Continuité - Dérivation Cours

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Continuité - Dérivation
Cours
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Chapitre 6 : CONTINUITE - DERIVATION
1. CONTINUITE
1. 1 Continuité en un point
Définition
Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle I de R, et a un élément de I (distinct
des bornes de I)
f est continue en a si lim f(x) = f(a)
x →a
Si f n’est pas continue en a, on dit que f est discontinue en a
Remarque : une fonction continue sur un intervalle possède une représentation graphique
qui
peut être tracée d’un trait continu (sans lever le crayon de la feuille) de la borne inférieure à
la
borne supérieure de l’intervalle.
1.2 Continuité à gauche de a - Continuité à droite de a
f est continue à gauche de a si lim f(x) = f(a)
x→a −
f est continue à droite de a si lim f(x) = f(a)
+
x→a
Cas des fonctions définies en a et par des expressions différentes à gauche et à droite de a
(on dit que f est définie par morceaux)
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 Gérard Hirsch – Maths54
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f est continue en a si lim f(x) = lim f(x) = f(a)
−
+
x→a
x→a
Si l’une des limites à gauche, ou à droite (ou encore les deux limites) n’existent pas
ou
si lim− f(x) ≠ lim+ f(x) alors f est discontinue en a
x →a
x →a
1
n’est pas définie en a = 0 ,
x
elle n’est pas continue a = 0 , elle est discontinue à droite de a = 0
Exemple 1: La fonction f définie sur I = ] 0 ,+ ∞ [ par f(x) =
Exemple 2: La fonction partie entière E, notée E , définie par :
∀x ∈R , ∃ n ∈Z , unique tel que n ≤ x < n + 1
n est appelée la partie entière de x, et notée E(x)
E(2,57) = 2 , E(π) = E(3,14159.....) = 3 , E(4) = 4 et E(−0,54) = −1
et lim E(x) = 0
−
x →1
x ≠1
E(1) = 1
lim E(x) = 0
x →1+
x ≠1
La fonction partie entière E est continue sur chacun des intervalles ] n , n + 1 [ (n ∈Z )
La fonction partie entière E n’est continue pour aucune valeur n entier relatif (n ∈Z )
(elle est continue à droite pour n entier relatif (n ∈Z ) )
on écrit E fonction partie entière est continue sur R − Z
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Cours
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La fonction partie entière E est une fonction en escalier
1.3 Continuité sur un intervalle
f définie sur un intervalle ouvert I = ]a ,b [ est continue sur I si f est continue en tout réel a
de
l’intervalle I.
f définie sur un intervalle fermé I = [ a , b ] est continue sur I, si f est continue sur
l’intervalle
ouvert
] a , b [ , continue à droite de a et à gauche de b
(soit lim f(x) = f(a) et
+
x →a
lim f(x) = f(b) )
x→ b −
1.3 Continuité des fonctions usuelles
Les propriétés des fonctions continues se déduisent des propriétés des limites
• Si f et g sont continues en a, il en est de même pour f+g et λf (λ ∈R )
• Si f et g sont continues en a, il en est de même pour f g et si g(a) ≠ 0 pour
f
g
• Si f est continue en a, f l’est aussi
• Si f est continue en a et si g est continue en f(a) alors gο f est continue en a
En particulier les fonctions suivantes sont continues
• les fonctions x a x n (n ∈N ) sont continues sur R
• les fonctions polynômes sont continues sur R
• les fonctions rationnelles sont continues sur chaque intervalle où le dénominateur ne
s’annule pas
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• la fonction x a x est continue sur [ 0, + ∞ [
• les fonctions x a sinx et x a cosx sont continues sur R
π
π
• la fonction x a tan x est continue sur  − + kπ , + kπ  (k ∈Z )

2
2

 3x − 5
Exemple : Soit f la fonction définie sur R par f(x) =  2
 x − 3
si x < 2
si x ≥ 2
f est une fonction polynôme du premier degré sur ] − ∞ , 2 [ , elle est donc continue
sur ] − ∞ , 2 [
f est une fonction polynôme du deuxième degré sur l’intervalle ] 2 ,+ ∞ [ , elle est donc
continue sur ] 2 ,+ ∞ [ . Cette fonction est même continue à droite de 2 de par la définition
de
la fonction
f est continue sur ] − ∞ , 2 [ ∪ ] 2 , + ∞ [
Démontrons que f est continue à gauche de 2
f(2) = 2 2 − 3 = 1 et lim f(x) = lim (3x − 5) = 1 et f est continue à gauche de 2
x→2
x<2
x→2
x<2
f est donc continue à droite et à gauche de 2 donc en 2 et f est continue sur R
2. PROLONGEMENT par CONTINUITE
Lorsque la fonction f n’est pas définie en a et possède une limite finie L en a , on définit
~
une nouvelle fonction f
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 f(x) si x ∈I − {a}
~
f (x) =  lim f(x) = L
 x →a
~
La fonction f (lire f tilde) est appelée prolongement par continuité de f en a
Exemple :
Soit la fonction f définie sur R ∗ par f(x) = x sin
pour x ≠ 0,
1
si x ≠ 0
x
1
− x ≤ xsin ≤ x
x
et en appliquant le théorème des gendarmes lim x sin
x →0
x ≠0
1
=0
x
~
alors le prolongement par continuité de f en 0 est la fonction f avec
 x sin 1 si x ≠ 0
~

x
f (x) = 
 0
si x = 0
3 FONCTIONS CONTINUES sur un INTERVALLE
3.1 Théorème des valeurs intermédiaires
Si f est continue sur un intervalle I (borné ou non) alors f prend au moins une fois sur I
toute
valeur de l’intervalle ] m , M [ où m = inf f(x) et M = sup f(x)
x∈I
x∈I
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Corollaire
Si f est continue sur [ a , b ] et si f(a) f(b) < 0 alors f s’annule au moins une fois sur ] a, b [
Remarque : ce résultat reste valable si f est continue sur ] a, b [ intervalle borné ou non et si
f(x) admet quand x tend vers a + et b − des limites finies non nulles ou infinies de signes
opposés
3. 2 Fonctions continues strictement monotones
Si f est continue et strictement monotone sur
m
[ a , b ] , alors pour tout réel k compris entre
et M avec m = inf f(x) et M = sup f(x) , l’équation f(x) = k admet une solution unique
x∈I
x∈I
dans [ a , b ]
En particulier, si f est continue et strictement monotone sur [ a , b ] et si f(a) f(b)< 0
alors f s’annule une fois et une seule sur
]a,b [
3.3 Résolution d’équations par dichotomie
Le principe de la dichotomie consiste à couper en deux l’intervalle [ a , b ] et à trouver
l’intervalle contenant la solution cherchée parmi les deux segments trouvés, et ainsi de
suite
jusqu’à ce que nous obtenions un encadrement satisfaisant de la solution
Soit α la solution de l’équation f(x) = x avec la précision ε choisie
(par exemple ε = 1 . 10 −3 ). On détermine c milieu de l’intervalle [ a , b ] donc c =
a+b
2
• si f(c) = 0 alors α = c et le problème est terminé
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• si f(a) f(c) < 0 , la solution α est entre a et c et l’on remplace b par c
• • si a − b < ε alors a < α < b et le problème est terminé
• • sinon si a − b ≥ ε , on détermine le nouveau milieu c de [ a , b ] et l’on
poursuit
l’algorithme
• si f(a) f(c) > 0 , la solution α est entre c et b et l’on remplace a par c
• • si a − b < ε alors a < α < b et le problème est terminé
• • sinon si a − b ≥ ε , on détermine le nouveau milieu c de [ a , b ] et l’on
poursuit
l’algorithme
Exemple : Chercher un encadrement à ε = 5 . 10−2 de la solution α de x 3 + x − 1 = 0
On considère la fonction f définie sur R par f(x) = x 3 + x − 1
On remarque facilement que f(0) = −1 < 0 et f(1) = 1 > 0 et f est strictement croissante
d’où
l’unicité de la solution α
f(0) < 0
f(1) > 0
0 < α <1
f(0,5) < 0
f(1) > 0
0,5 < α < 1
a = 0,5
f(0,5) < 0
f(0,75) > 0
0,5 < α < 0,75
b = 0,75
f(0,625) < 0
f(0,625) < 0
f(0,75) > 0
f(0,6875)
0,625 < α < 0,75
0,625 < α < 0,6875
a = 0,625
b = 0,675
f(0,65625)
f(0,6875) > 0 0,6225625 < α < 0,6875
La longueur de l’intervalle est 0,6875 − 0,65625 = 0, 03125 < 5 . 10− 2 et la condition est
remplie puisque nous avons situé la solution dans un intervalle de longueur plus petite que
la
précision demandée
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Cours
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En conclusion : il existe une solution unique α avec 0,65625 < α < 0,6875
4. NOMBRE DERIVEE en un POINT
4.1 Nombre dérivé
Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle I de R, et a un élément de I (distinct
des bornes de I)
f(x) − f(a)
existe et est fini
x−a
x →a
f est dérivable en a si lim
Dans ce cas, la limite de ce quotient est alors notée f ' (a) et est appelée le nombre dérivé
de f en a :
f(x) − f(a)
x−a
x→a
f ' (a) = lim
De manière évidente en posant x = a + h ,
f(a + h) − f(a)
existe et est fini
h
h→0
f est dérivable en a si lim
et
f(a + h) − f(a)
h
h→0
f ' (a) = lim
4.2 Interprétation graphique du nombre dérivé
Si la fonction f admet un nombre dérivé f ' (a) en a , sa représentation graphique admet au
point A (a,f(a)) une tangente et la pente de la tangente est f ' (a)
L’équation de la tangente en A est
y = f' (a)(x − a) + f(a)
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4.3 Nombre dérivé à gauche, nombre dérivé à droite
f(x) − f(a)
f(x) − f(a)
et lim
existent et soient finies, mais
+
x−a
x−a
x →a
différentes, ou que seule une des deux existe et soit fini.
Il arrive parfois que lim
x →a −
Par extension, on note
f g ' (a) = lim
x→ a −
f(x) − f(a)
f(x) − f(a)
et f d ' (a) = lim
+
x−a
x−a
x→a
Si f g ' (a) et f d ' (a) existent et sont finies mais f g ' (a) ≠ f d ' (a) , nous dirons alors que f
admet une demi-tangente à gauche de A et une demi-tangente à droite de A, le point A est
dit
point anguleux
Exemple :
La fonction valeur absolue f définie sur R par f(x) = x admet un point anguleux en a = 0
Cette fonction est continue sur R, mais elle n’est pas dérivable en 0
(f ' g (0) = −1 et f' d (0) = 1 )
la courbe représentative de f admet au point O(0,0) une demi-tangente à gauche de pente
−1
la courbe représentative de f admet au point O(0,0) une demi-tangente à droite de pente 1
Théorème
Si f est dérivable en a, alors f est continue en a
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La réciproque est fausse, comme le montre l’exemple précédent (fonction valeur absolue)
4.4 Limite et nombre dérivé
Dans certains exemples, on peut lever une indétermination en utilisant le nombre dérivé
Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle I de R, et a un élément de I , si on
peut écrire, pour tout x suffisamment proche de a, f(x) =
g(x) − g(a)
où g est une fonction
x−a
dérivable en a, alors lim f = g' (a)
x →a
sin x
x→0 x
Exemple 1 : Déterminer lim
0
On est en présence de la forme indéterminée " "
0
Soit la fonction g(x) = sin x en a = 0
alors g' (x) = cosx
et g' (0) = cos0 = 1
sin x
sinx − sin0
= lim
= g' (0) = 1
x−0
x →0 x
x→ 0
et lim
Le même raisonnement donne
1 − cosx
cosx − cos0
= − lim
= − cos' (0) = −(− sin0) = 0
x
x−0
x →0
x→ 0
lim
et
tan x
tan x − tan 0
1
= − lim
= tan' (0) =
2 =1
x−0
cos 0
x→0 x
x→ 0
lim
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π
sin(x + ) − 1
3
Exemple 2 : Déterminer lim
π
π
x−
x→
6
6
0
On est en présence de la forme indéterminée " "
0
π
π
Soit la fonction g(x) = sin(x + ) en a =
6
3
π
π
π
alors g' (x) = cos(x + ) et g' ( ) = cos = 0
6
3
2
π
π
sin(x + ) − 1
g(x) − g( )
3
6 = g' ( π ) = 0
et lim
=
lim
π
π
π
π
6
x−
x−
x→
x→
6
6
6
6
5. FONCTION DERIVEE
5.1 Dérivation sur un intervalle
Lorsque la fonction f est dérivable en tout point de l’intervalle I, on dit que f est
dérivable sur I
Définition
f est une fonction dérivable sur un intervalle I. La fonction dérivée de f sur I est la fonction
f'
qui à tout a dans I associe f ' (a)
Par abus de langage nous parlerons de la dérivée de f à la place de la fonction déivee de f
5.2 Dérivée des fonctions usuelles
k désigne un nombre réel (k ∈R )
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Cours
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Df'
la fonction
sa dérivée
Df
xak
xa0
R
R
x a x n (n ∈N ∗ )
1
x a n (n ∈N ∗ )
x
x a nxn-1
n
x a - n +1
x
1
xa
2 x
x a cosx
xa x
x a sinx
x a − sinx
x a cos x
x a tan x
xa
1
= 1 + tan 2 x
cos2 x
R
R
R∗
R∗
[ 0,+∞[
]0, + ∞ [
R
R
R
R
 − π + nπ, π + nπ   − π + nπ, π + nπ 
 2
  2

2
2
n ∈Z
n ∈Z
5.3 Dérivée et opérations
k désigne un nombre réel (k ∈R )
u et v sont deux fonctions dérivables
la fonction
sa dérivée
x → k u(x)
x a (u + v)(x)
x a k u' (x)
x a (u' + v' )(x)
x a (u v)(x)
1
xa
v(x)
u(x)
xa
v(x)
x a (u' v)(x) + (uv' )(x)
v' (x)
xa− 2
v (x)
u' (x)v(x) − u(x)v' (x)
xa
v2 (x)
remarque
là où g ne s' annule pas
là où g ne s' annule pas
Exemple 1 :
Soit la fonction f définie sur R par f(x) = x 3 cosx
Expliciter sa fonction dérivée
f est le produit de deux fonctions dérivables sur R et
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⇒ u' : x a 3x 2
u : x a x3
v : x a cosx ⇒ v' : x a − sinx
∀x ∈ R
f ' (x) = 3x2 (cos x) + 2x3 (− sin x) = −x3 sinx + 3x2 cosx
Exemple 2 :
Soit la fonction f définie sur R − {1 } par f(x) =
3x 2 + 4x
1− x
Expliciter sa fonction dérivée
f est une fonction rationnelle (quotient de deux fonctions polynômes) définie et dérivable
sur R − {1 }
f est de la forme
u
v
u : x a 3x2 + 4x
v : x a 1− x
⇒ u' : x a 6x + 4
⇒ v' : x a −1
∀x ∈R − {1 }
(6x + 4)(1− x) − (3x2 + 4x)(−1)
f ' (x) =
(1− x)2
∀x ∈R − {1 }
−3x2 + 6x − 4
f ' (x) =
(1 − x)2
Exemple 3 :
Soit f la fonction définie sur R par f(x) = x 3 + 3x2 − 3 et C sa courbe représentative dans le
plan muni d’un repère orthogonal.
On note A le point de C d’abscisse −1. Déterminer une équation de la tangente TA à C au
point A. Préciser la position de la courbe C par rapport à la droite TA .
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Cours
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La fonction f est une fonction polynomiale (3 ème degré) définie sur R et dérivable sur R
∀x ∈R
f' (x) = 3x 2 + 6x
puisque f(−1) = −1
et f' (−1) = −3
la tangente TA au point A(−1,− 1) a pour équation y = −3(x + 1) − 1
soit TA : y = −3x − 4
On étudie le signe de la différence d(x) = f(x) − (−3x − 4) = x3 + 3x 2 + 3x + 1 = (x + 1)3
Si x = −1 alors d(−1) = 0 , la courbe C et TA se coupent au point A(−1,− 1)
Si x < −1 alors d(−1) < 0 , la courbe C est en dessous de la tangente TA
Si x > −1 alors d(−1) > 0 , la courbe C est au dessus de la tangente TA
6. APPLCATION à l’ETUDE des VARIATIONS d’une FONCTION.
6.1 Fonction constante sur un intervalle
Théorème
Une fonction définie sur un intervalle et dérivable, est constante si et seulement si sa
dérivée
est identiquement nulle sur cet intervalle.
Remarque : il est important que ce soit sur un intervalle. En effet prenons la fonction f
définie
 − 1 si x ∈ [1 , 2 ]
sur [ 1, 2 ]∪ [ 3,4 ] par f(x) = 
 2 si x ∈[ 3,4 ]
Cette fonction n’est pas constante sur son ensemble de définition (puisqu’elle prend deux
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Cours
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valeurs distinctes), cependant, elle est dérivable, de dérivée nulle.
6.2 Fonction strictement monotone
Théorème :
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Si f ’ est de signe constant sur I alors f est
monotone; plus précisément :
i) Si f ' (x) ≥ 0 ∀x ∈ I , alors f est croissante sur I
ii) Si f' (x) ≤ 0 ∀x ∈I , alors f est décroissante sur I
On peut préciser les variations de f. En effet dire par exemple que f est strictement
croissante
sur I, c’est-à-dire qu’elle est croissante sur I et qu’il n’existe pas d’intervalle I’ (inclus dans
I)
sur lequel f est constante ou encore sur lequel f ‘ est nulle. La dernière condition n’interdit
pas
à la dérivée de s’annuler en des points isolés.
Autre théorème :
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Si f ’ est de signe constant sur I et ne
s’annule qu’en des points isolés alors f est strictement monotone; plus précisément :
i) Si f ' (x) ≥ 0 ∀x ∈ I et ne s’annule qu’en des points isolés , alors f est strictement
croissante sur I
ii) Si f' (x) ≤ 0 ∀x ∈I et ne s’annule qu’en des points isolés , alors f est strictement
décroissante sur I
Exemple
La fonction «cube» x a x3 admet comme dérivée x a 3x2 qui s’annule en 0, pourtant la
fonction cube est strictement croissante sur R. Cet exemple montre que le fait que la
dérivée
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Cours
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s’annule en point isolé n’affecte en rien la monotonie.
Remarque 1 :
L’étude des variations d’une fonction revient donc à l’étude du signe de sa dérivée lorsque
celle-ci existe. Ces résultats sont essentiels à l’étude des variations d’une fonction.
Remarque 2 :
Nous avons montré l’équivalence suivante : si f est strictement décroissante et dérivable sur
un intervalle I alors sa dérivée est négative et ne s’annule qu’en des points isolés de f.
6.3 Recherche des extrêma d’une fonction
On dit que f admet un maximum (local ou relatif) en a si et seulement si:
pour tout x appartenant à un voisinage de a : f(x)≤ f(a)
On dit que f admet un minimum (local ou relatif) en a si et seulement si:
pour tout x appartenant à un voisinage de a : f(x)≥ f(a)
On dit que f admet en a un extrémum (local ou relatif) si et seulement si f admet en a un
maximum local ou un minimum local
Il faut chercher les extréma d’une fonction parmi les points qui annulent la dérivée.
Mais attention, comme le montre la fonction «cube» en 0, le fait que la dérivée s’annule ne
suffit pas pour avoir un extremum.
Théorème
1. Si f possède en x 0 un extréma alors f ' (x 0 ) = 0
2. Si f ' (x 0 ) = 0 et si f ‘ change de signe au voisinage de x 0 ( f ' g (x0 )f' d (x0 ) < 0 ) la
fonction f possède un extrémun en x 0
Quand f s’annule en x 0 sans changer de signe, x 0 est appelé point d’inflexion
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Cours
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Remarque : il y a donc parmi les points qui annulent la dérivée les extréma et les points
d’inflexion.
7.NOTATION DIFFERENTIELLE
Dans le plan muni d’un repère orthonormé, soit C la courbe d’équation y = f(x), où f est
une
fonction dérivable sur un intervalle I.
Soit T la tangente à C au point M d’abscisse x.
Une petite variation h = ∆x de la variable x provoque une petite variation des images
∆y = f(x + h) − f(x) = HM .
f(x + h) − f(x)
f(x + h) − f(x)
− f' (x)
, en posant ε(h) =
h
h
h →0
Comme f ' (x) = lim
on a :
f(x + h) − f(x) = f ' (h) h + h ε(h) avec lim ε(h) = 0
h→ 0
que l’on peut écrire :
∆ y = f' (x) ∆ x + ∆x ε (∆ x)
Ainsi, lorsque ∆x est voisin de 0, ∆y ~ f ' (x) ∆x , avec une erreur négligeable devant ∆x
et l’on utilise alors la notation différentielle
dy
= f' (x)
dx
ou encore
dy = f' (x)dx avec dy = HP
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