A numerical approach to variational problems subject to

A numerical approach to variational problems
subject to convexity constraint
G. Carlier ∗, T. Lachand-Robert † , B. Maury
†
L’article complet peut être trouvé à l’adresse :
http://www.ann.jussieu.fr/~lachand/Publications.html
Abstract.
We describe anRalgorithm to approximate the minimizer of an
elliptic functional in the form Ω j(x, u, ∇u) on the set C of convex functions
u in an appropriate functional space X. Such problems arise for instance in
mathematical economics. A special case gives the convex envelope u∗∗
0 of a
given function u0 .
Let (Tn ) be any quasiuniform sequence of meshes whose diameter goes to
zero, and In the corresponding affine interpolation operators. We prove that
the minimizer over C is the limit of the sequence (un ), where un minimizes
the functional over In (C).
We give an implementable characterization of In (C). Then the finite
dimensional problem turns out to be a minimization problem with linear
constraints.
Résumé.
Nous décrivons un algorithme
R d’approximation du minimiseur
d’une fonctionnelle elliptique de la forme Ω j(x, u, ∇u) sur l’ensemble C des
fonctions convexes dans un espace fonctionnel X approprié. De tels problèmes
interviennent par exemple en économie mathématique. Un cas particulier
fournit l’enveloppe convexe u∗∗
0 d’une fonction donnée u0 .
Soit (Tn ) une suite de maillages quasi-uniformes dont le diamètre converge
vers zéro, et In les opérateurs d’interpolation correspondants. Nous démontrons
que le minimiseur sur C est la limite de la suite des minimiseurs sur In (C).
Nous donnons une caractérisation implémentable de In (C). Ainsi le problème
en dimension finie se réduit à un problème de minimisation sous contraintes
affines.
∗
Université Paris IX Dauphine, Ceremade, [email protected].
Université Pierre et Marie Curie, Laboratoire d’Analyse Numérique, 75252 Paris Cedex 05, France.
[email protected]; www.ann.jussieu.fr; [email protected].
†