Factoriser avec les égalités remarquables

FONCTIONS DU SECOND DEGRE
Factoriser avec les égalités remarquables
Rappel : Les égalités remarquables
a² + 2ab + b² = (a + b)²
a² – 2ab + b² = (a – b)²
a² – b² = (a + b)(a – b)
Exemple1 :
Dans l’expression x² + 8x + 16 il n’y a pas de facteur commun.
Par contre on peut reconnaître le forme développée d’une égalité remarquable :
a² + 2ab + b² avec a² = x²; b² = 16 et 2ab = 8x.
On en conclu que a = x et b = 4 et donc que
x² + 8x + 16 = (x + 4)² ce qui est notre factorisation.
Attention! Reconnaître a² et b² suffit pour calculer a et b, mais il faut ensuite vérifier
que la valeur de 2ab est bien correcte.
Dans l’exemple ci–dessus on a bien 2ab = 2 × x × 4 = 8x,
mais si on devait factoriser : x² + 7x + 16, on ne pourrait pas!
L’égalité remarquable le plus utilisée pour factoriser est la troisième.
Exemple 2 :
Soit à factoriser : 25x² – 16 on reconnait une forme a² – b² avec a² = 25x² et b² = 16.
On prend donc a = 5x et b = 4 et donc :
25x² – 16 = (5x + 4)(5x – 4)
Passer aux exercices
Factoriser avec les égalités remarquables
Fiche originale réalisée par Thierry Loof
page 1
FONCTIONS DU SECOND DEGRE
Factoriser avec les égalités remarquables
Exercice 1
Factoriser les expressions qui peuvent l’être avec les égalités remarquables :
A = 4x² + 28x + 49
B = 1 – 2x + x²
C = 144 – 9x²
Corrigé
Exercice 2
Factoriser les expressions qui peuvent l’être avec les égalités remarquables :
D = 36x² – 30x + 25
E = 9x² – 16 + 24x
F = (x + 1)² – 4
G = (3x – 2)² – (x + 3)²
Corrigé
Factoriser avec les égalités remarquables
Fiche originale réalisée par Thierry Loof
page 2
FONCTIONS DU SECOND DEGRE
Factoriser avec les égalités remarquables
Corrigé 1
Factoriser les expressions qui peuvent l’être avec les égalités remarquables :
A = 4x² + 28x + 49
B = 1 – 2x + x²
C = 144 – 9x²
 A = 4x² + 28x + 49
On reconnait la première égalité remarquable :
a² + 2ab + b² avec a² = 4x²; b² = 49 et 2ab = 28x.
On a : a = 2x et b = 7 et donc
A = 4x² + 28x + 49 = (2x + 7)²
 B = 1 – 2x + x²
On reconnait la deuxième égalité remarquable :
a² – 2ab + b² avec a² = 1; b² = x² et 2ab = 2x.
On a : a = 1 et b = x et donc
B = 1 – 2x + x² = (1 – x)²
 C = 144 – 9x²
On reconnait la troisième égalité remarquable :
a² – b² avec a² = 144 et b² = 9x².
On a : a = 12 et b = 3x et donc
C = 144 – 9x² = (12 – 3x)(12 + 3x)
Retour aux exercices
Factoriser avec les égalités remarquables
Fiche originale réalisée par Thierry Loof
page 3
FONCTIONS DU SECOND DEGRE
Factoriser avec les égalités remarquables
Corrigé 2
Factoriser les expressions qui peuvent l’être avec les égalités remarquables :
D = 36x² – 30x + 25
E = 9x² – 16 + 24x
F = (x + 1)² – 4
G = (3x – 2)² – (x + 3)²
 D = 36x² – 30x + 25
On pense reconnaitre la deuxième égalité remarquable :
a² – 2ab + b² avec a² = 36x² et b² = 25
On aurait : a = 6x et b = 5 mais dans ce cas 2ab = 60x.
D ne peut pas être factorisé avec les égalités remarquables
 E = 9x² – 16 + 24x = 9x² + 24x – 16
On ne reconnait pas d’égalité remarquable
 F = (x + 1)² – 4
On reconnait la troisième égalité remarquable :
a² – b² avec a² = (x + 1)² et b² = 4.
On a : a = x + 1 et b = 2 et donc
F = (x + 1)² – 4 = (x + 1 + 2)( x + 1 – 2) = (x + 3)(
x – 1)
 G = (3x – 2)² – (x + 3)²
On reconnait la troisième égalité remarquable :
a² – b² avec a² = (3x – 2)² et b² = (x + 3)².
On a : a = 3x – 2 et b = x + 3 et donc
G = (3x – 2)² – (x + 3)² =[(3x – 2) + (x + 3)][(3x – 2) – (x + 3)] = (4x + 1)(2x – 5)
Retour aux exercices
Factoriser avec les égalités remarquables
Fiche originale réalisée par Thierry Loof
page 4