Le Grand Livre des Tests psychotechniques de logique

Le Grand Livre des Tests
psychotechniques
de logique
de personnalité et de créativité
Catégories A, B et C
Bernard Myers
Benoît Priet
Dominique Souder
Corinne Pelletier
© Dunod, Paris, 2012
ISBN 978-2-10-058192-4
Table
des matières
Partie 1 : Aptitude numérique
Chapitre1
QCM de maths : comment être performant ?
Chapitre2
Nombres relatifs
Chapitre3
Pourcentages
Chapitre4
Calculs, priorités et estimations
Chapitre5
Puissances
Chapitre6
Règle de trois, proportionnalité
Chapitre7
Conversions
Chapitre8
Calcul mental rapide
Chapitre9
Racines
Chapitre10
Aires
Chapitre11
Volumes
Chapitre12
Distances, vitesses, temps, débits…
Chapitre13
Dénombrements
Chapitre14
Équations
Chapitre15
Suites
Chapitre16
Probabilités
3
7
17
25
41
48
60
72
92
99
106
113
120
131
141
146
Partie 2 : Aptitude logique
Chapitre17
Les séries graphiques
Chapitre18
Les séries alpha-numériques
Chapitre19
Les matrices
Chapitre20
Les ensembles et les intrus
Chapitre21
Les séries doubles
Chapitre22
Logique numérique
161
178
186
192
200
222
Table des matières
Chapitre23
Les dominos
Chapitre24
Les cartes à jouer
Chapitre25
Les carrés logiques
Chapitre26
Les tests d’attention
Chapitre27
Les logigrammes
Chapitre28
Autres épreuves logiques
236
251
256
269
276
282
Partie 3 : Aptitude verbale
Chapitre29
Le vocabulaire
Chapitre30
L’orthographe lexicale
Chapitre31
L’orthographe grammaticale
Chapitre32
La conjugaison
Chapitre33
Tests de compréhension
Chapitre34
Logique verbale
315
331
341
370
385
404
Partie 4 : Personnalité et créativité
Sous-partie 1 : Les tests de personnalité
Chapitre35
Les questionnaires de personnalité
Chapitre36
Les tests projectifs
426
433
Sous-partie 2 : Les tests de créativité
Chapitre37
Les tests de créativité individuels et collectifs
Chapitre38
Conseils pour réussir les tests de créativité
IV
438
443
Aptitude
numérique
1.
2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. QCM de maths : comment être performant ?
3
Nombres relatifs
7
Pourcentages
17
Calculs, priorités et estimations
25
Puissances
41
Règle de trois, proportionnalité
48
Conversions 60
Calcul mental rapide
72
Racines
92
Aires
99
Volumes 106
Distances, vitesses, temps, débits…
113
Dénombrements
120
Équations
131
Suites
141
Probabilités
146
N
ul besoin d’être Einstein pour réussir aux questions d’aptitude numérique
des concours. Si vous avez le niveau de la troisième en maths, vous
pouvez vous en sortir ! Et ceux qui ont un niveau supérieur ou une
certaine aisance avec les chiffres peuvent compter sur cette section pour
faire monter leur moyenne. Le débat a longtemps fait rage : certains préconisent
l’usage des maths pour opérer une sélection des candidats, car ils considèrent que
l’aptitude mathématique est révélatrice d’intelligence, de logique, de rigueur et de
bien d’autres qualités que l’on recherche chez les candidats. D’autres considèrent
que les maths ne sont qu’un outil parmi d’autres et que les épreuves de maths trop
poussées excluent des candidat(e)s avec de nombreuses autres qualités tout aussi
nécessaires. Pour l’instant, à en juger par le niveau des épreuves, le balancier est
plutôt dans le camp de ceux qui veulent limiter l’importance des maths. Ce n’est
pas le cas dans toutes les régions, mais la difficulté des questions est nettement
moins élevée qu’il y a quelques années. Cela ne veut pas dire qu’il faille négliger
les maths pour autant ! Au contraire ! Considérez cette épreuve comme celle où
vous pourrez consolider votre position. Pour cela, vous pouvez commencer par
rafraîchir vos souvenirs scolaires avec les pages qui suivent. Ensuite, affrontez
diverses questions pour vous remettre en forme. Au début, prenez votre temps,
pour bien comprendre, bien assimiler. Ensuite, mettez-vous dans les conditions
de concours, c’est-à-dire répondez dans un temps limité et sans calculette. (Si
ce dernier point vous cause de grandes difficultés, il faut réviser vos tables de
multiplications – elles s’oublient vite !).
1
Les conseils qui vont suivre concernent les QCM dont la règle du jeu indiquée en
début d’épreuve précise qu’il y a une bonne réponse et une seule parmi celles qui
sont proposées.
Si vous êtes bon en maths, vous allez avoir tendance à résoudre le problème posé
sans tenir compte des propositions de solutions. La réponse que vous allez trouver,
vous vérifierez ensuite si elle figure bien parmi les propositions : si c’est le cas, vous
vous direz « j’ai réussi » ; sinon vous chercherez une erreur dans vos calculs.
Aptitude
numérique
QCM de maths : comment
être performant ?
Dans certains types de problème cette tactique va vous faire perdre du temps et vous
ne pourrez pas finir l’ensemble des QCM, contrairement à d’autres candidats plus
malins et efficaces.
Voici quelques exemples de problèmes où partir des valeurs proposées comme
solutions permet d’être efficace et rapide.
Exemple 1
© Dunod - Toute reproduction non autorisée est un délit.
Bacchus se verse à boire la moitié d’une bouteille pleine de bon vin. Il revient vers
la bouteille et boit le tiers de ce qui reste. Puis il retourne boire le quart du dernier
reste. Le contenu restant de la bouteille lui permet de se remplir enfin un dernier
verre de 33 cL.
Quelle est la capacité de cette bouteille ?
r a. 66 cL r b. 100 cL
r c. 120 cL r d. 132 cL r e. 144 cL
Solution
Au lieu de se lancer dans des équations ou des calculs de fractions, on peut essayer
de vérifier si l’on obtient le 33 cL final à partir d’une des valeurs pro­posées.
Un premier essai astucieux est de partir de la valeur du milieu parmi les propositions : ici 120 cL.
Bacchus verse 60 cL, il reste 60 cL. Il boit le tiers du reste soit 20 cL. Il reste 40
cL dans la bouteille. Il boit le quart de ce reste soit 10 cL, il reste 30 cL dans la
bouteille et non 33 cL. Notre choix c. n’est pas le bon, mais comme il donne
un peu moins que ce qu’il faut, on peut abandonner les essais pour une valeur
moindre, et faire un autre essai avec la valeur du d. un peu supérieure : 132 cL.
Bacchus verse 66 cL, il reste 66 cL. Il boit le tiers du reste soit 22 cL, il reste 44 cL
dans la bouteille. Il boit le quart du reste, soit 11 cL. Il reste 33 cL dans la bouteille :
c’est ce qu’on souhaitait, la bonne réponse est d.
3
1 QCM de maths : comment être performant ?
Exemple 2
Au moment où elle met au monde son quatrième enfant, une mère (profes­seur
de maths) a 3 fois la somme des âges de ses 3 premiers enfants. Sachant que dans
8 ans son âge sera la somme de ceux de ses 4 enfants, quel son âge actuel ?
q a. 36 ans
q b. 35 ans
q c. 33 ans
q d. 30 ans
q e. 27 ans
Solution
Partons de la valeur 36 ans.
Elle est bien divisible par 3, car 36 c’est 3 × 12. Dans 8 ans la mère aura 44 ans.
Chaque enfant aura 8 ans de plus, et à quatre cela fera 8 × 4 = 32 ans de plus, la
somme de leurs âges sera aussi 12 + 32 = 44. On a trouvé, la solu­tion est le a.
Voici maintenant d’autres types de problèmes : ceux où figurent de nombreuses variables abstraites sous forme de lettres. On a peur de s’y perdre…
Imaginer certaines valeurs à la place des lettres peut permettre de débrouiller la situation…
Exemple 3
Si x, y et z sont trois nombres non nuls tels que 1 / z = 1 / x + 1 / y, alors x =
q a. y z / (z – y)
q c. (y – z) / y z
q e. z ­­– y
q b. y z / (y – z)
q d. (z – y) /y z
Solution
Chacun sait que ½ = ¼ + ¼.On peut donc imaginer x = 4, y = 4 et z = 2 et voir s’il
n’y a pas qu’une seule des formules proposées qui serait valable pour ces valeurs
concrètes là.
y z / (z – y) = 8 / (– 2) = – 4 ; y z / (y – z) = 8 / 2 = 4 ; (y – z) / y z = 2 / 8 = ¼ ;
(z – y) / y z =  2 / 8 =  ¼ ; z – y = 2 ; seule la formule b. donne la bonne valeur
de x = 4. La solution est b.
Exemple 4
Les trois nombres entiers positifs non nuls et différents a, b, c vérifient
a + b + c = 6. Que vaut : 1 / (a + b) + 1 / (b + c) + 1 / (a + c) ?
q a. 17 / 30
q b. 27 / 40
q c. 37 / 50
q d. 47 / 60
q e. 57 / 60
Solution
On peut imaginer a = 1, b = 2, c = 3, on a bien a + b + c = 6.
On obtient alors 1 / (a + b) + 1 / (b + c) + 1 / (a + c) = 1 / 3 + 1 / 5 + 1 / 4
= (20 + 12 + 15) / 60 = 47 / 60.
La bonne réponse est donc d.
4
Exercices d’entraînement
1. Ma sœur a autant de frères que de sœurs. Mon frère a deux fois plus de sœurs
que de frères. Combien y a t-il d’enfants dans notre famille ?
q a. 5
q b. 6
q c. 7
q d. 8
q e. 9
obtient un nombre valant 1 de moins que ma moitié. Qui suis-je ?
q a. 32
q b. 42
q c. 52
q d. 34
q e. un tel nombre n’existe pas
3. Dans 20 ans ton âge sera le carré de ton âge actuel. Quel âge as-tu ?
q a. 5 ans
q b. 6 ans
q c. 7 ans
q d. 8 ans
q e. 9 ans
Aptitude
numérique
2. Je suis un nombre de deux chiffres. Si on intervertit mes deux chiffres, on
4. Soient a, b, c trois nombres réels. Quatre des cinq relations ci-dessous sont
équivalentes entre elles (reviennent au même après simplification).
Quelle est celle qui n’est équivalente à aucune autre ?
q a. b = (a + c) 2
q b. b = (a + b + c) 3
q c. b = (2a + b + 2c) 5
q d. b = (4a + 2b + c) 7
q e. b = a – b + c
5. Ludo écrit trois nombres. En les ajoutant deux par deux, il obtient les sommes 63,
65 et 68. Quel est le plus petit des trois nombres écrits ?
q a. 25
q b. 28
q c. 23
q d. 31
q e. 30
6. Une mouche s’est écrabouillée sur l’extrémité d’une pale d’éolienne de 20 m de
© Dunod - Toute reproduction non autorisée est un délit.
rayon. Celle-ci tourne régulièrement à la vitesse de 30 tours à la minute.
Quelle est la vitesse de déplacement du cadavre de la mouche (à 1 km/h près) ?
q a. 147 km/h q b. 166 km/h q c. 185 km/h q d. 204 km/h q e. 223 km/h
5
s
é
1.
G
Réponse c.
« Ma sœur a autant de frères que de sœurs » : il y a donc une fille de plus que le nombre de
garçons. Essayons la valeur centrale proposée : 7 enfants, qui correspond à 4 filles et 3
garçons : une fille a autant de sœurs (3) que de frères (3), un garçon a deux fois plus de
sœurs (4) que de frères (2). La solution est donc 7 enfants.
2.
Réponse c.
On peut faire des essais avec les quatre valeurs proposées.
52 est la solution, car l’interversion donne 25, et 25 + 1 = 26 est la moitié de 52.
3.
Réponse a.
Il peut sauter à l’œil de suite que 5 + 20 = 25 est le carré de 5.
4.
Réponse d.
Partons de la première proposition b = (1 / 2) (a + c) et imaginons des valeurs qui la respectent, par exemple a = 1, b = 2, c = 3 car 2 = (1 / 2) (1 + 3).
Les calculs des propositions suivantes conduisent à :
a. (1 + 3) / 2 = 2 vrai.
b. (1 / 3) (6) = 2 vrai.
c. (1 / 5) (10) = 2 vrai.
d. (1 / 7) (11) = 2 faux.
e. 2 = 2 vrai.
La formule différente des autres est donc d.
5.
Réponse d.
Classons les propositions par ordre croissant : 23, 25, 28, 30, 31. La valeur centrale est 28 :
essayons-la.
Pour faire 63, il faut un deuxième nombre égal à 63 – 28 = 35. Pour faire 65 il faut un troisième nombre égal à 65 – 28 = 37. La somme de 35 et 37 fait 72 ce qui ne correspond pas à
l’énoncé (68).
Comme on trouve trop avec ces deux nombres obtenus par des soustractions, on va plutôt essayer les valeurs supérieures du petit nombre, ce qui, par soustraction à ces deux
grands nombres, donnera moins.
Prenons 30. Pour faire 63, il faut un deuxième nombre égal à 63 – 30 = 33. Pour faire 65, il faut
un troisième nombre égal à 65 – 30 = 35. On obtient alors la somme 33 + 35 = 68 qui correspond à l’énoncé.
La plus petit des trois nombres est 30.
6.
Réponse e.
Le cadavre de la mouche parcourt un cercle de rayon 20 m, cela 30 fois à la minute donc
30 × 60 = 1 800 fois à l’heure.
Le périmètre correspondant à un tour est 2 p R = 40 p (en mètres).
La distance parcourue en une heure par le cadavre, en km, est :
40 p × 1 800 / 1 000 = 40 p × 1,8 = 72 p
On sait que p vaut environ 3,14 ; mais ce qui importe, c’est que p est plus grand que 3.
Comme 72 est plus grand que 70, le résultat cherché est supérieur à 70 × 3 = 210 km. Il n’y
a qu’une seule proposition supérieure à 210 km, c’est 223 km.
On peut éviter tout calcul précis dans ce QCM, et s’en tirer par une évaluation de l’ordre
de grandeur du résultat confronté aux propositions. Ceci est vrai même si les propositions semblent précises (comme ici 147, 166, 204…)
C
O
R
R
Corrigés des exercices
I
1 QCM de maths : comment être performant ?
6
2
Comme Monsieur Jourdain qui découvrait avec stupéfaction que sa réplique « Nicole,
apportez–moi mes pantoufles » était de la prose, certains d’entre nous apprendront
avec ravissement que quand nous disons « Cela fait 10 euros », nous utilisons un
nombre entier relatif positif et si nous ajoutons « C’est 1,5 euros de moins que la
semaine dernière », alors il s’agit d’un nombre décimal relatif négatif… Ces termes,
qui peuvent paraître bien abs­cons, sont pourtant très utiles, car lorsqu’on parle de
choses précises comme les mathé­matiques, il est important d’être clair.
Aptitude
numérique
Nombres relatifs
Le mot relatif peut s’entendre comme « relativement à zéro », et l’on considère donc
des nombres qui peuvent être positifs (supérieurs à zéro) ou négatifs (inférieurs à
zéro).
Il existe des nombres entiers relatifs positifs (0, + 1, + 2, + 3, etc.) et des nombres
entiers relatifs négatifs (0,  1,  2,  3, etc.).
Il existe des nombres décimaux relatifs positifs (exemple : + 1,825) et des nombres
décimaux relatifs négatifs (exemple :  6,07).
Comparer deux nombres relatifs
l
Si l’un des deux nombres est positif et l’autre négatif : c’est le nombre négatif
qui est le plus petit.
Exemple
 2 < + 1.
l
Si les deux nombres sont positifs : on applique la règle habituelle de com­paraison.
Exemple
6 < 8 soit + 6 < + 8.
7
2 Nombres relatifs
l
Si les deux nombres sont négatifs : c’est le nombre qui a la plus grande dis­tance à
zéro qui est le plus petit.
Exemple
 8 <  6 car la distance  8 à zéro est 8, ce qui est plus grand que la distance de  6 à
zéro qui n’est que 6.
Additionner les nombres relatifs
l
Pour deux nombres relatifs de même signe : on ajoute les deux distances par rapport à zéro, et on met devant le résultat le signe commun aux deux nombres.
Exemples
( 2) + ( 3) = ( 5) (+ 6) + (+ 8) = (+ 14)
l
Pour deux nombres relatifs de signes différents : on soustrait les deux dis­tances à
zéro, et on met devant le résultat le signe du nombre qui a la plus grande distance à
zéro.
Exemples
( 2) + (+ 5) = (+ 3) le signe du résultat est + car 5 > 2.
( 7) + (+ 2) = ( 5) le signe est  car 7 > 2.
l
Quand deux nombres sont opposés : leur somme est égale à zéro.
Exemple
( 4) et (+ 4) sont opposés : ( 4) + (+ 4) = 0.
Différence de deux nombres relatifs
l
Pour soustraire un nombre relatif, il faut ajouter son opposé.
Exemples
(+ 12) – ( 4) = (+ 12) + (+ 4) = (+ 16)
( 7) – ( 9) = ( 7) + (+ 9) = (+ 2)
(+ 10) – (+ 18) = (+ 10) + ( 18) = ( 8)
( 6) – (+ 8) = ( 6) + ( 8) = ( 14).
8
Nombres relatifs 2
Écriture simplifiée des relatifs
l
Dans une suite d’additions de nombres relatifs, on peut supprimer les signes d’addition et les parenthèses.
Exemples
(+ 7) + (+ 11) + ( 16) peut s’écrire 7 + 11 – 16.
( 3) + (+ 2) + ( 5) peut s’écrire  3 + 2 – 5.
Inversement, le calcul 5 – 8 + 11 peut s’écrire (+ 5) + ( 8) + (+ 11).
Aptitude
numérique
Un nombre positif écrit en début de calcul peut s’écrire sans signe (mais
pas un nombre négatif).
Effectuer une suite de calculs
avec des nombres relatifs
S’il n’y a pas de parenthèses encadrant les calculs :
1 tactique : on transforme les soustractions de nombres relatifs négatifs en additions, on supprime les termes opposés s’il y en a, puis on regroupe les termes positifs
et les termes négatifs, et on effectue les sommes de ces termes.
l
re
Exemple
( 4) – ( 8) – ( 7) + ( 8) + (+ 15)
=( 4) + (+ 8) + (+ 7) + ( 8) + (+ 15)
=( 4) + (+ 7) + (+ 15)
© Dunod - Toute reproduction non autorisée est un délit.
=( 4) + (+ 22) = (+ 18).
2e tactique : on applique les règles de simplification des écritures, on sup­prime les
opposés, on regroupe les termes positifs et négatifs et on effectue les sommes.
Exemple
( 4) – ( 8) – ( 7) + ( 8) + (+ 15)
=
 4 + 8 + 7 – 8 + 15
=
 4 + 7 + 15
=
 4 + 22 = 18.
9
2 Nombres relatifs
l
S’il y a des calculs encadrés par des parenthèses : on commence par effec­tuer les
calculs dans les parenthèses, ensuite on applique une des méthodes précédentes.
Exemple
( 5) – ( 6 + 4) + (7 – 11)
=( 5) – ( 2) + ( 4)
=
5+2–4
=
 9 + 2 =  7.
Multiplication de deux nombres relatifs
Pour multiplier deux nombres relatifs, on multiplie leurs distances à zéro, puis on
détermine le signe du produit :
l si les deux nombres sont de même signe, le produit est positif ;
l si les deux nombres sont de signes différents, le produit est négatif.
Exemples
( 3) × ( 8) = (+ 24) ( 2) × (+ 6) = ( 12)
(+ 6) × (+ 7) = (+ 42) (+ 8) × ( 3) = ( 24)
Multiplication de plusieurs nombres relatifs
On compte le nombre de nombres négatifs dans ce produit :
l si ce nombre est pair, le produit est positif ;
l si ce nombre est impair, le produit est négatif.
Exemples
( 2) × ( 5) × (+ 7) × ( 6) =  420 (il y a trois négatifs donc le produit
est négatif).
( 6) × (+ 5) × ( 5) × (+ 4) = + 600 (il y a deux négatifs donc le produit
est positif).
Division de deux nombres négatifs
Pour diviser deux nombres relatifs (le diviseur n’étant pas zéro) :
l on divise leurs distances à zéro ;
l on applique la même règle de signe que pour la multiplication.
10
Exemples
( 8)
( 15)
= (+ 4) = ( 3)
(+ 5)
( 2)
Nombres relatifs 2
Priorités
l
Si un calcul comporte des opérations entre parenthèses, celles–ci sont effec­tuées en
priorité.
Exemples
( 6) – (( 5) + ( 2)) = ( 6) – ( 7) =  6 + 7 = + 1.
l
Si un calcul ne comporte pas d’opérations entre parenthèses, les multiplica­tions et
les divisions sont effectuées en priorité sur les additions et les sous­tractions.
Exemple
( 3) + ( 4) × (+ 3) =  3 + ( 12) = ( 15).
Aptitude
numérique
( 2,5) × ( 4 + 8) = ( 2,5) × (+ 4) = ( 10).
Conduire un calcul…
On observe d’abord la présence éventuelle de parenthèses, puis d’opérations de
priorités différentes...
Mais pour faciliter le calcul de certaines expressions, on peut utiliser aussi
la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition ou à la soustraction :
a × (b + c) = (a × b) + (a × c)
a × (b – c) = (a × b) – (a × c)
Exemples
( 8) × (+ 13) + ( 8) × ( 3)
=( 8) × (+ 13 + ( 3))
© Dunod - Toute reproduction non autorisée est un délit.
=( 8) × (+ 10) = ( 80).
( 75) × (+ 102)
=( 75) × (100 + 2)
=( 75) × 100 + ( 75) × 2
=
 7 500 – 150 =  7 650.
Avant d’exécuter un calcul, on pourrait dire qu’il se médite…
11
2 Nombres relatifs
Exercices d’entraînement
0 0 :1 5
Niveau 1
1. Ranger par ordre décroissant les nombres suivants :
 11  11,8  18 + 11  10,8
2. Calculer x dans chacune des égalités suivantes :
a. 6 + x =  2 b. x + ( 3) = + 1 c. (+ 5) + x =  8
3. Calculer les quatre nombres suivants :
A = ( 14) – ( 11) C=7–8+9–7
D = 6 – 15 – 7 + 2
B = (+ 25) + ( 7) 4. Calculer les deux nombres suivants :
E = 17 – (( 3) – (+ 12)) F = (13 – ( 2)) – (9 – (+ 12))
5. Calculer : ( 2) × (+ 4) × ( 5) × ( 3)
6. Calculer : ( 7) + ( 3) × ( 2) – ( 9)
7. Calculer : 15 – [7 – [ 3 – ( 12)]]
8. Déterminer x sachant que : ( 5) + ( x) = 15
9. Calculer les trois expressions suivantes :
a. ( 9) ( 3)
b. 7 × ( 4) c.  5 × ( 2 + 6)
10. Calculer astucieusement :
A = 970 × ( 13) + 30 × ( 13)
B =  99 × (+ 25)
12
Nombres relatifs 2
0 0 :2 5
Niveau 2
11. Que vaut 3 – (2 – (1 – (3 – (2 – (1 – 3))))) ?
q a.  3
q b.  1
q c. 0
q d. 1
q e. 3
12. Roméo et Juliette ont décidé d’explorer un gouffre dont le point le plus bas
q a. 41 m q b. 175 m
q c. 185 m
q d. 292 m
q e. 309 m
13. Du cube de (– 1) on soustrait le carré de (– 4). Que vaut cette différence ?
q a. 65
q b. 7
q c. 63
q d.  15
q e.  17
q c. 20
q d. 24
q e. 42
Aptitude
numérique
est situé à  426 m par rapport au niveau de l’entrée. Ils arrivent à – 134 m
et doivent descendre dans un puits pour atteindre un ruisseau souterrain
qui coule à – 251 m. Lorsqu’ils ont atteint ce ruisseau, de combien de mètres
doivent–ils encore descendre pour atteindre le fond du gouffre ?
14. – 2² – 2² = combien ?
q a.  23
q b.  20
15. Le nombre 1 – 2 + 3 – 4 + … + 2 005 – 2 006 n’est pas :
q a. entier
q b. négatif
q d. multiple de 3
q e. multiple de 2
q c. inférieur à 500
16. Que vaut : 2 – 4 + 6 – 8 + … – 204 + 206 – 208 + 210 ?
q a. 104
q b. 106
q c. 210
q d.  208
q e.  210
q d. 1
q e. 2
17. Que vaut ( 1)2 006 – ( 1)2 007 ?
q a.  2
q b.  1
q c. 0
18. Parmi les nombres suivants, quel est le plus petit qui dépasse  11 ?
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q a.  1,57 q d.  11,7
19. Que vaut – 2,333… ?
q a. 
(
q b.  1,58
q e.  11,71
)
5
q b.  2 + 3 q c.  2,34
3
10
q d. 
7
3
7
q c.  1,56
q e.  2,4
20. 2 006 – (1 – 2) – (3 – 4) – (5 – 6) –... – (2 005 – 2 006) = combien ?
q a. 1 003 q b. 2 006
q c. 3 009
q d. 0
q e. 4 012
13
s
1.
Par ordre décroissant : + 11 >  10,8 >  11 >  11,8 >  18.
2.
a. 6 + x =  2 donne x = – 2 – 6 =  8
b. x + ( 3) = + 1 donne x = + 1 – ( 3) = + 4
c. (+ 5) + x =  8 donne x =  8 – (+ 5) =  13
3.
A = ( 14) – ( 11) =  14 + 11 =  3
B = (+ 25) + ( 7) = + 18
C =  7 – 8 + 9 – 7 =  15 + 9 – 7 =  6 – 7 =  13
D = 6 – 15 – 7 + 2 =  9 – 7 + 2 =  16 + 2 =  14
4.
E = 17 – (( 3) – (+ 12)) = 17 – ( 3 – 12)
= 17 – ( 15) = 17 + 15 = + 32
F = (13 – ( 2)) – (9 – (+ 12)) = (13 + 2) – (9 – 12)
= 15 – ( 3) = 15 + 3 = 18
5.
( 2) × (+ 4) × ( 5) × ( 3) =  120, le résultat est négatif car il y a un nombre impair (3)
de nombres négatifs dans le produit.
6.
( 7) + ( 3) × ( 2) – ( 9) =  7 + 6 + 9 =  1 + 9 = + 8.
7.
15 – [7 – [ 3 – ( 12)]] = 15 – [7 – ( 3 + 12)]
= 15 – (7 – 9)
= 15 – ( 2) = 15 + 2 = 17.
8.
( 5) + ( x) = 15 donne  5 – 15 = x, d’où x =  20.
9.
a.
O
R
R
I
G
Corrigés des exercices
é
2 Nombres relatifs
( 9) = + 3
( 3)
C
b. 7 × ( 4) =  28
c.  5 × ( 2 + 6) =  5 × (4) =  20
14
10.
A = 970 × ( 13) + 30 × ( 13)
B =  99 × (+ 25)
= (970 + 30) × ( 13)
=  (100 – 1)(25)
= 1 000 × ( 13) =  13 000
=  100 × 25 – ( 1) × 25
=  2 500 + 25 =  2 475.
11.
Bonne réponse : e.
3 – (2 – (1 – (3 – (2 – (1 – 3))))) = 3 – (2 – (1 – (3 – (2 – ( 2)))))
= 3 – (2 – (1 – (3 – (4))))
= 3 – (2 – (1 – ( 1)))
= 3 – (2 – (2)) = 3
Nombres relatifs 2
12.
Bonne réponse : b.
Dans ce genre d’exercices, un dessin pourrait aider à mieux comprendre l’énoncé et à
trouver rapidement la solution :
Entrée du gouffre
0m
– 134 m
Distance recherchée
Fond du gouffre
– 426 m
Aptitude
numérique
– 251 m (ruisseau)
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Le  134 ne sert à rien. On calcule 426 – 251 = 175 m.
13.
Bonne réponse : e.
On écrit le calcul : ( 1)3 – ( 4)2 =  1 – (+ 16) =  17.
14.
Bonne réponse : a.
 4 – 4 =  8 =  23 .
En l’absence de parenthèses, la puissance s’applique au 2 et non au signe –,
de même que la multiplication a priorité sur la soustraction.
15.
Bonnes réponses : d. et e.
Il faut d’abord effectuer le calcul : 1 – 2 + 3 – 4 +... 2 005 – 2 006
=1
=1 =1
On remarque qu’on peut regrouper les nombres composant ce calcul par
paires, chaque paire composant une soustraction et chaque soustraction étant
égale à  1.
Il faut donc calculer le nombre de paires. Il y a 2 006 nombres dans le calcul.
2 006
Quand on les regroupe par deux, cela donne
= 1 003 paires.
2
Le résultat est donc :  1 × 1 003 =  1 003.
 1 003 est un nombre entier négatif inférieur à 500, mais il n’est ni multiple de 3 ni
multiple de 2.
16.
Bonne réponse : b.
Il y a 105 nombres, on laisse le premier 2, et les 104 autres peuvent être regroupés par
paires (voir exercice précédent) soit 52 paires donnant chacune 2.
D’où la somme : 2 + 52 × 2 = 106.
15
17.
Bonne réponse : e.
2 006 est pair, donc : ( 1)2 006 = 1 ; 2 007 est impair, donc : ( 1)2 007 =  1.
On a donc : 1 – ( 1) = 2.
18.
Bonne réponse : a.
 11 vaut environ  1,5714, le plus petit nombre supérieur proposé est  1,57.
7
19.
Bonne réponse : d.
Seul  7 donne la bonne valeur.
3
Au b. on trouve  2,3 ce qui n’est pas exactement la réponse mais seulement une valeur
approchée.
20.
Bonne réponse : c.
2 006 – ( 1 × 1 003) = 2 006 + 1 003 = 3 009.
C
O
R
R
I
G
é
s
2 Nombres relatifs
16
Même si le concept mathématique peut sembler théorique, les pourcentages dans les
pro­fessions médicales sont au contraire tout ce qu’il y a de pratique et de quotidien.
Il faut être monté très haut dans la hiérarchie médicale pour ne plus avoir à faire « en
vitesse s’il vous plaît » une dilution de 10 %, ou d’augmenter une dose de 5 %.
Maîtrisez les pourcentages pour le concours : cela vous servira encore pour de longues
années !
5
D’une part 5 %, c’est le nombre
ou 0,05.
100
D’autre part, dire qu’un gâteau contient 5 % de sucre signifie que :
Aptitude
numérique
3
Pourcentages
dans 100 g de gâteau, il y a 5 g de sucre ;
dans 200 g de gâteau, il y a 10 g de sucre ;
dans 300 g de gâteau, il y a 15 g de sucre ;
dans un nombre N de grammes de gâteau il y a 0,05 × N grammes de sucre.
Appliquer un taux de pourcentage p % à un nombre x
Cela consiste à multiplier ce dernier par :
p
.
100
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Exemple
Calculer 20 % de 50 euros.
50 × 20 = 50 × 0,2 = 10
100
donc 20 % de 50 euros c’est 10 euros.
Calculer un taux de pourcentage
Exemple
Dans une école de 250 élèves, 80 sont des demi-pensionnaires.
Quel est le taux de demi-pensionnaires dans cette école ?
17
3 Pourcentages
La fraction de demi-pensionnaires dans l’école est 80 , ce nombre est égal à 0,32,
250
soit 32 .
100
Le pourcentage de demi-pensionnaires est 32 %.
On peut aussi dresser un tableau de proportionnalité, dans lequel un même coefficient de multiplication permet de passer de la première à la deuxième ligne, en cherchant quel nombre mettre dans la case de la deuxième ligne située en dessous du
nombre 100 marqué en première ligne.
Nombre d’élèves
250
100
Nombre de demi-pensionnaires
80
?
La valeur du point d’interrogation se calcule en appliquant la règle
du « produit en croix » :
250 × ? = 80 × 100 donc on trouve la solution en calculant 80 × 100 , et on trouve 32.
250
En conclusion, le taux de pourcentage de x par rapport à y est égal à : x × 100 .
y
Augmenter un nombre de x %
(
)
x .
Cela revient à le multiplier par : 1 + 100
Exemple
Un article coûte 200 euros, son prix augmente de 3 %.
Quel est le nouveau prix ?
On calcule 1 + 3 % = 1,03, puis 200 × 1,03 = 206. Le nouveau prix est 206 euros.
Diminuer un nombre de x %
(
)
x .
Cela revient à le multiplier par : 1 – 100
Exemple
Un article coûte 150 euros, son prix baisse de 5 %. Quel est le nouveau prix ?
On calcule : 1 – 5 % = 0,95 ; puis 150 × 0,95 = 142,50.
Le nouveau prix est 142,50 euros.
18
Pourcentages 3
Retrouver la valeur initiale
après application d’un pourcentage
Exemple
On peut retenir, pour une augmentation de t % :
(
)
(
)
t
valeur initiale = (valeur finale) / 1 + 100
D’autre part, s’il y a eu une baisse de t % :
Aptitude
numérique
Après une augmentation de 8 %, un DVD coûte 27 euros.
Quel était son prix avant l’augmentation ?
Soit p le prix avant augmentation. On sait que 1 + 8 % = 1,08 donc p × 1,08 = 27, et
on obtient p = 27 = 25. Le prix du DVD avant l’augmentation était 25 euros.
1,08
valeur initiale = (valeur finale) / 1 − t
100
Exemple
Si un prix est devenu 75 euros après une baisse de 20 %, c’est que le prix
75
initial était :
= 75 = 93,75 soit 93,75 euros.
20
0,80
1−
100
(
)
Composer (enchaîner) des pourcentages
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Exemple
Dans un collège, les effectifs ont augmenté de 10 % l’an dernier, puis de 20 % cette
année. De quel pourcentage global ont-ils augmenté pendant cette période de 2
ans ?
Soit E l’effectif de départ, au bout d’un an il est devenu 1,10 E : en effet le cœfficient
de multiplication pour passer d’une année à l’autre est : 1 + 10 % = 1,10.
19
3 Pourcentages
La deuxième année il est multiplié par 1,20 donc en deux ans il devient
1,2(1,1 E) = 1,32 E.
Le passage de E à 1,32 E est une augmentation de 32 % car 132 % = 100 % + 32 %.
Augmenter successivement de 10 % puis de 20 % revient à augmenter
glo­balement de 32 %.
Quelques situations qu’on pourrait traiter
par un calcul mental
« Multiplier par 3 » c’est augmenter de 200 % :
Si le nombre de départ est 100, il devient 300, donc il a augmenté de 200 ce qui représente 200 % de 100.
l « Augmenter de 400 % » c’est multiplier par 5 :
Si le nombre de départ est 100, augmenter de 400 permet d’obtenir 500, or ce nombre
est 5 fois 100.
l « Baisser de 10 % puis augmenter de 10 % » est-ce revenir au point de départ ?
Si le nombre de départ est 100, la baisse de 10 % le fait arriver à 90.
Une hausse de 10 % de 90, soit 9, le conduit ensuite à 99. Globalement on est passé de
100 à 99 donc on a baissé de 1 %.
l
« Baisser de 10 % puis augmenter de 10 % » revient globalement
à baisser de 1 %.
20
Pourcentages 3
Exercices d’entraînement
0 0 :1 5
Niveau 1
1. Quel est l’intérêt rapporté annuellement par une somme de 100 euros lorsque
le taux du placement est 4,25 % ?
le capital et les intérêts. Quelle somme doit-elle verser ?
3. Placé à 4 %, un capital a rapporté 300 euros en un an. Quel est le montant de
ce capital ?
Aptitude
numérique
2. Une personne a emprunté 3 600 euros à 5 %. À la fin de l’année, elle rembourse
4. Ayant emprunté 40 000 euros, une personne verse annuellement 2 500 euros
d’intérêt. À quel taux a-t-elle contracté son emprunt ?
5. Un commerçant consent une remise de 5 % à un client sur le prix d’un appareil
photo marqué 680 euros. Combien le client paie-t-il ?
6. Une note de restaurant s’élève à 80 euros auxquels s’ajoutent 12 euros de service. Quel est le taux de ce service ?
7. Le lait écrémé donne 14 % de son volume de crème. Combien faut-il écrémer de
litres de lait pour en obtenir un litre de crème ?
8. Un fromage porte la mention 45 % de matières grasses. Combien de grammes
de matières non grasses y a-t-il dans un fromage de 200 grammes ?
9. Un prix baisse de 20 %. De quel pourcentage faudrait-il augmenter ce nouveau
prix pour revenir au premier ?
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10. Quel est le bilan, en pourcentage du prix d’origine, de deux baisses successives,
l’une de 20 % puis l’autre de 10 % ?
0 0 :2 5
Niveau 2
11. Quel est le pourcentage de remise quand on fait payer 231 euros un objet marqué
275 euros ?
q a. 16 %
q b. 19 %
q c. 20 %
q d. 22 %
q e. 44 %
12. Le magasin X solde : – 30 % sur tout le stock. Un article marqué 300 euros est
vendu :
q a. 330 euros
q d. 210 euros
q b. 390 euros
q e. une autre valeur
q c. 270 euros
21
3 Pourcentages
13. Dans le magasin Y qui solde à – 20 %, j’ai acheté un petit meuble à 180 euros.
Quel était l’ancien prix ?
q a. 200 euros
q d. 225 euros
q b. 216 euros
q e. une autre valeur
q c. 154 euros
14. Si un œuf d’autruche pesant 200 g contient 12 % de protéines, 11 % de graisses,
11,5 % de sels minéraux, et le reste en eau, quelle quantité d’eau contient-il ?
q a. 69 g q b. 199,10 g
q c. 131 g
q d. 13,10 g
q e. 19,1 g
15. Une entreprise va être privatisée. L’État possède actuellement 52 % des parts.
Un actionnaire X possède 24 % des parts et un actionnaire Y possède 22 % des
parts. L’actionnaire Y voudrait être sûr de prendre la majorité absolue. Si l’État
vend toutes ses parts, Y doit acquérir le pourcentage suivant des parts mises en
vente :
q a. 28 % q b. 26 %
q c. 54 %
q d. 30 %
q e. 48 %
16. À l’association sportive, on ne pratique que deux sports : le rugby et le foot. Le
tiers des footballeurs jouent aussi au rugby, et 50 % des rugbymen jouent aussi
au football. Quel est le pourcentage de ceux qui pratiquent à la fois les deux
sports au sein de l’association ?
q a. 40 % q b. 60 %
q c. 25 %
q d. 83,3 %
q e. 100 %
17. Dans un étang de jardin il y a 100 poissons. 100 % d’entre eux sont rouges.
La moitié des poissons sont retirés. Quelle est alors la proportion de poissons
rouges dans l’étang ?
q a. 0 %
q b. 25 %
q c. 50 %
q d. 75 %
q e. 100 %
18. Roméo a acheté 23 bouteilles de jus d’orange. Grâce à un marchandage, Juliette
a obtenu une réduction de prix de 8 % par bouteille ; elle a pu ainsi acheter pour
le même prix 2 bouteilles de plus que Roméo. Quel était le prix initial en euros
d’une bouteille ?
q a. 1,5
q b. 1,3
q c. 1,2
q d. on ne peut pas savoir q e. 0,8
19. Une paire de chaussures, qui coûtait initialement 100 euros, a subi une première augmentation de 60 %. Une seconde augmentation a ensuite amené le
prix au double du prix initial. Quel est le taux de cette seconde augmentation ?
q a. 20 % q b. 25 %
q c. 40 %
q d. 50 %
q e. 80 %
20. Si je dors 8 heures par nuit pendant la semaine et 11 heures et demie durant
chacune des deux nuits du week-end, quel pourcentage de mon temps est
consacré à dormir ?
q a. 30 % q b. 33,3 %
22
q c. 35 %
q d. 37,5 %
q e. 40 %
Pourcentages 3
1.
L’intérêt en euros est : 100 × 4,25 % = 100 × 0,0425 = 4,25 soit 4,25 euros.
2.
Ajouter 5 % c’est multiplier par 105 % soit 1,05.
La somme à verser est : 3 600 × 1,05 = 3 780 euros.
300
Soit C le capital, C × 0,04 = 300 donc C =
= 7 500 euros.
0,04
2 500
Le taux est :
= 0,0625 soit 6,25 %.
40 000
3.
4.
5.
6.
7.
Diminuer de 5 % c’est multiplier par 0,95. Le client paie : 680 × 0,95 = 646 euros.
12
Le taux est :
= 0,15 soit 15 %.
80
Si un litre de crème est 14 % du volume de lait, alors 1 % de ce volume c’est 14 fois moins
de crème et 100 % c’est 100 fois plus. Ainsi 100 % de ce volume en litres c’est :
1
100 ×
= 7,143 litres environ
14
Aptitude
numérique
Corrigés des exercices
8.
Matières grasses
45
Non grasses
55
Total
100
200
© Dunod - Toute reproduction non autorisée est un délit.
Le pourcentage de matières non grasses du fromage est : 100 % – 45 % = 55 %.
Il faut multiplier par 2 pour passer de l’avant dernière à la dernière colonne.
Les matières non grasses d’un fromage de 200 g pèsent 55 × 2 = 110 g.
9.
Quand on baisse de 20 %, on passe de 100 à 80. Quand on passe de 80 à 100 on augmente de 20 par rapport à 80, mais 20 c’est un quart de 80, donc pour annuler une
baisse de 20 % il faut enchaîner avec une hausse de 25 %.
10.
La première baisse de 20 % fait passer de 100 à 80. La deuxième baisse, de 10 %, fait
passer de 80 à 80 – 8 = 72. Le bilan est un passage de 100 à 72 soit une baisse de 28 %.
Conclusion : baisser de 20 % puis baisser de 10 % revient à baisser d’un coup de 28 %.
11.
Réponse a.
On a 275 – 231 = 44 ;
12.
44
= 0,16 donc le pourcentage de remise est 16 %.
275
Réponse d.
On a 300 × 30 % = 90 ; 300 – 90 = 210 donc l’article est vendu 210 euros.
23
s
3 Pourcentages
13.
é
14.
Réponse c.
Pour avoir la majorité absolue, Y doit posséder plus de 50 % des parts de l’entre­prise. Y
doit donc acheter plus de 28 % des parts. L’État a 52 % des parts, donc il faut que Y ob28 e
des parts de l’État, ce qui fait plus de leur moitié ; cela donne environ
tienne plus des
52
53,8 %, on en prend 54 % pour avoir la majorité absolue, toutes les autres propositions
sont à rejeter car elles sont inférieures à 50 % des parts de l’État.
16.
Réponse c.
Soit x le nombre de rugbymen non footballeurs, il y a alors x rugbymen footballeurs qui
sont aussi les footballeurs rugbymen, et donc (2x) footballeurs non rugbymen. En tout
il y a (4x) sportifs, et la proportion des adeptes des deux sports en même temps est
x
1
=
= 25 %.
4x 4
17.
Réponse e.
Il n’y a que des poissons rouges : donc 100 % de rouges.
18.
La meilleure réponse est d.
Mais les valeurs proposées sont toutes possibles…
Soit x le prix initial d’une bouteille, après réduction de 8 % il devient 92 % de x, et le
nombre de bouteilles achetées par Juliette est 23 + 2 = 25.
Les 2 personnes paient le même prix : 23 x = 25(0,92 x) soit 23 x = 23 x.
Comme cette équation est vérifiée par tout nombre x, on ne peut connaître le prix initial.
19.
Réponse b.
40
De 160 à 200 il faut augmenter de 40 ce qui fait
 = un quart d’augmentation
160
ou 25 %.
20.
Réponse d.
Total d’heures de sommeil : 5 × 8 + 11,5 × 2 = 63 heures. En une semaine il y a :
R
I
G
15.
C
O
R
Réponse d.
100
Le prix soldé est 80 % du prix normal ; 180 × 
= 225 donc l’ancien prix était 225 euros.
80 
Réponse c.
Le pourcentage d’eau est 100 % – 11 % – 12 % – 11,5 % = 65,5 %.
L’eau pèse 200 × 65,5 % = 131 g.
24 × 7 = 168 heures. Le sommeil représente
24
63
= 0,375 ou 37,5 % du temps.
168
4
Selon les années et les régions, les concours privilégient soit le raisonnement
mathématique, soit la pratique du calcul. Il ne faut donc négliger ni l’un ni l’autre.
Il est de toute façon toujours utile de rafraîchir sa mémoire et de réapprendre
les règles de calcul qu’on nous a enseignées à l’école. Par ailleurs, dans certains
concours, on trouve des épreuves d’estimations mathématiques, des questions
où le candidat n’a pas le temps de faire des calculs complexes, mais où avec un
peu de bon sens, il doit faire une estimation et choisir la bonne réponse à un QCM.
Il faut donc s’entraîner à faire des estimations pertinentes.
Aptitude
numérique
Calculs, priorités
et estimations
Priorités
Calculs sans parenthèses
l
Dans un calcul sans parenthèses et formé uniquement d’additions et de soustractions,
les calculs s’effectuent de gauche à droite.
Exemple
39 – 5 + 6 = 34 + 6 = 40.
© Dunod - Toute reproduction non autorisée est un délit.
l
Dans un calcul sans parenthèses, la multiplication et la division sont effec­tuées en
priorité sur l’addition et la soustraction.
Exemples
4 + 7 × 3 = 4 + 21 = 25 ; 7 – 6 / 3 = 7 – 2 = 5.
Calculs avec parenthèses
Dans un calcul avec parenthèses, les calculs entre parenthèses sont effectués
en priorité.
Exemples
15 – (8 – 3) = 15 – 5 = 10 ;
(8 + 6 × 2) × (7 – 4 × 2) = (8 + 12) × (7 – 8) = (20) × ( 1) =  20.
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4 Calculs, priorités et estimations
Distributivité de la multiplication
par rapport à l’addition et à la soustraction
Quels que soient les nombres a, b, c :
l Les calculs : a × (b + c) et (a × b) + (a × c) donnent le même résultat :
a × (b + c) = (a × b) + (a × c)
Ce résultat se note également :
a (b + c) = a b + a c
l
Les calculs : a × (b - c) et (a × b) - (a × c) donnent le même résultat :
a × (b – c) = (a × b) – (a × c)
Ce résultat se note également :
a (b – c) = a b – a c
Exemples
• Pour calculer 62 × 99 « de tête », on peut penser à effectuer :
62 × 99 = 62 × (100 – 1) = 62 × 100 – 62 × 1 = 6 200 – 62 = 6 138.
• Pour calculer de tête 7 × 35 + 7 × 45, on peut penser à effectuer :
7 × 35 + 7 × 45 = 7 × (35 + 45) = 7 × 80 = 560.
Parenthèses emboîtées
S’il y a des parenthèses les unes dans les autres, on commence par les paren­thèses
les plus internes.
Exemple
Calculer le nombre N égal à (5 + (4 × (3 – 2))  6).
N = (5 + (4 × 1) – 6) = (5 + 4 – 6) = 9 – 6 = 3.
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