1 Intégrales à Paramètres

1 Intégrales à Paramètres
Z
Dans cette section on pose pour x ∈ J ,
F (x) =
I
g (x, t )∂t avec I , J intervalles et g à valeurs dans R ou C.
On s’intéresse ici à la « régularité » de ces fonctions définies par des intégrales, comme la « bien-connue » :
Z +∞
Γ(x) =
t x−1 e −t dt
0
Théorème de Continuité
• ∀x ∈ J
t → g (x, t ) continue par morceaux sur I .
• ∀t ∈ I
x → g (x, t ) continue sur J .
• Hypothèse de domination sur tout segment
Pour tous [a, b] ⊂ J , Il existe ϕ continue par morceaux, ¯positive¯ et intégrable sur I telle que :
£
¤
¯
¯
∀ x ∈ a, b ⊂ J ∀ t ∈ I
¯g (x, t )¯ ≤ ϕ(t )
Alors F est continue et définie sur J
et en particulier pour tout x ∈ J , t → g (x, t ) intégrable sur I .
Remarques
I L’intégrabilité de t → g (x, t ) sur I n’est pas nécessaire à vérifier, puisque découle de la domination.
I On peut remplacer l’hypothèse de domination sur tout segment, par la domination sur J tout entier,
mais cela se révèle moins pratique à l’usage car il est plus aisé de majorer x sur un segment.
I On peut aussi remplacer la vérification des deux premières hypothèses par l’hypothèse (plus forte mais
plus rapide. . .) (x, t ) → g (x, t ) est continue sur J × I .
Z
Z
Z
g (a, t )∂t
lim g (x, t )∂t =
I Le théorème amène en particulier : ∀ a ∈ J lim g (x, t )∂t =
x→a
I
I x→a
I
Théorème de Dérivabilité (sous le signe somme)
• ∀x ∈ J
∂g
(x, t ) sur J × I
∂x
t → g (x, t ) continue par morceaux et intégrable sur I .
• ∀x ∈ J
t→
∂g
(x, t ) continue par morceaux sur I .
∂x
• ∀t ∈ I
x→
∂g
(x, t ) continue sur J
∂x
On suppose, ici, que g (x, t ) admet une dérivée partielle
• Hypothèse de domination sur tout segment
Pour tous [a, b] ⊂ J , Il existe ϕ continue par morceaux, positive et intégrable sur I telle que :
.
¯ ∂g
¯
£
¤
¯
¯
∀ x ∈ a, b ⊂ J ∀ t ∈ I
¯ (x, t )¯ ≤ ϕ(t )
∂x
Z
∂g
∂g
0
1
Alors t →
(x, t ) est intégrable sur I , pour tout x ∈ J , et F est de Classe C sur J et F (x) =
(x, t )∂t .
∂x
I ∂x
Remarques
I Ici il est nécessaire de vérifier l’intégrabilité car seulement celle de la « dérivée » est assurée par la domination.
I On peut remplacer, ici aussi, la domination sur tout segment de J par la domination sur J tout entier.
2 Intégration et Intervertion de symboles
Z
On s’intéresse ici à la problématique
?
lim
n→∞
I
fn =
Z
Z
lim f n =
I n→∞
lim f n (t )∂t .
I n→∞
On supposera donc de facto la convergence simple de la suite de fonctions f n sur I
Théorème de convergence dominée de Lebesgue1
Soit ( f n )n∈N une suite de fonctions continues par morceaux sur I
f n : I ⊂ R → R ou C.
• La suite ( f n ) converge simplement sur I vers une fonction f continue par morceaux sur I .
• Hypothèse de domination : Il existe ϕ continue par morceaux,
positive et intégrable sur I telle que :
¯
¯
¯
¯
∀ t ∈ I ∀ n ∈ N ¯ f n (t )¯ ≤ ϕ(t )
Z
Alors f est intégrable sur I et
Z
lim
n→∞
I
fn =
Z
lim f n =
I n→∞
f
I
Remarque : Ici aussi, l’intégrabilité des f n sur I car elle résulte de l’hypothèse de domination.
Soit ( f n )n∈N une suite de fonctions continues et intégrables sur [a, b]
Z b
fn =
à valeurs dans R ou C, telle que la suite ( f n ) converge uniformément sur [a, b], alors
lim
n→∞ a
Z b
Z b
lim f n =
f
Théorème 2 sur un segment
a
n→∞
a
Remarque : On notera qu’il faut dans ce théorème un segment [a, b] et la continuité des f n (car la convergence
uniforme entraine la continuité de f donc son intégrabilité sur [a, b]). La continuité par morceaux des f n n’est
pas suffisante, pour assurer l’intégrabilité de la limite. Il faudrait alors la vérifier.
On s’intéresse maintenant à la problématique
Z +∞
X
I n=0
X Z
? +∞
un =
n=0
I
un
(dénommée intégration terme à terme)
Théorème de Lebesgue d’Intégration terme à terme
P
Soit ( u n )n∈N une série de fonctions continues par morceaux et intégrables sur I . u n : I ⊂ R → R ou C.
P
• La série de fonctions u n converge simplement sur I
+∞
X
et sa somme S(x) =
u n (x) est continue par morceaux sur I .
n=0
X ³ Z ¯¯ ¯¯ ´
• La série numérique
¯u n ¯ converge.
I
Alors S =
+∞
X
u n est intégrable sur I et on peut « intégrer terme à terme »
n=0
Z ³ +∞
X
I
´
´
+∞
X ³Z
un =
un
n=0
n=0
I
Remarque : On notera ce théorème donne une condition suffisante d’intégrabilité d’une série de fonctions.
Théorème 2 d’Intégration terme à terme sur un segment
Soit (u n )n∈N des fonctions continues et intégrables sur [a, b] à valeurs dans R ou C.
Z b ³ +∞
´
+∞
X
X ³Z
P
Si la série de fonctions (u n ) converge uniformément sur[a, b], alors
un =
a
n=0
n=0
b
a
un
´
Remarque : Dans ce théorème, l’intégrabilité de la focntion-somme est juste assurée par sa continuité sur le
segment, continuité qui découle de la convergence uniforme.
3 Séries à Paramètres ou Séries de fonctions
Dans cette section, on pose pour x ∈ J ,
S(x) =
+∞
X
avec J intervalle et u n : J ⊂ R → R ou C.
u n (x)
n=0
On s’intéresse ici à la « régularité » de ces fonctions définies par des sommes de série, comme la « bien-connue »
fonction ζ de Riemann1 :
ζ(x) =
+∞
X
n=1
1
nx
Théorème de Continuité
• u n est continue sur J .
• La série de fonctions
P
u n converge uniformément sur sur tout segment [a, b] ⊂ J
(ou sur J tout
entier)
Alors S(x) =
+∞
X
u n (x) est continue et définie sur J
en particulier ∀ x ∈ J , la série
P
u n (x) converge.
n=0
Remarques
I On a donc l’« intervertion de symboles »
lim
x→a
+∞
X
u n (x) =
n=0
+∞
X
n=0
lim u n (x) =
x→a
+∞
X
u n (a)
(pour a ∈ J )
n=0
I Dans la pratique, on utilise souvent la condition suffisante de la convergence normale de
P
un
Théorème de Dérivabilité (dérivation terme à terme)
• u n est de classe C 1 sur J .
• La série de fonctions
P
• La série de fonctions
u n converge simplement sur J
P
u n0 converge uniformément sur tout segment [a, b] ⊂ J
(ou sur J tout
entier)
Alors S est de classe C 1 sur J et on peut dériver terme à terme
S 0 (x) =
³ +∞
X
n=0
´0 +∞
X 0
u n (x).
u n (x) =
n=0
1. Bernhard Riemann : mathématicien allemand de génie (1826-1866). Travaux fondamentaux sur les fonctions analytiques, la
théorie de l’intégration, la géométrie différentielle. Sa fonction ζ donne des indications sur la répartition des nombre premiers.
4 Intervertion de Limites
On s’intéresse ici à la problématique lim
n→∞
³
´
³
´
?
lim f n (x) = lim lim f n (x) .
x→a
x→a
n→∞
On supposera donc « de facto » la convergence simple des f n et l’existence d’une limite des f n en a. A noter
aussi, que si les f n sont continues en a, le problème équivaut à la continuité de f = lim f n en a et a déjà été
traité.
Théorème « de la double limite »
Soit ( f n )n∈N une suite de fonctions f n : I ⊂ R → R ou C et a ∈ I ou une borne de I finie ou infinie
• La suite de fonctions ( f n ) converge uniformément sur I (vers une fonction notée f ).
• Chaque fonction f n admet une limite b n en a.
Alors la suite (b n ) est convergente (vers un réel noté b) et f = lim f n admet pour limite b quand x → a,
cad
lim
n→∞
³
´
³
´
lim f n (x) = lim b n = b = lim f (x) = lim lim f n (x)
x→a
x→a
On s’intéresse maintenant à la problématique lim
x→a
³ +∞
X
x→a
n→∞
´
´ +∞
? X ³
lim u n (x) .
u n (x) =
x→a
n=0
n=0
A noter que si les u n sont continues en a, le problème a déjà été résolu par le théorème sur la continuité d’une
somme de série ou une série à « paramètre ».
Théorème
P
Soit ( u n )n∈N une série de fonctions u n : I ⊂ R → R ou C et a ∈ I ou une borne de I finie ou infinie
P
• La série de fonctions u n converge uniformément sur I (de somme notée S).
• Chaque fonction u n admet une limite b n en a.
+∞
X
P
u n (x) admet pour limite B qd x → a,
Alors la série ( b n ) est convergente (de somme notée B) et S(x) =
n=0
cad
lim
x→a
³ +∞
X
n=0
´
´
+∞
+∞
X
X ³
u n (x) = lim S(x) = B =
bn =
lim u n (x)
x→a
n=0
n=0
x→a