Première S : Exercices sur les barycentres

Première S : Exercices sur les barycentres
Exercice 1 :
Dans un quadrilatère ABCD, on appelle I le milieu de [AC], J le milieu de [BD] et G le point




 1 







2
défini par : AG  ( BC DC ) .
1. Montrer que G est le barycentre de (A, 2), (B, −1)
,(
C, 2) et (D, −1)
.
2. En déduire que les points I, J et G sont alignés.
Exercice 2 :
Soit ABCD un quadrilatère, I le milieu de [AC] et J celui de [BD].
















Soit K le point défini par KA 2 KB et L celui défini par LC 2 LD . M le milieu de [LK].
Le but du problème est de montrer que M, I et J sont alignés et de donner la position de M sur
la droite (IJ).
1. Faire une figure.
2. J
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i
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r
y
c
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nt
r
eG de {(A, 1) ; (B, 2) ; (C, 1) ; (D, 2)}. En associant
les points de différentes façons, montrer que G appartient aux droites (KL) et (IJ).
3. Montrer que G et M sont confondus, que M est aligné avec I et J puis donner la
position de M sur (IJ).
Exercice 3 :
Soit ABC un triangle et I le milieu de [BC]. Soit G le barycentre de (A, −1)
,(
B,2)e
t(
C,2)
.
1. Montrer que G appartient à la droite (AI).
2. Soit H le symétrique de A par rapport à B. Montrer que C, G et H sont alignés.
Exercice 4 :
Soit ABC un triangle. On considère :
* le barycentre I de (A ; 2) et (C ; 1) ;
* le barycentre J de (A ; 1) et (B ; 2) ;
* le barycentre K de (C ; 1) et (B ; –4).
1. Montrer que B est le barycentre de (K ; 3) et (C ; 1).
2. En déduire le barycentre de (A ; 2), (K ; 3) et (C ; 1) ;
3. Montrer que J est le milieu de [IK].
Exercice 5 :



 



Soit ABCDE un pentagone tel que BC ED . Les diagonales (BD) et (CE) se coupent en L.
Soit I le milieu de [AB] et J celui de [AE] ; soit K le barycentre de (A, 2), (B, 1), (C, 1), (D, 1)
et (E, 1).
1. Démontrer que les points A, K et L sont alignés.



 1



3
2. Démontrer que LK  LA .
3. En déduire que le point K est le centre de gravité de ABD et de ACE.
1
Exercice 6 :
Soit ABCD un parallélogramme, I le milieu de [CD] et E le symétrique de A par rapport à B.
Les droites (AC) et (IB) se coupent en F.Lebutdel
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spoi
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sD,
F et E sont alignés.
Soit G le barycentre de (A, 1), (E, 1), (D, 2) et (C, 2).
1. Montrer que G e
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edut
r
i
a
ng
l
eBCD. En déduire que les points B, G et I
sont alignés.
2. Montrer que les points A, G et C sont alignés. En déduire que les points G et F sont
confondus.
3. Démontrer que les points D, F et E sont alignés.
Exercice 8 :
Dans un triangle ABC on définit I le barycentre de (B, 2), (C, 1), J le barycentre de
(A, 3), (C, 2) et K le barycentre de (A, 3) et (B, 4).
1. Faire une figure.
2. En considérant G le barycentre de (A, 3), (B, 4) et (C, 2), montrer que les droites (AI),
(BJ) et (CK) sont concourantes en G.
Exercice 9 :
Soit ABC un triangle et I, J et K les points définis par :



 2

 



3




I est le milieu de [AB] ; JC  JA ; BK 3 BC.
1. Déterminer les coefficients pour lesquels I est le barycentre de (A, a), (B, b), J celui de
(A, a’
)
,(
C, c) et K celui de (B, b’
), (C, c’
)
.
2. Démontrer que les droites (AK), (BJ) et (CI) sont concourantes en G barycentre de
(A, 2), (B, 2) et (C, −3)
.
Exercice 10 :







1
2



 2



5
Soit ABC un triangle, D et E les points définis par DB  DA et CE  CB. I est le point
d’
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onde
sdr
oi
t
e
s(
AE) et (CD) et F celui des droites (BI) et (AC).
On cherche à préciser la position du point F sur (AC).
1. Déterminer les coefficients pour lesquels D est le barycentre de (A, a), (B, b) et E celui
de (B, b’
)
,(
C, c’
)
.
2. Préciser les coefficients pour lesquels I est barycentre de (A, ), (B, ) et (C, ).
3. En déduire la position du point F sur la droite (AC).
Exercice 11 :
Soit ABC un triangle, I le milieu de [AC] et D le symétrique de B par rapport à C. Les droites
(AD) et (BI) se coupent en G. Enfin, K e
s
tl
epo
i
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r
s
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c
t
i
onde(
AB) et (CG). On veut
prouver que A est le milieu de [BK].
2
1. On considère D et I comme barycentres de 2 sommets du triangle ABC munis de
coefficients. Préciser ces coefficients.
2. Déterminer les coefficients pour lesquels G est barycentre de (A, ), (B, ) et (C, ).
Conclure.
Exercice 12 :
Soit I l
ec
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l
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mmenona
pl
a
t
iABCD.
1. Déterminer des coefficients b, c, d pour lesquels I est le barycentre de :
{(B, b) ; (C, c) ; (D, d)}.
2. Que
le
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mbl
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spoi
n
t
sG, barycentres des points A, B, C et D affectés des
coefficients , 2, 1 et 1 2 où est un réel quelconque ?
Exercice 13 :
ABC est un triangle isocèle (AB = AC). E et F sont deux points du segment [BC]. Les
parallèles à (AB) menées par E et F coupent (AC) en G et H respectivement. Les parallèles à
(AC) menées par E et F coupent (AB) en I et J respectivement.
1. Montrer que GH = IJ.
2. Quelle condition doivent vérifier E et F pour que (JG) et (IH) soient parallèles ?
Exercice 14 :
Soit ABCD un parallélogramme. On appelle E le barycentre de (A, 2) et (B, 1), F celui de
(B, 2) et (C, 1), G celui de (C, 2) et (D, 1) et H celui de (D, 2) et (A, 1).
Faire une figure et montrer que EFGH est un parallélogramme.
Exercice 15 :
ABCD est un quadrilatère convexe. I est le milieu de [AC], J le milieu de [BD], K est le
barycentre de (A, 1) et (B, 2) et L celui de (C, 1) et (D, 2). M est le milieu de [LK].
1. Montrez que le barycentre G de (A, 1) ; (B, 2) ; (C, 1) ; (D, 2) est le point M.








2. Montrez que M I 2 M J et conclure.
Exercice 16 :
Soit ABC un triangle quelconque, O le centre du cercle circonscrit à ce triangle (point
d'intersection des médiatrices), et G son centre de gravité. Soit H le point défini par








OH OA OBOC
.


1 
2



1. a. Soit A' le milieu de [BC]. Démontrer que OA '  OBOC .




 




AH et OA ' sont

b. Démontrer que les vecteurs
colinéaires.
c. Déduire de a. et b. que AH est une hauteur du triangle ABC.
2. Démontrer que H est l'orthocentre du triangle ABC.
3
3. Soit M un point quelconque du plan.





 













a. Démontrer que 3 M G M A M B M C .
b. Déduire des questions précédentes que les points O, G et H sont alignés.
Exercice 17 :
ABC est un triangle de centre de gravité G (isobarycentre de A, B, C). On appelle I le milieu
de [BC]. La parallèle à (BC) menée par G coupe (AC) en E.




1. Faire la figure et construire le point D défini par AD 2 AB .


2 
3
2. Montrer que AE  AC . Trouver les coefficients a et b tels que E soit le barycentre de
(A, a) ; (C, b) .
3. Montrer que B est le barycentre de (A, 1) ; (D, 1).
4. Montrer que I est le barycentre de (A, 1) , (D, 1) et (C, 2). En déduire que les points I,
D et E sont alignés. Préciser la position de I sur [DE].
Exercice 18 :



 1



3
Dans un triangle ABC, soit E le point défini par AE  AB et soit A’l
emi
l
i
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ude[
BC].
1. Exprimer le point E comme barycentre des points A et B.
2. Exprimer le point A’c
ommeba
r
y
c
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r
ede
spoi
nt
sB et C.
3. On considère le point I barycentre de (A, 2), (B, 1) et (C, 1).
a. Montrer que I est le milieu de [AA’
]
.
b. Montrer que les points I, E et C sont alignés.
Exercice 19 :


 2



3
ABC est un triangle, J est le milieu de [AC], K celui de [JB], et I le point tel que AI  AB .
On se propose de démontrer de deux façons différentes que les points C, K et I sont alignés.
1. Al
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 1


 2



3
3



 1


 1



b. Montrer que CK  CA  CB .
4
2
a. Montrer que CI  CA  CB .
c. En déduire que C, K et I sont alignés.
2. Al
’
ai
dedebar
yc
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nt
r
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s
.
a. Exprimer le point I comme barycentre de A et B.
b. En considérant le barycentre de (A ; 1), (B ; 2) et (C ; 1), montrer que C, K et I sont
alignés.
Exercice 20 :
Soit ABCD un tétraèdre, I le milieu de [AB], J celui de[BC], K le barycentre de (A, 1), (D, 3)
et L celui de (C, 1), (D, 3).
Les droites (IC) et (AJ) se coupent en G.
4
Démontrer que les droites (IL) et (JK) sont sécantes en un point H, milieu du segment [DG].
Exercice 21 :
Dans un tétraèdre ABCD on considère E le barycentre de (A, −1)
,(B, 2) et (C, −3); F le
milieu de [ED], G le barycentre de (A, 1) et (D, 2) et H celui de (B, 2) et (C, −3)
.
1. Démontrer que F, G et H sont alignés.
2. Démontrer que B, C, F et G sont coplanaires.
Exercice 22 :
ABCD est un tétraèdre.
F est le milieu de [AD], G est le centre de gravité de ABC, E est le point du plan BCD tel que
BDCE est un parallélogramme.
1. Vérifier que D est le barycentre de (B, 1), (C, 1) et (E, −1)
.
2. Dé
mont
r
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rl
’
a
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i
g
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ntdeE, F et G.
Exercice 23 :


 1


 

 2


 


 1



3
3
3
ABCD est un tétraèdre. On définit les points I, J, K et L par : AI  AB , BJ  BC , CK  CD



 2



3
et DL  DA . Soient M le milieu de [AC] et N celui de [BD].
1. Démontrer que les droites (IK), (JL) et (MN) sont concourantes en un point G quel
’
on
déterminera.
2. Soit P le milieu de [CN]. Démontrer que la droite (AP) passe par G et préciser la
position de G sur [AP].
3. La droite (BG) coupe la face ACD en Q. Démontrer que Q est sur le segment [DM] et
préciser sa position.
Exercice 24 :
Da
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e
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eABCD. Soit I le milieu du segment [AB] et K celui du



 1




4


 1



4
segment [CD]. Soit L le point défini par AL  AD et J celui défini par BJ  BC .
Soit G le barycentre de {(A, 3) ; (B, 3) ; (C, 1) ; (D, 1)}.
1. Déterminer le barycentre de{(A, 3) ; (D, 1)} puis celui de {(B, 3) ; (C, 1)}.
2. En associant les points A, B, C et D de deux façons différentes, montrer que G
appartient aux droites (IK) et (JL).
3. En déduire que I, J, K et L sont coplanaires.
Exercice 25 :
On donne un rectangle ABCD du plan dont les côtés [AB] et [BC] ont pour longueurs
respectives a et b.
Pour tout réel m non nul, on note Gm le barycentre du système de points pondérés
{(A, m) ; (B, −1); (C, 1)}.
1. Est-ce que Gm est sur la droite (BC) ?














2. Que
le
s
tl
’
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sM du plan tels que M A M B M C  a2 b2 ?
5














3. Que
le
s
tl
’
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spoi
nt
sM du plan tels que M A M B M C a ?
4. Est-c
equel
’
a
i
r
edut
r
i
a
ng
l
e GmBC dépend de m ?
Exercice 26 :
ABCD est un carré de centre O, de côté a. G est le centre de gravité du triangle ABC.
1. Démontrer que le barycentre H du système {(A, 1) ; (B, 1) ; (C, 1) ; (D, 5)} est le
milieu du segment [OD].
2. Calculer, en fonction de a, la distance OD.
3. a. Dé
t
e
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mi
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tc
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
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
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






 





M A M B M C 5 M D 2 a 2
.
b. Sans nouvelle démonstration, donner la position du barycentre K du système
{(A, 1) ; (B, 5) ; (C, 1) ; (D, 1)}.
c. Détermi
ne
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tc
ons
t
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ui
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el
’
e
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mbl
eF des points M du plan vérifiant :


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 

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









 












 





M A 5 M B M C M D  M A M B M C 5 M D .
4. a. Calculer, en fonction de a, la distance DG.
b.Dé
t
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mi
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tc
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ui
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sM du plan vérifiant :













 















M A M B M C 3 M D 2 M A M C .
Exercice 27 :
On se donne dans le plan un triangle ABC rectangle en A, tel que AB = 2a et AC = a où a est
une longueur donnée.
1. Déterminer et construire l'ensemble E des points M du plan tels que




























M A M B M C  2 M A M B M C




 1


 



2
2. On désigne par H le point du plan tel que AH  AB 2 AC .
a. Montrer que H est le barycentre des points A, B et C affectés de coefficients que
l'on déterminera.
b. On considère l'ensemble des points du plan tels que 3 M A2 M B2 4 M C 2 k .
Pour quelle valeur de k cet ensemble contient-il le point A ? Préciser l'ensemble
alors obtenu et construisez le.
Exercice 28 :
ABC est un triangle.
1. Construire le barycentre G de (A, 1) ; (B, 2) et (C, 3) ; M étant un point quelconque du




 



 





plan, exprimer M A 2 M B 3 M C en fonction de MG.
2. Construire le barycentre K de (A, 8) ; (B, −1)e
t(
C, −1); M étant un point quelconque














du plan, exprimer 8 M A M B M C en fonction de MK.




 



 



















3. Quel est l'ensemble des points M tels que M A 2 M B 3 M C = 8 M A M B M C ? Le
construire.
6






4. Exprimer plus simplement le vecteur M A2 M B3 M C . Soit  l'ensemble des points




 



 




 



 



 





M tels que
M A 2 M B 3 M C = M A 2 M B 3 M C . Vérifier que C appartient à .
Déterminer et construire .
Exercice 29 :
Soit ABCD un rectangle tel que AB = 3 et BC = 4.
1. Déterminez les coefficients , ,  tels que D soit le barycentre du systême
(A, ) ; (B ; ) et (C ; 
).














2. Dé
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e
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’
e
ns
e
mbl
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spoi
nt
sM tels que M A M B M C 5 .
Exercice 30 :
Soit ABC un triangle isocèle du plan tel que AB = AC. On note I le milieu de [BC] et on donne
AI = 4a, BC = 2a, a réel strictement positif. Pour la figure on prendra a = 2 cm.
1. On note G le barycentre du système ( A, 2) ; ( B, 1) ; (C , 1) . Déterminer et construire




























l
’
e
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e
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spoi
nt
sM du plan tels que 2 M A M B M C  2 M A M B M C .
2. k é
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,dé
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mi
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’
e
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e
mbl
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spoi
nt
sM du plan tels que
2 M A2 M B2 M C 2 ka2 (on discutera suivant les valeurs de k).
3. On prend a = 1 et on construit un repère du plan de centre I, de sorte que les vecteurs
 


 1


4
de base soient i IC et j  IA .
Déterminer les coordonnées de A, B, C et G. Retrouver alors les réponses du 1. et du 2.
Exercice 31 :
On se donne dans le plan un triangle ABC rectangle en A, tel que AB = 2a et AC = a où a est
une longueur donnée.
1. Déterminer et construire l'ensemble E des points M du plan tels que :




























M A M B M C  2 M A M B M C




 1


 



2
2. On désigne par H le point du plan tel que AH  AB 2 AC .
a. Montrer que H est le barycentre des points A, B et C affectés de coefficients que
l'on déterminera.
b. On considère l'ensemble des points du plan tels que 3 M A2 M B2 4 M C 2 k .
Pour quelle valeur de k cet ensemble contient-il le point A ? Préciser l'ensemble
alors obtenu et construisez le.
Exercice 32 :
A, B et C sont trois points non alignés tels que AB = AC = 5 et BC = 4. I est le milieu de [BC].







J est défini par BJ 2 BC .
G est le barycentre de (A ; 1), (B ; 3) et (C ; –2).
1. Exprimer le point J comme barycentre des points B et C.
2. a. Montrer que G est le barycentre des points A et J.
b. En déduire la position de G sur le segment [AJ].
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 
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 









3. a. Exprimer, pour tout point M du plan, le vecteur M A 3 M B 2 M C en fonction de M G .
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 
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 
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
b. Expr
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me M A 3 M B 2 M C .
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
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
c. Déterminerl
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e des points M tels que : M A 3 M B 2 M C  M B M C .
d.Tr
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e.
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e des points M tels que : (3 M B 2 M C ) M A 0 .
b. Justifier que le point I a
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5. a. Calculer BA BJ .
b. En déduire cos 
ABJ .
6. K est le milieu de [AB]. Calculer la longueur JK.
Exercice 33 :
Soient A et B deux points du plan tels que AB = 8 cm. On appelle I le milieu de [AB].
1. a. Construire le barycentre G des points (A, 5) et (B, 3).
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
b.Dé
t
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e(
E)de
spoi
nt
sdupl
a
nt
e
l
sque 5 M A 3 M B 16 . Tracer cet
ensemble (E).
2. a. Construire le barycentre H des points (A, 5) et (B, –3).




 


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
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

 




b. Dé
t
e
r
mi
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’
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ns
e
mbl
e des points du plan tels que 5 M A 3 M B 
5 M A 3 M B 0 .
Tracer cet ensemble .
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