I. Sphère et boule II. Section d`une sphère par un plan

I. Sphère et boule
1. Définition
O est un point donné de l’espace et R est un nombre positif donné.
 La sphère de centre O de rayon R est l'ensemble des points de l'espace qui sont à la
distance R de O.
 La boule de centre O et de rayon R est l'ensemble des points de l'espace dont la distance à
O est inférieure ou égale à R.
 Un grand cercle d’une sphère de centre O et de rayon R est un cercle de centre O et de
rayon R
2. Aire, volume
L'aire d'une sphère ou d'une boule de rayon R est 4 R 2
4
Le volume d'une boule de rayon R est  R3
3
3. Remarque
Il est impossible de construire le patron d’une sphère
II. Section d’une sphère par un plan
1. Propriété
La section d'une sphère par un plan est un cercle.
3ème
1
2. Propriété
Si H est le pied de la perpendiculaire menée de O au plan (P) (OH < R), la section de (S) et (P) est
le cercle de centre H de rayon r tel que :
r  R 2  OH 2
Démonstration :
(OH) est perpendiculaire au plan (P) donc le triangle OHM est rectangle en H.
D’après le théorème de Pythagore on a :
r 2  R 2  OH 2
OM 2  OH 2  HM 2
HM 2  OM 2  OH 2
r  R 2  OH 2
3. Cas particuliers

OH = 0 ; r = R
La section d’une sphère par un plan
qui passe par le centre de la sphère est
un grand cercle.

OH = R ; r = 0
La sphère et le plan ont un seul point
commun. On dit que le plan est tangent
à la sphère.
3ème
2
III. Sections d’autres solides par un plan
1. Parallélépipède rectangle
Propriété :
La section d’un parallélépipède rectangle par
un plan parallèle à une face est un rectangle de
mêmes dimensions que cette face.
Propriété :
La section d’un parallélépipède rectangle par
un plan parallèle à une arête est un rectangle
dont une dimension est égale à la longueur de
cette arête et dont l’autre dimension dépend de
la position du plan.
2. Cylindre
Propriété :
La section d’un cylindre de révolution par un plan parallèle aux bases est
un disque de même rayon que celui des deux bases.
Propriété :
La section d’un cylindre de révolution par un plan parallèle à l’axe est un
rectangle dont une dimension est la hauteur du cylindre et dont l’autre
dépend de la position du plan.
3ème
3
3. Pyramide et cône
Propriété :
La section d’une pyramide ou d’un cône par un plan
parallèle à la base est une réduction de la base de facteur k. :
AH AM HM


 k (coefficient de réduction) .
AB AN
BN
IV. Agrandissements, réductions
1. Définition


L’agrandissement de rapport k d’un objet est la transformation qui consiste à multiplier
toutes les longueurs de cet objet par k ( k  1 ).
La réduction de rapport k d’un objet est la transformation qui consiste à multiplier toutes
les longueurs de cet objet par k ( k  1 ).
2. Propriété
Dans un agrandissement ou une réduction de rapport k, les aires sont multipliées par k 2 et les
volumes par k 3 .
3ème
4
Rappels de 4ème :
1. Volume d’une pyramide
Le volume d’une pyramide est donné par la formule : V 
B h
3
Où B est l’aire de la base de la pyramide et h sa hauteur.
2. Exemple
La pyramide SABCD à une base qui est un carré de 4 cm de côté.
La hauteur SH = 6 cm.
Le volume de cette pyramide est :
4 46
V
3
V  32
La pyramide SABCD a un volume de 32 cm3.
3. Volume d’un cône
Le volume d’un cône est donné par la formule : V 
B h
3
Où B est l’aire de la base du cône et h sa hauteur.
4. Exemple
Un cône est donné par sa hauteur SH = 6 cm et son rayon r = 2 cm.
Le volume de ce cône est :
  r2  h
V
3
  22  6
V
3
V  8
V  25,13
Le cône a un volume de 25,13 cm3.
3ème
5