Mathématiques discrètes

MATHEMATIQUES
DISCRETES
9 janvier 2007
Stéphanie FLOSSE
1
Plan
• présentation des mathématiques discrètes
• les enseignements
• programmation linéaire
– définition
– l’algorithme du simplexe
– exemple d’application
• théorie du signal : approximation multirésolutions
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Définition
• Mathématiques discrètes : étude des structures
mathématiques fondamentalement discrètes, dans le sens où la
notion de continuité n'est pas exigée ou supportée
• Mathématiques discrètes : populaires du fait de leurs
applications dans l’informatique.
– notations et concepts des mathématiques discrètes utilisés pour
exprimer ou étudier des problèmes et des objets en algorithmique et en
programmation
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Enseignements
• théorie des codes : polynômes sur les corps finis, codes
correcteurs
• informatique : programmation C / C++, Java ; arbres,
graphes ; base de données
• probabilités
• réseaux
• théorie des jeux – optimisation
• théorie du signal : transformation de Fourier, filtres,
convolution, ondelettes, approximation multi-résolutions
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OPTIMISATION :
PROGRAMMATION LINEAIRE
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Programmation linéaire :
exemple, résolution graphique
• Exemple :
24C03Z, intervention sur le cristallin, séjour < 2 j.
valeur = 1530,19€
24C04Z, affectation de la CMD 02 avec acte opératoire,
séjour < 2 j., valeur = 973,74€
1 chirurgien, 1 infirmière et 1 secrétaire pour ces séjours
24C03Z : 20 min. chirurgien, 30 min. infirmière, 6 min. secr.
24C04Z : 10 min. chirurgien, 40 min. infirmière, 18 min. secr.
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Programmation linéaire :
exemple, résolution graphique
Chirurgien : disponible au plus 1000 min / semaine
Infirmière : disponible au plus 2000 min / semaine
Secrétaire : disponible au plus 720 min / semaine
x : nb de séjours dans GHM 24C03Z
y : nb de séjours dans GHM 24C04Z
But : déterminer x et y tel que le bénéfice lié à ces séjours et à
ces contraintes soit maximum.
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Programmation linéaire :
exemple, résolution graphique
Écriture du PL :
20x + 10y ≤ 1000
30x + 40y ≤ 2000
6x + 18y ≤ 720
Bénéfice = 1530,19x + 973,74y
Résolution graphique :
- trace les droites correspondants aux contraintes
aire
- intersection aire et droite bénéfice tq ord. origine soit max
donne le couple (x,y) recherché
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Programmation linéaire :
exemple, résolution graphique
Écriture du PL :
20x + 10y ≤ 1000
30x + 40y ≤ 2000
6x + 18y ≤ 720
Bénéfice = 1530,19x + 973,74y
Pour x = 40 et y = 20 :
Bénéfice max = 80 682,40 €
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Programmation linéaire :
définitions
• Problème de programmation linéaire (PL), forme canonique :
Soit n variables x1 , K x n tel que ∀i, xi ≥ 0 et m contraintes linéaires :
 a11 x1 + K + a1n x n ≤ b1

M

a x + K + a x ≤ b
mn n
m
 m1 1
Maximiser la fonction objectif : z = c1 x1 + K + c n x n
• Problème de programmation linéaire (PL), forme standard :
Soit m variables x n +1 ,K x n + m supplémentaires, telles que ∀i, xi ≥ 0.
Le dictionnaire dans la base des variables d' écarts est :
 x n +1 = b1 − (a11 x1 + K + a1n x n )

M

x
 n + m = bm − (a m1 x1 + K + a mn x n )
Maximiser la fonction objectif : z = c1 x1 + K + c n x n
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Programmation linéaire :
méthode du simplexe
• Écriture du PL sous forme standard
 x3 = 1000 − 20 x1 − 10 x 2

 x 4 = 2000 − 30 x1 − 40 x 2
 x = 720 − 6 x − 18 x
1
2
 5
z = 1530,19 x1 + 973,74 x 2
c1 = 1530,19 > c 2 = 973,74
*
*
• Une solution évidente est : x = (0, 0,1000, 2000, 720) et z = 0
 x1 ≤ 50

200
d' où le choix x1 = 50
Augmentons x1
x
≤
 1
3

 x1 ≤ 120
Nouvelle solution : (50,0,0,500,420 )
z * = 1530,19 * 50 = 76 509,5
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Programmation linéaire :
méthode du simplexe
• Le programme s’écrit alors :
1
1

x
=
50
−
x
−
x3
2
 1
2
20

3
1530,19 
1530,19

z = 1530,19 * 50 +  973,74 −
x3
 x2 −
 x 4 = 500 − 25 x 2 + x3
2
2
20



 x5 = 420 − 15 x 2 + 3 x3

10
 x 2 ≤ 100

Augmentons x 2
 x 2 ≤ 20 d' où le choix x 2 = 20
 x ≤ 28
 2
Nouvelle solution : x * (40,20,0,0,120 ) z * = 80 682,4
En remplaçant x1 et x 2 : z = 80 682,4 - 63,9908 x3 − 8,3458 x 4
Coefficients de x3 et x 4 négatifs, donc le maximum est atteint
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pour ( x1 , x 2 ) = (40,20 ) et vaut 80 682,4 €
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THEORIE DU SIGNAL :
APPROXIMATION
MULTIRESOLUTIONS
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Théorie du signal : applications
• spatial : imagerie spatiale, compression de données
• téléphone et internet : compression de données, réduction d’echos
• audiovisuel : stockage et compression de données
• industriel : prospection minière et pétrolière
• ponts et chaussées : calcul de déflexion de chaussée
• médical : imagerie médicale et compression de données
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APPROXIMATION
MULTIRESOLUTIONS
a1
a1 + a 2
2
a2
a 2 − a1
a3 + a 4
2
a 4 − a3
a1 + a 2 + a3 + a 4
4
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a4
a3
a5
a6
a5 + a6
2
a6 − a5
a7
a 7 + a8
2
a8
niveau fin
a8 − a 7
a 5 + a 6 + a 7 + a8
4
a 3 + a 4 − a1 − a 2
a 7 + a8 − a 5 − a 6
niveau grossier
2
2
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APPROXIMATION
MULTIRESOLUTIONS
• Suite d’espaces d’approximation emboîtés :
V j ⊂ V j +1
• Supplémentaire permettant de passer de Vj à Vj+1 : Wj
V j +1 = V j ⊕ W j
•
{
f ∈ L2 (ℜ ) = f tq ∫ f
( )
Soit ϕ kj+1
k∈Z
2
}
< +∞ , notons Pj +1 f sa projection sur V j +1
une base de V j +1 , on peut écrire Pj +1 f = ∑ c kj +1ϕ kj+1
k∈Z
Notons Q j f la projection de f sur W j . On peut écrire :
Pj +1 f = ∑ c kj ϕ kj + ∑ d kjψ kj
k∈Z
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k∈Z
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APPROXIMATION
MULTIRESOLUTIONS
• Considérons les fonctions vérifiant une relation de changement d' échelle :
ϕ ( x ) = ∑ hnϕ (2 x − n ) Les f ° de base aux différentes échelles sont les
n∈Z
dilatées et translatées d' une unique f ° appellée fonction d' échelle.
( )
Les fonctions de base ψ kj
k∈Z
des W j sont les translatées dilatées d' une unique
fonction appellée ondelette.
• Posons ϕ (x ) = 2 2 ϕ (2 j x − k ). On définit la fontion d' échelle duale :
j
k
ϕ~ ( x ) =
j
~~
∑ hnϕ (2 x − n) et ϕ , ϕ~(. − n = δ [n]
n∈Z
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APPROXIMATION
MULTIRESOLUTIONS
• On dit qu' une suite (V j ) d' espaces est une approximation multi - résolutions
(APM) si les propriétés suivantes sont vérifiées :
i) V j ⊂ V
j +1
ii ) f (.) ∈ V j ⇔ f (2.) ∈ V
j +1
⇔ f (2 − j .) ∈ V 0
+∞
iii ) U V j = lim V j = L2 (ℜ )
j = −∞
j → +∞
iv ) I V j = lim V j = {0}
j → −∞
v ) Il existe une fonction ϕ telle que (ϕ (.-n ))n forme une base de Riesz de V 0
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APPROXIMATION
MULTIRESOLUTIONS
• Relations :
~
ϕ ( x ) = ∑ hnϕ (2 x − n ) ; ϕ~ (x ) = ∑ hnϕ~ (2 x − n )
n∈Z
n∈Z
ψ ( x ) = ∑ g nϕ (2 x − n ) ; ψ~ (x ) = ∑ g~nϕ~(2 x − n )
n∈Z
g n = (− 1)
n +1
~
h1− n
n∈Z
n +1
; g~n = (− 1) h1− n
f j +1 = ∑ c nj ϕ nj + ∑ d njψ nj = ∑ c nj +1ϕ nj+1
n∈Z
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n∈Z
n∈Z
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APPROXIMATION
MULTIRESOLUTIONS
• Calcul de la décomposition en ondelettes :
c kj =
~
1
j +1
j
~ c j +1
h
c
;
d
=
g
∑ n−2 k n
∑ n−2k n
k
2 n
2 n
1
• Reconstruction (transformée en ondelettes inverse) :
c
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j +1
m
=
1
2
∑ (c h
j
k
m−2k
+ d kj g m − 2 k
)
k
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APPROXIMATION
MULTIRESOLUTIONS
• Exemple : ondelette de Haar
Schéma de décomposition :
c 2jk+1 + c 2jk++11
; d kj = c 2jk++11 − c 2jk+1
c =
2
Recomposition :
j
k
c mj +1
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1 j
 j
c
+
 m −1 2 d m −1 si m est impair

2
= 2
c j − 1 d j
si m est pair
m
m
 2 2 2
21
APPROXIMATION
MULTIRESOLUTIONS
• Seuillage
c

c
d

M
d

c d Kd

c d Kd
d d Kd

M 
d d K d 
si d < seuil, alors d = 0
Taux de compression correspond au % de 0 dans la matrice décomposée
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APPROXIMATION
MULTIRESOLUTIONS
Image décomposée,
38% de zéros
Image originale
Image recomposée sans
seuillage
= image originale
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Seuil = 1 ; 86% de zéros
A l’œil nu, pas de différences
entre l’image reconstruite et
l’image originale
Seuil = 5 ; 97% de zéros
Mauvaise qualité de l’image
reconstruite sur les dégradés.
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APPROXIMATION
MULTIRESOLUTIONS
Image originale
9 janvier 2007
Image décomposée
9% de zéros
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APPROXIMATION
MULTIRESOLUTIONS
Seuil = 2 ; 37% de zéros
A l’œil nu, pas de différences entre
l’image reconstruite et l’image
originale
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Seuil = 7 ; 65% de zéros
Le chien a été bien reconstruit,
mais dans le fond, apparition de
« carrés » à la place du dégradé
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APPROXIMATION
MULTIRESOLUTIONS
• Haar :
– mauvais sur les dégradés / bon sur les contrastes
– utilisation pour la reconnaissance d’écriture
• Il existe bien d’autres ondelettes :
– Morlet, Daubechies, biorthogonales interpolantes, etc.
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Bibliographie
• Programmation linéaire
– Chvatal, Linear Programming
• Ondelettes
–
–
–
–
–
cours de M.SONNENDRÜCKER
S. Mallat, Une exploration des signaux en ondelettes
I. Daubechies, Ten Lectures on Wavelets
http://www-lmc.imag.fr/lmc-cf/Valerie.Perrier
www.python.org
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