Corrigé

Terminale ES
INTERROGATION ECRITE
Probabilités conditionnelles + Loi binomiale
Eléments de CORRECTION
Exercice 1 :
7 points
Une revue professionnelle est proposée en deux versions : une édition papier et une édition électronique consultable
via internet. Il est possible de s’abonner à une seule des deux éditions ou de s’abonner à l’édition papier et à
l’édition électronique.
L’éditeur de la revue a chargé un centre d’appel de démarcher les personnes figurant sur une liste de lecteurs
potentiels.
On admet que lorsqu’un lecteur potentiel est contacté par un employé du centre d’appel, la probabilité qu’il
s’abonne à l’édition papier est égale à 0,2 ; s’il s’abonne à l’édition papier, la probabilité qu’il s’abonne aussi à
l’édition électronique est égale à 0,4 ; s’il ne s’abonne pas à l’édition papier, la probabilité qu’il s’abonne à
l’édition électronique est égale à 0,1.
Une personne figurant sur la liste de lecteurs potentiels est contactée par un employé du centre d’appel.
On note :
B
 A l’évènement « la personne s’abonne à l’édition papier »,
0,4
 B l’évènement « la personne s’abonne à l’édition électronique »,
A
0,2
 A l’évènement contraire de A, B l’évènement contraire de B.
B
1) a. compléter sur cette feuille l’arbre suivant :
b. Donner
0,6
A
0,8
 
la probabilité de B sachant A : p A B  0,6
B
0,1
0,9
B
 
la probabilité de B sachant A : p A B  0,9
2) Définir par une phrase l’événement A B . Calculer sa probabilité.
A B : « La personne choisie est un lecteur abonné à l’édition papier ET à l’édition électronique »
p A  B  p A p A B  0,2  0,4  0,08
3) Justifier que la probabilité de l’évènement B est égale à 0,16.
On utilise la formule des probabilités totales. A et A forment une partition de l’univers de l’expérience aléatoire.


Ainsi pB   p A  B   p A  B  0,08  0,8  0,1  0,16
4) On suppose que la personne contactée s’est abonnée à l’édition électronique. Quelle est alors la probabilité
qu’elle soit aussi abonnée à l’édition papier ?
On cherche la probabilité p B  A . D’après la définition, p B  A 
p A  B  0,08

 0,5
p B 
0,16
5) Avec les éléments précédents, construire l’arbre inversé au dos de cette feuille.
On a p B  A 
pA  B  0,2  0,6 12 1


 . On en déduit l’arbre inversé.
pB 
0,84
84 7
0,16
0,84
0,5
A
0,5
A
1
7
A
B
B
6
7
A
Exercice 2 :
/5
Un QCM (questionnaire à choix multiples) comporte 8 questions indépendantes et, pour chaque question,
quatre réponses sont proposées dont une seule est exacte. (On arrondira les résultats à 10-4)
Un élève répond au hasard à ce QCM.
1) A chacune des questions, quelle est la probabilité de cocher la bonne réponse ?
Il y a quatre propositions et une seule bonne réponse. Donc p  1
4
2) On nomme X la variable aléatoire comptant le nombre de réponses exactes obtenues par cet élève.
a) Donner le nom de la loi de probabilité suivie par X et ses paramètres.
La loi suivie par X est une loi binomiale de paramètre n=8 et p  1
4
o En effet, chaque question est une épreuve de Bernouilli.
o Il y a deux issues possibles à chaque fois
 Le « succès » correspondant à une bonne réponse p  1
4
 L’ « échec » correspondant à une mauvaise réponse.
o Il y a une succession de 8 épreuves de bernouilli identiques et indépendantes.
o X compte le nombre de succès.
b) Calculer l’espérance mathématique. Qu’est ce que cela signifie par rapport à ce QCM ?
1
EX   n  p  8   2
4
Ce résultat veut dire, qu’en moyenne, si on répond au hasard aux questions, on peut espérer obtenir
2 bonnes réponses.
c) Calculer la probabilité que cet élève obtienne exactement deux réponses exactes.
On cherche p X  2
8
p X  2   0,252  0,756  0,3115 à 10-4 près
 2
d) Calculer la probabilité que cet élève obtienne au moins sept réponses exactes.
On cherche p X  7
p X  7  p X  7  p X  8  0,00037  0,00002  0,0004 à 10-4 près