LES MATHEMATIQUES DE L`ASSURANCE AUTOMOBILE

SUJET B
LES MATH~MATIQUES DE L'ASSURANCE
AUTOMOBILE
Introduction de la discussion (rdsumd)
P. J. DELAPORTE
Plusieurs communications sont prdsentdes au Colloque sur les
Mathdmatiques de l'Assurance Automobile. Afin de pouvoir mieux
situer chacune d'elles dans ce vaste sujet, il peut ~tre bon de schdmatiser l'ensemble de la question. I1 comprend:
x. la survenance des accidents
2. le tarif et la mesure de son efficacitd par rapport k l'estimation
optimale.
i. La Survena.nce des accidents
Groupons dans une classe les propridtaires de vdhicules ayant un
m~me ensemble de caractdristiques extdrieures de risques: m~me
mod61e de voiture, m~me zone de garage habituel, mime usage ou
profession du propridtaire, etc. Les risques s de survenance d'accident ne sont pas identiques pour tous Ics propridtaires de la classe,
rnais sont distribuds selon une fonction de rdpartition F(s).
Ddsignons par P(s' I s) la probabilitd de survenance de s' sinistres
pour un assurd dont le risque individue[ est s (des dtudes antdrieures
ont montrd que P(s' ] s) est reprdsentable par une loi de probabilitd
de Poisson). La probabilitd qu'un assurd, pris au hasard dans la
classe, air s' sinistres est:
P(s') =
J" P ( s ' l s ) . d F ( s )
(I)
#o
so dtartt le risque minimum de la classe.
Ddsignons par g(X) la densit~ de probabilitd de la distribution des
cofits X des sinistres. Oft peut admettre qu'~t l'intdrieur de la classe,
au moins en premiere approximation, g(X) est inddpendant de s,
d'oh la probabilitd de survenance d'un sinistre de coflt X est:
P(s" = I; X) = g(X).P(s" = I)
(2)
I3
I86
MATHI~MA'I'IQUES
DE L'ASSURANCE AUTOMOBILE
La probabilit6 de survenance d'un sinistre de coflt supdrieur 5.
une franchise Xe est:
P(s' =
;x
> G)
= P(s' =
. [ j" d G ( X ) ]
(3)
z d
et la probabilit6 de survenance de s'e sinistres de coflts sup6rieurs 5.
une franchise est"
P(S~; 1X > X e. . . . c o x > Xe) = P(s~). [ f dG(X)]G
(4)
Dans sa c o m m u n i c a t i o n : ,,L'influence de la franchise sur le
n o m b r e de sinistres dans l'Assurance Automobile", Monsieur
Mogens Muff 6tudie les distributions empiriques de ces sinistres, et
apr6s a j u s t e m e n t sur une distribution binomiale n4gative, il observe
que l'un des param6tres d6pend de la clause de bonus et l'autre
varie avec la franchise.
Le rdassureur excess p o u r r a utiliser ce m~me mod61e en p r e n a n t
pour s non pas le risque probable d'un assur6, mais le risque probable
d ' u n e compagnie r6assur6e. I1 remplacera la franchise X e par un
m o n t a n t d'excess Xe(I .or_d) t d4croissant avec le temps 6could depuis
le d4but de l'ann6e de survenance jusqu'k l'6poque m o y e n n e de
r6glement t, pour tenir compte d ' u n e d6pr6ciatiou mon6taire dont
le t a u x annuel est de d pour les r6glements de sinistres.
Dans sa c o m m u n i c a t i o n : ,,Une approche d ' a n a l y s e des sinistres
observ6s dans la rdassurance excess de responsabilit6 civile", Monsieur H. G. Verbeek 6tudie le tableau 5~ double entr6e des sinistres
par ann6e de survenance et par ann6e de d6claration au rdassureur
au fur et g mesure que chacun d'eux d6passe le m o n t a n t de l'excess.
M. Verbeek a d m e t que la distribution des nombres de sinistres
d6clar6s par la eompagnie cddante au rdassureur est reprdsentable
p a r des distributions de Poisson et qu'il y a i n d @ e n d a n c e entre le
n o m b r e et le cofit des sinistres. Une estimation des param6tres par
la m6thode du M a x i m u m de Vraisemblance lui p e r m e t d'extrapoler,
p o u r les ann6es futures, la valeur probable des sinistres qui seront
d4clar6s au r6assureur, ce qui peut servir de base ~ la cotation d ' u n
trait6 de r6assurance excess.
MATHI~MATIQUES DE L'ASSURANCE AUTOMOBILE
187
2. Le tarif et la mesure de son efficacild par rapport & l'eslimalion
optimale
Le tarif d'assurance automobile comprend:
I. une informalion a priori sur l'assur6 et l'usage qu'il fera du
vdhicule, son lieu de garage habituel et, d'autre part, sur la
voiture, son modhle, son 4tat d'entretien, etc. ;
2. une information ~ posteriori sur les sinistres ddclards et sur la
manihre dont le conducteur se comporte (entretien du v6hicule,
infractions au Code de la Route), relative g la pdriode dcoulfe
depuis la souscription du contrat.
L'information ~. priori permet un ddcoupage de l'ensemble des
risques en classes de tarif dans lesquelles on groupe les assurds ayant
~t priori des risques identiques.
Ddsignons par :
~s~, 2s~. . . .
les nombres de sinistres d4clar4s par l'assur4 i pendant les ann6es d'assurance I, 2, etc. Les probabilitds
de survenance d'accidents ont 6t4 d6finies ci-dessus
(formule I).
la mani6re dont le conducteur s'est comport6 pendant
les anndes I, 2, etc. (par exemple le hombre des
infractions graves h la loi sur la circulation routi6re).
la Ionction de distribution des comportements
des conducteurs de risques s pendant l'annde j.
14, o-cl. . . .
H(/~[s)
et admettons que les classes de tarif ont dt4 constitudes de mani6re
suffisamment homog6nes pour que le cofit moyen des sinistres X
soit, dans la classe, inddpendant du risque individuel d'accident. La
prime pure de l'ann4e k + I connaissant les ant4c4dents des k
premihres anndes d'assurance est:
t
•
,.
fI(~ + ls~ I ~sl . . . . ks~, l q . . . . kq) =
+m
/
J
I s.p(~h I s)...P(~s~ I s).H(~ 4 I s)...H(k4 I ~)-dF(~)
-~
2
#0
+~
t
; P(,szls)...P(k41S).H(14
#0
(5)
I s)...H(k4ls
).dF(s)
188
MATHEMATIQUES
DE L'ASSURANCE AUTOMOBILE
P(s' [ s) ayant une loi de distribution de Poisson, ceci se simplifie en
+~
S s'"' + . . . . ,s', + X.e-*-S.H(~c~ls). " . H ( k c ~ l s ) .dE(s)
----X '°+ ~
f s, 8, . . . .
~", . e- k'H(~c~ I s ) . . . H(kc~ I s). aF(sl
(6)
aO
A notre connaissance, la fonction H n'a pus encore dt6 dtudi6e,
ellea donc 6t6 suppos6e constante duns tousles travaux ant6rieurs.
Au contraire, l'6tude des observations a montrd que la fonction de
distribution des risques individuels F(s) est voisine de l'eulerienne de
seconde esp&ce :
a 0 ,
dE(s)-
-
-
-r(b)
-.e
-a<s-8°)
( S - - So)~-l.ds
(7)
et que So, qui est le risque minimum, est voisin de zdro; a et b sont
des param6tres k estimer par le Maximum de Vraisemblance pour
que les voitures aient eu les nombres de sinistres observds.
Le risque d'un assur6 i connaissant les sinistres qu'il a eus pendant
les k ann6es antdrieures peut 4tre obtenu d'aprhs l'esp6rance mathdmatique de s li6e par les sinistres observds, c'est-k-dire:
t
-
,
,
t
- b + ~ s , +
X. EFk. ~s, I ~s~. . . . ~s~] = X
a+k
...+~.s,
(8)
Notre Prdsident, Monsieur P. Thyrion, prdsente une communication intitulde: ,,Quelques observations statistiques sur la variable
,,nombre de sinistres" ell assurance automobile", dans laquelle il a
dtudi6 le comportement de 1.41o polices pendant 4 anndes et de
1.o94 polices pendant 7 ann6es.
Sur cet ensemble, i[ a d'abord examin~ la distribution empirique
du nombre des sinistres d'une annde en fonction du nombre total des
sinistres des anndes ant6rieures. I1 a montr6 que les observations
v6rifient les conditions pour ~tre reprdsentables par une loi de
Poisson composde et que la ,,fonction de structure" U(X) (qui est la
fonction F(s) dans les notations prdcddeates, formule[I]) reste
stable au cours du temps. Les rdsultats montrent que cette fouction
est plus concentrde que la loi exponentielle et a u n seul mode situ6
pros de l'origine.
Ensuite, il a calcul6, d'apr&s les observations, pour chacune des
18 9
MATHI~.MATIQUES DE L'ASSURANCE AUTOMOBILE
ann6es, la valeur du risque li6e par les nombres de sinistres observ6s
pendant les ann~es pr~c~dentes e t a donn~, pour plus de prdcision,
les valeurs mddianes du rapport du risque li6 divis6 par le risque
moyen de l'ensemble des polices, dans le dernier tableau de sa communication.
On peut noter que les rdsultats enti~rement empiriques de
P. Thyrion, obtenus sur la Belgique, sont en excellent accord avec
ceux que nous avions obtenus, sur la France, il y a plus de IO ans,
par un module th~orique de loi de Poisson compos6e avec une
eulerienne de seconde esp~ce (formules I, 7 et 8 ci-dessus) pour une
mfime frdquence moyenne s = o,193 et pour la valeur du param&tre
b = 1,6, alors que les rfisultats de P. Thyrion donnent b = 1,32
S'fl y a eu ¢* sinistres p e n d a n t les ann6es
ant6rieures, q u o t i e n t de la fr~quence lide 5~
la fr~quence m o y e n n e apr6s:
~Z
Valeur
o sin.
empirique
th~orique
I an
0,85
0,89
2 ans
o,79
0,80
3 ans
o,71
0,73
4 ans
o,66
0,67
5 ans
0,64
o,6~o
6 ans
o,59
0,58
1 sin.
empmque
th~orique
1,48
1,45
1,25
1,31
1,21
1,19
I,OI
i,o 9
o,96
i,oi
o,79
o,94
P. Thyrion indique qu'avec une vraisemblance suffisante pour la
pratique on peut conclure que l'hypoth~se de l'h6t6rog6n6it6 des
classes de risques se montre apte ~ pr6voir l'influence du comportement pass6 d'une sous-classe de risques sur son comportement
futur en ce qui concerne les nombres de sinistres, ce qui est une des
bases pratiques d'une tarification de l'assurance automobile
utilisant un syst~me de bonus-malus.
Dans sa communication : ,,Etude sur la survenance des sinistres en
assurance automobile", M. Brichler propose de poser b = I e t a ~gal
l'inverse de la Ir6quence moyenne du groupe. Cette solution correspond ~ un cas limite de la repr6sentation par l'eul~rienne de
seconde esp~ce rdduite ae- ~8. Ceci semble valable lorsque la classe de
risques est tr~s dissym6trique et l'esp6rance matMmatique du
nombre de sinistres tr~s faible, mais conviendrait moins bien g des
classes plus h6tfirog&nes pour lesquelles on trouve b variant de
1,5 ~. 2.
19o
MATHt:.MATIQUES DE L'ASSURANCE AUTOMOBILE
D'autre part, M. Briclder a essay6, empiriquement, de trouver une
repr6sentation des fr6quences des ann6es successives par des formules plus g6n6rales, notamment en dormant un poids plus fort aux
sinistres des ann6es rdcentes et plus faible aux sinistres anciens.
Nous ne parlerons pas du probl~me de jugement d'un tarif, car
aucune communication n'est prdsent6e sur ce suiet. Je voudrais
cependant rappeler que l'analyse de la variance permet de d~composer la variance totale des sinistres cn variance li6e par le tarif et
variance non expliqnde par le tarif. La variance du risque probable
divis6e par la variance like par le tarif donne la mesure de l'efficacltd
de ce tarif. Cette mdthode a encore peu ~td utilis6e.
En terminant, je voudrais faire remarquer que, pour dtablir les
mod61es rep%sentant la survenance des accidents et l'estimation des
fr6quences individuelles des assur6s, nous avons fait appel seulement
k quatre distributions:
F(s)
.P(s'l s)
G(X)
H(c' I s)
fonction de r@artition des risques individuels
probabilitd de survenance d'un sinistre
fonction de r@artition des co6ts de sinistres
fonction de r@artition du comportement des conducteurs
qui nous permettent d'obtenir toute l'information d~sirde. Un effort
tr~s grand devrait ~tre fait pour obtenir de mani6re tr&s p%cise ces
distributions.