fiche methode 3 : montrer l`egalite de deux termes

FICHE METHODE 3 : MONTRER L’EGALITE DE DEUX TERMES
1. Transformation du premier membre.
On transforme un des deux termes par un enchaînement d’égalités jusqu’à ce que l’on
obtienne le second terme.
Exemple : Montrer que pour tout réel x : 2x² + 4x -1 = 2(x + 1)² - 3.
Pour tout réel x on a les égalités :
2(x + 1)² - 3 = 2(x² + 2x + 1) - 3 = 2x² + 4x + 2 - 3 = 2x² + 4x -1
Donc :
Pour tout réel x,
2x² + 4x -1 = 2(x + 1)² - 3
Remarque : Dans cette méthode on peut indifféremment partir de chacun des deux termes. On
choisit en général de démarrer par le terme se transformant le plus facilement.
On aurait aussi pu écrire : Pour tout réel x on a les égalités
2x² + 4x -1 = 2(x² + 2x) - 1 = 2(x² + 2x + 1 - 1) - 1 = 2((x + 1)² - 1) - 1 = 2(x + 1)² - 2 – 1
= 2(x + 1)² - 3
Et conclure de la même manière que précédemment.
On remarque que la seconde méthode est plus ardue que la première, il est donc plus
judicieux de transformer : 2(x + 1)² - 3.
2. Etude de la différence.
On calcule la différence des deux termes et on montre qu’elle est nulle.
Exemple : Montrer que pour tout réel x : 2x² + 4x -1 = 2(x + 1)² - 3.
Pour tout réel x, on a les égalités !
(2x² + 4x -1) - (2(x + 1)² - 3) = 2x² + 4x -1 - (2(x² + 2x + 1) - 3)
= 2x² + 4x -1 - (2x² + 4x + 2 - 3)
= 2x² + 4x -1 - (2x² + 4x -1)
=0
Donc :
Pour tout réel x,
2x² + 4x -1 = 2(x + 1)² - 3
3. Transformation partielle des deux membres.
On transforme chacun des deux membres par enchaînement d’égalités afin de montrer qu’ils
sont tous les deux égaux à un même troisième.
Exemple : Montrer que pour tout réel x : (x + 2)(x - 1) = (x +
1
9
)² - .
2
4
Pour tout réel x on a :
D’une part :
(x + 2)(x - 1) = x² - x + 2x - 2 = x² + x - 2.
1
9
1
1
9
1 9
D’autre part : (x + )² = (x² + 2× x + ) - = x² + x + = x² + x - 2.
2
4
2
4
4
4 4
Donc :
Pour tout réel x,
(x + 2)(x - 1) = (x +
1
9
)² - .
2
4