Chapitre 9 : Mouvement à accélération centrale

Chapitre 9 : Mouvement à accélération centrale
I.
Mouvement circulaire uniforme : accélération centripète
a) Accélération centrale :
Lorsqu’un objet se déplace sur une trajectoire circulaire à vitesse constante, il possède toujours une
accélération qui est dirigée vers le centre du cercle.
Cet objet en Mouvement Circulaire Uniforme (MCU) change continuellement de direction.
La réorientation permanente du vecteur-vitesse est le résultat d’une accélération radiale (« radiale » :
selon le rayon) orienté vers le centre de la trajectoire.
=
²
:
:
( .
)
( .
)
éé
∶
(voir à la fin pour une démonstration rigoureuse de an =
v²
R
( )
)
Ex : une voiture roule sur un circuit circulaire de 200 m de rayon, à la vitesse constante de 30
.
=
; elle est donc constamment soumise à une accélération radiale
orientée vers le centre du cercle
²
= 4,5
.
b) Quelles sont les forces qui produisent cette accélération centrale ?
Pour une voiture dans un virage, ce sont les forces de frottement exercées par la route sur les pneus :
En projetant selon
⃗
⃗, on obtient :
=
=
.
.⃗ ⟹
⟹
48
⃗+
=
⃗+ ⃗=
.
.⃗
= 1000 . 4,5 = 4500
Ex précédent : si la voiture a une masse de 1 tonne, f = m.
Si la route ne peut pas fournir les forces de frottement suffisantes (vitesse trop élevée, rayon de
giration trop petit), la voiture glisse, dérape.
c) virages relevés :
Les routes présentent habituellement des virages relevés pour que la réaction normale du plan (sa
composante horizontale) vienne fournir une partie ou la totalité de la force nécessaire pour produire
l’accélération centripète permettant le maintien de la voiture sur sa trajectoire circulaire : on réduit
ainsi les forces de frottement, limitant les risques en cas de verglas.
Ex : supposons que seule RN soit responsable de l’accélération radiale (c’est-à-dire aucun
frottement)
⃗
=
.⃗ ⟹
En projetant selon ⃗, on obtient : 0 + (
En projetant selon ⃗, on obtient : − + (
D’où :
. sin
=
.
⃗+
) =
.
) =0 ⟹
⟹
49
=
⃗=
.⃗
⟹
=
.
sin
=
. sin
=
⟹
tan
.
=
=
∶ angle duquel doit être relevée la route pour qu’il n’y ait pas besoin d’action
de forces de frottements ; seule RN est responsable de l’accélération centrale
exemple : soit un virage de 900m de rayon, relevé pour qu’aucune force de frottement n’intervienne
lorsqu’une voiture négocie ce virage à 30 m/s ; de quel angle ce virage est-il relevé ?
=
= °
⟹
Application : aile des oiseaux, des avions…
d) Etude du pendule tournant :
⃗
=
En projetant selon ⃗, on obtient : 0 + . sin
En projetant selon ⃗, on obtient : . cos
.⃗ ⟹
−
=
.
⃗+ ⃗=
=0 ⟹
50
⟹
.⃗
. sin
= .
=
⟹
.
⟹
=
=
.
.
D’où :
=
.
.
⟹
=
sin
=
tan
=
On peut aussi avoir la vitesse angulaire
:
= . sin
,
=
⟹
∶
=
=
.
⟹ En pratique : virage relevé, pendule tournant… bien repérer le cercle
sur lequel tourne l’objet, ainsi que son rayon (en particulier, ne pas confondre
longueur du fil : l et rayon du cercle sur lequel tourne l’objet : r)
II.
Mouvement circulaire dans un plan vertical
Exemple-type : rotation d’un seau d’eau (rotation supposée faite à vitesse constante)
⃗
=
.⃗ ⟹
51
⃗+ ⃗=
.⃗
ü Au point le plus haut :
on projette selon
⃗:
+
=
.
⟺
=
le seau se décroche si T = 0, d’où :
≤
.
⟹
Exemple : si r = 1m et g = 10 m/s², v = 3,13 m/s ⟹
on projette selon
⃗: − +
=
⃗+ ⃗=
.
⟹
.⃗
=
=
.
(
é
ü Au point le plus bas :
+
=
!)
si v ≤ 3,13 m/s, le seau se décroche
.
+
⟹
=
.
+
Au point le plus bas, la tension est maximale : risque de rupture à cet endroit, par exemple si la vitesse
est trop élevée.
En pratique : exercices du type looping et fronde
On utilisera généralement la 2ème Loi de Newton et le Théorème de l’énergie cinétique
III.
Etude d’un objet glissant à la surface d’une sphère ou d’un
dôme :
Exemple-type : un skieur aborde avec une vitesse quasi-nulle la piste AB constituée par un quart de
cercle de rayon r = 3,6 m. La piste est verglacée et les frottements sont négligeables ; g = 10 m/s².
Il perd le contact avec la piste en M.
52
1. Etablir la vitesse vM du skieur en M en fonction de b, r et g.
2. Déterminer numériquement cos b; en déduire
3. Calculer vM.
Réponse :
1. Théorème de l’Energie Cinétique entre A et M :
1
2
=0
=
ℎ=
⃗ +
=
⃗ =0
(1 − cos ) ⟹
∑⃗
2. D’après la 2ème loi de Newton :
On projettera toujours selon
1
2
−
⃗:
. cos
−
=
=
On a donc en M :
2
=
=
2
(1 − cos ) =
2 − 2cos
.
= cos
=
.⃗ ⟹
.
⟹
2
(1 − cos )
⃗+
⃗=
⟺
. cos
=
−
2
= 2
=
⟹
.⃗
. cos
=
. cos
(1 − cos ) ⟹
cos
= cos
⃗ ⊥
= 0, et l’on a :
Le solide quitte la piste en M, donc, à cet endroit :
. cos
⃗
=
.
(1 − cos )
cos
⟹ 2(1 − cos ) = cos
⟹ 2 = 3 cos
⟹
⟹ cos
= 48,2°
=
Généralisation :
Un objet quittant le sommet d’un dôme sans vitesse initiale, le quitte en un angle
=
3.
=
2
(1 − cos ) =
2
=
et
(1 − ) =
2
= 4,90
53
/
.
, °
⟹
=
tel que :
IV.
Compléments
a) mouvement circulaire non-uniforme :
=
ü Si la voiture tourne en accélérant, elle possède une accélération normale
accélération tangentielle
=
puisque la vitesse varie
²
ainsi qu’une
ü De la même façon, sur l’exemple-type de la rotation d’un seau dans le plan vertical, la vitesse
n’est pas uniforme :
↘
- lors de la montée, elle diminue : ↘ ⟹
<0 ⟹
<0
ralentissement :
-
lors de la descente, elle augmente :
54
↗⟹
accélération :
↗
>0 ⟹
>0
En pratique, pour éliminer ⃗, on s’arrangera toujours pour projeter les
forces sur la composante normale de l’accélération : ⃗
=
b) démonstration de
= . cos
⃗
⃗
⎨
⎪
⎩
=
=
− .
= − .
=
= ‖ ⃗‖ =
=
−
=
⃗
.
+
2
⟹ cos
= . sin
D’autre part :
⎧
⎪
:
.
⟹ sin
= − . sin
=
= − .
=
=
.
−
=
=
. cos
= − . = − .
= . = .
= − . ( . cos ) = −
= . (− . sin ) = −
2
. cos
. [(cos ) + (sin ) ] =
55
=
+ −
−
2
2
. cos
. sin
. sin
=
2
On peut également montrer que cette accélération est exclusivement radiale, c’est-à-dire
uniquement portée par le vecteur normal :
tan φ =
=
−
. sin
−
. cos
= tan θ ⟹
φ= θ
L’accélération ⃗ est orientée selon une direction identique à celle du rayon ⟹ la direction est donc
radiale : ⃗ est entièrement portée par la normale à la trajectoire
56
⟹ ⃗=
⃗
Exercices d’application : Mouvements à accélération centrale
exercice 1 :
Une fronde est constituée d'un solide de masse m=150 g attaché à une extrémité d'une cordelette
inextensible et de masse négligeable dont l'autre extrémité est tenue à la main. On fait tourner la
fronde verticalement de manière à ce que le solide décrive à vitesse constante un cercle de rayon
r = 49 cm. On prendra g = 9,81 m/s²
Quelle doit être la vitesse angulaire de rotation (rad/s) de la fronde pour que la tension de la
cordelette soit égale au triple du poids quand le solide passe au point le plus bas de la trajectoire ?
A : 4,5
D : 7,7
B : 5,0
E : 8,9
C : 6,3
F : aucune réponse
exercice 2 :
Une balle de mini golf assimilable à un point matériel est lancée à la vitesse V0 d'un point A vers un
point B.
AB est horizontal. En B la balle aborde l'intérieur d'un demi-cylindre de rayon r, et ressort en C à la
verticale de B.
On néglige les frottements et on prend g = 10 m.s-2.
1. Indiquer quelles forces agissent sur la balle en C. Faire un schéma.
2. Soit v' la vitesse minimale de la balle en C.
Déterminer sa valeur en fonction de r et g. Faire l'application numérique r = 0,9 m.
3. A quelle vitesse minimale doit-on frapper la balle pour que celle-ci atteigne C avec la
vitesse v’ précédente ?
4. La balle quitte le demi cylindre en C à la vitesse v'. Etablir l'équation de sa trajectoire dans le
repère xBy en fonction de v', g et r puis en fonction de r seul.
5. Déterminer la distance AB pour que la balle touche le sol en A
57
exercice 2 :
Une masse m = 0,1 kg ponctuelle est attachée à un fil inextensible de longueur l = 1 m. La masse
tourne autour de la tige et l'angle a est constant a = 22,5° ; g = 9,8 m.s-2 .
1.
2.
3.
4.
quelle est la vitesse angulaire ?
quelle est la tension du fil ?
quelle est la valeur de la vitesse linéaire ?
pour quelle valeur minimale de la vitesse angulaire le fil commence-t’il à se détacher de la
tige verticale ?
exercice 4 : g = 9,8 m/s²
Un petit solide considéré comme ponctuel, de masse m = 100g, est abandonné sans vitesse depuis A,
sommet d'une hémisphère de rayon r = 1 m.
Sur le parcours AB, la bille reste en contact avec la surface de l'hémisphère.
Au point B, la bille perd le contact et suit la trajectoire BC.
Voici le schéma modélisant la situation :
58
1. Représenter les forces qui s'exercent sur la bille en un point M du trajet AB.
2. Exprimer l'intensité RN de l'action du plan sur la bille en fonction de m, g, r, v et a.
3. En utilisant le théorème de l'énergie cinétique exprimer le module de la vitesse de la bille en
M en fonction de g, r et a.
4. Lors de la perte de contact en B, quelle valeur prend l'intensité RN de la réaction normale du
plan sur la bille ?
5. Quelles sont en B les valeurs a0 et v0 de a et de la vitesse ?
6. Quelle est la nature du mouvement de la bille sur le trajet BC ?
7. Donner les équations horaires du mouvement de la bille dans le repère [Bxy) indiqué en
fonction de g, a0 et v0. L'origine des temps est prise au moment où la bille perd le contact du
plan.
8. Calculer l'abscisse du point C, point d'impact avec le sol. Calculer la distance OC.
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