Modélisation EM 3D par la méthode des moments

6ième colloque GEOFCAN – 25-26/09/2007 – Bondy, France
Modélisation EM 3D par la méthode des moments :
développement d’un nouveau code parallélisé
C. SCHAMPER(1,2)
(1)
UMR 7619 Sisyphe, Université Pierre et Marie Curie, case 105, 4 place Jussieu, 75252 Paris cedex 05,
France
(2)
CGG Veritas, 1 rue Léon Migaux, 91341 Massy Cedex, France
Abstract
As part of my thesis, I simulate the response of a 3D anomaly of conductivity to an electromagnetic
source in a layered media. Among the different methods of resolving Maxwell equations, I have
chosen the Moments’ one. This method allows to reduce the needed calculus ressources in the case
where a layered earth is assumed, because only the heterogeneity needs to be discretized. Since
there is no freeware 3D program, it has been therefore necessary to develop my own code. The first
results presented here are coming from a parallelized version of the program (librairie
MPI=Message Passing Interface). These results are for now in the frequency domain (low
frequencies). The aim of the parallelization is to accelerate the calculus in order to make an
inversion and a study of sensibility.
Introduction
En modélisation EM 3D, si l’on ne limite pas la géométrie globale, il est nécessaire de discrétiser
l’ensemble de l’espace. Cette discrétisation peut se faire directement sur les opérateurs (dérivée
spatiale et temporelle), on parle alors de différences finies (FDTD=Finite Difference Time
Domain). Cette méthode offre deux types de schéma : explicite et implicite. Ces deux schémas se
distinguent au niveau de la mise à jour des champs d’un temps à un autre. Dans le schéma explicite
les champs sont renouvelés par une simple relation, alors que dans le schéma implicite les champs
le sont par la résolution d’un système linéaire (tridiagonal dans le cas de l’ADI -Alternating
Direction Implicit-). Le schéma explicite est limité par la contrainte de stabilité de CourantFriedrich-Levy (CFL). Celle-ci impose un pas de temps maximal pour un pas spatial donné. Cette
contrainte est très pénalisante dans le domaine des basses fréquences pour lequel un grand nombre
de pas de temps serait nécessaire, la dispersion numérique allant en croissant. Si l’on reste en
explicite, le seul moyen d’augmenter le pas de temps au-delà de la CFL est d’introduire une
permittivité diélectrique fictive (cf. [6]), c’est-à-dire un terme propagatif fictif dans les équations de
Maxwell où normalement seul la partie diffusive est conservée (basses fréquences). En implicite, la
CFL n’existe plus mais l’augmentation du pas de temps entraîne irrémédiablement une dispersion
en amplitude et en temps. De nombreux articles existent dans la littérature, on peut citer parmi les
ouvrages de référence celui de Taflove (cf. [5]).Dans notre cas d’étude, il s’avère que le milieu
environnant peut être ramené à un terrain tabulaire, l’anomalie 3D gardant une forme complexe. Il
serait donc intéressant de pouvoir discrétiser uniquement l’hétérogénéité. La méthode des Moments
(comme ouvrage de référence on peut citer [2]), présentée dans ce papier, permet cela.
L’hétérogénéité est décomposée en petits éléments volumiques (dans ce papier des cubes), et la
solution analytique du terrain tabulaire est intégré sur le volume de l’anomalie. La discrétisation ne
se fait donc pas sur les opérateurs, et elle n’est pas étendue à l’ensemble du domaine. Pour cette
raison, la méthode des moments est souvent rangée dans la catégorie des modélisations semianalytiques. Comme pour les éléments finis, il y aura un système à résoudre, mais qui sera d’une
taille bien inférieure, puisque limité à la seule discrétisation de l’hétérogénéité.
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Théorie
La réponse du terrain tabulaire sans l’anomalie (ou champ primaire) sera indicée P. L’anomalie est
découpée en N cellules cubiques, chaque cellule étant assimilée à une source de courant située au
centre. La taille des cellules (dans lesquelles les champs sont considérés comme constant) devra être
petite en comparaison de |1/| (cf. [4]), avec || le nombre d’onde de la couche encaissante. La réponse
due uniquement à l’hétérogénéité sera indicée a. On a les relations suivantes par principe de
superposition :
(1)
Avec E et H respectivement les champs totaux électrique et magnétique. En appliquant les
équations de Maxwell, on arrive aux équations suivantes :
(2)
(3)
Avec rk et Vk, la position du centre et le volume de la cellule k,
étant définie comme
la conductivité complexe
, et GEJ(ri, r0) la fonction de Green donnant le champ
électrique au point ri pour une source située en r0 dans un terrain tabulaire (peut être trouvée en
détails dans [7]).
L’équation (3) n’est rien d’autre qu’un système linéaire à 3×N équations et 3×N inconnues qui sont
les 3 composantes du champ électrique Ea dû à l’anomalie au centre de chaque cellule. A noter que
la matrice du système ne dépend pas de la position des sources, contrairement au terme de droite. Il
est donc possible d’utiliser les fonctions dans les librairies scientifiques permettant de résoudre un
système avec plusieurs termes de droite différents. Une fois le champ déterminé pour toutes les
cellules, il suffit de superposer toutes les réponses dues aux courants électriques équivalents (Ja) à
la réponse primaire (réponse du terrain tabulaire uniquement) pour obtenir la réponse du milieu
contenant l’anomalie.
A noter que l’on peut approximer l’équation (2) en négligeant le champ secondaire Ea dans la partie
de droite par rapport au champ primaire EP . Ce qui est communément appelée l’approximation de
Born. Elle permet d’éviter de résoudre le système d’équation, ce qui peut être source de gain de
temps. Mais cette approximation n’est pas adaptée aux contrastes de conductivité normalement
rencontrés (champ secondaire non négligeable devant le primaire).
D’autres types d’approximation existent telles que celles d’Habashy (cf. [1]) ou plus récemment de
Zdhanov (cf. [9, 8]). Avec cette dernière (qui part du même principe que la première), Zdhanov
obtient des résultats identiques à ceux obtenus par la résolution du système. Le but recherché est de
diminuer le temps de calcul, et d’éviter la résolution de trop grands systèmes linéaires.
Premiers tests : comparaison entre différents types de résolution
J’ai comparé, dans un premier temps, les réponses pour trois résolutions différentes de l’équation 2 :
la résolution du système (noté IE), l’approximation de Born (noté Born), et l’approximation par
séries quasi-analytiques de Zdhanov (noté QA). Les résultats sont présentés en figure 2. Pour cette
configuration, l’approximation QA converge bien vers la solution donnée par la résolution du
système (IE), et ce, au bout de 10-20 itérations. La création et la résolution du système (librairie
scientifique LAPACK) fonctionne. A l’heure actuelle l’approximation QA que j’ai implémenté dans
le programme diverge pour de forts rapports de conductivité, ce qui n’est pas le cas dans l’article de
Zhdanov (cf. [8]), où il présente des résultats concluants pour de forts contrastes.
L’évaluation de la vitesse d’exécution de la figure 1 montre le gain de temps de calcul que l’on
obtient en augmentant le nombre de processeurs. On remarque que le temps de calcul est, de
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manière générale, divisé par deux lorsque le nombre de processeurs est multiplié par deux, et ce
avec 1000 ou 125 cellules. A noter que le temps de calcul est bien plus important avec 1000
cellules. Pour ce nombre de cellules, le temps de calcul pour une fréquence reste de l’ordre d’une
vingtaine de minute, même si l’exécution se fait sur 16 processeurs.
Conclusion et perspectives
Dans l’état actuel, le nouveau code nécessite encore une validation complète en 3D. Plusieurs pistes
sont envisagées. La première est d’utiliser le code de Faycal Rejiba qui est pour l’instant adapté à la
prospection radar. Il est donc nécessaire d’y introduire une permittivité diélectrique fictive de
manière à pouvoir simuler en basses fréquences en un nombre de pas de temps raisonnables. Il est
aussi prévu de comparer les résultats avec ceux provenant de M. Liam et de W.A. Mulder
(Université TUDELFT, Pays-Bas). Leur modèle direct est obtenu par la méthode des volumes finis
(cf. [3]).
Le programme est actuellement parallélisé, mais nécessite encore des optimisations au niveau du
temps de calcul et de l’occupation mémoire (notamment au niveau de la résolution du système
d’équation via la librairie SCALAPACK). Si les optimisations sont suffisamment efficaces, il sera
alors possible de faire une étude complète de sensibilité, et d’utiliser le code dans le cadre d’une
inversion.
Références bibliographiques
[1] T. M. Habashy, R.W. Groom, and B. R. Spies. Beyond the Born and Rytov approximations : A
nonlinear approach to electromagnetic scattering. Journal of Geophysical Research, 98(B2)
:1759–1775, February 1993.
[2] R. F. Harrington. Field computation by moment methods. 1993.
[3] W. A. Mulder. A multigrid solver for 3D electromagnetic diffusion. Geophysical prospecting,
54(5) :633–649, September 2006.
[4] A. Tabbagh. The response of a three-dimensional magnetic and conductive body in shallow
depth electromagnetic prospecting. Geophysical journal of the Royal Astronomical Society,
81(1) :215–230, 1985.
[5] A. Taflove and S. C. Hagness. Computational electrodynamics : the finite-difference
timedomain method. Artech House, 3rd edition, 2005.
[6] T. Wang and G. W. Hohmann. A finite-difference, time-domain solution for three dimensional
electromagnetic modeling. Geophysics, 58(6) :797–809, June 1993.
[7] P. E. Wannamaker, G. W. Hohmann, and W. A. Sanfilipo. Electromagnetic modeling of threedimensional bodies in layered earths using integral equations. Geophysics, 49(1) :60–74,
January 1984.
[8] M. S. Zhdanov, V. I. Dmitriev, S. Fang, and G. Hursan. Quasi-analytical approximations and
series in electromagnetic modeling. Geophysics, 65(6) :1746–1757, November-December
2000.
[9] M. S. Zhdanov and S. Fang. Quasi-linear series in three-dimensional electromagnetic modeling.
Radio Science, 32(6) :2167–2188, November-December 1997.
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Figure 1 – Modèle M1A1. Evaluation de la vitesse d’exécution pour 125 cellules (centre) et 1000
cellules (droite), à la fréquence 1Hz et pour 160 couples émetteur-récepteur. Résolution
du système d’équations
Figure 2 – Réponse de l’anomalie à 1 Hz pour le modèle M1A1 pour 1000 cellules de 1m de côté.
IE=résolution du système d’équation.
Born=approximation de Born
QA=approximation par séries quasi-analytiques.
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