Le carré A`B`C`D` est un agrandissement du carré

A'
I. D EFINITION
A
B
D
C
B'
Etat initial: côté 2cm
C'
D'
Etat final: côté 6cm
Le carré A'B'C'D' est un agrandissement du carré ABCD. Pour obtenir le côté de A'B'C'D', il
faut multiplier le côté de ABCD par ....
On dit que ..... est le coefficient d'agrandissement (ou l'échelle)
Quelle opération permet de trouver ce coefficient à partir des dimensions données ? ...............
v Quand on multiplie toutes les dimensions d’une figure par un même nombre, sa forme
reste inchangée.
v Agrandir une figure ou un solide, c'est multiplier toutes ses dimensions par un même
nombre supérieur à 1.
v Réduire une figure ou un solide, c'est multiplier toutes ses dimensions par un même
nombre compris entre 0 et 1.
v Ce nombre s'appelle le coefficient d'agrandissement (ou de réduction selon le cas) ou
Longueur finale
échelle. Il s’obtient en calculant le rapport
Longueur initiale
Exemple d'application:
Calculer ci-dessous la diagonale AC du premier carré.
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
[A’C’] est un agrandissement de [AC], alors A’C’ = AC × ….. = …….. × ……. = ………
II. P ROPRIETES .
Quelle est l'aire du carré ABCD:......... cm²
Quelle est l'aire du carré A'B'C'D' :.......... cm²
Quand les longueurs sont multipliées par 3, les aires sont multipliées par ....... ?
Nous allons maintenant réduire un cube avec un coefficient de réduction (échelle) de
1
(on
4
multiplie toutes les dimensions par 0,25, ce qui revient à diviser par …….)
Etat final: arête .....cm
Etat initial: arête 8cm
3
Volume initial du cube: ........ cm
3
Volume final du cube: .......... cm
Le volume du cube a été divisé par:......................, ce qui revient à le multiplier par ………
Quand on multiplie les dimensions d’une figure par un coefficient k, les aires sont multipliées
3
par k², et les volumes par k
Exemple d’application :
Sur la figure ci-contre, on donne :
(UI)//(AR) ,CI = 3cm et CR = 5 cm . L’aire du triangle CAR est
égale à 8 cm²
C
U
I
1°) Prouver que le triangle CUI est une réduction du triangle
A
CI CU IU
CAR. (vous pourrez pour cela calculer les rapports
,
,
CR CA RA
R
et prouver qu’ils sont tous égaux .).
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
2°) Exprimer la fonction linéaire qui a la longueur d’un côté du triangle CAR associe celle du
côté correspondant du triangle CUI.
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
3°) CUI est donc une réduction de CAR. Le coefficient de réduction est ……….
En conséquence Aire(CUI) = Aire ( CAR ) × …….. = ………..
III. A PPLICATIONS
A. Section d’une pyramide par un plan parallèle à sa base
SABCD est une pyramide régulière dont la base ABCD est un carré de côté 5cm, ses arêtes
latérales mesurent 10 cm. (SA = SB = SC = SD = 10cm)
S
K
L
1°) a. Calculer AH.
b. Calculer la hauteur SH de
cette pyramide
c. Calculer le volume de la
pyramide SABCD
1
(rappel V = B×h, où B
3
représente l’aire de la base et h la
hauteur)
× H’
I
D
C
J
H
A
B
"
2°) a. On a sectionné cette pyramide suivant un plan
parallèle à la base et passant par le point I situé sur [SA]
à 4 cm de S
On admettra sans démonstration que la section IJKL est
un ....................................................................................................................................................
SI SH’
IJ
b. Calculer les rapports
,
,
(vous
SA SH AB
admettrez que (IJ)//(AB et que
(IH’) // (AH) )
La pyramide SIJKL est donc une réduction de SABCD.
Le coefficient de réduction est ici de ……….
"
c. [IJ] est une réduction de ……… , donc IJ = ……… × …… = …………. cm
[SH’] est une réduction de ………, donc SH’ = ………× …… = …………… cm
Propriété : La section d’une pyramide par un plan parallèle à la base est une réduction de
cette base.
La pyramide SIJKL est une réduction de la pyramide SABCD, donc : Volume(SIJKL) =
Volume (SABCD) × …….. = ……………….
B. Section d’un cône par un plan parallèle à sa base
S
B
A
× O’
×O
Soit un cône de sommet S, de base le disque de centre O et de rayon OA = 4cm., et
d’apothème 12cm (SA = 12 cm)
1°) Calculer la hauteur SO de ce cône.
............................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
2°) On coupe ce cône par un plan parallèle au disque de base passant par le point O’ sur [SO]
tel que SO’ = 3cm.
On admettra sans démonstration que la section ainsi obtenu est le ………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
SO’ SB O’B
,
et
(on admettra que (O’B)//(OA) )
SO SA OA
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
3°) Calculer les rapports
Propriété : La section d’un cône par un plan parallèle à la base est une réduction de cette base.
4°) Calculer la surface du disque de centre O et de rayon OA (rappel S = Pi × r²)
...........................................................................................................................................................
En déduire la surface du disque de centre O’ et de rayon O’B : …………. × ………. = ……
5°) Calculer le volume du cône de sommet S et de base le disque de centre O (même formule
que pour la pyramide) : ....................................................................................................................
En déduire le volume du cône de sommet S et de base le disque de centre O’
...........................................................................................................................................................
IV. S ECTION
PLANE DE QUELQUES SOLIDES
IV.1 Sphère
On coupe une boule de centre O et de rayon 5cm par un plan passant par un point I situé à 3
cm du centre O, perpendiculairement à (OI).
I
M
O
1°) Quelle semble être la forme de la section ? ....................................................................
2°) Où devrait se situer le point I pour que la section soit un grand cercle ? .....................
...................................................................................................................................................
3°) Calculer IM. (on admet que (OI) est perpendiculaire à (IM) )
On dit que le cercle correspondant à cette section est un petit cercle.
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
La section de cette boule par ce plan est un disque de centre ….. et de rayon ………. cm
4°) On dit que OI est la distance du plan de section au point O
(OI) est perpendiculaire à ce plan.
Compléter les affirmations ci-dessous avec « égale » « inférieure » et « supérieure »
v Si la distance du plan de section jusqu’au centre de la boule est ……………………….. au
rayon, et ………. .......................à zéro alors la section est un petit cercle.
v Si la distance du plan de section jusqu’au centre de la boule est ……………………….. au
rayon, alors le plan ne coupe pas la sphère
v Si la distance du plan de section jusqu’au centre de la sphère est ……………………….. à
zéro, alors la section est un grand cercle.
v Si la distance du plan de section jusqu’au centre de la sphère est ………………………..
au rayon, alors la section est un ..............
Le plan est alors tangent à la sphère
IV.2. Cylindre
1°) Section d’un cylindre par un plan perpendiculaire à la base
"
La section du cylindre (zone grisée) est un .................................
Application : Le rayon du cylindre est 5 cm et sa hauteur 15 cm. Calculer l’aire de la section
obtenue.
2°) Section par un plan parallèle à la base
"
La section du cylindre (zone grisée) est un .................................
Application : Le rayon du cylindre est de 4 cm et sa hauteur 6cm, calculer la surface de la
section obtenue
IV.3 Parallélépipède rectangle : Section par un plan parallèle à une arête.
La section obtenue est ici un ..........
Application : calculer l’aire de la section grisée sachant que les dimensions de la base sont 8cm
sur 5cm et que la hauteur est 4cm. De plus, on a découpé « en travers » en partant à 2 cm de
l’arête supérieure gauche et en arrivant à 1 cm de l’arête inférieure droite.