Contrôle semestriel – BTS Aéronautique 1ère année – Maths

Les fonctions de référence – tableau de synthèse
Fonction
Ensemble de
définition
Symétries
Périodicité
Affine
Propriétés algébriques
Linéarité
ℝ
RAS
lim (𝑎𝑥 + 𝑏)
𝑥↦∞
𝑓(𝜆𝑥1 + 𝑥2 ) = 𝜆𝑓(𝑥1 ) + 𝑓(𝑥2 )
𝒇: 𝒙 ↦ 𝒂𝒙 + 𝒃
Limites
= sgn(𝑎)∞
Dérivée et sens de variation
Sur ℝ ∶ 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑎
Si 𝑎 = 0, 𝑓 constante sur ℝ
Si 𝑎 > 0, 𝑓 croissante sur ℝ
Si 𝑎 < 0, 𝑓 décroissante sur
ℝ
Signe et extrema
Courbe représentative
𝑏
𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 ⟺ 𝑥 = − .
𝑎
𝑏
Du signe de 𝑎 sur ] − ∞ ; − ] et
𝑏
𝑎
du signe de −𝑎 sur [− ; +∞[.
𝑎
Pas d’extrema sur ℝ.
Droite de coefficient directeur
𝑎 et d’ordonnée à l’origine 𝑏.
Croise l’axe des abscisses en
𝑏
𝑥=− .
𝑎
Parabole ouverte vers le haut
de sommet égal à l’origine.
Identités remarquables :
Carré
ℝ
𝒇: 𝒙 ↦ 𝒙
𝟐
La fonction carrée
est paire
(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2
(𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2
(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏2
Cube d’une somme :
Cube
ℝ
𝒇: 𝒙 ↦ 𝒙𝟑
La fonction cube est
impaire
(𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 3𝑎²𝑏 + 3𝑎𝑏² + 𝑏3
(𝑎 − 𝑏)3 = 𝑎3 − 3𝑎2 𝑏 + 3𝑎𝑏2 − 𝑏3
lim 𝑥² = +∞
𝑥↦±∞
Sur ℝ ∶ 𝑓 ′ (𝑥) = 2𝑥
𝑓 est décroissante sur
] − ∞; 0], croissante sur
[0; +∞]
𝑥² = 0 ⟺ 𝑥 = 0
𝑥² > 0 sur ℝ∗ .
Minimum égal à 0 en 𝑥 = 0.
(𝑢2 )′ = 2𝑢′𝑢
Sur ℝ ∶ 𝑓 ′ (𝑥) = 3𝑥²
𝑓 est croissante sur ℝ.
Point d’inflexion à l’origine.
3
lim 𝑥 = −∞
𝑥↦−∞
lim 𝑥 3 = +∞
(𝑢3 )′ = 3𝑢′𝑢²
𝑥↦+∞
Généralisation (𝑛 ≥ 1):
(𝑢𝑛 )′ = 𝑛𝑢′ 𝑢𝑛−1
Cubique centrée sur l’origine.
3
𝑥 = 0 ⟺ 𝑥 = 0.
𝑥 3 < 0 sur ] − ∞; 0[.
𝑥 3 > 0 sur ]0; +∞[.
Pas d’extrema sur ℝ.
1
Inverse
𝟏
𝒇: 𝒙 ↦
𝒙
ℝ∗
La fonction inverse
est impaire
L’inverse d’un nombre positif (non
nul) est positif.
L’inverse d’un nombre négatif (non
nul) est négatif.
©Florian Longueteau – http://www.cours-maths-bordeaux.fr
lim𝑥↦±∞ = 0.
𝑥
Asymptote horiz.
(𝑦 = 0) en ±∞
1
lim𝑥↦0− = −∞ et
𝑥
1
lim𝑥↦0+ = +∞
𝑥
Asymptote vert.
𝑥 = 0.
Non dérivable en 0.
1
Sur ℝ∗ : 𝑓 ′ (𝑥) = − 2.
𝑥
𝑓 est croissante sur
] − ∞ ; 0[ et sur ]0 ; +∞[.
Ne s’annule jamais.
1
𝑥
1
𝑥
1 ′
𝑢′
( ) =− 2
𝑢
𝑢
< 0 sur ] − ∞ ; 0[.
> 0 sur ]0 ; +∞[.
Pas d’extrema sur ℝ.
Hyperbole centrée sur
l’origine.
Fonction
Ensemble de
définition
ℝ
La fonction valeur
absolue est paire :
lim |𝑥| = +∞
Inégalité triangulaire :
𝑥↦±∞
|𝑎 + 𝑏| ≤ |𝑎| + |𝑏|
[0; +∞[
RAS
𝑎
1
La fonction cosinus
est paire
ℝ
cos(−𝑥) = cos(𝑥)
√𝑎
√𝑎 × 𝑏 = √𝑎 × √𝑏 ; √𝑏 = √𝑏 ;
√𝑏 =
1
√𝑏
Dérivée et sens de variation
La fonction valeur absolue
n’est pas dérivable en 0.
Sur ] − ∞ ; 0[ 𝑓 ′ (𝑥) = −1
donc décroissante et sur
]0 ; +∞[ 𝑓 ′ (𝑥) = 1 donc
croissante.
La fonction racine carrée
n’est pas dérivable en 0.
1
Sur ]0 ; +∞[ 𝑓 ′ (𝑥) =
.
lim √𝑥 = +∞
𝑥↦+∞
La fonction racine carrée est
croissante sur ]0 ; +∞[.
1
; 𝑛√𝑎 = 𝑎𝑛
′
(√𝑢) =
sin(−𝑥) = − sin(𝑥)
Deux demi-droites (𝑦 = 𝑥) et
(𝑦 = −𝑥) :
|𝑥| = 0 ⟺ 𝑥 = 0
|𝑥| > 0 sur ℝ∗ .
Minimum égal à 0 en 𝑥 = 0.
√𝑥 = 0 ⟺ 𝑥 = 0
cos(𝑎 + 𝑏) = cos(𝑎) cos(𝑏) − sin(𝑎)sin(𝑏)
cos(𝑎 + 𝑏) = cos(𝑎) cos(𝑏) + sin(𝑎) sin(𝑏)
Pas de limites en
±∞
∀𝑥 > 0, √𝑥 > 0.
2√𝑢
Sur ℝ ∶ cos′(𝑥) = −sin(𝑥)
cos est croissante sur [−𝜋; 0]
cos est décroissante sur
[𝜋 ; 2𝜋]
et 2𝜋-périodique
ℝ
(cos(𝑢))′ = −𝑢′ sin (𝑢)
Sur ℝ ∶ sin′(𝑥) = cos(𝑥)
cos(𝑥) = 0 ⟺ 𝑥 =
Sur ] −
Sur ]
𝜋
2
𝜋
𝑘𝜋
,𝑘 ∈ ℤ
2
sin(𝑎 + 𝑏) = sin(𝑎) cos(𝑏) + cos(𝑎) sin(𝑏)
sin(𝑎 − 𝑏) = sin(𝑎) cos(𝑏) − cos(𝑎) sin(𝑏)
et 2𝜋-périodique
©Florian Longueteau – http://www.cours-maths-bordeaux.fr
Pas de limites en
±∞
sin est croissante sur [− ; ]
2 2
sin est décroissante sur
𝜋 3𝜋
[ ;
2
2
]
𝜋
; [, cos(𝑥) > 0.
;
2
[, cos(𝑥) < 0.
∀𝑥 ∈ ℝ ∶ −1 ≤ cos(𝑥) ≤ 1
sin(𝑥) = 0 ⟺ 𝑥 = 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ
Sur ]0 ; 𝜋[, sin(𝑥) > 0.
Sur ]𝜋 ; 2𝜋[, sin(𝑥) < 0.
∀𝑥 ∈ ℝ ∶ −1 ≤ sin(𝑥) ≤ 1
(sin(𝑢))′ = 𝑢′ cos (𝑢)
Sinusoïde admettant l’axe des
ordonnées comme axe de
symétrie.
2 2
3𝜋
𝜋 𝜋
sin(2𝑎) = 2 sin(𝑎) cos(𝑎)
Courbe représentative
Minimum égal à 0 en 𝑥 = 0.
𝑢′
cos(2𝑎) = cos 2 (𝑎) − sin2 (𝑎)
La fonction sinus est
impaire
Signe et extrema
2√𝑥
Pour tout 𝑎 ≥ 0 et 𝑏 > 0
Sinus
𝐬𝐢𝐧 ∶ 𝒙 ↦ 𝐬𝐢𝐧(𝒙)
(ordonnée du point 𝑴
du cercle
trigonométrique repéré
par l’angle 𝒙)
|𝑎|
𝑏
√0 = 0 ; √1 = 1 ; √𝑎2 = |𝑎|
Cosinus
𝐜𝐨𝐬 ∶ 𝒙 ↦ 𝐜𝐨𝐬(𝒙)
(abscisse du point 𝑴 du
cercle trigonométrique
repéré par l’angle 𝒙)
Limites
|𝑎 × 𝑏| = |𝑎| × |𝑏| ; | | = |𝑏|
|−𝑥| = |𝑥|
Racine carrée
𝒇 ∶ 𝒙 ↦ √𝒙
Tel que (√𝒙)² = 𝒙
Réciproque de la
fonction carrée
Propriétés algébriques
𝑎
Valeur absolue
𝒇 ∶ 𝒙 ↦ |𝒙| 𝐭𝐞𝐥𝐥𝐞 𝐪𝐮𝐞
𝒙 𝐬𝐢 𝒙 ≥ 𝟎
|𝒙| = {
−𝒙 𝐬𝐢 𝒙 < 𝟎
Symétries
Périodicité
Sinusoïde admettant l’origine
comme centre de symétrie.
Fonction
Ensemble de
définition
Tangente
𝐭𝐚𝐧 ∶ 𝒙 ↦ 𝐭𝐚𝐧(𝒙)
𝐭𝐚𝐧(𝒙) =
𝐬𝐢𝐧(𝒙)
𝐜𝐨𝐬(𝒙)
ℝ−{
∈ ℤ}
𝑘𝜋
,𝑘
2
Symétries
Périodicité
La fonction tangente
est impaire
Propriétés algébriques
tan(𝑎 + 𝑏) =
Limites
tan(𝑎) + tan(𝑏)
1 − tan(𝑎) tan(𝑏)
Pas de limites en
±∞
lim
tan(𝑥) = − ∞
𝜋−
𝑥↦ 2
tan(−𝑥) = −tan(𝑥)
tan(𝑎 − 𝑏) =
tan(𝑎) − tan(𝑏)
1 + tan(𝑎) tan(𝑏)
et 2𝜋 −périodique
Dérivée et sens de variation
lim+ tan(𝑥) = + ∞
𝜋
𝑥↦
2
Asymptotes
verticales en
𝜋
𝑥=±
Signe et extrema
tan(𝑥) = 0 ⟺ 𝑥 = 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ
Sur ℝ − {
𝑘𝜋
, 𝑘 ∈ ℤ}
2
1
tan ′(𝑥) =
cos 2(𝑥)
tan ′(𝑥) = 1 + tan2(𝑥)
𝜋
Sur ]0 ; [, tan(𝑥) > 0.
2
𝜋
Sur ] − ; 0[, tan(𝑥) < 0.
2
Pas d’extrema sur ℝ.
2
lim 𝑒 𝑥 = +∞
𝑥→+∞
𝐞𝐱𝐩 ∶ 𝒙 ↦ 𝒆𝒙
lim 𝑒 𝑥 = 0
𝑒0 = 1
Exponentielle
ℝ
RAS
𝑒 𝑎+𝑏 = 𝑒 𝑎 × 𝑒 𝑏 ; 𝑒 −𝑎 =
𝑎
𝑒 𝑎−𝑏
1
𝑒𝑎
𝑒
= 𝑏 ; (𝑒 𝑎 )𝑛 = 𝑒 𝑛𝑎
𝑒
𝑥→−∞
Pour 𝑛 > 0
𝑒𝑥
lim
= +∞
𝑥→+∞ 𝑥 𝑛
lim 𝑥 𝑛 𝑒 𝑥 = 0
Sur ℝ : exp′ = exp
exp est croissante sur ℝ
𝑎 = 𝑏 ⟺ 𝑒𝑎 = 𝑒𝑏
𝑎 < 𝑏 ⟺ 𝑒𝑎 < 𝑒𝑏
∀𝑥 ∈ ℝ ∶ 𝑒 𝑥 > 0
(𝑒 𝑢 )′ = 𝑢′ 𝑒 𝑢
𝑥→−∞
ln(1) = 0 ; ln(𝑒) = 1
∀𝑥 ∈ ℝ ∶ ln(𝑒 𝑥 ) = 𝑥
Logarithme Népérien
𝐥𝐧 ∶ 𝒙 ↦ 𝐥𝐧(𝒙)
tel que 𝒆𝐥𝐧(𝒙) = 𝒙
]0 ; +∞[
RAS
Réciproque de la
fonction exp.
∀𝑎, 𝑏 > 0 :
ln(𝑎 × 𝑏) = ln(𝑎) + ln(𝑏)
1
ln ( ) = − ln(𝑎) ; ln𝑎𝑏 = ln𝑎 − 𝑙𝑛𝑏
𝑎
1
ln(𝑎𝑛 ) = 𝑛 ln(𝑎) ; ln(√𝑎) = ln(𝑎)
2
1
lim ln(𝑥) = +∞
𝑥→+∞
lim ln(𝑥) = −∞
𝑥→0+
Pour 𝑛 > 0
ln(𝑥)
lim
=0
𝑥→+∞ 𝑥 𝑛
lim+ 𝑥 𝑛 ln(𝑥) = 0
𝑥→0
Sur ]0 ; +∞[ : ln ′(𝑥) =
𝑥
ln est croissante sur
]0 ; +∞[
∀𝑎, 𝑏 > 0 :
𝑎 = 𝑏 ⟺ ln(𝑎) = ln(𝑏)
𝑎 < 𝑏 ⟺ ln(𝑎) < ln(𝑏)
(ln(𝑢))′ =
𝑢′
𝑢
ln(𝑥) = 0 ⟺ 𝑥 = 1.
ln(𝑥) > 0 ⟺ 𝑥 ∈]1 ; +∞[
ln(𝑥) < 0 ⟺ 𝑥 ∈]0 ; 1[
Pas d’extrema sur ℝ.
Logarithme Décimal
𝐥𝐨𝐠 ∶ 𝒙 ↦ 𝐥𝐨𝐠(𝒙)
tel que 𝟏𝟎𝐥𝐨𝐠(𝒙) = 𝒙
Réciproque de la
fonction 𝒙 ↦ 𝟏𝟎𝒙 .
]0 ; +∞[
RAS
log(1) = 0 ; log(10) = 1
∀𝑥 ∈ ℝ ∶ log(10𝑥 ) = 𝑥
( + mêmes propriétés que le ln)
©Florian Longueteau – http://www.cours-maths-bordeaux.fr
(idem ln)
(idem ln)
(idem ln)
Courbe représentative