1 et 2 p238 puis faire n°3 p 231.
b) Coordonnées d’un vecteur :
Soit A(xA ; yA) et B(xB ; yB) deux points.
Alors le vecteur 
AB a pour coordonnées : (xB – xA ; yB – yA)
Exemple :
Si A(2 ; 1) et B(5 ; -1)
Alors 
AB (5 – 2 ; -1 – 1)

AB (3 ; -2)
FAIRE n°3,4 et 5 p 238
c) Égalité vectorielle :
Soit deux vecteurs 
AB (x ; y) et 
CD (x’ ; y’).
Dire que 
AB
= 
CD
revient à dire que x = x’ et y = y’.
d) Coordonnées de la somme de deux vecteurs :
Soit deux vecteurs 
AB (x ; y) et 
CD (x’ ; y’).
Les coordonnées du vecteur 
AB + 
CD sont ( x + x’ ; y + y’).
B
e) Coordonnées de l'image d'un point par une translation :
Soit un vecteur 
AB (x ; y) et un point M (xM ; yM).
Les coordonnées du point M' image de M
par la translation de vecteur

AB
sont ( x + xM ; y + yM).
Démonstration : Notons (xM ' ; yM ') les coordonnées de M'. M' est l'image de M par la
translation de vecteur 
AB donc 
AB = 
MM ' or les coordonnées de 
MM ' sont
(xM ' -xM; yM '-yM) et celles de 
AB sont (x ; y). On a donc x = xM ' -xM et y = yM '-yM.
On en déduit que xM ' = x + xM et yM ' = y + yM.
f) Coordonnées de l'image d'un point par symétrie centrale :
Soit deux points I(xI ; yI) et M (xM ; yM).
Les coordonnées du point M' image de M
par la symétrie de centre I sont ( 2xI - xM ; 2yI - yM).
Démonstration : Notons (xM ' ; yM ') les coordonnées de M'. M' est l'image de M par la
symétrie centrale de centre I, donc I est le milieu du segment [MM']. Par conséquent,

IM sont ( xM-xI ; yM- yI ) et celles de 
IM =
M ' I or les coordonnées de 
M ' I sont
( xI -xM ' ; yI- yM ' ). D'après l'égalité vectorielle précédente, on a xM-xI = xI -xM ' et
yM- yI= yI- yM ' .D'où le résultat.
FAIRE EXERCICES BREVET.