CORRIGÉ DEVOIR MAISON N° 8 TERMINALE S 3 lim 1 n 1 n 1 n 1

CORRIGÉ
DEVOIR MAISON N° 8
TERMINALE S 3
EXERCICE 1 : Franck Geek est adepte de jeux vidéo en ligne. Afin de
préserver son temps de travail scolaire, il essaye de se modérer. Il constate que :
• s’il a joué un jour, la probabilité qu’il ne le fasse pas le lendemain est de 0, 6 ;
• s’il n’a pas joué un jour, la probabilité qu’il joue le lendemain est de 0, 9.
Le jour de la rentrée (premier jour), Franck a décidé de ne pas jouer.
1. a. L'arbre pondéré de probabilités sur les deux premiers jours :
b. La probabilité que Franck joue le deuxième jour est 0,9.
c. La probabilité qu’il ne joue pas le deuxième jour est 0,1.
2. Soit n un entier naturel non nul. Soient Dn l’événement :
« Franck a joué le n-ième jour » et on note dn la probabilité de Dn .
a. La relation liant dn et dn + 1 avec un arbre :
dn + 1 = p(Dn + 1 ) = p(Dn + 1 ∩ Dn) =p(Dn + 1 ∩ Dn ) = 0,4dn + 0,9(1 – dn) =
– 0,5dn + 0,9.
b. Pour tout entier naturel n non nul, on pose un = dn − 0, 6.
un + 1 = dn + 1 − 0, 6 = – 0,5dn + 0,9 – 0,6 = – 0,5dn + 0,3 = – 0,5(dn + 0,6) =
– 0,5un . Donc la suite (un) est géométrique de raison – 0,5 et de premier
terme u1 = d1 – 0,6 = – 0,6. Ainsi un = – 0,6(– 0,5)n – 1 .
D'où dn = un + 0, 6 = – 0,6(– 0,5)n – 1 + 0,6.
c. La raison de la suite (un) est strictement comprise entre – 1 et 1, donc
lim u n = 0, et lim d n = 0,6. Cette limite signifie que la probabilité
n →+∞
n →+∞
que Franck joue aux jeux vidéo tend vers 0,6 lorsque le nombre de jours n
tend vers +∞ .
EXERCICE 2 : On considère la fonction f définie sur par fn (x) = ln(ex – x –
1
) où n est un entier naturel
n
supérieur ou égal à 2.
1
est
n
strictement positif . On a vu que pour tout réel x, ex ⩾ x + 1 (la droite d'équation y = x + 1 est la tangente à la
courbe représentative de la fonction exponentielle en 0 et les tangentes à cette courbe sont toujours en-dessous de
1
1
la courbe), donc ex – x – 1 ⩾ 0. Or pour tout entier n ⩾ 2,
< 1, donc ex – x –
> ex – x – 1 ⩾ 0.
n
n
Donc la fonction fn est définie sur ℝ.
ex −1
2. La fonction fn est dérivable sur ℝ comme composée de fonctions qui le sont. Et fn '(x) =
qui est du
1
x
e −x−
n
x
x
0
x
x
x
signe de e – 1. Si x > 0, e > e soit e > 1, donc e – 1 > 0 ; et si x < 0, e – 1 < 0. Donc la fonction fn est
1
croissante sur ℝ+ et décroissante sur ℝ– . Elle admet donc un minimum en x = 0 qui vaut fn(0) = ln(1 –
).
n
ex
ex
ex
1
1
1
3. Pour tout x > 0, ex – x –
= x(
–1–
). On sait que lim
= +∞, donc lim ( −1− ) = +∞,
n
nx
x
nx
x →+ ∞ x
x →+ ∞ x
donc lim f n ( x ) = +∞ .
1. Pour montrer que la fonction fn est définie sur ℝ, il suffit de montrer que pour tout réel x, ex – x –
x →+ ∞
lim e x = 0, donc
x →− ∞
1
lim (e x −x− ) = + ∞ , donc lim f n ( x) = + ∞.
n
x →− ∞
x →−∞
4. Pour montrer que la droite d'équation y = x est asymptote à la courbe représentative de la fonction fn , on
cherche la limite lim ( f n ( x )−x ) .
x →+ ∞
Or fn (x) – x = ln(ex – x –
1
1
) – x = ln(ex – x –
) – ln(ex ) = ln
n
n
(
e x−x −
e
x
1
n
)
= ln (1−
x
1
− x) .
x
e ne
1
x
= 0 et lim
= 0, donc lim ( f n ( x )−x ) = ln1 = 0. Ainsi, la droite d'équation y = x est bien
x
x →+∞ ne
ex
x →+ ∞
asymptote à la courbe représentative de la fonction fn .
5. On pose pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, un = minimum de la fonction fn , donc
1
) = ln(n – 1) – ln(n).
un = ln(1 –
n
Or lim
x →+∞
(
2
)
n
a) un + 1 – un = ln(n) – ln(n + 1) − (ln(n – 1) – ln(n)) = 2ln(n) – ln(n – 1) – ln(n + 1) = ln
=
( n−1)(n+1)
( )
( )
2
2
n2
n
n
2
2
.
Or
pour
tout
entier
naturel
n
>
1,
n
>
n
–
1
,
donc
>
1,
donc
ln
> 0, et la suite (un)
n 2 −1
n 2−1
n 2 −1
est croissante.
1
b) lim
= 0, donc lim u n = ln1 = 0. Donc la suite converge vers 0.
n →+∞ n
n →+∞
ln
EXERCICE 3 : On considère l'équation différentielle (E) : y' + y = 2(x + 1)e – x .
1. Pour montrer que la fonction u définie sur ℝ par u(x) = (x2 + 2x)e – x est solution de l'équation (E), il suffit de
montrer que la fonction u vérifie l'équation : on a u '(x) = (2x + 2)e – x + (x2 + 2x)(– e – x ) = (– x2 + 2)e – x .
Et u '(x) + u(x) = (– x2 + 2)e – x + (x2 + 2x)e – x = (2x + 2)e – x = 2(x + 1)e – x . Donc la fonction u est solution de
l'équation (E).
2. La fonction f est solution de (E) équivaut à f '(x) + f(x) = 2(x + 1)e – x équivaut à f '(x) + f(x) = u '(x) + u(x)
équivaut à f '(x) + f(x) – u '(x) – u(x) = 0 équivaut à (f – u) '(x) + (f – u)(x) équivaut à f – u est solution de
l'équation différentielle (E') : y' + y = 0. Donc f est solution de (E) si et seulement si f – u est solution de (E').
3. Les solutions de l'équation différentielle (E') : y' + y = 0 sont les fonctions fk définies sur ℝ par fk(x) = ke – x.
Donc f(x) – u(x) = ke – x , et f(x) = ke – x + u(x) = ke – x + (x2 + 2x)e – x = (x2 + 2x + k)e – x .
4. La solution f telle que f (0) = 1 vérifie f(0) = (02 + 20 + k)e 0 = k = 1.
D'où f(x) = (x2 + 2x + 1)e – x = (x + 1)2 e – x .
5. La fonction F définie sur ℝ par F(x) = (ax2 + bx + c)e – x est une primitive de la fonction f de la question 4 si et
seulement si F'(x) = f(x), soit F'(x) = (2ax + b)e – x + (ax2 + bx + c)(– e – x ) = (– ax2 + (2a – b)x + b – c)e – x = f(x).
Par identification des polynômes, on obtient – a = 1, 2a – b = 2 et b – c = 1. On trouve a = – 1, b = – 4 et c = – 5.
Donc F(x) = (– x2 – 4x – 5)e – x .
6. a) Pour tout réel x, la fonction f est positive. Donc pour tout entier naturel n, l'aire A(n) comprise entre la
courbe représentative de la fonction f , l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation x = n, est
n
égale à
∫ f (x ) dx
= F(n) = F(0) = (– n2 – 4n – 5)e – n – (– 5)e 0 = (– n2 – 4n – 5)e – n + 5.
0
2 −n
b) On sait que lim n e
n →+∞
−n
= lim n e
n →+∞
= lim e
n →+∞
−n
= 0, donc lim A(n) = 5.
n →+∞
Cette limite est l'aire de la partie du plan comprise entre la courbe représentative de la fonction f sur ℝ+ , l'axe des
abscisses et l'axe des ordonnées. C'est une aire finie, mais non délimitée.