Un organisme de centres de vacances propose à ses clients deux

Correction TSTMG. Évaluation 2 - Chapitre : Probabilités
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E X 1 :(4 points) Un organisme de centres de vacances propose à ses clients deux types de destinations : en France ou à
l’étranger. Pour chaque destination, le client a le choix entre deux types d’hébergement : le camping ou l’hôtel.
L’organisme fait une analyse statistique de ses fiches clients et constate que 60 % de ses clients optent pour les centres à
l’étranger et parmi ceux-ci 80 % choisissent un hôtel.
En outre, 70 % des clients choisissant un centre en France, se rendent dans un camping.
On prélève une fiche client au hasard. Chaque fiche a la même probabilité d’être choisie.
On considère les évènements suivants :
E : « La fiche prélevée est celle d’un client ayant choisi un centre de vacances à l’étranger. »
H : « La fiche prélevée est celle d’un client ayant choisi un hôtel. »
³ ´
p E (H) = 0, 8 et p E H = 0, 7.
Les résultats numériques sont demandés sous forme décimale.
1.
2.
On a : p(E) = 0, 6
³ ´
a. Décrire par une phrase l’évènement E et donner sa probabilité P E .
³ ´
E est l’événement « rester en France » et p E = 1 − p(E) = 0, 4
³ ´
b. Déterminer la probabilité conditionnelle PE H .
³ ´
PE H = 1 − p E (H) = 1 − 0, 8 = 0, 2
a. Compléter l’arbre de probabilité ci-dessous.
0, 6
0, 8
H
0, 2
H
0, 3
H
0, 7
H
E
•
0, 4
E
b. Calculer la probabilité P(E ∩ H).
p(E ∩ H) = p E (H) × p(E) = 0, 8 × 0, 6 = 0, 48
c. Calculer la probabilité que la fiche prélevée soit celle d’un client ayant choisi un hôtel en France.
³
´
p E ∩ H = 0, 3 × 0, 4 = 0, 12
d. Montrer que la probabilité que la fiche prélevée soit celle d’un client ayant choisi un hôtel est de 0, 6.
³
´
D’après la formule des probabilités totales, p(H) = p(E ∩ H) + p E ∩ H = 0, 48 + 0, 12 = 0, 6
e. Les deux évènements E et H sont-ils indépendants ?
p(E ∩ H) = 0, 48 et
p(E) × p(H) = 0, 6 × 0, 6 = 0, 36 6= p(E ∩ H)
E et H ne sont donc pas indépendants.
3. Calculer la probabilité que la fiche prélevée soit celle d’un client ayant choisi un centre de vacances en France sachant
que ce dernier réside en hôtel.
³
´
³ ´ p E∩H
0, 12
=
= 0, 2
pH E =
p(H)
0, 6
E X 2 :(2 points) Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).
Pour chaque question, quatre réponses sont proposées parmi lesquelles une seule est correcte. Entourer la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Chaque bonne réponse rapporte 1/2 point. Aucun point n’est enlevé pour une absence de réponse ou pour une réponse
inexacte.
Correction TSTMG. Évaluation 2 - Chapitre : Probabilités
Le tableau ci-dessous donne les réussites de 3 lycées à un examen. On choisit au hasard un élève ayant passé l’examen parmi
les élèves de ces lycées et l’on suppose que chaque élève a la même probabilité d’être choisi.
On note :
• A l’évènement : « l’élève appartient au lycée A », • R l’évènement : « l’élève a réussi l’examen ».
Lycée A
Lycée B
Lycée C
Total
42
41
22
105
54
60
36
150
Nombre d’élèves ayant
réussi l’examen
Nombre total d’élèves
ayant passé l’examen
1. La probabilité de l’évènement A est :
a.
P(A) =
54
= 0, 36
150
b. P(A) =
1
3
c. P(A) =
42
54
d. P(A) =
42
105
2. La probabilité de l’évènement A ∩ R est égale à :
a. P(A ∩ R) = 0, 78
b.
P(A ∩ R) =
42
= 0, 28
150
c. P(A ∩ R) = 0, 4
d. P(A ∩ R) =
1
6
54
150
d. P(A ∪ R) =
159
150
3. La probabilité de l’évènement A ∪ R est égale à :
a. P(A ∪ R) =
42
54
b.
P(A ∪ R) =
p(A ∪ R) = p(A) + p(R) − p(A ∩ R) =
54
150
117
150
c. P(A ∪ R) =
42
+ 105
150 − 150 =
117
150
4. La probabilité PR (A) est égale :
a. PR (A) = 0, 78
42
= 0, 4
105
b. PR (A) = 0, 28
On peut aussi calculer
p(A ∩ R)
=
p(R)
c.
42
150
105
150
PR (A) = 0, 4
150
42
= 150
× 105 =
42
105
d. PR (A) = 0, 6
= 0, 4
E X 3 :(4 points) Une enquête est réalisée auprès des 1 500 élèves du lycée Bourbaki qui possèdent un téléphone portable
afin de connaître le type d’appareil et le type de forfait dont ils disposent. Il en ressort que :
210 élèves possèdent un smartphone et parmi eux 20 % ont un forfait bloqué. 375 élèves ont un forfait non bloqué.
1. Compléter le tableau suivant :
Nombre d’élèves ayant un
smartphone
Nombre d’élèves ayant un
autre téléphone
Total
Nombre d’élèves ayant un
forfait bloqué
210 × 0,2 = 42
1 125 − 42 = 1 083
1 500 − 375 = 1 125
Nombre d’élèves ayant un
forfait non bloqué
Total
210 − 42 = 168
375 − 168 = 207
375
210
1 500 − 210 = 1 290
1 500
On interroge au hasard un élève du lycée Bourbaki et on considère les évènements :
• S : « l’élève interrogé a un smartphone »
• B : « l’élève interrogé a un forfait bloqué »
2. Calculer la probabilité de l’évènement B et celle de l’évènement S.
Il y a 1 125 élèves ayant un forfait bloqué et 210 élèves ayant un smartphone.
p(B) =
1 125 3
= = 0,75
1 500 4
et
p(S) =
210
7
=
= 0,14
1 500 50
3. L’élève interrogé a un smartphone. Quelle est la probabilité qu’il ait un forfait non bloqué ?
p S (B) =
168
p(S ∩ B)
= 0, 8 ou p S (B) =
=
210
p(S)
168
1 500
210
1 500
=
168 4
= = 0,8
210 5
4. Décrire par une phrase l’évènement S ∪ B et calculer la probabilité de l’évènement S ∪ B.
L’événement S ∪ B est l’événement « l’élève interrogé a un smartphone ou a un forfait bloqué ».
p(S∩B) =
42
1 500
=
7
250
= 0,028 ⇒ p(S ∪ B) = p(S) + p(B) − p(S ∩ B) =
7 3
7
431
+ −
=
= 0,14 + 0,75 − 0,028 = 0,862
50 4 250 500