Théorie de la fiabilité - Application à l`évaluation structurale des

Transcription

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Rapport d’études
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Introduction .......................................................5
PARTIE 1 MÉTHODOLOGIE..............................7
Chapitre I L’évaluation structurale des
ouvrages d’art ...................................................9
Chapitre II Introduction à la théorie de la
fiabilité .............................................................15
Chapitre III Méthodologie de l’étude..............21
Chapitre IV Outils et références.....................31
PARTIE 2 EXEMPLES D’APPLICATION.........37
Chapitre I Pont à poutres des Bouillères ......43
Chapitre II PICF de Challuy ............................63
Chapitre III VIPP de Merlebach.......................79
Chapitre IV Solution caisson BP du pont sur
la rivière Saint Étienne....................................99
La gestion du patrimoine d’ouvrages d’art représente un
enjeu majeur pour les maîtres d’ouvrage. Elle pose la
question du développement de l’ingénierie de l’existant.
La théorie de la fiabilité propose une évaluation des
structures basée sur la théorie des probabilités. Elle est
utilisée dans l’aéronautique, l’industrie offshore,
l’industrie nucléaire et, plus récemment, dans le
domaine du bâtiment et des ouvrages d’art.
L’objectif de cette étude est de mettre en application la
théorie de la fiabilité pour :
• préciser la démarche pour évaluer les ouvrages d’art
neufs ou existants par approche probabiliste ;
• établir des grilles de coefficients partiels de sécurité
pour l’évaluation des ouvrages existants.
Ce rapport se décompose en deux parties :
Conclusions et perspectives........................115
• une 1e partie présentant la démarche ;
Annexes .........................................................125
• une 2e partie illustrant cette démarche sur quatre cas
d’étude d’ouvrages d’art.
Page laissée blanche intentionnellement
Théorie de la fiabilité
Application à l'évaluation structurale des ouvrages d'art
Collection les rapports
Document édité par le Sétra dans la collection « les rapports ».
Cette collection regroupe les rapports d'études, de recherche,
d'expérimentation, les synthèses de connaissances.
Théorie de la fiabilité – Rapport d’études
Ce rapport présente les résultats de l’étude sur les « Méthodes
avancées d’évaluation structurale », réalisée au sein du Réseau
Scientifique et Technique du Ministère de l’Écologie, du
Développement durable, du Transport et du Logement.
Cette étude a été menée par un groupe de travail composé de :
• Arnold Ballière, CETE de Lyon ;
• Yacine Ben Milad , DRIEA (ex- Sétra) ;
• Anne-Sophie Colas, Sétra ;
• Christian Cremona, Sétra ;
• Denis Davi, CETE Méditerranée ;
• Jean-Bernard Humeau, CETE de l’Ouest ;
• Claude Le Quéré, EGIS (ex- Sétra) ;
• Claire Marcotte, CETE Nord-Picardie ;
• Jérôme Michel, Sétra ;
• André Orcesi, IFSTTAR ;
• Benoît Poulin, CETE de l’Ouest ;
• Bruno Vion, CETE Méditerranée.
Le rapport a bénéficié des relectures attentives de :
• Jacques Berthellemy, Sétra ;
• Jean-Michel Lacombe, Sétra.
Collection « Les rapports » – Sétra
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Introduction
Contexte
L’étude sur l’application de la théorie de la fiabilité à l’évaluation des ouvrages d’art a été lancée en 2009. Elle
répond au besoin de développer les connaissances en matière d’ingénierie de l’existant. Elle s’inscrit dans le
programme d’actions scientifiques et techniques du Sétra (sujet 41-03-02) :
• Orientation scientifique et technique : 4 – Agir sur les infrastructures et les systèmes pour améliorer la
sécurité des déplacements
• Projet : 1 – Analyser et maîtriser les risques sur ouvrages d’art
• Action : 3 – Maîtriser les risques d’insuffisance de capacité portante
• Sujet : 2 – Méthodes avancées d’évaluation structurale des ouvrages
Action « Maîtriser les risques d’insuffisance de capacité portante »
L’action « Maîtriser les risques d’insuffisance de capacité portante » répond à une forte attente des maîtres
d’ouvrage, confrontés à un patrimoine vieillissant et à un corpus technique français encore peu développé sur le
sujet. L’optimisation des méthodes d’évaluation des ouvrages existants constitue donc un enjeu important pour :
• la sécurité des déplacements, afin d’assurer aux usagers un haut niveau de sécurité ;
• le développement durable, afin de limiter les impacts écologiques liés à des interventions non justifiées sur
les ouvrages ;
• l’économie, afin de gérer les dépenses par l’optimisation des interventions ;
• le plan juridique, afin de proposer un cadre permettant d’assurer la responsabilité des intervenants lors des
évaluations d’ouvrages existants.
Compte tenu du vieillissement du patrimoine, de l’évolution de l’agressivité du trafic, du développement des
transports exceptionnels et de l’évolution de la réglementation applicable aux ouvrages neufs – le champ
d’application des Eurocodes ne couvrant pas les ouvrages existants, la mise au point d’un corpus technique
permettant d’évaluer précisément les ouvrages existants est un enjeu important pour les années à venir.
C’est pourquoi le CTOA renforce son implication dans l’ingénierie des ouvrages existants notamment en
pilotant une action majeure pour l’établissement de recommandations, proposant plusieurs niveaux de
sophistication, pour l’évaluation des ouvrages. L’objectif de cette action est de mettre au point le corpus
technique de l’évaluation des ouvrages existants.
Sujet « Méthodes avancées d’évaluation structurale des ouvrages »
Le sujet « Méthodes avancées d’évaluation structurale des ouvrages » vise à développer la mise en application
des méthodes probabilistes pour l’évaluation des ouvrages d’art ainsi que l’adaptation des coefficients partiels
de sécurité, pour aider à l’évaluation courante des ouvrages existants par méthode semi-probabiliste. Il est ainsi
mené en lien avec le sujet 1 « Méthodes courantes d’évaluation structurale des ouvrages » [11].
Cette étude est menée par un groupe de travail associant les CETE et le CTOA, avec l’appui de l’IFSTTAR. La
théorie de la fiabilité a ainsi été mise en pratique par chaque CETE sur un ouvrage réel ou fictif pour :
• préciser la méthodologie d’application de la théorie de la fiabilité à l’évaluation des ouvrages neufs ou
existants sur un exemple concret ;
• établir des grilles de coefficients partiels permettant de réévaluer la performance des ouvrages existants au
moyen d’une méthode semi-probabiliste.
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Présentation du rapport
Ce rapport présente la méthodologie développée par le groupe de travail pour mettre en application la théorie de
la fiabilité à l’évaluation des ouvrages d’art ainsi que les exemples de calculs sur ouvrage réel ou fictif.
Il ne traite pas :
• des phases antérieures (surveillance, entretien, inspection, diagnostic) ou postérieures (réparations,
renforcements) à l’évaluation qui font l’objet d’autres études dans le programme d’action du Sétra ;
• des méthodes d’évaluation dites courantes qui font l’objet du sujet 1 « Méthodes courantes d’évaluation
structurale des ouvrages » [11] de cette action.
Ce rapport ne fournit pas de grilles de coefficients partiels actualisés directement utilisables pour l’évaluation
d’un ouvrage existant : ici seule la méthodologie de calcul de ces coefficients est présentée, l’établissement de
grilles fera l’objet de la prochaine étude sur ce sujet.
Le rapport se décompose en deux parties.
La Partie 1 décrit la démarche adoptée au cours de cette étude :
• le Chapitre I présente le contexte et les enjeux de l’étude ;
• le Chapitre II expose les principes de la théorie de la fiabilité ;
• le Chapitre III développe la méthodologie pour appliquer les principes de la fiabilité à l’évaluation des
ouvrages d’art ;
• le Chapitre IV recense la bibliographie et les outils utilisés dans l’étude.
La Partie 2 regroupe les exemples développés par les CETE sur quatre ouvrages d’art réels ou fictifs :
• le pont à poutres en béton armé des Bouillères (CETE de l’Ouest) ;
• le pont-cadre PICF en béton armé de Challuy (CETE de Lyon) ;
• le VIPP de Merlebach (CETE Nord-Picardie) ;
• la solution caisson en béton précontraint du pont sur la rivière Saint-Étienne (CETE Méditerranée).
Elle permet d’illustrer les principes exposés en Partie 1 sur des exemples concrets.
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PARTIE 1
MÉTHODOLOGIE
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Chapitre I
L’évaluation structurale des ouvrages
d’art
L’évaluation de la performance d’une structure est en enjeu important qui se pose dès la construction de cette
structure et reste présent tout au long de sa vie.
On se propose dans ce premier chapitre de présenter le contexte et les enjeux de l’étude. On définira ainsi les
notions de performance structurale, puis on présentera les méthodes d’évaluation de cette performance ainsi que
les objectifs attendus.
1 - Notions de performance structurale
On appelle performance structurale la capacité de la structure à remplir les exigences pour lesquelles elle est
conçue et exploitée. On répartit ces exigences de performance en trois catégories :
• la sécurité structurale, qui assure la résistance de la structure aux actions prévues en situation normale ainsi
que sa robustesse en situation exceptionnelle ;
• l’aptitude au service, qui assure le maintien de l’exploitation de la structure ;
• la durabilité, qui décrit l’aptitude de la structure à demeurer en état d’accomplir ses performances de sécurité
structurale et d’aptitude au service dans des conditions données d’utilisation et de maintenance sur une durée
de service définie.
La mesure de la performance structurale vise à quantifier l’écart entre les modes de fonctionnement acceptables
de la structure et les modes de fonctionnement à éviter, en fonction des caractéristiques de résistance de la
structure et des actions susceptibles de conduire à sa ruine.
2 - Méthodes d’évaluation de la performance
2.1 - Approche déterministe
Jusqu’au XIXe siècle, les règles de construction reposaient sur l’empirisme et l’expérience. Le principe de
sécurité adopté était celui dit des contraintes admissibles.
Le principe des contraintes admissibles consiste à s’assurer que la contrainte maximale σ, calculée en une
section donnée sous une combinaison d’actions défavorables, reste inférieure à une contrainte dite admissible
σadm. La valeur de la contrainte admissible est déterminée par le rapport de la contrainte de ruine σrupt du
matériau sur un coefficient de sécurité K fixé de manière conventionnelle :
σ ≤ σ adm =
σ rupt
K
Ce principe présente l’avantage d’être facile à mettre en œuvre mais il reste insuffisant. En effet, il ne permet
pas de prendre en compte la dispersion de chacun des paramètres intervenant dans le calcul puisqu’un même
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coefficient leur est affecté, ce qui peut conduire à des sur-dimensionnements. D’autre part, la vérification en
contraintes n’est pas le seul critère intervenant dans l’évaluation de la sécurité d’une construction.
L’approche déterministe a été adoptée dans les règlements français antérieurs à 1970.
2.2 - Approche semi-probabiliste
On appelle approche semi-probabiliste la méthode reposant sur les notions d’état limite et de coefficients
partiels de sécurité. C’est cette méthode que l’on retrouve dans de nombreux règlements, notamment les
Eurocodes.
Le mode de fonctionnement de la structure est décrit par un état limite liant résistance des matériaux et
sollicitations imposées à la structure, sous la forme :
R>S
On distingue deux types d’état limite :
• état limite ultime, pour un mode de fonctionnement extrême de la structure ;
• état limite de service, si la structure est inapte au service mais réparable.
On évalue la dispersion de certains paramètres à partir d’études statistiques que l’on intègre sous forme de
valeur caractéristique. On retient généralement comme valeur caractéristique un fractile de la distribution de
l’échantillon mesuré, c’est-à-dire une valeur telle qu’une part donnée de l’échantillon soit supérieure à cette
valeur (Figure 1). Lorsque la dispersion peut être négligée, les valeurs caractéristiques peuvent être évaluées de
manière déterministe.
Figure 1 : Valeur caractéristique Rk définie comme le fractile à 95% de la distribution (Rk a 95% de chance d’être dépassée).
Les incertitudes qui ne sont pas prises en compte sont intégrées dans des coefficients partiels de sécurité qui
minorent les valeurs caractéristiques des résistances Rk et majorent celles des sollicitations Sk en introduisant des
valeurs de calcul Rd et Sd :
Rd =
Rk
γR
et
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Sd = γS S k
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L’approche semi-probabiliste consiste alors à s’assurer que ces valeurs de calcul Rd et Sd respectent la marge de
sécurité définie par l’état limite :
Rk
= Rd ≥ Sd = γS S k
γR
La méthode des coefficients partiels est qualifiée de semi-probabiliste car elle combine, au sein d’un même état
limite, des valeurs estimées statistiquement et des valeurs déterministes, tout en adoptant un formalisme
déterministe. Cette approche offre un bon compromis entre facilité de mise en œuvre et informations sur la
dispersion des données. Néanmoins, les coefficients partiels, établis pour couvrir une large gamme
d’incertitudes, peuvent s’avérer peu représentatifs pour certaines structures particulières ou endommagées.
La démarche semi-probabiliste a été introduite dans les règlements français par les Directives Communes au
Calcul des Constructions (Circulaire n°71-145 du 13 décembre 1971 puis Circulaire n°79-25 du 13 mars 1979);
elle a été reprise dans les règles de calcul BAEL et BPEL puis dans les Eurocodes.
2.3 - Approche probabiliste
On appelle approche probabiliste la méthode qui s’appuie sur la théorie de la fiabilité pour évaluer la
probabilité de défaillance ou l’indice de fiabilité de la structure.
Le mode de fonctionnement de la structure est, comme pour l’approche semi-probabiliste, décrit par un état
limite mais les incertitudes liées aux paramètres d’entrée sont introduites sous forme de loi de probabilité
affectée à chaque variable. Ces lois de probabilité sont établies à partir d’études statistiques sur les paramètres
concernés.
L’approche probabiliste consiste alors à calculer la probabilité de dépassement du critère d’état limite, appelée
probabilité de défaillance Pf, que l’on compare à une probabilité de défaillance acceptable Pf 0 :
Pf = P( R < S ) ≤ Pf 0
L’approche probabiliste est séduisante puisqu’elle permet de prendre en compte un très large spectre
d’incertitudes. Cependant, elle est limitée par le manque d’études statistiques concernant les différentes
variables d’entrée et la complexité des calculs de probabilité. De plus, les différentes variables d’entrée
présentent souvent des corrélations difficiles à détecter et pouvant varier dans de fortes proportions d’un
ouvrage à un autre ; le traitement de ces corrélations nécessiterait des calculs complexes et surtout la collecte
d’une volumineuse quantité de données pour chaque ouvrage traité. Par ailleurs, l’approche probabiliste
nécessite la définition d’une probabilité de défaillance acceptable qui est une notion difficile à apprécier et donc
à quantifier.
On présente dans le Tableau 1 un comparatif des trois approches introduites précédemment détaillant la nature
des paramètres, des incertitudes et du calcul dans chacun des cas.
Déterministe
Semi-probabiliste
Probabiliste
Paramètres
Déterministe
Fractile
Variable aléatoire
Incertitudes
Coefficient global
Coefficients partiels
Lois de probabilité
Calcul
Déterministe
Déterministe
Probabiliste
Tableau 1 : Comparatif des différentes approches d'évaluation de la performance des structures.
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3 - Principes de l’évaluation de la performance des
ouvrages d’art
3.1 - Performance des ouvrages neufs
L’évaluation de la performance des ouvrages neufs est motivée par leur dimensionnement en vue de leur
construction. La démarche consiste à évaluer les charges que doit supporter l’ouvrage pour remplir sa
fonction et à choisir les matériaux et la géométrie de la structure permettant de supporter ces charges selon des
critères de fonctionnement de l’ouvrage prédéfinis.
La performance de l’ouvrage à sa conception est régie par un règlement, qui fixe les matériaux et les charges à
envisager ainsi que les critères de fonctionnement acceptables. Le formalisme semi-probabiliste est bien adapté
à la conception des ouvrages d’art car il permet d’établir des règlements faciles à mettre en œuvre. De plus, il
couvre une large gamme d’incertitudes et permet donc d’intégrer les écarts entre les grandeurs prévues et celles
réellement mises en œuvre ainsi que l’évolution des différents paramètres au cours de la vie de l’ouvrage. Par
ailleurs, les coûts induits par les marges introduites par le règlement restent assez faibles devant le coût total de
l’ouvrage neuf.
3.2 - Performance des ouvrages existants
L’évaluation de la performance des ouvrages existants peut intervenir au cours de la vie de l’ouvrage pour
diverses raisons :
• modifier les conditions d’exploitation de l’ouvrage ;
• prévenir les risques liés à l’évolution de l’environnement ou de la réglementation ;
• diagnostiquer des pathologies observées sur l’ouvrage.
L’approche de l’évaluation des ouvrages existants est différente de celle adoptée pour les ouvrages neufs. Les
règlements, conçus pour dimensionner les ouvrages neufs, ne s’avèrent pas toujours adaptés pour l’évaluation
des ouvrages existants et les marges de sécurité peuvent dépasser celles qu’il est raisonnable d’attendre d’un
ouvrage existant. En effet, le règlement en vigueur peut fixer des marges plus sévères ou imposer des
caractéristiques de matériaux et de charges plus strictes que celles prises à la conception de l’ouvrage. De plus,
le règlement ne permet pas de tenir compte du fait que l’ouvrage soit construit, et notamment de la possibilité de
mesurer certains paramètres par une auscultation ou une instrumentation de l’ouvrage. Par ailleurs, si on peut
intégrer une nouvelle valeur de paramètre dans l’évaluation, il est difficile de tenir compte de la précision de
cette mesure.
Il est donc nécessaire de développer une méthodologie d’évaluation spécifique aux ouvrages existants.
L’évaluation de l’ouvrage passe, dans un premier temps, par une collecte d’informations sur
l’ouvrage (documentations existantes, investigations sur site…). Ensuite, différents niveaux de calculs de
complexité croissante peuvent être envisagés selon les besoins. Le règlement britannique BA 79 [2] classe les
méthodes de calcul en 5 niveaux selon leur degré de sophistication et les nécessités liées au fonctionnement de
l’ouvrage (Figure 2) ; ce modèle à 5 niveaux a été repris dans le projet européen BRIME [4] :
• Niveau 1 : application directe du règlement en vigueur pour les ouvrages neufs sur un modèle simple.
• Niveau 2 : application directe du règlement en vigueur pour les ouvrages neufs sur un modèle complexe.
• Niveau 3 : application du règlement en vigueur pour les ouvrage sneufs avec prise en compte d’une
meilleure connaissance des résistances et des charges (résultats de l’inspection, réserve de capacité
portante…).
• Niveau 4 : modulation des coefficients partiels de sécurité du règlement en fonction du type d’ouvrage, du
régime d’entretien et de maintenance, des résultats de l’inspection.
• Niveau 5 : évaluation probabiliste de l’ouvrage.
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Les niveaux 1 à 3 ne sont pas traités dans cette étude ; ils font l’objet de l’étude portant sur les « Méthodes
courantes d’évaluation structurale » [11]. Une première approche du niveau 4 y est également présentée. La
présente étude vise à développer les outils méthodologiques nécessaires pour compléter le niveau 4 et mettre en
application le niveau 5 de l’évaluation structurale.
Lors d’une évaluation, on commence par le niveau le moins complexe et on passe au niveau supérieur si la
performance de l’ouvrage n’est pas assurée et si la vérification n’est pas trop coûteuse vis-à-vis de l’objectif visé
pour l’ouvrage.
La procédure d’évaluation de l’ouvrage existant conduit à une prise de décision :
• pas d’intervention ;
• surveillance plus ou moins avancée ;
• restriction de trafic ;
• renforcement/réparation ;
• remplacement.
Figure 2 : Mode opératoire de l’évaluation des ouvrages existants selon le règlement britannique BA 79 tiré de Cremona, 2005 [7].
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Chapitre II
Introduction à la théorie de la
fiabilité
La théorie de la fiabilité repose sur une approche probabiliste de la sécurité structurale. Elle vise à évaluer la
probabilité de défaillance de la structure : connaissant un critère d’état limite de la structure ainsi que la
variabilité des paramètres qui interviennent dans ce critère, la probabilité de défaillance est définie comme la
probabilité que ce critère soit dépassé. La structure est finalement considérée comme sûre si cette probabilité de
défaillance est inférieure à une valeur référence appelée probabilité de défaillance acceptable.
Ce chapitre présente les principes qui sous-tendent cette théorie ainsi que ses possibilités d’application à
l’évaluation de la sécurité des structures. Les notions introduites dans ce chapitre sont détaillées dans l’Annexe
1, plus d’informations pouvant être trouvées dans Cremona, 2005 [7].
1 - Principes de la théorie de la fiabilité
1.1 - Mode de défaillance et fonction d’état limite
L’évaluation de la sécurité structurale commence par la définition du mode de défaillance que l’on veut étudier,
c’est-à-dire la localisation de l’élément de structure concerné, les propriétés mécaniques des matériaux, les
sollicitations soumises ainsi que le modèle liant résistance et sollicitations. Notons que le niveau de fiabilité
obtenu dépendra donc du mode de défaillance choisi.
Le mode de défaillance permet ainsi de définir la marge de sécurité ou fonction d’état limite à respecter. Cette
fonction d’état limite, notée g, fait intervenir différents paramètres géométriques ou physiques du système
étudié.
Notons :
• R la résistance du matériau constitutif de la structure ;
• S les sollicitations imposées à la structure.
On peut écrire la marge de sécurité M et la fonction d’état limite g sous la forme générale :
M = g ( R, S )
En se plaçant dans l’espace physique, espace formé par R et S, on remarque que la fonction d’état limite permet
de diviser l’espace physique en 3 domaines (Figure 3) :
• g (R, S) < 0 : domaine de défaillance ;
• g (R, S) = 0 : état limite ;
• g (R, S) > 0 : domaine de sécurité.
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Figure 3:Domaine de défaillance, état limite et domaine de sécurité.
1.2 - Variables aléatoires et lois de probabilité
Dans le cadre de la théorie de la fiabilité, les paramètres intervenant dans la fonction d’état limite peuvent être
définis comme aléatoires pour tenir compte des incertitudes qui planent sur leur valeur. On les appelle alors
variables aléatoires et on leur affecte une loi de probabilité qui décrit leur variabilité (Figure 4) . On caractérise
généralement les lois de probabilité par leur valeur moyenne μ et leur écart-type σ ou leur coefficient de
variation CdV, défini comme le rapport de l’écart-type sur la moyenne.
Dans l’évaluation des structures par la théorie de la fiabilité, on utilise couramment :
• la loi normale : elle apparaît naturellement dans les phénomènes aléatoires dont la base physique est de
nature microscopique mais observée à l’échelle macroscopique. En d’autres termes, la distribution
gaussienne est la loi de toute variable dont les valeurs résultent de la contribution d’une multitude de facteurs
indépendants. Elle traduit généralement bien les erreurs de précision d’implantation et les grandeurs
géométriques. La loi normale est enfin souvent adoptée comme approximation d’autres lois ;
• la loi lognormale : elle apparaît dans les phénomènes issus du produit d’une multitude de facteurs. Elle est
très utilisée dans la modélisation de données hydrologiques, mais également dans la construction de modèle
liant l’amplitude des séismes avec leurs intervalles d’occurrence. Elle est parfois utilisée par défaut, pour
représenter les caractéristiques physiques des matériaux et certaines sollicitations permanentes ne changeant
pas de signe ;
• les lois de valeurs extrêmes : la modélisation des variables dans une analyse de la fiabilité nécessite souvent
de considérer des valeurs extrêmes (par exemple, la plus grande charge qu’une structure aura à subir pendant
une période donnée ou la résistance la plus petite dans un matériau fibré). Il est possible d’établir que seules
six lois d’extrêmes existent, trois pour les maxima et trois pour les minima, appelées lois de Gumbel, lois de
Fréchet et lois de Weibull.
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Figure 4 : Distribution d’une variable aléatoire Z suivant une loi normale (à gauche) et lognormale (à droite).
Notons que toutes les variables intervenant dans la fonction limite ne sont pas nécessairement aléatoires,
certaines pouvant être définies comme déterministes.
1.3 - Probabilité de défaillance et indice de fiabilité
La théorie de la fiabilité permet donc, à partir d’une fonction d’état limite et des lois de probabilité associées à
ces variables aléatoires, de connaître la probabilité Pf de se trouver dans le domaine de défaillance :
Pf = P ( g ( R, S ) < 0 ) = P ( R − S < 0)
L’ordre de grandeur de la probabilité de défaillance étant très faible, on traduit généralement cette valeur en
terme d’indice de fiabilité β, que l’on calcule à partir de la probabilité de défaillance selon :
β = −Φ −1 ( Pf
)
où Φ représente la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite.
On représente en Figure 5 la relation entre la probabilité de défaillance Pf et l’indice de fiabilité β.
Figure 5 : Courbe de la probabilité de défaillance Pf en fonction de l’indice de fiabilité β.
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On peut donner une interprétation géométrique de l’indice de fiabilité β en se plaçant dans un espace normalisé
correspondant à l’espace physique, c’est-à-dire en considérant que les variables aléatoires suivent une loi
normale de moyenne nulle et d’écart-type unitaire 1. On peut alors représenter géométriquement l’indice de
fiabilité β comme la distance entre l’origine O de l’espace normalisé et la courbe d’état limite. Le point de l’état
r
limite ainsi identifié est appelé point de fonctionnement Z (Figure 6). On note α le vecteur unitaire portant
(ZO) :
uuur
r ⎛ βα ⎞
ZO = β α = ⎜ R ⎟
⎝ βαS ⎠
r
Les composantes αR et αS de α sont appelées cosinus directeurs : elles donnent le poids relatif de chacune des
variables sur l’indice de fiabilité β. On peut également mesurer la sensibilité de cet indice aux variations de la
moyenne μ (respectivement de l’écart-type σ) de R ou de S en étudiant leur coefficient de sensibilité Sm
(respectivement Ss) :
Sm =
μ ∂β
β ∂μ
et
Ss =
σ ∂β
β ∂σ
Figure 6 : Représentation géométrique de l’indice de fiabilité β, du point de fonctionnement Z0 et des cosinus directeurs α.
1.4 - Méthodes de calcul
En pratique, on recourt à des méthodes d’estimation pour calculer l’indice de fiabilité β. On distingue deux
types de méthode (Figure 7) :
• Méthodes de niveau II : on représente la fonction d’état limite g par une surface approchante :
– un hyperplan dans le cas de la méthode FORM (First Order Reliability Method) ;
– une hyperparaboloïde dans le cas de la méthode SORM (Second Order Reliability Method).
1
Notons que si les variables aléatoires suivent une loi quelconque, il existe des transformations dites iso-probabilistes
permettant de les ramener à des variables normales, centrées et réduites.
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L’indice de fiabilité β est alors donné par la distance entre l’origine O de l’espace normalisé et cette surface ;
on en déduit la probabilité de défaillance Pf = Φ (– β ).
• Méthodes de niveau III : on procède à un tirage aléatoire des couples de valeurs des variables aléatoires R et
S et on vérifie pour chaque couple s’il y a défaillance ou non ; la probabilité de défaillance Pf est définie
comme le rapport entre le nombre de tirages ayant conduit à la défaillance et le nombre total de tirages. Ce
type de méthode requiert un grand nombre de tirages pour obtenir des résultats fiables et peut donc se révéler
très coûteuse en terme de temps de calcul.
Figure 7 : Méthodes d'estimation de la probabilité de défaillance Pf :
méthodes de niveau II (à gauche) et méthodes de niveau III (à droite).
2 - Applications de la théorie de la fiabilité
2.1 - Application directe à l’évaluation de la structure
La théorie de la fiabilité permet donc de connaître l’indice de fiabilité (ou la probabilité de défaillance) d’une
structure. Dans le cadre d’une application directe de cette théorie à l’évaluation de la sécurité de la structure, il
convient de se fixer une valeur référence de cet indice de fiabilité, traduisant un niveau de sécurité que l’on juge
acceptable : on appelle cette valeur l’indice de fiabilité cible β0. La structure sera alors jugée sure, vis-à-vis d’un
mode de défaillance donné, si elle vérifie :
β ≥ β0
La valeur de l’indice de fiabilité cible est difficile à appréhender puisqu’elle traduit le niveau de sécurité que
l’on veut se fixer et qu’elle dépend ainsi, entre autres, de la durée de vie de l’ouvrage, des conséquences
engendrées par sa ruine ou des critères économiques liés à son entretien et son remplacement.
2.2 - Application
probabiliste
au
développement
d’une
approche
semi-
La théorie de la fiabilité permet également de développer une approche semi-probabiliste de la sécurité des
constructions. En effet, nous avons vu que l’indice de fiabilité β de la structure était fonction des variables
aléatoires et plus particulièrement de leur moyenne μ et de leur écart-type σ. La vérification de la relation cidessus peut donc se transformer de sorte que :
β = f ( μR , σ R , μS , σS ) ≥ β0
⇔
Rd ( μR , σ R , β0 ) ≥ Sd ( μS , σS , β0 )
où Rd et Sd sont les valeurs de calcul respectives de la résistance R et de la sollicitation S.
On peut alors définir les coefficients partiels comme le rapport entre les valeurs représentatives Rk et Sk fournies
au projeteur et les valeurs de calcul Rd et Sd :
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γR =
Rk
Rd
et
γS =
Sd
Sk
La théorie de la fiabilité est ainsi à la base des normes Eurocodes traduits sous forme semi-probabiliste.
La théorie de la fiabilité permet de développer une approche probabiliste de la sécurité des constructions,
permettant ainsi la prise en compte d’un large spectre d’incertitudes sur les différents paramètres du système
étudié.
Cette approche présente néanmoins des difficultés d’application. En effet, elle repose sur la connaissance des
lois de probabilité associées aux variables d’entrée : or, il s’avère souvent difficile d’obtenir des données
statistiques suffisantes. D’autre part, lorsque l’état limite considéré est complexe, les calculs de fiabilité peuvent
rapidement devenir insurmontables. Enfin, son application à l’évaluation de la sécurité d’une structure passe par
la définition d’un indice de fiabilité cible auquel comparer l’indice de fiabilité obtenu pour la structure.
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Chapitre III
Méthodologie de l’étude
L’objectif de cette étude est de mettre en application la théorie de la fiabilité pour évaluer la performance des
ouvrages neufs ou existants.
On s’attachera dans un premier temps à définir l’indice de fiabilité cible β0 représentant le niveau de sécurité
requis. À partir de cet indice de fiabilité cible, la théorie de la fiabilité va permettre :
• d’évaluer les ouvrages neufs ou existants par approche probabiliste ;
• d’actualiser les coefficients partiels de l’approche semi-probabiliste pour l’évaluation des ouvrages existants.
1 - Détermination de l’indice de fiabilité cible β0
1.1 - Définition de l’indice de fiabilité cible
Nous avons vu que la définition de l’indice de fiabilité cible était une question complexe. Une approche
classique consiste à calibrer cet indice de fiabilité cible sur les règlements en vigueur. Cette approche est
pertinente si on considère le règlement comme optimal, c’est-à-dire offrant un bon compromis entre économie et
sécurité. Il faut toutefois garder à l’esprit que cet indice dépend du type d’état limite considéré, des
conséquences de la défaillance et de la période de référence considérée.
L’EN 1990 définit trois classes de conséquences de défaillance, CC1 (faibles) à CC3 (élevées), afin de
différencier les niveaux de fiabilité requis. À ces classes de conséquences sont associées des classes de fiabilité
RC1 à RC3. C’est la classe CC2 (conséquences moyennes) qui est recommandée pour les ouvrages d’art : la
classe de fiabilité associée RC2 prescrit l’application des coefficients partiels prévus dans les Eurocodes sans
modification. Des valeurs d’indice de fiabilité cible sont ainsi prescrites dans l’annexe C.6 de l’EN 1990 selon
le type d’état limite considéré, pour une période de référence de 1 an et 50 ans (Tableau 2). On peut en déduire
les indices à 100 ans, durée de projet prescrite pour les ouvrages d’art, à partir de la formule :
Φ ( βn ) = ⎡⎣Φ ( β1 ) ⎤⎦
n
Ces indices cibles devant être valides pour une large gamme d’ouvrages, ils peuvent s’avérer très sécuritaires
pour certains d’entre eux.
État limite
Période de référence
1 an
50 ans
100 ans
Ultime
4,7
3,8
3,7
Service
2,9
1,5
1,0
Tableau 2 : Indices de fiabilité cibles β0 en fonction de l’état limite et de la période de référence pour une classe de fiabilité RC2
(valeurs données dans le tableau C.2 de l’annexe C de l’EN 1990 à 1 an et 50 ans et calculées à partir de la formule C.3 à 100 ans).
Dans les calculs menés dans ce rapport, l’indice de fiabilité cible considéré n’est pas pris égal à l’indice cible de
l’EN 1990 (Tableau 2). Ce choix résulte d’une part du fait que les sollicitations dues aux charges de trafic sont
– 21 –
février 2012
conservées déterministes et égales aux sollicitations de l’EN 1991-2. Aussi, cette variabilité n’étant pas prise en
compte, l’indice cible calculé diffèrera de l’indice cible de l’EN 1990. D’autre part, l’EN 1990 fixe les indices
cibles associés à des probabilités de défaillance sociétales acceptables. Ils sont souvent peu représentatifs des
pratiques de conception qui ont tendance à conduire à des indices de fiabilité plus élevés. Il faut donc les voir
comme des valeurs « plancher ».
Dans un souci de cohérence avec les pratiques de dimensionnement, un indice de fiabilité cible a été recalculé
pour chaque ouvrage sur la base d’un dimensionnement strict aux états limites. La performance de l’ouvrage est
évaluée en comparant son indice de fiabilité réel à cet indice cible.
Un indice cible sera calculé pour chaque état limite (service et ultime) et pour une période de référence de 100
ans, durée de projet prescrite pour les ouvrages d’art neufs dans les Eurocodes.
1.2 - Calcul de l’indice de fiabilité cible
L’indice de fiabilité cible d’un ouvrage est donc défini comme l’indice de fiabilité de cet ouvrage strictement
dimensionné aux Eurocodes. L’indice dépendant du type d’état limite considéré, deux indices de fiabilité cibles
seront calculés pour chaque ouvrage, l’un pour l’État Limite de Service (ELS) et l’autre pour l’État Limite
Ultime (ELU), suivant la méthode détaillée ci-dessous.
1.2.1 -
Dimensionnement strict aux Eurocodes
La première étape du calcul de l’indice de fiabilité cible est de dimensionner strictement l’ouvrage considéré
aux Eurocodes, c’est-à-dire en dimensionnant à l’état limite. On commence par identifier la section et la
vérification sur laquelle on va travailler, ainsi que le paramètre qui sera dimensionné, les autres paramètres
(géométriques ou physiques) restant identiques à ceux de l’ouvrage étudié.
Le règlement impose une vérification liant la résistance et les sollicitations :
Rd =
Rk
≥ γS Sk = Sd
γR
Si on choisit de dimensionner la résistance R, sa valeur stricte aux Eurocodes R0 s’exprime en fonction des
coefficients partiels de sécurité, de sorte que :
R0 = γR γS Sk
1.2.2 -
Calcul de l’indice de fiabilité cible
Le calcul de l’indice de fiabilité de l’ouvrage strictement dimensionné aux Eurocodes se fait donc selon les
principes exposés au chapitre II section 1.
• Mode de défaillance et fonction d’état limite
Le mode de défaillance est imposé par la section et par la vérification retenues pour le dimensionnement. La
fonction d’état limite se déduit de la prescription du règlement en remplaçant les valeurs de calcul (valeurs
caractéristiques et coefficients partiels) par leur variable aléatoire associée :
g =R−S
• Variables aléatoires et lois de probabilité
Les paramètres intervenant dans la fonction d’état limite sont donc considérés comme aléatoires : on leur
associe une loi de probabilité, caractérisée par sa valeur moyenne μ et son écart-type σ (ou son coefficient de
variation CdV).
Si les valeurs de mesure données par le règlement sont des valeurs caractéristiques, on calcule la moyenne de
leur variable aléatoire associée selon la relation :
– 22 –
février 2012
μR = νR Rk
et
μS = νS Sk
où νR et νS sont appelés biais.
Les propriétés des variables aléatoires sont résumées dans le Tableau 3.
Variable
Valeur
nominale
Loi de
probabilité
Biais
Écart-type
Coefficient
de variation
Résistance R
R0 = γRγSSk
Loi R
νR
σR
CdVR
Sollicitation S
Sk
Loi S
νS
σS
CdVS
Tableau 3 :Variables aléatoires et lois de probabilité associées pour le calcul de β0 (paramètre dimensionné en jaune).
Si le nombre de paramètres intervenant dans la fonction d’état limite est très important, on pourra conserver
comme variables aléatoires les paramètres sur lesquels les incertitudes sont les plus grandes et fixer les autres
paramètres comme déterministes, afin de limiter la complexité et les temps de calcul.
• Calcul de l’indice de fiabilité cible
L’indice de fiabilité cible est alors calculé comme l’indice de fiabilité de cet ouvrage strictement dimensionné
aux Eurocodes :
β0 = −Φ −1 ⎡⎣ P ( R ( νR R0 , CdVR ) − S ( νS Sk , CdVS ) < 0 ) ⎤⎦
où R et S suivent les lois décrites dans le Tableau 3.
On peut remarquer que β0 dépend des coefficients partiels de sécurité γR et γS qui interviennent dans l’expression
de la valeur du paramètre de dimensionnement R0 = γR γS Sk.
Le poids de chacune des variables dans le calcul de β0 est donné par les coefficients directeurs αR et αS (Tableau
4). La sensibilité de β0 aux variations de la moyenne et de l’écart-type de R ou de S est donnée par les
coefficients de sensibilité Sm et Ss. On peut ainsi, si les calculs s’avèrent longs, réduire le nombre de variables
aléatoires en considérant comme déterministes les variables dont le cosinus directeur est faible par rapport aux
autres.
Indice de fiabilité β0
β0
Dimensionnement R
R0
Point de fonctionnement Z0
Z0,R
Z0,S
Cosinus directeurs α0
α0,R
α0,S
Sensibilité à la moyenne Sm0
Sm0,R
Sm0,S
Sensibilité à l’écart-type Ss0
Ss0,R
Ss0,S
Résistance R
Sollicitation S
Tableau 4 : Résultats du calcul de l’indice de fiabilité cible β0.
2 - Évaluation des ouvrages par approche probabiliste
La théorie de la fiabilité peut être utilisée pour évaluer la performance d’un ouvrage par approche probabiliste,
en comparant l’indice de fiabilité de l’ouvrage à l’indice de fiabilité cible.
– 23 –
février 2012
2.1 - Performance des ouvrages à la conception
La performance d’un ouvrage neuf est évaluée en comparant l’indice de fiabilité β de l’ouvrage à l’indice de
fiabilité cible β0.
L’indice de fiabilité cible ayant été défini à la section précédente, il ne reste donc plus qu’à calculer l’indice de
fiabilité de l’ouvrage étudié. Celui-ci est déterminé suivant la même méthodologie que celle adoptée pour le
calcul de l’indice β0.
On conserve le mode de défaillance et la fonction d’état limite précédemment établis :
g =R−S
On conserve les variables aléatoires et leur loi de probabilité ; seule la valeur nominale du paramètre
dimensionné change pour retrouver sa valeur de mesure. Notons que cette valeur de mesure doit vérifier les
conditions imposées par le règlement à l’ELS et à l’ELU.
Les propriétés des variables aléatoires sont résumées dans le Tableau 5.
Variable
Valeur
nominale
Loi de
probabilité
Biais
Écart-type
Coefficient
de variation
Résistance R
Rk
Loi R
νR
σR
CdVR
Sollicitation S
Sk
Loi S
νS
σS
CdVS
Tableau 5 :Variables aléatoires et lois de probabilité associées pour le calcul de β (en bleu, le changement par rapport au Tableau 3).
• Calcul de l’indice de fiabilité
L’indice de fiabilité β de l’ouvrage neuf est alors donné par :
β = −Φ −1 ⎡⎣ P ( R ( νR Rk , CdVR ) − S ( νS Sk , CdVS ) < 0 ) ⎤⎦
Les informations complémentaires sur le calcul de β sont regroupées dans le Tableau 6.
Indice de fiabilité β
β
Point de fonctionnement Z
ZR
ZS
Cosinus directeurs α
αR
αS
Sensibilité à la moyenne Sm
SmR
SmS
Sensibilité à l’écart-type Ss
SsR
SsS
Résistance R
Sollicitation S
Tableau 6 : Résultats du calcul de l’indice de fiabilité β de l’ouvrage neuf.
L’ouvrage est considéré comme sûr vis-à-vis du mode de défaillance étudié s’il vérifie :
β ≥ β0
– 24 –
février 2012
2.2 - Actualisation du niveau de performance des ouvrages
existants
L’indice de fiabilité β traduit le niveau de performance de l’ouvrage à sa conception. Toutefois, nous avons vu
qu’il pouvait s’avérer nécessaire de réévaluer ce niveau de performance au cours de la vie de l’ouvrage. Pour ce
faire, on se base sur des relevés et des mesures sur site des paramètres de résistance (caractéristiques physiques
et géométriques des matériaux) et/ou de sollicitations (charges supportées par l’ouvrage).
Dans le cadre de l’approche probabiliste (calculs de niveau 5), on actualise le niveau de performance de
l’ouvrage en intégrant dans le calcul de l’indice de fiabilité les nouvelles informations obtenues par l’inspection
de l’ouvrage et on compare le nouvel indice de fiabilité β1 obtenu à l’indice de fiabilité cible β0. Le calcul de
l’indice de fiabilité actualisé β1 suit le même principe celui de l’indice de fiabilité β de l’ouvrage neuf.
On conserve le mode de défaillance et la fonction d’état limite précédemment établis :
g =R−S
On conserve les variables aléatoires et leur loi de probabilité mais on intègre la nouvelle information en
modifiant la valeur moyenne et le coefficient de variation du ou des paramètre(s) mesuré(s) à l’inspection.
Supposons que l’inspection porte sur la sollicitation S, fournissant ainsi une nouvelle valeur de sollicitation μS1
avec une précision de mesure CdVS1. Il faut donc procéder au changement de la valeur moyenne de S, ou encore
au changement du biais νS1 :
νS1 =
μS1
Sk
ainsi qu’au changement de son coefficient de variation. Les propriétés des variables aléatoires sont résumées
dans le Tableau 7.
Variable
Valeur
nominale
Loi de
probabilité
Biais
Écart-type
Coefficient
de variation
Résistance R
Rk
Loi R
νR
σR
CdVR
Sollicitation S
Sk
Loi S
νS1
σS1
CdVS1
Tableau 7 :Variables aléatoires et lois de probabilité associées pour le calcul de β1 (en bleu, les changements par rapport au Tableau 5).
• Calcul de l’indice de fiabilité
L’indice de fiabilité β1 de l’ouvrage existant est alors donné par :
β1 = −Φ −1 ⎡⎣ P ( R ( νR Rk , CdVR ) − S ( νS 1 Sk , CdVS 1 ) < 0 ) ⎤⎦
Les informations complémentaires sur le calcul de β1 sont regroupées dans le Tableau 8.
β1
Z1,R
– 25 –
Z1,S
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α1,R
α1,S
Sm1,R
Sm1,S
Ss1,R
Ss1,S
Résistance R
Sollicitation S
Tableau 8 : Résultats du calcul de l’indice de fiabilité β1 de l’ouvrage existant.
L’ouvrage existant est considéré comme sûr s’il vérifie :
β1 ≥ β0
On peut également tenir compte dans l’actualisation de la représentativité de la mesure obtenue lors de
l’inspection : on peut, par exemple, n’intégrer que les mesures d’inspection dont le coefficient de variation est
faible. On parle alors d’actualisation conditionnelle ou bayésienne ; nous n’aborderons par ce volet dans cette
étude.
3 - Actualisation de coefficients partiels
Nous avons vu que, si l’approche probabiliste permettait d’actualiser avec précision la performance d’un
ouvrage au cours de sa vie, les calculs pouvaient s’avérer complexes. Dans le cadre de l’évaluation d’un
ouvrage existant, on préfèrera, dans un premier temps, adopter une approche semi-probabiliste, plus facile à
mettre en œuvre. Néanmoins, l’application directe de l’approche semi-probabiliste ne permet de prendre en
compte que les valeurs des mesures de l’inspection et pas leur précision (calculs de niveau 3).
Dans cette partie, on se propose d’actualiser (ou recalibrer) les coefficients partiels des Eurocodes afin qu’ils
puissent intégrer les informations fournies par les inspections et qu’ils puissent ainsi être utilisés pour
l’évaluation des ouvrages existants avec un formalisme semi-probabiliste, tout en assurant un niveau de sécurité
identique à celui des méthodes probabilistes (calculs de niveau 4). Il a ainsi été retenu le principe selon lequel il
est souhaitable que le niveau de performance de l’ouvrage existant à l’ELU soit comparable à celui requis pour
un ouvrage neuf (cf. norme ISO 13822:2001 [9]).
L’État Limite Ultime, relatif à l’intégrité structurale de l’ouvrage, a été privilégié dans cette étude.
3.1 - Choix des coefficients partiels à actualiser
Dans un premier temps, il faut choisir les paramètres qui feront l’objet d’une recalibration, ainsi que les
nouvelles valeurs de mesure et de dispersion de ces paramètres. Ce choix peut se baser sur deux facteurs :
• les paramètres couramment mesurés lors des inspections d’ouvrages existants (et les plages de valeurs et
précisions couramment obtenues) ;
• les résultats des calculs de fiabilité (cosinus directeurs, sensibilités) qui donnent les paramètres ayant une
influence sur l’indice de fiabilité de l’ouvrage.
Il a été décidé que chaque recalibration porterait exclusivement sur le coefficient partiel correspondant au
paramètre dont la valeur et/ou la dispersion est modifiée, en cohérence avec les pratiques des méthodes
courantes d’évaluation. Si aucun coefficient partiel n’apparaît de manière explicite dans le règlement, il est
possible d’en introduire un en lui fixant une valeur initiale égale à 1.
3.2 - Actualisation d’un coefficient partiel
Considérons par exemple les résultats d’inspection de la sollicitation S précédemment retenus avec une nouvelle
moyenne μS1 et un nouveau coefficient de variation CdVS1 ; l’actualisation portera donc sur le coefficient partiel
γS.
– 26 –
février 2012
La nouvelle valeur moyenne et la nouvelle dispersion permettent de calculer un indice de fiabilité acceptable β̂0
qui dépend de γS :
βˆ0 (γS ) = −Φ −1 ⎡⎣ P ( R ( νR γR γS Sk , CdVR ) − S ( νS1S k , CdVS1 ) < 0 ) ⎤⎦
où R et S suivent les lois du Tableau 9.
Variable
Valeur
nominale
Loi de
probabilité
Biais
Écart-type
Coefficient de
variation
Résistance R
R0 = γRγSSk
Loi R
νR
σR
CdVR
Sollicitation S
Sk
Loi S
νS1
σS1
CdVS1
Tableau 9 : Variables aléatoires et lois de probabilité associées pour le calcul de β̂0 .
Or, nous avons vu que la valeur référence de fiabilité pour cet ouvrage était l’indice de fiabilité cible β0. La
recalibration consiste alors à chercher le coefficient partiel γ̂S11 (correspondant au biais νS1 et au nouveau
coefficient de variation CdVS1) qui vérifie :
βˆ0 ( γˆS11 ) = β0
(
)
−Φ −1 ⎡ P R ( νR γR γˆS11S k , CdVR ) − S ( νS1Sk , CdVS1 ) < 0 ⎤ = −Φ −1 ⎡⎣ P ( R ( νR γR γS Sk , CdVR ) − S ( νS S k , CdVS ) < 0 ) ⎤⎦
⎣
⎦
En répétant cette opération pour les différents paramètres, et leur valeur de biais et de coefficient de variation
établis à la section 3.1, on détermine ainsi les coefficients partiels permettant d’assurer le niveau de performance
requis par l’approche probabiliste, tout en adoptant le formalisme pratique de l’approche semi-probabiliste.
On peut présenter les différents résultats sous forme de grilles de coefficients partiels où on donne en ligne le
biais et en colonne le coefficient de variation (Tableau 10 et Tableau 11).
Coefficient γR
Biais
Coefficient de variation
Coefficient CdVR1
Coefficient CdVR
Coefficient CdVR2
Biais νR1
γ̂ R11
γ̂ R10
γ̂ R12
Biais νR
γ̂ R 01
γR
γ̂ R 02
Biais νR2
γ̂ R 21
γ̂ R 20
γ̂ R 22
Tableau 10 : Grille des coefficients partiels recalibrés portant sur la résistance R (valeur de γR pour l’ouvrage neuf en jaune).
Coefficient γS
Biais
Coefficient de variation
Coefficient CdVS1
Coefficient CdVS
Coefficient CdVS2
Biais νS1
γ̂ S11
γ̂ S10
γ̂ S12
Biais νS
γ̂ S01
γS
γ̂ S02
Biais νS2
γ̂ S21
γ̂ S20
γ̂ S22
Tableau 11 : Grille des coefficients partiels recalibrés portant sur la sollicitation S (valeur de γS pour l’ouvrage neuf en jaune).
3.3 - Combinaison de coefficients partiels actualisés
– 27 –
février 2012
On dispose désormais de grilles de coefficients partiels permettant d’actualiser le niveau de performance de
l’ouvrage en fonction de la mesure d’un de ses paramètres. Se pose désormais la question de l’actualisation
simultanée ou successive de plusieurs paramètres : en effet, on doit s’assurer que les coefficients partiels
recalibrés, calculés indépendamment, sont utilisables conjointement, tout en assurant le même niveau de
fiabilité. Pour ce faire, on calcule pour chaque combinaison de coefficients partiels, l’indice de fiabilité
acceptable correspondant.
Si on veut vérifier la pertinence de la combinaison d’une mesure sur la résistance R de μR1 et CdVR1 et d’une
mesure sur la sollicitation S de μS1 et CdVS1 , on calcule l’indice de fiabilité cible correspondant à ces
paramètres :
(
)
βˆ0 ( γˆR11 , γˆS11 ) = −Φ −1 ⎡ P R ( νR1γˆR11γˆS11Sk , CdVR1 ) − S ( νS1S k , CdVS1 ) < 0 ⎤
⎣
⎦
où R et S suivent les lois du Tableau 12.
Loi de
probabilité
Biais
Écart-type
Coefficient de
variation
Résistance R
Valeur
nominale
R0 = γˆR11γˆS11Sk
Loi R
νR1
σR1
CdVR1
Sollicitation S
Sk
Loi S
νS1
σS1
CdVS1
Variable
Tableau 12 : Variables aléatoires et lois de probabilité associées pour le calcul de β0 ( γˆR11 , γˆS11 ) .
L’utilisation de grilles de coefficients partiels indépendantes est alors validée si les indices de fiabilité obtenus
sont égaux, ou à défaut très proches, de l’indice de fiabilité cible β0.
Coefficient β0
Biais
S
Biais
CdV
νS
νS1
CdVS1
CdVS
CdVS2
CdVS1
CdVS
νS2
CdVS2
CdVS1
CdVS
CdVS2
CdVR1
νR1
CdVR
CdVR2
CdVR1
R
νR
CdVR
β0
CdVR2
CdVR1
νR2
CdVR
CdVR2
Tableau 13 : Grille de l’indice de fiabilité cible après combinaison des coefficients partiels recalibrés sur les paramètres R et S (valeur
initiale de β0 en jaune).
3.4 - Application à l’évaluation des ouvrages existants
Les grilles de coefficients partiels sont destinées à être utilisées lors de l’évaluation des ouvrages d’art par une
méthode semi-probabiliste (calculs de niveau 4).
– 28 –
février 2012
Considérant une inspection qui fournit une nouvelle valeur moyenne μS1 et un nouveau coefficient de variation
CdVS1 de la sollicitation S, on calcule la valeur du biais correspondant νS1 :
νS1 =
μS1
Sk
et on relève dans le tableau le coefficient partiel recalibré γ̂S11 correspondant à νS1 et CdVS1.
On évalue finalement la performance de l’ouvrage par application du règlement semi-probabiliste dans lequel on
remplace γS par γ̂S11 . L’ouvrage est sûr s’il vérifie :
Rk
≥ γˆS11Sk
γR
Notons que la vérification est conduite ici avec les valeurs nominales Rk et Sk de l’ouvrage neuf puisque le
coefficient partiel recalibré γ̂S11 prend à la fois en compte la nouvelle mesure et sa précision.
L’utilisation des grilles de coefficients ne nécessite pas de calcul de fiabilité.
Notons finalement que les grilles de coefficients partiels définies dans cette étude ne sont valables que pour
l’ouvrage étudié. Pour pouvoir les utiliser pour l’évaluation d’ouvrages existants, il est nécessaire de les valider
sur un grand nombre d’ouvrages représentatifs et d’établir ainsi des grilles pour chaque famille d’ouvrages
courants ; ce point est repris et développé dans les perspectives de l’étude.
– 29 –
février 2012
Chapitre IV
Outils et références
1 - Définition des modes de défaillance et des fonctions
d’état limite
Nous avons choisi de baser notre étude sur les Eurocodes. Les indices de fiabilité cibles seront ainsi calculés en
respectant les prescriptions de l’EN 1991 pour les sollicitations et de l’EN 1992 pour le comportement des
ouvrages en béton armé et précontraint. Pour chaque ouvrage, les vérifications sont conduites à l’ELS et à
l’ELU.
Le dimensionnement strict aux Eurocodes, nécessaire au calcul de l’indice de fiabilité cible, adopte une
démarche similaire à celle adoptée couramment pour le dimensionnement des ouvrages neufs ; il peut s’appuyer
sur les guides du projeteur.
Les fonctions d’état limite découlent de la vérification retenue lors du dimensionnement strict aux Eurocodes.
2 - Définition des variables aléatoires et des lois de
probabilité
Nous avons vu que l’une des étapes les plus complexes de la théorie de la fiabilité résidait dans le choix des lois
de probabilité associées aux paramètres : en effet, les statistiques sur les matériaux et les structures sont souvent
difficiles à obtenir.
Dans le cadre de cette étude, nous avons identifié les paramètres qui interviennent généralement dans le calcul
des ouvrages d’art en béton armé et précontraint et nous avons entrepris, sur ces différents paramètres, une
recherche bibliographique s’appuyant sur des normes (règlement britannique BD79 [3], normes produits
européennes), des documents issus de groupe de travail européens (JCSS Probabilistic model code [10]) et des
articles scientifiques.
Les lois de probabilité retenues dans cette étude sont issue de Cremona, 2010 [7] et sont présentées dans le
Tableau 14 ; notons que cette liste est non exhaustive et que les lois de probabilité proposées le sont à titre
indicatif.
Variable aléatoire
Dimensions des sections :
nom + Δ (où Δ suit la loi donnée ici)
Type de loi
Moyenne
Biais
Écart-type
normale
0
1,00
10 mm
Superstructures
Poids propre du béton
Résistance en compression du béton
- préfabriqué
- coulé en place
Résistance à la traction du béton
normale
normale
nom.
25 kN/m3
1,00
1,00
20%
5%
lognormale
lognormale
lognormale
1,1 nom.
1,2 nom.
0,3 fck2/3
1,10
1,20
1,00
5%
10%
20%
– 31 –
CdV
février 2012
Module d’Young du béton
Limite d’élasticité des aciers passifs
Résistance ultime aciers passifs
Allongement ultime aciers passifs
Enrobage : nom + Δ (où Δ suit la loi donnée ici)
- dalle
- poutre
Section d’armatures
Résistance ultime des câbles de précontrainte
Position de précontrainte :
nom + Δ (où Δ suit la loi donnée ici)
- dalle
- poutre
Force précontrainte initiale
Pertes
Précontrainte finale
normale
lognormale
lognormale
lognormale
22000 fck0,3
1,15 nom.
1,15 fe
0,08
1,00
1,15
1,00
1,00
8%
5%
5%
15%
normale
normale
normale
lognormale
0
0
nom.
nom.
1,00
1,00
1,00
1,00
5 mm
5 mm
normale
normale
normale
normale
normale
0
5 mm
nom.
nom.
nom.
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
10 mm
20 mm
2%
4%
4 ou 6 %
30%
6 ou 9 %
Tableau 14 : Paramètres intervenant dans l’évaluation des ouvrages d’art en béton armé et précontraint et lois de probabilité utilisées
dans cette étude.
3 - Utilisation de l’outil ReliabTbx
ReliabTbx est un programme permettant de mener des calculs de fiabilité. Il a été développé dans l’unité
Sécurité et Durabilité des Ouvrages de l’IFSTTAR (anciennement Section Durabilité des Ouvrages d’Art du
LCPC) à partir des années 90. Il se présente sous la forme d’une boîte à outils utilisable sous Matlab®. Dans
cette étude, nous avons essentiellement utilisé la version ReliabTbx R1.5.
Nous ne présentons ici que les fonctionnalités qui ont été utilisées dans l’étude ; pour plus d’informations se
reporter à la notice d’utilisation « ReliabTbx Release 1.5 – Getting started » [8].
3.1 - Principes généraux d’utilisation
3.1.1 -
Fichiers sources
Les calculs de fiabilité sous ReliabTbx sont basés sur 3 fichiers Matlab :
• le fichier ‘dimensionnement’, donnant la vérification imposée par le règlement ;
• le fichier ‘état limite’, donnant la fonction d’état limite ;
• le fichier ‘variables’, présentant les variables aléatoires et leurs caractéristiques.
F i ch ier ‘d im en sionn em en t’
Le fichier ‘dimensionnement’, noté nomdelouvrage_el0.m, se présente sous la forme :
function Rd0=nomdelouvrage_el0(z)
Rd=z(1);
Sd=z(2);
%dimensionnement
Rd0=Sd ;
Il donne l’équation liant la variable dimensionnée Rd0 aux autres paramètres z(i).
– 32 –
février 2012
Fichier ‘état limite’
Le fichier ‘état limite’, noté nomdelouvrage_el.m, se présente sous la forme :
function g=nomdelouvrage_el(z)
R=z(1);
S=z(2);
{R,S} ;
%fonction d'état limite
g=R-S ;
Il exprime l’état limite g en fonction des paramètres z(i) qui interviennent dans son calcul.
F ich ier ‘va riab les’
Le fichier ‘variables’, noté nomdelouvrage_var.m, se présente sous la forme :
function var=nomdelouvrage_var
%
Variable résistance R
var(1).nom='Résistance' ;
var(1).type= ;
var(1).par1= ;
var(1).par2= ;
var(1).biais= ;
var(1).gamma=[ ; ] ;
%
Variable sollicitations S
var(2).nom='Sollicitations' ;
var(2).type= ;
var(2).par1= ;
var(2).par2= ;
var(2).biais= ;
var(2).gamma=[ ; ] ;
Il donne pour chaque variable aléatoire ses caractéristiques :
• le nom var(i).nom ;
• la loi de probabilité var(i).type (1, loi normale, 2, loi lognormale, 4, loi de Gumbel) ;
• la moyenne var(i).par1 ;
• l’écart-type var(i).par2 ;
• le biais var(i).biais ;
• le coefficient partiel var(i).gamma, sous la forme d’un vecteur dont le premier argument donne la valeur
du coefficient et le deuxième indique s’il fait l’objet d’une recalibration (0 pour non, 1 pour oui).
3.1.2 -
Commandes ReliabTbx
Dans le cadre de cette étude, trois commandes de ReliabTbx ont été utilisées :
• fiabdesign : pour le calcul des indices de fiabilité acceptables ;
• fiabcom : pour le calcul des indices de fiabilité des ouvrages réels (neufs ou existants) ;
• calib_coeff : pour la recalibration des coefficients partiels.
Les options du calcul ont été finalement fixées avec la commande fiabset.
– 33 –
février 2012
Fiabdesign
La commande fiabdesign se présente sous la forme :
fiabB0=fiabdesign(fun,fun0,varfile,[],[],nvd,options)
Elle calcule l’indice de fiabilité cible associé à :
• la vérification semi-probabiliste fun0 (fichier Matlab nomdelouvrage_el0.m) ;
• l’état limite correspondant fun (fichier Matlab nomdelouvrage_el.m) ;
• les variables aléatoires varfile (fichier Matlab nomdelouvrage_var.m).
La variable dimensionnée est précisée dans nvd.
Cette commande fournit :
• l’indice de fiabilité cible beta ;
• la valeur de dimensionnement du paramètre choisi vardesign ;
• le point de fonctionnement z0 ;
• les cosinus directeurs alpha ;
• la sensibilité des paramètres aux variations de moyenne sens_m ;
• la sensibilité des paramètres aux variations d’écart-type sens_s.
F ia b com
La commande fiabcom se présente sous la forme :
fiabcomp=fiabcom(fun,varfile,[],[],options)
Elle calcule l’indice de fiabilité associé à :
Les résultats sont comparables à ceux obtenus dans fiabdesign (à l’exception de la variable de
dimensionnement qui n’intervient pas ici).
Calib_coeff
La commande calib_coeff se présente sous la forme :
calib=calib_coeff(fun,fun0,varfile,[],Beta_0c,[],nvd,options)
Elle recalibre le(s) coefficient(s) partiel(s) associé(s) à :
• la vérification semi-probabiliste fun0 (fichier Matlab nomdelouvrage_el0.m) ;
L’indice de fiabilité cible à atteindre est précisé dans Beta_0c et la variable dimensionnée dans nvd.
Cette commande fournit :
• l’indice de fiabilité cible (ou l’indice le plus proche obtenu) beta ;
• une matrice des coefficients partiels de sécurité recalibrés gamma (si un seul coefficient fait l’objet d’une
recalibration, les autres coefficients affichés sont identiques à leur valeur initiale).
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février 2012
F ia b s e t
Les options des calculs de fiabilité sont précisées à partir de la commande fiabset.
options=fiabset('type_res',1,'type_prob',6)
Les paramètres utilisés dans l’étude sont :
• le type de résultat 'type_res' : 1 donne les résultats complets ;
• la méthode de calcul 'type_prob' : 6 indique la méthode des surfaces de réponse.
3.2 - Couplages avec des logiciels de calcul de structures
ReliabTbx peut être couplé avec un logiciel de calcul de structures pour définir le dimensionnement et l’état
limite. Ce type de couplage est bien adapté pour le calcul des ouvrages neufs ou existants exceptionnels pour
lesquels la modélisation est complexe et a nécessité l’emploi de ces logiciels de calcul de structure. Notons
néanmoins que le couplage allonge le temps des calculs de fiabilité et qu’il n’est donc pas recommandé pour la
recalibration de coefficients partiels.
3.2.1 -
Couplage avec Excel
On peut coupler les fichiers ‘dimensionnement’ et ‘état limite’ avec une feuille de calcul Excel
'fichierExcel.xls' sur laquelle est programmée le calcul de la structure. Pour ce faire, il faut modifier les
valeurs des cellules Excel contenant les variables affectées par les calculs ReliabTbx grâce à la commande :
xlswrite('fichierExcel.xls',variable,'feuilleExcel','celluleExcel')
On récupère le résultat obtenu dans Excel grâce à la commande :
variable=xlsread('fichierExcel.xls','feuilleExcel','celluleExcel')
3.2.2 -
Couplage avec ST1
On peut coupler les fichiers ‘dimensionnement’ et ‘état limite’ avec un fichier ST1 fichierST1.st1 sur
lequel est programmé le calcul de la structure. Pour ce faire, il faut remplir un fichier de données donnees.dat
contenant les variables affectées par les calculs ReliabTbx grâce à la commande :
fid1=fopen('donnees.dat','w');
fprintf(fid1,'variable=%g\n',variable);
status=fclose(fid1);
Ce fichier de données sera lu par ST1 en ajoutant dans le fichier ST1 : LIRE 'donnees.dat'. On lance
ensuite ST1 depuis les fichiers ‘dimensionnement’ et ‘état limite’ :
system('…\ST1\ST1.exe fichierST1.st1')
On récupère le résultat dans le fichier résultat resultat.txt créé par ST1 grâce à la commande :
fid2='resultat.txt'
variable=textread(fid2,'%f')
– 35 –
février 2012
PARTIE 2
EXEMPLES D’APPLICATION
– 37 –
février 2012
Présentation des cas d’étude
Nous présentons dans cette partie les études d’ouvrages développées par chaque CETE appliquant la
méthodologie détaillée en partie I sur :
• deux ouvrages courants en béton armé : le pont à poutres des Bouillères (CETE de l’Ouest) et le PICF de
Challuy (CETE de Lyon) ;
• un ouvrage en béton précontraint : le VIPP de Merlebach (CETE Nord-Picardie) ;
• un grand ouvrage en béton précontraint : la solution caisson du pont sur la rivière Saint-Étienne (CETE
Méditerranée).
Chaque cas d’étude suit le même plan de présentation (identique à celui repris dans l’exemple simple exposé en
Annexe 2) :
• Présentation de l’ouvrage.
• Calcul de l’indice de fiabilité cible β0.
• Évaluation de l’ouvrage par approche probabiliste.
• Actualisation de coefficients partiels.
• Exemple d’application à l’évaluation de l’ouvrage neuf et existant.
Analyse des résultats
Le Tableau 15 récapitule les principales caractéristiques et résultats de chaque étude.
Les trois ouvrages existants (pont à poutres des Bouillères, PICF de Challuy et VIPP de Merlebach) ont été
initialement dimensionnés suivant des règlements français antérieurs et recalculés, dans le cadre de cette étude,
aux Eurocodes. Pour ces ouvrages, c’est la vérification la plus courante qui a été retenue à l’ELS comme à
l’ELU dans les calculs de fiabilité, c’est-à-dire la justification vis-à-vis de la flexion. Le projet du pont caisson
sur la rivière Saint-Étienne a été calculé initialement aux Eurocodes. C’est la vérification dimensionnante au
stade du POA qui a été retenue dans les calculs de fiabilité, c’est-à-dire la justification vis-à-vis du tranchant.
L’étude a permis de formaliser les fonctions d’état limite correspondant aux vérifications retenues et
d’identifier, parmi les paramètres intervenant dans ces fonctions, les variables considérées comme aléatoires.
Précisons que les charges d’exploitation n’ont pas été probabilisées à ce stade de l’étude en raison de leur
complexité ; un travail complémentaire est envisagé pour étudier ce sujet.
L’indice de fiabilité cible β0 de chaque ouvrage est calculé à l’ELS et à l’ELU. Les indices obtenus à l’ELS pour
le pont à poutres des Bouillères, le PICF de Challuy et le pont caisson sur la rivière Saint-Étienne sont du même
ordre de grandeur (légèrement supérieurs à 2), alors que celui du VIPP de Merlebach est plus faible (inférieur à
1). Les indices obtenus à l’ELU sont beaucoup plus importants que ceux de l’ELS (supérieurs à 8).
La performance de l’ouvrage à la conception est évaluée en comparant l’indice de fiabilité de l’ouvrage neuf β à
son indice de fiabilité cible β0. On peut estimer la performance de chaque ouvrage étudié par son indicateur de
performance probabiliste Ip, défini comme le rapport entre son indice de fiabilité β et son indice cible β0. Tous
les ouvrages à la conception ont un indicateur supérieur à 1 à l’ELS comme à l’ELU, ce qui montre qu’ils sont
surs vis-à-vis de leur vérification respective. On remarque par ailleurs que, bien que leurs indices de fiabilité
cibles à l’ELS soient proches, le pont à poutres des Bouillères a une réserve de sécurité plus importante vis-à-vis
de l’ELS que le PICF de Challuy et le pont caisson sur la rivière Saint-Étienne. À l’ELU en revanche, c’est le
pont à poutres des Bouillères qui a l’indicateur de performance le plus faible (très proche de 1).
– 39 –
février 2012
PICF de Challuy
VIPP de Merlebach
Caisson BP sur la
rivière Saint Étienne
BAEL/Fasc. 61 titre II
IP1/Fasc. 61 titre I à V
Eurocodes
ReliabTbx
ReliabTbx
ReliabTbx
ReliabTbx + ST1
Type d’ELS
Caractéristique
Caractéristique
Caractéristique
Caractéristique
Paramètre de
dimensionnement
Section d’armature As
Mode de défaillance
Flexion de la poutre de
rive à mi-travée
Flexion de la traverse
supérieure à mi-portée
Section de câble de
précontrainte Ap
rive à mi-travée
Épaisseur d’âme du
caisson bw
Tranchant des âmes des
voussoirs
Fonction d’état limite g
g = As – Ascalc
g = Mrésistant – Msollicitant
g = σinf + fct
g = τlim – τâme
Variables aléatoires
1. Hauteur de section h
2. Résistance en
compression du béton fc
3. Limite d’élasticité des
aciers fy
4. Enrobage des
armatures c
5. Section d’armatures As
6. Superstructures S
7. Poids volumique du
béton ρb
aciers fy
4. Enrobage des
armatures c
béton ρb
1. Contrainte initiale dans
les câbles σini
2. Pertes de
précontraintes ΔP
3. Section d’un câble Ap
béton ρb
6. Contrainte de traction
limite du béton fct
1. Résistance en
2. Épaisseur de l’âme du
caisson bw
3. Précontrainte de fléau
Kp,fléau
4. Précontrainte
extérieure Kp,ext
5. Position des câbles e
Indice de fiabilité
cible β0
2,5045
2,1310
0,9280
2,1359
5,8266
2,8843
2,0692
2,4283
2,3265
1,3535
2,2297
1,1369
Mode de défaillance
rive à mi-travée
Flexion de la traverse
supérieure à mi-portée
Section de câble de
précontrainte Ap
rive à mi-travée
Section d’aciers
transversaux Asw/s
Tranchant des âmes des
voussoirs
Fonction d’état limite g
g = As – Ascalc
g = VR,s – VE
Variables aléatoires
2. Résistance en
aciers fy
4. Enrobage des
armatures c
béton ρc
aciers fy
4. Enrobage des
armatures c
béton ρc
7. Résistance à la
aciers fp0,1k
2. Section d’un câble Ap
béton ρc
aciers transversaux fyw
2. Hauteur utile zw
3. Précontrainte de fléau
Kp,fléau
4. Section d’aciers
transversaux Asw/s
5. Position des câbles e
Indice de fiabilité
cible β0
10,2760
8,1863
8,1100
11,2661
10,7725
10,2645
9,0497
13,1658
Indicateur de
performance Ip = β/β0
1,0483
1,2539
1,1159
1,1686
Règle de calcul initiale
Pont à poutres des
Bouillères
Circ. Du 19 juillet 1934/
Circ. Du 10 mai 1927 et
du 29 août 1940
Calcul en fiabilité
E
L
S
Indicateur de
performance Ip = β/β0
Paramètre de
dimensionnement
E
L
U
5. Section d’armatures γA
1. Section d’armatures γA 2. Section d’un câble γA
Coefficients recalibrés γ 6. Superstructures γS
5. Superstructures γS
4. Superstructures γS
7. Poids propre γG
aciers transversaux γs
4. Section d’aciers
transversaux γA
Tableau 15 : Principaux résultats de l’application de la théorie de la fiabilité aux ouvrages étudiés.
– 40 –
février 2012
Une actualisation de coefficients partiels est proposée pour chaque ouvrage. Seuls les coefficients de l’ELU ont
fait l’objet de cette actualisation ; en effet, l’ELU étant relatif à l’intégrité structurale de l’ouvrage, c’est cette
approche qui a été privilégiée. L’étude a permis d’identifier les critères de sélection des coefficients à actualiser
ainsi que les plages de variations des valeurs et des précisions pour lesquelles ces coefficients sont valables.
Nous avons retenu prioritairement les coefficients portant sur les sections d’acier (passifs ou de précontrainte) et
les charges permanentes (poids propre et surtout superstructures) : on présente en Tableau 16 les variations des
coefficients partiels actualisés par rapport au coefficient partiel de l’ouvrage neuf sur les sections d’acier et les
superstructures. Avec la même loi de probabilité et les mêmes gammes de variation du biais (de 0,80 à 1,20) et
du coefficient de variation (1% à 3%), on obtient des valeurs de coefficients partiels actualisés sur les sections
d’acier qui sont très proches. Sur les charges de superstructures en revanche, on constate de plus grande
disparités entre les différents ouvrages. Rappelons finalement que les coefficients obtenus ne sont valables que
pour l’ouvrage et la vérification pour lesquels ils ont été calculés.
Section d’acier A
Superstructures S
Variation du coefficient partiel
νA = 0,80
CdVA = 1%
νA = 1,20
CdVA = 3%
νS = 0,80
CdVS = 10%
νS = 1,20
CdVS = 30%
Pont à poutres des Bouillères
+22%
-12%
-43%
+72%
PICF de Challuy
+23%
-14%
-25%
+39%
VIPP de Merlebach
+22%
-13%
-53%
+76%
Solution caisson du pont sur la
rivière Saint-Étienne
+21%
-11%
Tableau 16 : Variation du coefficient partiel après actualisation sur la section d'acier et sur les superstructures.
– 41 –
février 2012
Chapitre I
Pont à poutres des Bouillères
1 - Présentation de l’ouvrage
1.1 - Contexte de l’étude
L’ouvrage de référence est le pont à poutres en béton armé des Bouillères. Il s’agit d’un ouvrage construit à la
fin des années 50.
L’ouvrage se présente sous la forme d’une travée isostatique droite en béton armé de 8 m d’ouverture et de 8,88
m de portée (Figure 8). Le tablier est composé de trois poutres sous chaussée de 3,08 m d’entraxe reliées entre
elles par quatre entretoises et un hourdis de 0,16 m. Les trottoirs de 1 m sont en encorbellement et la chaussée
fait 6 m de large, soit une largeur utile de 8 m. Les poutres de rive ont une hauteur de 0,90 m et une épaisseur de
0,50 m contre 0,95 m et 0,34 m pour la poutre centrale.
L’ouvrage est constitué d’un ciment 250/315 dosé à 350 kg/cm3 et d’aciers doux travaillant à 1300 kg/cm² en
traction-compression et à 1040 kg/cm² sur cisaillement. Les armatures principales des poutres et entretoises
présentent un diamètre important (28 et 25 mm) au regard de leur épaisseur d’âme. La compression admissible
est ainsi estimée à 70 kg/cm² (soit 250 kg/cm² à 90j sur prisme mesurés aux essais) et la traction de référence
prise à 7 kg/cm² (soit 35kg/cm² mesurés par flexion d’éprouvettes carrées de coté b et de longueur 4 b).
Figure 8 : Coupe transversale du pont à poutre des Bouillères.
La note de calcul date de 1952 et les plans de coffrage et ferraillage de 1956. Cette note a été établie avec les
charges d’exploitation de la circulaire série A n°3 du 10 mai 1927 et la cirulaire A-1 du 29 août 1940. Le calcul
de béton armé est réalisé selon la circulaire série A n°8 du 19 juillet 1934. L’analyse de cette note de calcul en
1982 a mis en évidence un certain nombre d’incohérences entre les plans et des erreurs sur l’application des
hypothèses de calculs. Le recalcul de 1982 a montré les insuffisances de portance vis-à-vis des charges
d’exploitation du fascicule 61 du 29 décembre 1971, avec des contraintes dépassées dans les armatures du
hourdis et dans les armatures de la poutre centrale. Au regard des conclusions, une limitation de tonnage des
charges accessibles à cet ouvrage avait été proposée à 20 tonnes.
Le pont des Bouillères présenté ci-avant, sert de base de référence, mais par la suite, c’est un ouvrage fictif qui
est étudié, utilisant notamment des matériaux aux caractéristiques plus courantes. Par ailleurs, dans cette étude,
les calculs sont conduits aux Eurocodes.
– 43 –
février 2012
1.2 - Caractéristiques physiques et géométriques de l’ouvrage
Les caractéristiques géométriques de l’ouvrage étudié (portée, nombre de poutres, largeur roulable, nombre de
travées) sont celles décrites à la section 1.1.
Les matériaux constitutifs de l’ouvrage sont définis comme suit :
• un béton de résistance caractéristique en compression fck = 20 MPa ;
• des armatures de limite caractéristique d’élasticité fyk = 400 MPa.
L’ouvrage fictif ainsi défini est prédimensionné suivant les règles du dossier pilote du Sétra PSIBA 77 pour
optimiser le coffrage des poutres avec les charges routières des Eurocodes. Les sollicitations déterminées avec
les règles du dossier pilote conduisent à un tablier à trois poutres sous chaussée de 3,20 m d’entraxe et reliées
entre elles par un hourdis de 0,16 m, avec des poutres de 0,90 m de hauteur et 0,30 m de largeur.
C’est l’ELU qui est dimensionnant pour cet ouvrage : il impose une section minimale d’armature de 56,43 cm²
(cf. section 2.2.1). La section retenue pour l’ouvrage est de 58,08 cm², avec la répartition suivante :
• 1er lit : 3 HA32 ;
• 2ème lit : 2 HA32 et 1 HA25 (les deux premiers lits constituant des paquets) ;
• 3ème lit : 2 HA25 et 1 HA20 ;
• cadres en HA12 ;
• enrobage de 5 cm (classe d’exposition XC4).
2 - Calcul de l’indice de fiabilité cible β0
L’application de la théorie de la fiabilité à l’évaluation du pont à poutres des Bouillères passe par la définition
d’un indice de fiabilité cible, qui sert de référence dans les approches probabilistes. Dans cette étude, l’indice de
fiabilité cible est défini comme l’indice de fiabilité d’un ouvrage équivalent au pont des Bouillères mais
dimensionné à l’état limite des Eurocodes. Deux indices cibles seront ainsi calculés, un pour l’État Limite de
Service et un pour l’État Limite Ultime.
2.1 - Indice de fiabilité cible à l’ELS
2.1.1 -
Le première étape du calcul de l’indice de fiabilité cible à l’ELS est le dimensionnement de l’ouvrage à l’ELS
strict selon les Eurocodes. Les vérifications sont menées sur la poutre la plus sollicitée, c’est-à-dire la poutre de
rive, et portent sur la flexion de cette poutre en section médiane (mi-travée). Le coffrage pris en compte est celui
prédimensionné suivant les règles du dossier pilote du Sétra PSIBA77, mais avec l’application des charges des
Eurocodes (cf. section 1.2). Le dimensionnement vise à déterminer la section minimale des armatures sous les
charges et les combinaisons des Eurocodes.
La rg eu r pa rticipan te d e la tab le de co mp ression
La largeur participante de la table de compression beff associée à la poutre de rive (Figure 9) est déterminée
suivant l’ EN 1992-1-1, § 5.3.2.1 (3) :
beff = ∑ beff ,i + bw
avec beff,i = 0, 2 bi + 0,1 l0 ≤ 0, 2 l0 , où l0 = 8,88 m, soit :
• beff,i = 0, 2 × 2,9 / 2 + 0,1 × 8,88 = 1,178 m entre poutres ;
– 44 –
février 2012
• beff,i = 0,95 m ≤ 1,178 m en encorbellement ;
• ∑ beff,i = 0,95 + 1,178 + 0,3 = 2, 428 m ou 2, 43 m .
Figure 9 : Section de la poutre de rive du pont des Bouillères.
C o m p o r tem en t d es m a t ér ia u x
Les calculs à l’ELS sont conduits avec les valeurs de calcul des matériaux :
• béton : valeur de calcul de la résistance en compression du béton fcd :
f cd = f ck =
f ck
= 20 MPa avec γc = 1 et f ck = 20 MPa
γc
• armatures : limite d’élasticité de calcul de l’acier de béton armé fyd :
f yd = f yk =
f yk
γs
= 400 MPa avec γs = 1 et f yk = 400 MPa
Même si aucun coefficient partiel n’apparaît explicitement dans les Eurocodes, il est possible d’en introduire en
leur fixant une valeur de 1,00.
Moments sollicitants
Les moments sollicitants dus aux charges permanentes et aux charges d’exploitation ont été calculés avec le
logiciel ST1 2.20.
Dans la section médiane de la poutre de rive, on peut décomposer le moment de flexion dû aux charges
permanentes en MG dû au poids propre de l’ouvrage et MS dû aux charges de superstructures :
M G = 0,1675 MN.m
M S = 0,1163 MN.m
Pour l’application des charges d’exploitation, le tablier de l’ouvrage a été défini aux Eurocodes avec cinq zones
transversales (0,30 m en extérieur des garde-corps, 1,0 m de trottoir de chaque coté et 6,00 m de largeur de
chaussée). La répartition transversale des charges a été prise en compte en introduisant deux coefficients au
droit des fibres extrêmes du profil en travers, à partir de la méthode de Courbon. Le modèle de charge appliqué
est le modèle LM1 ; la classe de trafic considérée est la classe 2. La valeur maximale du moment de flexion
longitudinal dans la section médiane de la poutre de rive sous les charges de trafic à l’ELS caractéristique est :
M Q = 0,7899 MN.m
On définit ainsi le moment de flexion à l’ELS caractéristique comme :
– 45 –
février 2012
M ELS = γG M G + γS MS + γQ M Q
= 1,00 × 0,1675 + 1,12 × 0,1163 + 1,00 × 0,7899
M ELS = 1,0872 MN.m
Les coefficients γG et γQ n’apparaissent pas dans les Eurocodes mais sont introduits ici avec une valeur neutre de
1,00. Le coefficient γS = 1,12 représente quant à lui l’écart entre la valeur maximale de l’enveloppe des
superstructures et sa valeur nominale.
Justifications à l’ELS
La justification à l’ELS consiste à dimensionner la section d’aciers As en respectant les contraintes limites dans
le béton et les aciers imposées par l’EN 1992-1-1, §7.2 :
σ c < 0,6 f ck
σ st < 0,8 f yk
Le calcul de la section minimale As0 est conduit de manière itérative :
• Initialisation As = As0ELU ;
• Position de l’axe neutre x (dans l’âme dans notre cas) par la résolution de l’équation suivante :
beff 2 beff − bw
x –
2
2
( x − h0 )
2
– n As ( d − x ) = 0
• Calcul de l’inertie fissurée If :
If =
beff 3 beff – bw
3
x –
( x − h0 ) + n As ( d − x 2 )
3
3
• Calcul des contraintes dans le béton σc et dans les aciers σst :
σc =
M ELS
x
If
σ st =
n M ELS
(d – x)
If
• Tant que σc > 0,6 fck ou σst > 0,8 fyk nouvelle itération avec :
As =
As σ st
0,8 f yk
• Arrêt lorsque les deux critères en contraintes sont atteints.
On obtient ainsi une section d’armatures As0ELS nécessaire de :
As0 ELS = 47,35 cm 2
qui dépend des coefficients partiels γc = 1,00 et γs = 1,00 sur les matériaux et des coefficients γG = 1,00, γS = 1,12
et γQ = 1,00 sur les sollicitations.
L’itération montre que le critère σc < 0,6 fck n’est pas dimensionnant. Les vérifications suivantes ne sont pas non
plus dimensionnantes :
• la limitation de l’ouverture des fissures à w = 0,3 mm (EN 1992-1-1, §7.3) ;
• la vérification à la fatigue.
– 46 –
février 2012
2.1.2 -
Mode de défaillance et fonction d’état limite
Le mode de défaillance considéré pour le calcul en fiabilité correspond à la justification ELS adoptée pour le
dimensionnement strict aux Eurocodes (section 2.1.1), c’est-à-dire le non-dépassement de la limite autorisée de
0,8 fyk des armatures en fibre inférieure de la poutre à mi-portée à l’ELS caractéristique.
La fonction d’état limite retenue est :
g = As − As calc
où As est la section calculée lors du dimensionnement strict à l’ELS (section 2.1.1) et Ascalc est calculé selon le
même principe que As en supprimant les coefficients partiels sur les matériaux (γs, γc) et sur les sollicitations (γG,
γS, γQ). Notons que les coefficients intervenant dans les critères en contraintes (par exemple 0,8 fyk) sont
conservés car considérés comme émanant de la loi de comportement du matériau et non comme des coefficients
partiels de sécurité.
La fonction d’état limite dépend :
• des caractéristiques physiques et géométriques des matériaux ;
• des sollicitations de poids propre, de superstructures et d’exploitation.
2.1.3 -
Variables aléatoires et lois de probabilité
On retient comme variables aléatoires les paramètres de la fonction d’état limite g répertoriés dans le Tableau
17 : chaque variable est décrite par une loi de probabilité dont les caractéristiques sont issues du Tableau 14
(Partie 1, Chapitre IV).
Variable
Valeur
nominale
Loi de
probabilité
Biais
Écart-type
Coefficient
de variation
Écart sur la hauteur de section Δh (m)
(Δh tel que h = 0,90 + Δh)
0
Loi normale
1,00
0,010
-
Résistance en compression du béton fc (MPa)
20
Loi lognormale
1,20
-
10%
Limite d’élasticité des aciers fy (MPa)
400
Loi lognormale
1,15
-
5%
Écart sur l’enrobage des armatures Δc (m)
(Δc tel que c = 0,05 + Δc)
0
Loi normale
1,00
0,005
-
Section d’armatures As (cm²)
47,35
(As0ELS)
Loi normale
1,00
-
2%
Charges de superstructures S (t/ml)
3,614
Loi normale
1,00
-
20%
Poids volumique du béton ρb (kN/m3)
25
Loi normale
1,00
-
5%
Tableau 17 : Variables aléatoires et lois de probabilité retenues dans l’étude du pont à poutres des Bouillères à l’ELS (paramètre
dimensionné en jaune).
Notons que les coefficients partiels ne servent pas directement au calcul de l’indice de fiabilité mais qu’ils
interviennent dans le calcul de la valeur nominale de la variable de dimensionnement, ici la section d’armatures
As0ELS = 47,35 cm² (cf. section 2.1.1). On rappelle par ailleurs que les charges d’exploitation ne sont pas
probabilisées dans cette étude.
2.1.4 -
Calcul et analyse de l’indice de fiabilité cible
Le calcul de l’indice de fiabilité est effectué à partir de la fonction d’état limite établie en section 2.1.2 et des
caractéristiques de variables aléatoires définies en 2.1.3 grâce à la fonction fiabdesign de ReliabTbx R1.5,
avec les options de calcul suivantes :
• méthode par surface de réponse ('type_prob',6) ;
– 47 –
février 2012
• surface de réponse linéaire ('type_sreponse',1) ;
• plan d’expérience en étoile ('type_plandex',1).
Le calcul est effectué directement via Matlab, sans couplage avec ST1 : les valeurs initiales des moments dus au
poids-propre, aux superstructures et aux charges de trafic sont données par ST1 et recopiées dans le fichier
Matlab correspondant. Les moments sous poids-propre et sous superstructures sont ensuite recalculés sous
Matlab en fonction des valeurs des variables aléatoires. Le calcul de la section d’acier minimale à l’ELS est
également effectué sous Matlab directement.
Le Tableau 18 donne les résultats du calcul de fiabilité.
2,5045
Dimensionnement As0ELS (cm²)
47,35
-0,0054
23,879
418,08
0,00142
46,563
4,25
25,398
0,2160
0,00037
0,8303
-0,1136
0,3315
-0,3535
-0,1270
21,60
0,000156
0,040
-22,72
0,3501
-0,4891
-0,1016
-11,681
-1,54e-5
-0,07678
-6,463
-0,2906
-0,433
-0,0323
Δh (m)
fc (Mpa)
fy (Mpa)
Δc (m)
As (cm²)
S (t/ml)
ρc (kN/m3)
Tableau 18 : Résultats du calcul de l’indice de fiabilité cible du pont à poutres des Bouillères à l’ELS.
La valeur très faible du cosinus directeur de fc montre que cette variable aléatoire a peu d’influence sur le calcul
de l’indice de fiabilité cible. Un calcul simplifié avec 6 variables aléatoires (Tableau 19) fournit un indice de
fiabilité cible très proche (2,5033 pour 2,5045). Néanmoins, étant donnée la rapidité des calculs, toutes les
variables ont été conservées.
2,5033
Dimensionnement As0ELS (cm²)
47,35
-0,0054
414,1
0,0014
46,56
4,254
25,397
0,2159
0,8304
-0,1136
0,3314
-0,3535
-0,1270
21,59
0,040
-22,72
0,350
-0,4891
-0,1016
-11,674
-0,0767
-6,459
-0,2904
-0,4328
-0,0323
Δh (m)
fy (Mpa)
Δc (m)
As (cm²)
S (t/ml)
ρc (kN/m3)
Tableau 19 : Résultats du calcul simplifié de l’indice de fiabilité cible du pont à poutres des Bouillères à l’ELS.
2.2 - Indice de fiabilité cible à l’ELU
2.2.1 -
Le première étape du calcul de l’indice de fiabilité cible à l’ELU est le dimensionnement de l’ouvrage à l’ELU
rive, et portent sur la flexion de cette poutre en section médiane (mi-travée). Le coffrage pris en compte est celui
prédimensionné suivant les règles du dossier pilote du Sétra PSIBA77, mais avec l’application des charges des
Eurocodes (cf. section 1.2). Le dimensionnement vise à déterminer la section minimale des armatures sous les
charges et les combinaisons des Eurocodes.
– 48 –
février 2012
La loi de comportement retenue pour le béton est le diagramme rectangulaire simplifié (Figure 10), avec :
• les coefficients de déformation et de résistance :
εcu3 = 3,5‰
λ = 0,8 et η =1,0
( fck = 20 MPa ≤ 50 MPa )
• la valeur de calcul de la résistance en compression du béton fcd :
f cd =
αcc f ck
=13,33 MPa avec αcc = 1, γc = 1,5 et f ck = 20 MPa
γc
Figure 10 : Diagramme rectangulaire simplifié pour le béton comprimé selon l’EN 1992-1-1.
La loi de comportement retenue pour les aciers passifs est le diagramme contrainte-déformation de calcul, avec
branche supérieure horizontale, sans limite pour la déformation (diagramme B de la Figure 11), avec la limite
d’élasticité de calcul de l’acier fyd :
f yd =
f yk
γs
= 347,83 MPa
où γs = 1,15 et f yk = 400 MPa
Figure 11 : Diagramme contrainte déformation simplifié et de calcul pour les aciers passifs selon l’EN 1992-1-1.
– 49 –
février 2012
Le moment de flexion à l’ELU est déterminé à partir des moments calculés à l’ELS (section 2.1.1) en appliquant
les coefficients partiels de sécurité de la combinaison à l’ELU sur les charges :
M ELU = γG M G + γS M S + γQ M Q
M ELU
= 1,35 × 0,1675 + 1,35 × 1,12 × 0,1163 + 1,35 × 0,7899
= 1, 4677 MN.m
Le coefficient γS résulte du produit du coefficient partiel de la combinaison ELU (1,35) et du quotient entre la
valeur maximale de l’enveloppe des superstructures et sa valeur nominale (1,12).
Justifications à l’ELU
Le dimensionnement strict à l’ELU consiste à déterminer la section d’aciers As0ELU nécessaire pour que le
moment résistant Mr égale le moment agissant ultime MELU.
Les différentes étapes du calcul sont les suivantes :
• Calcul du moment dans la table Mt avec Fc = beff h0 fcd et zc = d – h/2 :
h⎞
⎛
M t = beff h0 f cd ⎜ d − ⎟
2⎠
⎝
• Ici Mt > MELU donc l’axe neutre est dans la table : on étudie une section rectangulaire de hauteur h et largeur
beff.
• Équilibre des moments :
M r = M ELU
λx⎞
⎛
beff λ η x f cd ⎜ d −
⎟ = M ELU
2 ⎠
⎝
0,8 α (1 − 0, 4 α ) beff d ² f cd = M ELU
où α est la position relative de l’axe neutre : x = α d.
• Calcul du moment réduit :
μ=
M ELU
= 0,8 α (1 − 0, 4 α )
beff d ² f cd
• Calcul de la position de l’axe neutre :
(
α =1, 25 1 − 1− 2 μ
)
• Calcul de la section d’acier :
As0 ELU =
M ELU
zc σ st
où zc = d – 0,4 α et σst = fyd.
On obtient ainsi une section d’armatures As0ELU nécessaire :
As0 ELU = 56, 43 cm 2
qui dépend des coefficients partiels sur les matériaux γc =1,50 (intervenant dans fcd) et γs = 1,15 (intervenant
dans fyd) et sur les sollicitations γG = 1,35, γS = 1,51 et γQ = 1,35 (intervenant dans MELU).
– 50 –
février 2012
2.2.2 -
Le mode de défaillance considéré pour le calcul en fiabilité correspond à la justification ELU adoptée pour le
dimensionnement strict aux Eurocodes (section 2.2.1), c’est-à-dire l’équilibre du moment résistant et du moment
ultime dans la section médiane de la poutre de rive.
g = As − As calc
où As est la section calculée lors du dimensionnement strict à l’ELU (section 2.2.1) et Ascalc est calculé selon le
même principe que As en supprimant les coefficients partiels sur les matériaux (γs, γc) et sur les sollicitations (γG,
γS, γQ).
La fonction d’état limite dépend donc :
2.2.3 -
Variable
Valeur
nominale
Loi de
probabilité
Biais
Écart-type
Coefficient
de variation
Écart sur la hauteur de section Δh (m)
(Δh tel que h = 0,90 + Δh)
0
Loi normale
1,00
0,010
-
20
Loi lognormale
1,20
-
10%
400
Loi lognormale
1,15
-
5%
Écart sur l’enrobage des armatures Δc (m)
(Δc tel que c = 0,05 + Δc)
0
Loi normale
1,00
0,005
-
Section d’armatures As (cm²)
56,43
(As0ELU)
Loi normale
1,00
-
2%
3,614
Loi normale
1,00
-
20%
Poids volumique du béton ρc (kN/m3)
25
Loi normale
1,00
-
5%
Tableau 20 : Variables aléatoires et lois de probabilité retenues dans l’étude du pont à poutres des Bouillères à l’ELU (paramètre
dimensionné en jaune).
As0ELU = 56,43 cm² (cf. section 2.2.1). On rappelle par ailleurs que les charges d’exploitation ne sont pas
2.2.4 -
caractéristiques de variables aléatoires définies en 2.2.3 grâce à la fonction fiabdesign de ReliabTbx R1.5
– 51 –
février 2012
10,2760
Dimensionnement As0ELU (cm²)
56,43
-0,02357
23,034
305,32
0,006191
51,766
6,1972
26,592
0,22936
0,035224
0,79577
-0,1205
0,40257
-0,34778
-0,12393
22,936
0,015387
0,048836
-24,099
0,35667
-0,48116
-0,09914
-54,06
-0,006743
-0,2843
-29,84
-1,4755
-1,7196
-0,12626
Δh (m)
fc (MPa)
fy (Mpa)
Δc (m)
As (cm²)
S (t/ml)
ρc (kN/m3)
Tableau 21 : Résultats du calcul de l’indice de fiabilité cible du pont à poutres des Bouillères à l’ELU.
Comme à l’ELS, la valeur très faible du cosinus directeur de fc montre que cette variable aléatoire a peu
d’influence sur le calcul de l’indice de fiabilité cible. Un calcul simplifié avec 6 variables aléatoires (Tableau
22) fournit un indice de fiabilité cible très proche (10,2170 pour 10,2760). Néanmoins, étant donnée la rapidité
des calculs, toutes les variables ont été conservées.
10,2170
Dimensionnement As0ELU (cm²)
56,43
-0,02357
306
0,0062
51,803
6,1893
26,587
0,23067
0,79603
-0,12116
0,40173
-0,34874
-0,12427
23,067
0,0488
-24,232
0,35592
-0,4825
-0,0994
-54,361
-0,2828
-29,996
-1,4608
-1,719
-0,12622
Δh (m)
fy (Mpa)
Δc (m)
As (cm²)
S (t/ml)
ρc (kN/m3)
Tableau 22 : Résultats du calcul simplifié de l’indice de fiabilité cible du pont à poutres des Bouillères à l’ELU.
3 - Évaluation de l’ouvrage par approche probabiliste
La définition d’un indice de fiabilité cible correspondant à chaque état limite permet de procéder à une
évaluation structurale du pont à poutres des Bouillères par approche probabiliste, en comparant l’indice de
fiabilité de l’ouvrage à sa valeur cible.
3.1 - Configuration géométrique de l’ouvrage neuf
Pour passer à l’ouvrage neuf (qui, dans notre cas, correspond à une solution fictive), la section d’acier
dimensionnante de 56,43 cm² a été arrondie à la valeur correspondant à la mise en place d’un nombre entiers
d’armatures, comme précisé à la section 1.2, soit une section d’acier As = 58,08 cm², le coffrage demeurant
inchangé. Cette valeur est conservée pour les calculs ELS et ELU. La section vérifie les recommandations ELS
et ELU puisque :
As = 58,08 cm 2 ≥ max ( As0 ELS = 47,35 cm 2 ; As0 ELU = 56, 43 cm 2 )
3.2 - Évaluation de l’ouvrage neuf à l’ELS
– 52 –
février 2012
Pour l’évaluation de l’ouvrage neuf, les calculs à l’ELS portent sur la même vérification et sont menés avec la
même fonction d’état limite et les mêmes variables aléatoires (Tableau 17) que pour les calculs de l’indice de
fiabilité cible à l’ELS, à l’exception de la valeur nominale de la section d’armatures prise à la valeur As =
58,08 cm² au lieu de sa valeur de dimensionnement strict As0ELS = 47,35 cm², le biais et le coefficient de
variation restant inchangés.
5,8266
-0,013045
23,874
361,59
0,003425
55,702
5,0765
25,905
0,22389
0,000461
0,82254
-0,11757
0,35135
-0,34726
-0,12431
22,389
0,000194
0,044433
-23,515
0,30247
-0,48043
-0,099451
-29,206
-1,96e-05
-0,17297
-16,109
-0,6192
-0,97207
-0,072035
Δh (m)
fc (Mpa)
fy (Mpa)
Δc (m)
As (cm²)
S (t/ml)
ρc (kN/m3)
Tableau 23 : Résultats du calcul de l’indice de fiabilité du pont à poutres des Bouillères neuf à l’ELS.
On vérifie que l’ouvrage à la conception est conforme aux Eurocodes à l’ELS puisque l’indice de fiabilité de
l’ouvrage neuf β est supérieur à son indice de fiabilité cible β0 :
β = 5,8266 ≥ 2,5045 = β0
Ce résultat n’est pas surprenant puisque la section d’acier en place est supérieure à la section minimale
nécessaire pour satisfaire la combinaison à l’ELS. On peut constater que l’écart entre l’indice de fiabilité de
l’ouvrage neuf et sa valeur cible est très important, ce qui s’explique par l’écart important (23%) entre la section
d’acier de l’ouvrage neuf et la section minimale nécessaire à l’ELS.
3.3 - Évaluation de l’ouvrage neuf à l’ELU
Pour l’évaluation de l’ouvrage neuf, les calculs à l’ELU portent sur la même vérification et sont menés avec la
fiabilité cible à l’ELU, à l’exception de la valeur nominale de la section d’armatures prise à la valeur As =
58,08 cm² au lieu de sa valeur de dimensionnement strict As0ELU = 56,43 cm², le biais et le coefficient de
10,7725
-0,024842
22,984
299,91
0,006524
52,966
6,3197
26,667
0,2306
0,035637
0,79231
-0,12113
0,40872
-0,34749
-0,12377
23,06
0,015601
0,049239
-24,225
0,35186
-0,48076
-0,099013
-57,285
-0,007146
-0,29538
-31,61
-1,5492
-1,7996
-0,13201
Δh (m)
fc (MPa)
fy (Mpa)
Δc (m)
As (cm²)
S (t/ml)
ρc (kN/m3)
Tableau 24 : Résultats du calcul de l’indice de fiabilité du pont à poutres des Bouillères neuf à l’ELU.
On vérifie que l’ouvrage à la conception est conforme aux Eurocodes à l’ELU puisque l’indice de fiabilité de
– 53 –
février 2012
β = 10,7725 ≥ 10, 2760 = β0
Ce résultat n’est de nouveau pas surprenant puisque la section d’acier en place est supérieure à la section
minimale nécessaire pour satisfaire la combinaison à l’ELU. On peut constater que l’écart entre l’indice de
fiabilité de l’ouvrage neuf et sa valeur cible est moins important qu’à l’ELS, ce qui est cohérent avec le faible
écart (3%) entre la section d’acier de l’ouvrage neuf et la section minimale nécessaire à l’ELU.
3.4 - Bilan
Le tableau ci-dessous (Tableau 25) compare les valeurs des indices de fiabilité du pont à poutres des Bouillères
à la conception aux indices cibles correspondants à l’ELS et à l’ELU.
Indices de fiabilité
ELS
ELU
Indice de fiabilité cible β0
2,5045
10,2760
Indice de fiabilité de l’ouvrage neuf β
5,8266
10,7725
Indicateur de performance Ip = β/β0
2,3265
1,0483
Tableau 25 : Évaluation probabiliste de la performance du pont à poutres des Bouillères à l’ELS et à l’ELU.
La mise en place d’un nombre entier de barres dans l’ouvrage neuf lui procure une réserve de sécurité vis-à-vis
de la vérification en flexion à l’ELS comme à l’ELU. Cette réserve est toutefois plus importante à l’ELS qu’à
l’ELU, ce qui est cohérent avec le fait que l’ELU soit dimensionnant pour cet ouvrage.
L’application de la théorie de la fiabilité permet également de proposer une actualisation (ou recalibration) des
coefficients partiels des Eurocodes destinés à l’évaluation semi-probabiliste du pont à poutres des Bouillères,
pour intégrer de nouvelles informations sur l’ouvrage existant, tout en assurant le même niveau de fiabilité que
celui requis pour l’ouvrage neuf.
L’ELU étant relatif à l’intégrité structurale de l’ouvrage, c’est cette approche qui est privilégiée dans cette étude.
Les résultats du calcul de l’indice de fiabilité cible à l’ELU (Tableau 21) mettent en évidence les variables les
plus significatives sur l’indice β0, que l’on classe dans l’ordre décroissant d’importance :
• la limite d’élasticité des aciers passifs fy ;
• les charges de superstructures S ;
• la section d’armatures As ;
• la variation du coffrage (ou la hauteur de la poutre h) ;
• le poids volumique du béton ρc ;
• l’enrobage c.
La limite élastique des aciers passifs en place ne pouvant être mesurée sans prélèvement lors de l’inspection de
l’ouvrage, ce sont les variables suivantes qui sont finalement retenues pour la recalibration :
• les charges de superstructures S et le poids volumique du béton ρc, qui peuvent être évalués par exemple par
pesée de l’ouvrage ;
– 54 –
février 2012
• la section d’armatures As, qui peut être vérifiée par méthode RADAR ou par visuel direct des aciers mis à nu
dans le cas d’une réparation entraînant la reprise du béton d’enrobage.
L’actualisation est menée sur :
• le biais, qui permet de prendre en compte la valeur mesurée lors de l’auscultation (le biais représentant alors
le rapport entre la valeur mesurée et la valeur nominale) ;
• le coefficient de variation, qui permet de prendre en compte la précision de la mesure.
Les grilles de recalibration porteront donc sur :
• le coefficient γS sur les charges de superstructures (pour l’ouvrage neuf γS = 1,35x1,12 = 1,51) : plage de biais
0,80 à 1,40 (biais ouvrage neuf 1,00), plage de CdV 10% à 30% (CdV ouvrage neuf 20%) ;
• le coefficient γA sur la section d’armatures (en l’absence de coefficient pour l’ouvrage neuf, on introduit γA =
1,00 qui divise la section d’acier) : plage de biais 0,80 à 1,20 (biais ouvrage neuf 1,00), plage de CdV 1% à
3% (CdV ouvrage neuf 2%) ;
• le coefficient γG sur le poids volumique du béton (pour l’ouvrage neuf γG = 1,35) : plage de biais 0,90 à 1,10
(biais ouvrage neuf 1,00), plage de CdV 3% à 7% (CdV ouvrage neuf 5%).
Il est important de préciser que ces grilles de recalibration sont circonscrites à une vérification en flexion de la
poutre de rive du pont à poutre des Bouillères en section médiane.
4.2 - Calcul des coefficients partiels actualisés
Les coefficients partiels sont recalibrés pour assurer à l’ouvrage existant un niveau de fiabilité identique à celui
de l’ouvrage strictement dimensionné aux Eurocodes (β0 = 10,2760), selon la méthode décrite en Partie 1
(Chapitre 3, section 3.2). L’actualisation des coefficients partiels identifiés en section 4.1 est conduite grâce à la
fonction calib_coeff de ReliabTbx R1.5 et permet d’établir des grilles de coefficients partiels actualisés
(Tableau 26, Tableau 27 et Tableau 28). Notons toutefois que certains des résultats présentés dans ces tableaux
sont obtenus par dichotomie grâce à la fonction fiabcom lorsque la fonction calib_coeff présente des
problèmes de convergence.
Coefficient γS
Biais νS
Coefficient de variation CdVS
10%
20%
30%
0,80
0,86
1,10
1,45
1,00
1,16
1,51
2,01
1,20
1,47
1,94
2,60
1,40
1,78
2,38
3,21
Tableau 26 : Grille des coefficients partiels recalibrés à l’ELU portant sur les charges de superstructures S du pont à poutres des
Bouillères (valeur de γS pour l’ouvrage neuf en jaune).
Coefficient γA
Biais νA
Coefficient de variation CdVA
1%
2%
3%
0,80
1,22
1,25
1,31
1,00
0,98
1,00
1,05
1,20
0,81
0,83
0,88
– 55 –
février 2012
Tableau 27 : Grille des coefficients partiels recalibrés à l’ELU portant sur la section d’acier As du pont à poutres des Bouillères (valeur
de γA pour l’ouvrage neuf en jaune).
Coefficient de variation CdVG
Coefficient γG
Biais νG
3%
5%
7%
0,90
1,20
1,22
1,25
1,00
1,32
1,35
1,39
1,10
1,45
1,48
1,52
Tableau 28 : Grille des coefficients partiels recalibrés à l’ELU portant sur le poids volumique du béton ρc du pont à poutres des
Bouillères (valeur de γG pour l’ouvrage neuf en jaune).
4.3 - Combinaison des coefficients partiels actualisés
Les grilles de coefficients partiels (Tableau 26, Tableau 27 et Tableau 28) ayant été établies indépendamment
les unes des autres, leur utilisation simultanée ou successive doit être validée en s’assurant que la combinaison
de différents coefficients permet de garder le même niveau de fiabilité. Pour ce faire, on calcule l’indice de
fiabilité cible correspondant aux combinaisons des différents coefficients partiels, que l’on compare à l’indice
de fiabilité cible de l’ouvrage à l’ELU β0 = 10,2760.
Le Tableau 29 teste la combinaison des coefficients partiels recalibrés portant sur les charges de superstructures
S et la section d’acier As.
Coefficient β0
Biais νS
0,80
S
1,00
1,20
As
0,80
Biais νA
1,00
1,20
CdV
1%
2%
3%
1%
2%
3%
1%
2%
3%
10%
10,2977
10,276
10,2234
10,2972
10,276
10,2221
10,2984
10,276
10,2227
20%
10,2838
10,2761
10,2585
10,2834
10,2761
10,2572
10,2845
10,2761
10,2578
30%
10,2679
10,2760
10,3001
10,2675
10,2760
10,2988
10,2686
10,2760
10,2994
10%
10,2954
10,2760
10,2296
10,2949
10,2760
10,2284
10,2961
10,2760
10,2289
20%
10,2759
10,2760
10,2768
10,2754
10,2760
10,2756
10,2766
10,2760
10,2761
30%
10,2522
10,2760
10,3269
10,2518
10,2760
10,3257
10,2529
10,2760
10,3262
10%
10,2928
10,2761
10,2367
10,2924
10,2761
10,2354
10,2936
10,2761
10,2360
20%
10,3300
10,2760
10,2947
10,3269
10,2760
10,2935
10,3356
10,2760
10,2941
30%
10,2404
10,2759
10,3503
10,2400
10,2759
10,3492
10,2411
10,2759
10,3497
Tableau 29: Grille de l'indice de fiabilité cible à l’ELU du pont à poutres des Bouillères après combinaison des coefficients partiels
recalibrés sur les charges de superstructures S et la section d’acier As combinés (valeur initiale de β0 en jaune).
Les indices de fiabilité résultant de la combinaison des coefficients partiels recalibrés sur les charges de
superstructure et la section d’acier en place varient entre 10,2221 et 10,3503, soit un écart de l’ordre de 1% par
rapport à l’indice de fiabilité cible initial β0 = 10,2760 : les coefficients partiels actualisés γA et γS peuvent être
combinés, tout en garantissant le même niveau de fiabilité.
Les tableaux suivants (Tableau 30 et Tableau 31) testent la combinaison des coefficients partiels recalibrés
portant sur les charges des superstructure S, la section d’acier As et le poids volumique du béton ρc. Pour ces
– 56 –
février 2012
combinaisons, un seul biais est pris en compte pour la section d’acier, car c’est la variable dimensionnante, pour
laquelle, dans le calcul de l’indice de fiabilité cible, la valeur est déterminée à partir de l’état limite de
dimensionnement, sans prise en compte du biais indiqué pour la variable.
As : biais νA = 1,00 et coefficient de variation CdVA = 1%
Coefficient β0
Biais νS
0,80
S
1,00
1,20
ρc
0,90
Biais νG
1,00
1,10
CdV
3%
5%
7%
3%
5%
7%
3%
5%
7%
10%
10,3196
10,3087
10,2935
10,3098
10,2972
10,2796
10,3004
10,2859
10,2661
20%
10,2928
10,2873
10,2797
10,2898
10,2834
10,2743
10,2868
10,2792
10,2691
30%
10,2650
10,2625
10,2620
10,2762
10,2675
10,2662
10,3287
10,2723
10,2701
10%
10,3125
10,3041
10,2923
10,3047
10,2949
10,2812
10,2971
10,2858
10,2705
20%
10,2766
10,2750
10,2732
10,2773
10,2754
10,2732
10,2780
10,2756
10,2732
30%
10,2380
10,2425
10,2490
10,2466
10,2518
10,2592
10,2549
10,2607
10,2692
10%
10,3054
10,2994
10,2908
10,2995
10,2924
10,2825
10,2938
10,2855
10,2744
10,2367(*) 10,2819
10,2683
10,2890
10,3269
10,2729
10,2760 10,2465(*) 10,2771
10,2377
10,2312
10,2400
10,2526
10,2428
20%
30%
10,2193
10,2268
10,2528
10,2672
recalibrés sur les charges de superstructures S, la section d’acier As et le poids volumique du béton ρc combinés (valeur initiale
β0=10,2760).
(*) Ces deux valeurs sont obtenues en modifiant les options de calcul (méthode FORM), le calcul initial (méthode par
surfaces de réponse) convergeant vers des valeurs qui n’ont pas de sens physique.
Les indices de fiabilité résultant de la combinaison des coefficients partiels recalibrés portant sur les trois
paramètres étudiés varient alors entre 10,2193 et 10,3287, soit un écart de l’ordre de 1% par rapport à l’indice de
fiabilité cible initial β0 = 10,2760.
As : biais νA = 1,00 et coefficient de variation CdVA = 3%
Coefficient β0
S
Biais νS
0,80
1,00
1,20
ρc
0,90
Biais νG
1,00
1,10
CdV
3%
5%
7%
3%
5%
7%
3%
5%
7%
10%
10,2324
10,2306
10,2284
10,2239
10,2221
10,2197
10,2157
10,2138
10,2116
20%
10,2597
10,2609
10,2628
10,2557
10,2572
10,2595
10,2518
10,2536
10,2565
30%
10,2922
10,2967
10,3033
10,2934
10,2988
10,3036
10,2946
10,3008
10,3099
10%
10,2355
10,2353
10,2352
10,2284
10,2284
10,2284
10,2216
10,2216
10,2221
20%
10,2727
10,2762
10,2813
10,2714
10,2756
10,2816
10,2702
10,2749
10,2820
30%
10,3125
10,3196
10,3299
10,3173
10,3257
10,3377
10,3219
10,3316
10,3456
10%
10,2396
10,2408
10,2426
10,2338
10,2354
10,2377
10,2283
10,2302
10,2333
20%
10,2859
10,2913
10,2991
10,2871
10,2935
10,3027
10,2882
10,2956
10,3064
– 57 –
février 2012
30%
10,3308
10,3398
10,3529
10,3385
10,3492
10,3645
10,3459
10,3582
10,3760
recalibrés sur les charges de superstructures S, la section d’acier As et le poids volumique du béton ρc combinés (valeur initiale
β0=10,2760).
Les indices de fiabilité résultant de la combinaison des coefficients partiels recalibrés portant sur les trois
paramètres étudiés varient entre 10,2116 et 10,3760, soit un écart de l’ordre 1% par rapport à l’indice de fiabilité
cible initial β0 = 10,2760.
Dans l’exemple du pont à poutres des Bouillères et pour les trois paramètres retenus pour la recalibration
(charges des superstructure S, section d’acier As et poids volumique du béton ρc), l’utilisation combinée des
grilles de recalibration, où chaque recalibration ne concerne qu’un coefficient partiel, est possible et n’altère pas
le niveau de fiabilité de l’ouvrage.
5 - Exemple d’application à l’évaluation de l’ouvrage neuf
et existant
5.1 - Cadre de l’exemple
L’ouvrage étudié est l’ouvrage « neuf » du pont des Bouillères, avec la section d’acier en place de 58,08 cm²
détaillée en section 1.2.
On évalue la performance de l’ouvrage à sa conception puis on actualise ce niveau de performance sur l’ouvrage
existant. On considère, pour l’ouvrage existant, une charge supplémentaire de superstructures par rechargement
de chaussée (de 1 cm, soit 0,144 t/ml) et l’ajout d’une GBA sur chaque rive de l’ouvrage, séparant chaque
trottoir de la chaussée (0,65 t/ml par GBA). Cela correspond au total à 1,444 t/ml supplémentaire, par rapport à
une valeur initiale des superstructures de 3,614 t/ml (hors coefficient de majoration). On mesure ainsi 1,40 fois
la valeur nominale initiale, avec une précision de 10%.
On rappelle que, dans cette étude, l’évaluation de l’ouvrage à l’ELU porte sur la flexion de la poutre de rive en
section médiane.
5.2 - Application du règlement seul
5.2.1 -
Évaluation de l’ouvrage neuf
La sécurité de l’ouvrage neuf est évaluée par approche semi-probabiliste en comparant la section d’acier As mise
en place à la section minimale nécessaire à l’ELU As0ELU (section 2.2.1).
L’ouvrage neuf est conforme au règlement puisque sa section d’acier As est supérieure à la section minimale
nécessaire à l’ELU de As0ELU :
As = 58,08 cm 2 ≥ 56, 43 cm 2 = As0 ELU
5.2.2 -
Évaluation de l’ouvrage existant
La sécurité de l’ouvrage existant est évaluée par approche semi-probabiliste en comparant la section d’acier As
mise en place à la section minimale nécessaire à l’ELU As01ELU, calculée avec la nouvelle valeur du paramètre,
ici les charges de superstructures. L’application stricte des Eurocodes pour l’évaluation d’un ouvrage existant ne
permet de prendre en compte que le changement de valeur moyenne du moment des superstructures et pas sa
précision de mesure.
– 58 –
février 2012
La nouvelle valeur des superstructures (S = 1,4x3,614 = 5,06 t/ml) permet de calculer un nouveau moment
sollicitant MELU :
M ELU = γG M G + γS M S1 + γQ M Q
= 1,35 × 0,1675 + 1,35 × 1, 4 × 0,1163 + 1,35 × 0,7899
M ELU = 1,5124 MN.m
Dans cette combinaison, les coefficients majorateurs appliqués aux superstructures ne sont pas considérés
puisque l’ouvrage a fait l’objet d’un rechargement et d’une pesée précise pour déterminer le poids réel des
superstructures.
On déduit du moment sollicitant MELU actualisé la section d’armatures nécessaire à l’ELU As01ELU :
As01ELU = 58, 23 cm²
L’ouvrage existant n’est pas conforme au règlement puisque sa section d’acier As mise en place est inférieure à
la section minimale nécessaire à l’ELU de As01ELU :
As = 58,08 cm 2 ≥/ 58, 23 cm 2 = As01ELU
5.3 - Application de la théorie de la fiabilité
5.3.1 -
La sécurité de l’ouvrage neuf est évaluée par approche probabiliste en comparant l’indice de fiabilité de
l’ouvrage neuf β à son indice de fiabilité cible β0 (section 3.4).
Le Tableau 32 rappelle la loi de probabilité adoptée pour les charges de superstructures dans le calcul de β et β0.
Variable
Valeur
nominale
Loi de
probabilité
Biais
Écart-type
Coefficient
de variation
3,614
Loi normale
1,00
-
20%
Tableau 32 : Rappel de la loi de probabilité des charges de superstructures S pour le calcul des indices de fiabilité β et β0 du pont à
poutres des Bouillères.
L’ouvrage neuf est conforme au règlement puisque son indice de fiabilité β est supérieur à son indice de fiabilité
cible β0 :
β = 10,7725 ≥ 10, 2760 = β0
5.3.2 -
La sécurité de l’ouvrage existant est évaluée par approche probabiliste en comparant l’indice de fiabilité de
l’ouvrage existant β1 à son indice de fiabilité cible β0.
On commence donc par actualiser l’indice de fiabilité de l’ouvrage pour intégrer la nouvelle information sur les
charges de superstructures. Ce calcul est mené avec la nouvelle valeur moyenne (S = 5,06 t/ml), intégrée sous la
forme d’un nouveau biais (1,40 au lieu de 1,00) et le nouveau coefficient de variation (10% au lieu de 20%) sur
les superstructures. Le Tableau 33 donne la nouvelle loi de probabilité adoptée pour le calcul de β1. On obtient
ainsi un indice de fiabilité de l’ouvrage existant β1 :
β1 = 10,3925
– 59 –
février 2012
Variable
Valeur
nominale
Loi de
probabilité
Biais
Écart-type
Coefficient
de variation
3,614
Loi normale
1,40
-
10%
Tableau 33 : Actualisation de la loi de probabilité des charges de superstructure S pour le calcul de l’indice de fiabilité β1 du pont à
poutres des Bouillères (en bleu les caractéristiques modifiées par rapport au Tableau 32).
L’ouvrage existant est conforme au règlement puisque son indice de fiabilité β1 est supérieur à son indice de
fiabilité cible β0 :
β1 = 10,3925 ≥ 10, 2760 = β0
Deux raisons peuvent expliquer que la structure reste sûre vis-à-vis du règlement, malgré l’augmentation des
charges de superstructures :
• la section d'aciers de l’ouvrage réel est, par arrondi à un nombre entier de barres, supérieure à celle
strictement nécessaire à l’ELU ;
• le coefficient de variation de la variable superstructures est inférieur à celui retenu pour le calcul de l’indice
de fiabilité cible.
5.4 - Application du règlement avec grilles de recalibration
5.4.1 -
L’évaluation de l’ouvrage neuf est identique à celle réalisée à la section 5.2.1 : l’ouvrage neuf est conforme au
règlement puisque sa section d’acier As est supérieure à la section minimale nécessaire à l’ELU de As0ELU :
As = 58,08 cm 2 ≥ 56, 43 cm 2 = As0 ELU
5.4.2 -
La sécurité de l’ouvrage existant est évaluée par approche semi-probabiliste en comparant sa section d’acier As
mise en place à la section minimale nécessaire à l’ELU As01ELU.
La nouvelle information sur les charges de superstructures permet de calculer un nouveau moment sollicitant
MELU en remplaçant le coefficient partiel γS = 1,51 par le coefficient partiel actualisé correspondant à la nouvelle
valeur des superstructures (S = 1,40x3,614) et à son nouveau coefficient de variation (10%). On lit ainsi dans le
Tableau 26 à la dernière ligne (biais 1,40) et la première colonne (CdV 10%) le coefficient actualisé:
γˆS = 1,78
Ce coefficient partiel actualisé est injecté dans le calcul du moment sollicitant de l’ouvrage existant :
M ELU = γG M G + γˆS M S + γQ M Q
= 1,35 × 0,1675 + 1,78 × 0,1163 + 1,35 × 0,7899
M ELU = 1, 4993 MN.m
Soulignons que le calcul est conduit avec la valeur nominale du moment des superstructures MS = 0,1163 MN.m
puisque le coefficient partiel actualisé prend à la fois en compte la nouvelle valeur de mesure et le nouveau
coefficient de variation.
On déduit du moment sollicitant MELU actualisé la section d’armatures nécessaire à l’ELU As01ELU :
As01ELU =57,70cm 2
– 60 –
février 2012
L’ouvrage existant est conforme au règlement puisque sa section d’acier As mise en place est supérieure à la
section minimale nécessaire à l’ELU de As0ELU :
As = 58,08 cm 2 ≥ 57,70cm 2 = As01ELU
L’utilisation des grilles de recalibration permet de retrouver le même résultat qu’un calcul direct en fiabilité.
– 61 –
février 2012
Chapitre II
PICF de Challuy
L’ouvrage de référence (Figure 12 et Figure 13) est un passage à faunes construit en 2008 à Challuy (Nièvre)
pour le doublement de la RN7 (passage en 2x2 voies). L’ouvrage complet se compose de deux demi-ouvrages
droits identiques de type PICF, séparés par un vide central au niveau des traverses et reliés par des murs
masques ; l’étude se résume à un demi-ouvrage.
CETE de Lyon
Le PICF porte 2 voies de circulation, pour une largeur totale de 12,65 m. Son ouverture est de 4,80 m pour 2,91
m de hauteur. L’ouvrage est équipé d’un remblai intérieur de 0,30 m ainsi que de dalles de transition.
Figure 12 : Vue générale du PICF de Challuy.
Figure 13 : Vue intérieure du PICF de Challuy.
En phase d’exécution, cet ouvrage a été justifié selon les règlements français tant pour les actions variables
(fasciscule 61 titre II) que pour les sections d’armatures (BAEL). Ses éléments constitutifs présentent une
épaisseur de 0,35 m en raison notamment des sollicitations importantes générées par les engins de terrassement
devant circuler sur la structure en cours de chantier.
Bien que l’ouvrage ait été dimensionné au règlement français, dans cette étude, les calculs sont conduits aux
Eurocodes.
Les principales données fonctionnelles de l’ouvrage figurent sur les plans présentés en Figure 14 et Figure 15.
– 63 –
février 2012
Figure 14 : Coupe longitudinale du PICF de Challuy.
Figure 15 : Coupe transversale du PICF de Challuy.
Les matériaux constituant la structure sont :
• un béton de classe C30/37 de résistance caractéristique en compression fck = 30 MPa ;
• des armatures à haute adhérence de classe S500B de limite caractéristique d’élasticité fyk = 500 MPa.
L’application de la théorie de la fiabilité à l’évaluation du PICF de Challuy passe par la définition d’un indice de
fiabilité cible, qui sert de référence dans les approches probabilistes. Dans cette étude, l’indice de fiabilité cible
est défini comme l’indice de fiabilité d’un ouvrage équivalent au PICF de Challuy mais dimensionné à l’état
limite des Eurocodes. Deux indices cibles seront ainsi calculés, un pour l’État Limite de Service et un pour
l’État Limite Ultime.
2.1.1 -
strict selon les Eurocodes. Les vérifications sont menées sur la traverse supérieure et portent sur la flexion de
cette traverse en section médiane (mi-portée). Le dimensionnement vise à déterminer la section minimale des
armatures sous les charges et les combinaisons des Eurocodes.
Remarques :
– 64 –
février 2012
• Les ouvrages de type PICF sont des structures rustiques dont le dimensionnement principal est celui des
sections sollicitées en flexion, les efforts de cisaillement restant faibles et ne nécessitant pas d’armatures
d’effort tranchant la plupart du temps.
• Les dimensionnements de sections sont régis par l’État Limite de Service Caractéristique et « couvrent »
l’État Limite Ultime. Toutefois, les deux combinaisons sont étudiées par la suite. Le choix d’une limite
d’ouverture w = 0,30 mm sous combinaisons fréquentes de charges ne rendra pas cet État Limite
dimensionnant (limitation de contrainte des armatures à 300 MPa).
• Les sections principales sont les angles supérieurs et inférieurs des traverses (moments négatifs) et les
sections à mi-portée de piédroit et traverse (moments positifs). Dans le cadre de cette étude, on s’intéresse à
la section à mi-traverse supérieure mais le raisonnement serait analogue pour les autres sections.
Épa isseur du cadre
L’épaisseur du cadre est déterminée en appliquant la formule concernant les PICF du « Guide du projeteur » :
L
⎛
⎞
e = max ⎜ 0,125 + ;0,30 ⎟
32
⎝
⎠
où e est l’épaisseur de la traverse et L est l’ouverture de la structure. On retient ainsi :
e = 0,30 m
Cette valeur est appliquée à l’ensemble des éléments (traverse, piédroits et radier).
Matériaux et dispositions constructives
Les calculs à l’ELS sont conduits avec les valeurs de calcul des matériaux :
• béton : valeur de calcul de la résistance en compression du béton fcd :
f cd = f ck =
f ck
= 30 MPa
γc
avec γc = 1 et f ck = 30 MPa
• armatures : limite d’élasticité de calcul de l’acier de béton armé fyd :
f yd = f yk =
f yk
γs
= 500 MPa
avec γs = 1 et f yk = 500 MPa
Même si aucun coefficient partiel n’apparaît explicitement dans les Eurocodes, il est possible d’en introduire en
leur fixant une valeur de 1,00.
On retient finalement :
• une ouverture de fissures w = 0,30 mm, sous combinaisons fréquentes de charges (conformément au tableau
7.101 NF de l'annexe nationale de la NF EN 1992-2) ;
• un enrobage c = 35 mm, eu égard aux conditions d’environnement.
Sollicitations
Charges de superstructures
Conformément à la NF EN 1990, les charges de superstructures sont calculées en enveloppe avec des
coefficients de pondération 0,8-1,2 sur l’étanchéité et 0,8-1,4 pour l’enrobé, toutes les autres charges étant prises
à leurs valeurs caractéristiques. On en déduit :
• la valeur nominale des charges de superstructures :
– 65 –
février 2012
S = 40, 28 kN/ml
• les valeurs minimale et maximale des charges de superstructures :
Sinf = 33,77 kN/ml = 0,84 S
Ssup = 49, 21 kN/ml = 1, 22 S
Charges d’exploitation
L’ouvrage est un pont-route de classe 2 au sens de la NF EN 1991-2. On retient une largeur de chaussée w =
10,375 m et on applique les modèles de charges LM1 (UDL + TS) et LM2 (essieu unique). Aucune autre charge
routière n’est retenue (convoi exceptionnel, char ou engin de chantier).
Les moments fléchissants sont calculés dans la section retenue dans le cadre de cette étude, c’est-à-dire la
section à mi-portée de la traverse supérieure, pour une tranche d’1 m de largeur d’ouvrage :
M G = 15, 42 kN.m
MS = 5,92 kN.m
M Q = 72,93 kN.m
On en déduit ainsi le moment de flexion à l’ELS caractéristique comme :
M ELS = γG M G + γS M S + γQ M Q
= 1,00 × 15, 42 + 1, 22 × 5,92 + 1,00 × 72,93
M ELS = 95,59 kN.m
Les coefficients γG et γQ n’apparaissent pas dans les Eurocodes mais sont introduits ici avec une valeur neutre de
1,00. Le coefficient γS = 1,22 représente quant à lui l’écart entre la valeur maximale de l’enveloppe des
superstructures et sa valeur nominale.
M o d é l i sa t i o n
L’ouvrage est modélisé en modèle filaire à l’aide du logiciel à barres ST1. Les caractéristiques mécaniques des
différentes barres sont intégrées ; en particulier, le radier est modélisé comme une poutre sur sol élastique. La
version 2.20 de ST1 permettant d’intégrer les coefficients de répartition transversale des surcharges, le calcul est
mené en deux temps : détermination des coefficients de répartition de Guyon-Massonet à l’aide d’un tableur,
puis modélisation de la structure en pleine largeur avec ST1. Il est à noter que l’excentrement des charges de
l’Eurocode (en particulier les tandems TS) a un impact significatif pour la faible portée de l’ouvrage et conduit à
une majoration importante des moments fléchissants en travée.
Les calculs sont conduits conformément au guide « Ponts-cadres en béton armé – guide d’emploi » édité par le
Sétra en décembre 1991 (superstructures, dalles de transition, calcul en fourchette de la poussée des terres selon
la méthode de Rankine 0,25/0,50...).
Justifications à l’EL S caractéristique
Le dimensionnement des armatures est effectué conformément aux normes NF EN 1992-1-1 et NF EN 1992-2
et leurs annexes nationales. Le calcul est analogue au calcul BAEL (élastique linéaire) en introduisant :
• la limite de déformation du béton à εcu3 = 3,5 ‰ ;
• la limite de compression du béton à 0,6 fck ;
• la limite de contrainte des armatures à 300 MPa.
– 66 –
février 2012
Les deux derniers paramètres permettent ainsi de s’affranchir de toute justification à la fatigue (clause 6.8.102).
Ceci est conforme au choix fait par le Sétra pour la justification des PICF neufs calculés aux Eurocodes
(paramètres retenus dans les calculs CHAMOA).
Le dimensionnement strict à l’ELS consiste à déterminer la section d’aciers As0ELS nécessaire pour que le
moment résistant Mr égale le moment sollicitant MELS. Pour MELS = 95,59 kN.m, on obtient ainsi une section
d’armatures As0ELS nécessaire de :
As0 ELS = 14,80 cm 2 /ml
qui dépend des coefficients partiels γc = 1,00 et γs = 1,00 sur les matériaux et des coefficients γG = 1,00, γS = 1,22
et γQ = 1,00 sur les sollicitations.
2.1.2 -
dimensionnement strict aux Eurocodes (section 2.1.1), c’est-à-dire l’équilibre du moment résistant Mr et du
moment sollicitant MELS à mi-portée de la traverse supérieure à l’ELS caractéristique.
g = M r − M ELS
Dans la fonction d’état limite g, les coefficients partiels sur les matériaux et les charges ne sont pas considérés,
c’est-à-dire que le coefficient γS = 1,22 sur les superstructures est supprimé du calcul de MELS.
La fonction d’état limite est exprimée en fonction du moment résistant Mr, qui dépend :
• de la géométrie de la section : dimensions nominales des coffrages ;
• du béton : résistance caractéristique à la compression ;
• des armatures tendues : section, position (hauteur utile), limite d'élasticité ;
et du moment sollicitant MELS, qui dépend :
• des charges de poids propre : dimensions des coffrages, densité volumique du béton ;
• des charges de superstructures : enveloppes sur l’étanchéité et l’enrobé ;
• des charges d’exploitation.
2.1.3 -
La résistance à la compression fc du béton n’est pas retenue comme variable aléatoire à l’ELS puisque ce
paramètre a une très faible incidence dans le calcul du moment résistant. La valeur nominale de la limite
élastique des aciers fy est fixée à 500 MPa mais les calculs sont menés avec une valeur de 3/5 fy, afin de rester
cohérent avec la limite de 300 MPa imposée dans l’annexe nationale de l’EN 1992-2 pour s’affranchir de la
justification à la fatigue des armatures.
Variable
Section d’armatures As (cm²/ml)
Valeur
nominale
14,80
(As0ELS)
500
Loi de
probabilité
Biais
Écart-type
Coefficient
de variation
Loi normale
1,00
-
2%
Loi lognormale
1,15
-
5%
– 67 –
février 2012
Écart sur la hauteur de section Δh (mm)
(Δh tel que h = 300 + Δh)
Ecart sur l’enrobage des armatures Δc (mm)
(Δc tel que h = 35 + Δc)
0
Loi normale
1,00
10
-
0
Loi normale
1,00
5
-
Charges de superstructures S (kN/ml)
40,28
Loi normale
1,00
-
20 %
25
Loi normale
1,00
-
5%
Tableau 34 : Variables aléatoires et lois de probabilité retenues dans l’étude du PICF de Challuy à l’ELS (paramètre dimensionné en
jaune).
As0ELS = 14,80 cm²/ml (cf. section 2.1.1). On rappelle par ailleurs que les charges d’exploitation ne sont pas
2.1.4 -
L’ensemble des calculs est effectué sous Matlab ; aucun couplage n’est réalisé avec ST1 ou Excel. Les moments
sollicitants de poids propre et de superstructures étant linéaires aux charges correspondantes, ils sont redéfinis
sous Matlab après chaque tirage en pondérant le moment initial issu de ST1 par le rapport entre :
• la charge de superstructures obtenue par « tirage » de ReliabTbx et la charge nominale (40,28 kN/ml) ;
• la densité de béton obtenue par « tirage » de ReliabTbx et la densité nominale (25 kN/m3).
2,1310
Dimensionnement As0ELS (cm²/ml)
14,821
14,656
533,70
-11,946
3,3916
43,252
25,288
0,26274
0,68826
0,56058
-0,31831
-0,17313
-0,10827
0,88635
0,025768
56,0576
-63,66141
-0,02149
-0,086617
-0,49627
-0,036263
-66,966
-43,183
-0,0079219
-0,019985
As (cm²/ml)
fy (MPa)
Δh (mm)
Δc (mm)
S (kN/ml)
ρc (kN/m3)
Tableau 35 : Résultats du calcul de l’indice de fiabilité cible du PICF de Challuy à l'ELS.
2.2.1 -
strict selon les Eurocodes. Les vérifications sont menées sur la traverse supérieure et portent sur la flexion de
– 68 –
février 2012
cette traverse en section médiane (mi-portée). Le dimensionnement vise à déterminer la section minimale des
armatures sous les charges et les combinaisons des Eurocodes.
εcu3 = 3,5‰
λ = 0,8 et η =1,0
( fck = 20 MPa ≤ 50 MPa )
f cd =
αcc f ck
= 20 MPa
γc
avec αcc = 1, γc = 1,5 et f ck = 30 MPa
La loi de comportement retenue pour les aciers passifs est le diagramme contrainte-déformation de calcul, avec
branche supérieure horizontale, sans limite pour la déformation (diagramme B de la Figure 17), avec la limite
d’élasticité de calcul de l’acier fyd :
f yd =
f yk
γs
= 435 MPa
où γs = 1,15 et f yk = 400 MPa
Figure 17 : Diagramme contrainte déformation simplifié et de calcul pour les aciers passifs selon l’EN 1992-1-1.
– 69 –
février 2012
Sollicitations
On rappelle les moments fléchissants obtenus dans la section à mi-portée de la traverse supérieure, pour une
tranche d’1 m de largeur d’ouvrage :
M G = 15, 42 kN.m
MS = 5,92 kN.m
M Q = 72,93 kN.m
Le moment de flexion à l’ELU est déterminé à partir des moments calculés à l’ELS (section 2.1.1) en appliquant
les coefficients partiels de la combinaison à l’ELU sur les charges :
= 1,35 × 15, 42 + 1,35 × 1, 22 × 5,92 + 1,35 × 72,93
M ELU = 129,06 kN.m
valeur maximale de l’enveloppe des superstructures et sa valeur nominale (1,22).
Le calcul est mené conformément au Chapitre 6.1 de la NF EN 1992-2 (flexion simple).
Le dimensionnement strict à l’ELU consiste à déterminer la section d’aciers As0ELU nécessaire pour que le
moment résistant Mr égale le moment agissant ultime MELU. Pour MELU = 129,06 kN.m, on obtient ainsi une
section d’armatures As0ELU nécessaire :
As0 ELU = 12,96 cm 2 /ml
qui dépend des coefficients partiels sur les matériaux γc =1,50 (intervenant dans fcd) et γs = 1,15 (intervenant
dans fyd) et sur les sollicitations γG = 1,35, γS = 1,65 et γQ = 1,35 (intervenant dans MELU).
2.2.2 -
moment ultime MELU à mi-portée de la traverse supérieure.
g = M r − M ELU
Dans la fonction d’état limite g, les coefficients partiels ne sont pas considérés, c’est-à-dire que les coefficients
γc et γs sur les matériaux sont supprimés du calcul de Mr et que les coefficients γG, γS et γQ sur les sollicitations
sont supprimés du calcul de MELU.
La fonction d’état limite est exprimée en fonction du moment résistant Mr, qui dépend :
• de la géométrie de la section : dimensions nominales des coffrages ;
• du béton : résistance caractéristique à la compression ;
• des armatures tendues : section, position (hauteur utile), limite d'élasticité ;
et du moment sollicitant MELS, qui dépend :
• des charges de poids propre : dimensions des coffrages, densité volumique du béton ;
• des charges de superstructures : enveloppes sur l’étanchéité et l’enrobé ;
– 70 –
février 2012
des charges d’exploitation.
Soulignons notamment que la limite de résistance à la compression du béton fc joue un rôle plus important dans
le dimensionnement à l’ELU qu’à l’ELS.
2.2.3 -
Loi de
probabilité
Biais
Écart-type
Coefficient
de variation
Loi normale
1,00
-
2%
500
Loi lognormale
1,15
-
5%
0
Loi normale
1,00
10
-
0
Loi normale
1,00
5
-
Charges de superstructures S (kN/ml)
40,28
Loi normale
1,00
-
20 %
25
Loi normale
1,00
-
5%
Limite en compression du béton fc (MPa)
30
Loi lognormale
1,20
-
10%
Variable
Écart sur la hauteur de section Δh (mm)
(Δh tel que h = 300 + Δh)
Ecart sur l’enrobage des armatures Δc (mm)
(Δc tel que h = 35 + Δc)
Valeur
nominale
12,96
(As0ELU)
Tableau 36 : Variables aléatoires et lois de probabilité retenues dans l’étude du PICF de Challuy à l’ELU (paramètre dimensionné en
jaune).
interviennent dans le calcul de la valeur nominale de la variable de dimensionnement, ici la section d’armature
As0ELU = 12,96 cm²/ml (cf. section 2.2.1). On rappelle par ailleurs que les charges d’exploitation ne sont pas
2.2.4 -
L’ensemble des calculs est effectué sous Matlab ; aucun couplage n’est réalisé avec ST1 ou Excel. Les moments
sollicitants de poids propre et de superstructures étant linéaires aux charges correspondantes, ils sont redéfinis
sous Matlab après chaque tirage en pondérant le moment initial issu de ST1 par le rapport entre :
• la charge de superstructures obtenue par « tirage » de ReliabTbx et la charge nominale (40,28 kN/ml) ;
• la densité de béton obtenue par « tirage » de ReliabTbx et la densité nominale (25 kN/m3).
8,1863
Dimensionnement As0ELU (cm²/ml)
12,966
– 71 –
février 2012
12,458
453,91
- 54,5
15,0
50,42
25,84
34,05
0,240
0,575
0,665
-0,3673
-0,1538
-0,082
0,062
0,9231
0,0248
66,5519
-73,45
-0,0191
-0,0656
0,0184
-1,8091
-0,095
-362,585
-220,835
-0,0241
-0,0441
-0,0105
As (cm²/ml)
fy (MPa)
Δh (mm)
Δc (mm)
S (kN/ml)
ρc (kN/m3)
fc (MPa)
Tableau 37 : Résultats du calcul de l’indice de fiabilité cible du PICF de Challuy à l'ELU.
évaluation structurale du PICF de Challuy par approche probabiliste, en comparant l’indice de fiabilité de
l’ouvrage à sa valeur cible.
Pour passer à un ouvrage réel, on choisit de mettre en œuvre 5HA20/m ce qui correspond à une section
d’armatures As=15,70 cm²/ml, couvrant bien l’ELS et ELU puisque :
As =15,70cm 2 /ml ≥ max ( As0 ELS = 14,80 cm 2 /ml; As0 ELU = 12,96 cm 2 /ml )
Cette valeur est conservée pour l’évaluation de l’ouvrage à l’ELS et à l’ELU. Néanmoins, cette solution reste
fictive puisque le dimensionnement aux Eurocodes diffère de l’ouvrage réellement construit (épaisseur des
éléments constituant le cadre).
fiabilité cible à l’ELS, à l’exception de la valeur nominale de la section d’armatures prise à la valeur As =
15,70 cm²/ml au lieu de sa valeur de dimensionnement strict As0ELS = 14,80 cm²/ml, le biais et le coefficient de
2,8843
15,472
520,67
-16,460
4,459
44,260
25,380
0,25907
0,6800
0,57066
-0,32308
-0,17126
-0,10543
0,824707
0,026043
57,06622
-64,615328
-0,021259
-0,084340
-0,616267
-0,047513
-93,9302
-60,21289
-0,010502
-0,025646
As (cm²/ml)
fy (MPa)
Δh (mm)
Δc (mm)
S (kN/ml)
ρc (kN/m3)
Tableau 38 : Résultats du calcul de l’indice de fiabilité du PICF de Challuy neuf à l'ELS.
– 72 –
février 2012
β = 2,8843 ≥ 2,1310 = β0
nécessaire pour satisfaire la combinaison à l’ELS : l’augmentation de la section d’armatures (+ 6,1%) accroît le
moment résistant tandis que la sollicitation reste la même.
fiabilité cible à l’ELU, à l’exception de la valeur nominale de la section d’armatures prise à la valeur As =
15,70 cm²/ml au lieu de sa valeur de dimensionnement strict As0ELU = 12,96 cm²/ml, le biais et le coefficient de
10,2645
15,0304
443,767
- 74,0
20,1
51,78
25,88
33,97
0,2098
0,5027
0,7207
-0,3916
-0,1391
-0,0683
0,081
0,6679
0,022
72,06
-78,32
-0,0173
-0,055
0,0247
-1,439
-0,091
-533,08
-314,85
-0,0247
-0,0383
-0,0209
As (cm²/ml)
fy (MPa)
Δh (mm)
Δc (mm)
S (kN/ml)
ρc (kN/m3)
fc (MPa)
Tableau 39 : Résultats du calcul de l’indice de fiabilité du PICF de Challuy neuf à l'ELU.
β = 10, 2645 ≥ 8,1863 = β0
nécessaire pour satisfaire la combinaison à l’ELU : l’augmentation de la section d’armatures (+ 21,1%) accroît
le moment résistant tandis que la sollicitation reste la même.
3.4 - Bilan
Le tableau ci-dessous (Tableau 40) compare les valeurs des indices de fiabilité du PICF de Challuy à la
conception aux indices cibles correspondants à l’ELS et à l’ELU.
ELS
ELU
2,1310
8,1863
Indice de fiabilité de l’ouvrage réel β
2,8843
10,2645
1,3535
1,2539
Tableau 40 : Évaluation probabiliste de la performance du PICF de Challuy à l’ELS et à l’ELU.
La mise en place d’un nombre entier de barres dans l’ouvrage neuf lui procure une réserve de sécurité vis-à-vis
de la vérification en flexion à l’ELS comme à l’ELU. Cette réserve est sensiblement plus importante à l’ELS
qu’à l’ELU, bien que l’ELS soit dimensionnant.
– 73 –
février 2012
coefficients partiels des Eurocodes destinés à l’évaluation semi-probabiliste du PICF de Challuy, pour intégrer
de nouvelles informations sur l’ouvrage existant, tout en assurant le même niveau de fiabilité que celui requis
pour l’ouvrage neuf.
Bien que le PICF de Challuy soit dimensionné à l’ELS (As0ELS = 14,80 cm²/ml > As0ELU = 12,96 cm²/ml),
l’actualisation des coefficients partiels de sécurité est effectuée à l’ELU. En effet, l’ELU étant relatif à
l’intégrité structurale de l’ouvrage, c’est cette approche qui est privilégiée dans cette étude pour le recalcul
d’ouvrage.
• la variation du coffrage (ou la hauteur de la poutre h) ;
• la limite élastique des aciers passifs fy ;
• l’enrobage c ;
• la section d’acier As ;
• les charges de superstructures S ;
Sont finalement retenues parmi ces variables celles pouvant faire l’objet de mesure lors des auscultations
d’ouvrage :
• les charges de superstructures S, qui peuvent être évaluées par exemple par mesure des épaisseurs par
RADAR ;
• la section des armatures As, qui peut être évaluée par visuel direct des aciers mis à nu si une dégradation est
constatée.
• le coefficient γA sur la section d’armatures (en l’absence de coefficient pour l’ouvrage neuf, on introduit γA =
1,00 qui divise la section d’acier) : plage de biais 0,80 à 1,20 (biais ouvrage neuf 1,00), plage de CdV 1% à
3% (CdV ouvrage neuf 2%) ;
• le coefficient γS sur les charges de superstructures (pour l’ouvrage neuf γS = 1,35x1,223 = 1,6511) : plage de
biais 0,80 à 1,40 (biais ouvrage neuf 1,00), plage de CdV 10% à 30% (CdV ouvrage neuf 20%).
traverse supérieure du PICF de Challuy en section médiane.
de l’ouvrage strictement dimensionné aux Eurocodes (β0 = 8,1863), selon la méthode décrite en Partie 1
– 74 –
février 2012
(Tableau 41 et Tableau 42).
Coefficient γA
Biais νA
1%
2%
3%
0,80
1,23
1,25
1,28
1,00
0,98
1,00
1,03
1,20
0,82
0,83
0,86
Tableau 41 : Grille des coefficients partiels recalibrés à l’ELU portant sur la section d’acier As du PICF de Challuy (valeur de γA pour
l’ouvrage neuf en jaune).
Coefficient γS
Biais νS
10%
20%
30%
0,80
1,23
1,32
1,45
1,00
1,52
1,65
1,86
1,20
1,81
2,00
2,29
Tableau 42 : Grille des coefficients partiels recalibrés à l’ELU portant sur les charges de superstructures S du PICF de Challuy (valeur
de γS pour l’ouvrage neuf en jaune).
Les grilles de coefficients partiels (Tableau 41 et Tableau 42) ayant été établies indépendamment les unes des
autres, leur utilisation simultanée ou successive doit être validée en s’assurant que la combinaison de différents
coefficients permet de garder le même niveau de fiabilité. Pour ce faire, on calcule l’indice de fiabilité cible
correspondant aux combinaisons des différents coefficients partiels, que l’on compare à l’indice de fiabilité
cible de l’ouvrage à l’ELU β0 = 8,1863.
Le Tableau 43 teste la combinaison des coefficients partiels recalibrés portant sur les charges de superstructures
S et la section d’acier As.
Coefficient β0
As
Biais νA
0,80
1,00
1,20
S
0,80
Biais νS
1,00
1,20
CdV
10%
20%
30%
10%
20%
30%
10%
20%
30%
1%
8,1883
8,1874
8,1860
8,1878
8,1864
8,1843
8,1871
8,1853
8,1826
2%
8,1864
8,1864
8,1864
8,1864
8,1863
8,1862
8,1862
8,1862
8,1862
3%
8,1825
8,1842
8,1868
8,1835
8,1858
8,1895
8,1842
8,1876
8,1925
1%
8,1876
8,1867
8,1852
8,1871
8,1857
8,1836
8,1864
8,1846
8,1819
2%
8,1864
8,1864
8,1864
8,1864
8,1863
8,1862
8,1862
8,1862
8,1862
3%
8,1830
8,1846
8,1873
8,1839
8,1863
8,1899
8,1847
8,1880
8,1929
1%
8,1883
8,1874
8,1860
8,1878
8,1864
8,1843
8,1871
8,1853
8,1826
– 75 –
février 2012
2%
8,1859
8,1859
8,1859
8,1859
8,1858
8,1858
8,1857
8,1858
8,1857
3%
8,1839
8,1855
8,1881
8,1848
8,1872
8,1908
8,1856
8,1889
8,1938
Tableau 43 : Grille de l'indice de fiabilité cible à l’ELU du PICF de Challuy après combinaison des coefficients partiels recalibrés sur
les charges de superstructures S et la section d’acier As combinés (valeur initiale de β0 en jaune).
Les indices de fiabilité résultant de la combinaison des coefficients partiels recalibrés sur les charges de
superstructure et la section d’acier en place varient entre 8,1819 et 8,1938, soit un écart très faible (inférieur à
0,15%) par rapport à l’indice de fiabilité cible initial β0 = 8,1863 : les coefficients partiels actualisés γA et γS
peuvent être combinés, tout en garantissant le même niveau de fiabilité.
et existant
L’ouvrage étudié est l’ouvrage « neuf » du PICF de Challuy, avec une section d’armatures passives de 15,70
cm²/ml dans la section médiane de la traverse supérieure.
existant. On considère, pour l’ouvrage existant, une corrosion des aciers révélée par une mise à nu des
armatures, se traduisant par une perte de 2 mm du diamètre de chaque armature, soit une section totale
d’armatures As1 = 12,72 cm²/ml. On mesure ainsi 0,80 fois la valeur nominale, avec une précision de 1%.
On rappelle que, dans cette étude, l’évaluation de l’ouvrage à l’ELU porte sur la flexion de traverse supérieure
en section médiane.
5.2.1 -
La sécurité de l’ouvrage neuf est évaluée par approche semi-probabiliste en comparant son moment résistant Mr
à son moment ultime MELU. On calcule ainsi :
• le moment résistant Mr, avec la section d’armatures As = 15,70 cm²/ml mise en place :
M r = 189 kN.m
• le moment ultime MELU (calcul détaillé en section 2.2.1) :
M ELU = 129 kN.m
L’ouvrage neuf est conforme au règlement puisque son moment résistant Mr est supérieur au moment ultime
MELU :
M r = 189 kN.m ≥ 129 kN.m = M ELU
5.2.2 -
La sécurité de l’ouvrage existant est évaluée par approche semi-probabiliste en comparant son moment résistant
Mr, calculé avec la section d’acier As1 observée après dégradation, à son moment ultime MELU. L’application
stricte des Eurocodes pour l’évaluation d’un ouvrage existant ne permet de prendre en compte que le
changement de valeur moyenne de la section d’acier et pas sa précision de mesure. On calcule ainsi :
– 76 –
février 2012
• le moment résistant Mr, avec la section d’armatures As = 12,72 cm²/ml observée lors de l’inspection:
M r = 127 kN.m
• le moment ultime MELU, qui est inchangé :
M ELU = 129 kN.m
L’ouvrage existant n’est pas conforme au règlement puisque son moment résistant Mr est inférieur au moment
ultime MELU :
M r = 127 kN.m ≥/ 129 kN.m = M ELU
5.3.1 -
Le Tableau 44 rappelle la loi de probabilité adoptée pour la section d’armatures dans le calcul de β et β0.
Variable
Valeur
nominale
Loi de
probabilité
Biais
Écart-type
Coefficient
de variation
15,70
Loi normale
1,00
-
2%
Tableau 44 : Rappel de la loi de probabilité de la section d’armatures As pour le calcul des indices de fiabilité β et β0 du PICF de
Challuy.
cible β0 :
β = 10, 2650 ≥ β0 = 8,1863
5.3.2 -
On commence donc par actualiser l’indice de fiabilité de l’ouvrage pour intégrer la nouvelle information sur la
section des armatures. Ce calcul est mené avec la nouvelle valeur moyenne (As = 12,72 cm2/ml), intégrée sous la
forme d’un nouveau biais (0,80 au lieu de 1,00) et le nouveau coefficient de variation (1% au lieu de 2%) sur la
section d’armatures. Le Tableau 45 donne la nouvelle loi de probabilité adoptée pour le calcul de β1. On obtient
ainsi un indice de fiabilité de l’ouvrage existant β1 :
β1 = 7,9959
Variable
Valeur
nominale
Loi de
probabilité
Biais
Écart-type
Coefficient
de variation
15,70
Loi normale
0,80
-
1%
Tableau 45 : Actualisation de la loi de probabilité de la section d’armatures As pour le calcul de l’indice de fiabilité β1 du PICF de
Challuy (en bleu les caractéristiques modifiées par rapport au Tableau 44).
L’ouvrage existant n’est pas conforme au règlement puisque son indice de fiabilité β1 est inférieur à son indice
de fiabilité cible β0 :
– 77 –
février 2012
β1 = 7,9959 ≥/ β0 = 8,1863
La très faible amplitude du coefficient de variation est insuffisante pour « corriger » une baisse de la valeur
moyenne de 20 %.
5.4.1 -
règlement puisque son moment résistant Mr est supérieur au moment ultime MELU :
M r = 189 kN.m ≥ 129 kN.m = M ELU
5.4.2 -
Mr, calculé avec la section d’acier As1 observée après dégradation, à son moment ultime MELU.
La nouvelle information sur la section des armatures permet de calculer un nouveau moment résistant Mr en
remplaçant le coefficient partiel γA = 1,00 par le coefficient partiel actualisé correspondant à la nouvelle valeur
de la section d’armatures (As = 0,80x15,70 = 12,72 cm2/ml) et à son nouveau coefficient de variation (1%). On
lit ainsi dans le Tableau 41 à la première ligne (biais 0,80) et la première colonne (CdV 1%) le coefficient
actualisé:
γˆA = 1, 23
Ce coefficient partiel actualisé est injecté dans le calcul du moment résistant de l’ouvrage existant, mené sur une
section d’armatures :
Asd =
As 15,70
=
= 12,75 cm 2 /ml
γˆA 1, 23
soit un moment résistant Mr = 127 kN.m. Soulignons que le calcul est conduit avec la valeur nominale de la
section d’armatures As = 15,70 cm2/ml puisque le coefficient partiel actualisé prend à la fois en compte la
nouvelle valeur de mesure et le nouveau coefficient de variation.
L’ouvrage existant n’est pas conforme au règlement puisque son moment résistant Mr est inférieur au moment
ultime MELU :
M r = 127 kN.m ≥/ 129 kN.m = M ELU
Ainsi, les résultats par l’approche semi-probabiliste sont les mêmes que ceux de l’approche en fiabilité : la
dégradation des armatures constatée sur l’ouvrage remettent en cause son fonctionnement à l’ELU. La
conclusion est identique à celle obtenue par application du règlement seul : on montre ainsi que la très faible
amplitude du coefficient de variation est insuffisante pour « corriger » une baisse de la valeur moyenne de 20 %.
– 78 –
février 2012
Chapitre III
VIPP de Merlebach
L’ouvrage de référence est le VIPP de Merlebach, construit en 1968 (Figure 18). Il est constitué de deux tabliers
indépendants, portant chacun un sens de circulation de l’autoroute A320. Chaque tablier se compose de six
travées isostatiques de 32,50 m de portée sans entretoises intermédiaires.
Figure 18 : Vue de dessous du VIPP de Merlebach.
Transversalement, chaque tablier, de 14,10 m de largeur totale, comporte cinq poutres espacées de 3,15 m,
d’une hauteur de 2,074 m, reliées entre elles par un hourdis de 1,65 m de largeur et de 0,18 m d’épaisseur
(Figure 19). Chaque poutre a une table de compression de 1,50 m de largeur. L’ouvrage comporte de la
précontrainte transversale au niveau du hourdis et des entretoises d’about.
Figure 19 : Coupe transversale du VIPP de Merlebach.
– 79 –
février 2012
Initialement, l’ouvrage a fait l’objet d’un dimensionnement au règlement français de l’époque (1968), c’est-àdire en appliquant les charges d’exploitation de la circulaire n°65 du 19 août 1960 (fascicule 61, Titre I à V) et
les justifications des sections précontraintes de la circulaire n°44 du 12 août 1965 (IP1). Dans l’ensemble, le
coffrage des tabliers est conforme aux règles de prédimensionnement des structures de type VIPP fournies dans
le guide de conception du Sétra (1996).
Suite à des problèmes de pertes de tension dans les câbles de précontrainte, les deux tabliers VIPP ont été
démolis en 2004 et 2005 et remplacés par deux tabliers de type bipoutre mixte acier-béton. Une poutre de rive
du tablier Nord a néanmoins été conservée près du chantier et a fait l’objet d’investigations complémentaires et
d’un chargement jusqu’à la rupture.
Notons que la corrosion excessive des câbles constatées sur de nombreuses poutres peut s’expliquer par un
défaut de mise en œuvre des injections de coulis réalisées en 1968. Pour le modèle probabiliste, il faudrait donc
pour la variable associée à la section résiduelle des câbles introduire une forte corrélation spécifique allant dans
le sens défavorable afin de traduire le défaut de fabrication.
Bien que l’ouvrage ait été dimensionné au règlement français, dans cette étude, les calculs sont conduits aux
Eurocodes.
La poutre retenue pour l’étude est la poutre la plus sollicitée, soit la poutre de rive externe (Figure 20).
Figure 20 : Section médiane de la poutre de rive externe du VIPP de Merlebach.
Le béton présente une résistance caractéristique en compression fck = 36 MPa.
La précontrainte longitudinale est constituée de 10 câbles 12 PHI 8 (603,2 mm² par câble) de type STUP,
répartis en deux familles de câbles (Figure 21) associées aux deux phases de bétonnage :
• la première famille de câbles est mise en tension en usine sur les poutres seules (mise en tension réalisée en
une fois), 6 jours après le bétonnage ; elle est constituée de 6 câbles dont l’axe est situé à 7 cm de la fibre
inférieure de la poutre ;
• la deuxième famille de câbles est mise en tension 6 jours après le coulage du hourdis (le béton de la poutre a
alors déjà 28 jours) ; elle est constituée de 4 câbles dont l’axe est situé à 11,5 cm de la fibre inférieure de la
poutre.
Les armatures de précontrainte présentent les caractéristiques suivantes :
– 80 –
février 2012
• résistance caractéristique en traction : fpk = 1559 MPa (notée fprg dans le BPEL) ;
• valeur caractéristique de la limite d’élasticité conventionnelle à 0,1 % : fp0,1k = 1393 MPa (notée fpeg dans le
BPEL).
Figure 21 : Câblage de la poutre de rive externe du VIPP de Merlebach.
L’application de la théorie de la fiabilité à l’évaluation du VIPP de Merlebach passe par la définition d’un indice
de fiabilité cible, qui sert de référence dans les approches probabilistes. Dans cette étude, l’indice de fiabilité
cible est défini comme l’indice de fiabilité d’un ouvrage équivalent au VIPP de Merlebach mais dimensionné à
l’état limite des Eurocodes. Deux indices cibles seront ainsi calculés, un pour l’État Limite de Service et un pour
l’État Limite Ultime.
2.1.1 -
rive externe, et portent sur la flexion de cette poutre en section médiane (mi-travée). Le dimensionnement vise à
déterminer la section minimale d’un câble de précontrainte sous les charges et les combinaisons des Eurocodes.
La valeur moyenne de la résistance en traction du béton fctm est calculée à partir de sa résistance caractéristique
en compression fck :
f ctm = 0,3 ( f ck )
2/3
= 3, 27 MPa
La contrainte σini appliquée à la mise en tension (précontrainte par post-tension) est calculée à partir de la
résistance caractéristique en traction fpk et de la valeur caractéristique de la limite d’élasticité conventionnelle à
0,1% fp0,1k des armatures de précontrainte :
σ ini = min ( 0,8 f pk ;0,9 f p0,1k ) = 1247,3 MPa
Pour simplifier les calculs à l’ELS, l’ensemble des pertes de précontrainte est appliqué après la mise en tension
des câbles de deuxième famille. Les pertes sont traitées comme un cas de charge sollicitant la section totale.
D’après le passage VIPP-EL, les pertes de précontrainte sont considérées comme représentant 30 % de la
précontrainte initiale. Cette valeur est ramenée à 20 %.
– 81 –
février 2012
Les calculs à l’ELS devant tenir compte des variations possibles de la précontrainte, deux valeurs
caractéristiques Pk,inf et Pk,sup sont définies à partir de la valeur moyenne de la précontrainte Pm,t, soit dans le cas
d’une précontrainte adhérente par post-tension :
Pk,sup = rsup Pm,t
avec rsup = 1,10
Pk,inf = rinf Pm,t
avec rinf = 0,90
Dans cette étude, les calculs sont menés dans le cas le plus défavorable, soit pour une valeur caractéristique de
la précontrainte Pk = 0,90 Pm,t.
Moment dû au poids propre
D’après les Eurocodes (NF EN 1990-A1-NA Clause A2.2), pour les poutres précontraintes préfabriquées in situ
et à l’ELS, les sollicitations sont sensibles à la géométrie du coffrage et à la position du câble ; il est alors
nécessaire de représenter le poids propre par deux valeurs Gk,inf et Gk,sup obtenues à partir de la valeur nominale
de G :
Gk,sup = 1,03 G
Gk,inf = 0,97 G
Dans cette étude, les calculs sont menés dans le cas le plus défavorable, soit pour une valeur caractéristique des
charges permanentes de Gk,sup = 1,03 G. Pour mémoire, dans le cas d’un calcul scientifique des pertes de
précontrainte, les pertes différées (retrait, fluage, relaxation) sont évaluées sur la base de la valeur moyenne de
G.
On déduit de la géométrie de la poutre et du poids propre du béton :
• la valeur nominale du moment de flexion MG dû au poids propre :
M G = 3, 2967 MN.m
• la valeur maximale du moment de flexion MG,sup dû au poids propre :
M G,sup = γG M G = 1,03.3, 2967 = 3,3956 MN.m
Moment dû aux superstructures
Le Tableau 46 donne les valeurs des charges de superstructures sollicitant la poutre de rive externe.
Largeur (m)
Valeur nominale
S (t/ml)
Fraction forfaitaire
(%)
Valeur maximale
Ssup (t/ml)
Enrobé (7cm)
1,825
0,281
40 %
0,393
Étanchéité (2cm)
1,825
0,08
20 %
0,096
Longrine béton
0,932
5%
0,979
Garde corps extérieur
0,04
5%
0,042
Glissière de sécurité
0,04
5%
0,042
TOTAL
1,373
ÉLÉMENTS SURFACIQUES
ÉLÉMENTS LINÉAIRES
1,552
Tableau 46 : Définition des charges de superstructures du VIPP de Merlebach.
– 82 –
février 2012
On en déduit :
• la valeur nominale du moment de flexion MS dû aux superstructures en section médiane :
MS =
1,373.32,52
= 1,8 MN.m
8
• la valeur maximale du moment de flexion MS,sup dû aux superstructures en section médiane :
M S,sup =
1,552.32,52
2,0
= 2,0 MN.m =
1,8 = γS M S
8
1,8
avec γS =
2,0
= 1,11
1,8
Moment dû aux charges d’exploitation
La largeur de la chaussée entre les dispositifs de sécurité est de 13 m, centrée sur l’axe du tablier. On
considère 3 voies conventionnelles de 3 m et une aire résiduelle de 4 m de largeur. Le modèle de charge
appliqué est le modèle LM1 ; la classe de trafic considérée est la classe 2.
La charge de trafic Q est donnée par :
3
3
i =1
i =1
Q = ∑ αQi Qik + ∑ αqi qik + αqr qrk
où :
• Qik est la valeur caractéristique de la charge d’essieu du TS sur la voie conventionnelle i ;
• qik est la valeur caractéristique de la charge UDL sur la voie conventionnelle i ;
• αQi et αqi sont les coefficients d’ajustement correspondant à la classe de trafic retenue (ici classe 2) donnés
dans l’annexe nationale de l’EN 1991-2.
Pour la poutre de rive considérée, le chargement le plus défavorable est obtenu en positionnant transversalement
la voie 1 la plus à gauche de la chaussée, puis les voies 2, 3 et l’aire résiduelle. Les tandems TS sont positionnés
au centre des voies 1, 2 et 3 (Figure 22) et l’aire résiduelle n’est pas chargée avec UDL (Figure 23). La
répartition transversale des charges entre les poutres est établie selon la théorie de Guyon-Massonnet (5 poutres
sans entretoise intermédiaire).
Figure 22 : Position transversale des voies et des tandems TS sur le VIPP de Merlebach.
– 83 –
février 2012
Figure 23 : Position transversale du chargement UDL sur le VIPP de Merlebach.
Longitudinalement, la travée est chargée en totalité par les charges UDL et deux positions proches de la mitravée sont étudiées pour les tandems TS (tandem centré sur le tablier ou tandem décalé avec un essieu
positionné à mi-travée) : le moment de flexion longitudinal de la poutre de rive est maximal pour les tandems
centrés longitudinalement.
On calcule ainsi la valeur maximale du moment de flexion longitudinal MQ à l’ELS caractéristique dans la
section médiane de la poutre de rive sous les charges de trafic des Eurocodes :
M Q = M Q ( TS) + M Q ( UDL ) = 3,0 + 1,6 = 4,6 MN.m
Le calcul des charges d’exploitation est réalisé suivant la méthode de Guyon-Massonet.
Le dimensionnement porte sur la section des armatures de précontrainte. L’Eurocode 2 donne deux critères à
vérifier :
• NF EN 1992-2/NA Clause 7.3.1 (105) Notes : les recommandations liées à la maîtrise de la fissuration pour
les classes d’environnement XC4 (armatures soumises aux risques de corrosion par carbonatation)
demandent la vérification de la non-décompression sous la combinaison quasi-permanente des charges (avec
la valeur probable de la précontrainte Pm) ainsi que la vérification de l’ouverture de fissure avec une limite
d’ouverture de fissure de wmax = 0,2 mm sous la combinaison fréquente de charges ;
• NF EN 1992-2/NA Clause 6.8.1 (102) Note : une vérification à la fatigue n’est pas nécessaire pour les
armatures de précontrainte et armatures de béton armé, dans les zones où, sous combinaison fréquente
d’actions avec la valeur probable de la précontrainte Pm, les fibres extrêmes du béton restent comprimées.
Dans la pratique, ces justifications sont utilisées en vérification de structure mais ne suffisent pas toujours à elles
seules à dimensionner la précontrainte de façon satisfaisante. En effet pour les ouvrages coulés en place, en
classe d’environnement XC3 ou XC4, les tractions dans le béton sous charges fréquentes et caractéristiques ne
sont pas limitées. Un dimensionnement de la précontrainte sur la base du seul critère de non-décompression en
quasi-permanent conduira à de faibles quantités de précontrainte et à des quantités importantes d’aciers passifs.
Le guide d’application de l’Eurocode 2 du Sétra propose, en particulier pour les structures de type « poutre »,
les règles suivantes pour limiter la contrainte dans le béton :
• σinf > 0 sous combinaison fréquente (dispense de la vérification à la fatigue selon l’EN 1992-2) ;
• σinf > – fctm sous combinaison caractéristique ; ce critère « Sétra » permet un calcul en section non fissurée et
suppose la présence d’aciers passifs.
Dans le cas de la poutre de rive du VIPP de Merlebach, c’est la deuxième condition qui est dimensionnante :
– 84 –
février 2012
σ inf > − f ctm
sous combinaison caractéristique
Elle permet de déterminer la section minimale Ap0ELS d’un câble de précontrainte (pour 10 câbles mis en
œuvre) :
Ap0 ELS = 579,98 mm 2
qui dépend des coefficients partiels γG = 1,03, γS = 1,11 et γQ = 1,00 sur les sollicitations.
Ce calcul est réalisé au moyen d’une feuille de calcul « Excel » qui prend en compte le phasage de réalisation du
tablier pour la section médiane de la poutre de rive externe. Le calcul des charges permanentes est automatisé en
fonction de la phase de construction considérée et tient compte du coefficient de majoration de 1,03. Le calcul
est mené en section brute de béton.
2.1.2 -
dimensionnement strict aux Eurocodes (section 2.1.1), c’est-à-dire le non-dépassement de la contrainte de
traction limite en fibre inférieure de la poutre à mi-portée à l’ELS caractéristique.
g = σ inf + f ct
γG = 1,03 sur les charges permanentes et γS = 1,11 sur les superstructures sont supprimés dans le calcul de σinf.
2.1.3 -
(Partie 1, Chapitre IV), excepté pour :
• les pertes de précontrainte ΔP, dont le coefficient de variation est pris à 10% au lieu de 30% ;
• la résistance en traction du béton fct, dont le biais est pris à 1,30 au lieu de 1,00 et le coefficient de variation à
15% au lieu de 20%.
Variable
Valeur
nominale
Loi de
probabilité
Biais
Écart-type
Coefficient
de variation
Écart sur la hauteur de la poutre Δh (m)
(h = 2,074 + Δh)
0
Loi normale
1,00
0,010
-
Contrainte initiale dans les câbles σini (MPa) (*)
1 247,3
Loi normale
1,00
-
6%
Pertes de précontrainte ΔP (%)
20
Loi normale
1,00
-
10 %
0,005
Loi normale
1,00
0,020
-
0,005
Loi normale
1,00
0,020
-
Section d’un câble Ap (mm2)
579,98
(Ap0ELS)
Loi normale
1,00
-
2%
25
Loi normale
1,00
-
5%
Écart sur l’excentrement de la famille de
câbles 1 Δe1 (m) (**)
Écart sur l’excentrement de la famille de
câbles 2 Δe2 (m) (**)
– 85 –
février 2012
Moment des superstructures MS (MN.m)
1,8
Loi normale
1,00
-
20 %
Résistance en traction du béton fct (MPa)
3,27
Loi lognormale
1,30
-
15 %
Tableau 47 : Variables aléatoires et lois de probabilité retenues dans l’étude du VIPP de Merlebach à l’ELS (paramètre dimensionné en
jaune).
(*) On considère un coefficient de variation de 6% dans le cas d’une précontrainte adhérente par post-tension.
(**) On considère un écart de 5 mm (vers le bas) sur les excentrements des câbles de précontrainte dans le cas d’une
poutre.
interviennent dans le calcul de la valeur nominale de la variable de dimensionnement, ici la section d’un câble
de précontrainte Ap0ELS = 579,98 mm² (cf. section 2.1.1). On rappelle par ailleurs que les charges d’exploitation
ne sont pas probabilisées dans cette étude.
2.1.4 -
• surface de réponse quadratique avec termes croisés ('type_sreponse',3) ;
• plan d’expérience composite centré ('type_plandex',3).
0,9215
Dimensionnement Ap0ELS (mm²)
579,98
-0,00059
1 200
0,2050
0,0034
0,00403
577,63
25,264
1,9572
4,0128
0,0647
0,6859
-0,2737
0,0840
0,0522
0,2208
-0,2296
-0,4737
0,3385
6,4739
0,0092
-13,6885
4,2027
2,6093
0,019
-0,1837
-1,3159
0,5703
-0,3862
-0,0058
-3,4532
-0,3255
-0,1255
-0,0039
-0,0389
-0,5745
-0,2422
Δh
(m)
σini
(MPa)
ΔP
(%)
Δe1
(m)
Δe2
(m)
Ap
(mm²)
ρc
(kN/m3)
MS
(MN.m)
fct
(MPa)
Tableau 48 : Résultats du calcul de l’indice de fiabilité cible du VIPP de Merlebach à l'ELS.
Les valeurs très faibles des cosinus directeurs de Δh, écart sur la hauteur de la poutre, et de Δe1 et Δe2, écarts sur
les excentrements respectifs des familles de câbles 1 et 2, montrent que ces 3 variables aléatoires ont peu
49) fournit un indice de fiabilité cible très proche (0,9280 pour 0,9215). Ainsi, pour la suite des calculs à l’ELS,
le modèle simplifié à 6 variables aléatoires sera utilisé.
0,9280
Dimensionnement Ap0ELS (mm²)
579,98
1 199,3
0,2051
577,5947
25,2681
1,9593
4,0103
0,6911
-0,2757
0,2224
-0,2311
-0,4768
0,3407
0,0092
-13,7867
0,0192
-0,1849
-1,3245
0,5742
– 86 –
février 2012
-0,0059
-3,5276
-0,0040
-0,0397
-0,5860
-0,2459
σini
(MPa)
ΔP
(%)
Ap
(mm²)
ρc
(kN/m3)
MS
(MN.m)
fct
(MPa)
Tableau 49 : Résultats du calcul simplifié de l’indice de fiabilité cible du VIPP de Merlebach à l'ELS.
Les deux variables qui ont le plus de poids pour l’état limite considéré sont la contrainte initiale dans les câbles
de précontrainte σini et le moment des superstructures MS.
2.2.1 -
rive externe, et portent sur la flexion de cette poutre en section médiane (mi-travée). Le dimensionnement vise à
déterminer la section minimale d’un câble de précontrainte sous les charges et les combinaisons des Eurocodes.
εcu3 = 3,5‰
λ = 0,8 et η =1,0
( fck = 36 MPa ≤ 50 MPa )
f cd =
αcc f ck
= 24 MPa avec αcc = 1, γc = 1,5 et f ck = 36 MPa
γc
La loi de comportement retenue pour les aciers de précontrainte est le diagramme contrainte-déformation de
calcul, avec branche supérieure horizontale, sans limite pour la déformation (diagramme B de la Figure 25) ,
avec la valeur de calcul de la contrainte de l’acier fpd :
f pd =
f p0,1k
γs
= 1211,30 MPa où γs = 1,15 et f p0,1k = 1393 MPa
Les aciers passifs ne sont pas considérés dans les calculs.
– 87 –
février 2012
Figure 25 : Diagramme contrainte déformation simplifié et de calcul pour les aciers de précontrainte selon l’EN 1992-1-1.
Le moment de flexion à l’ELU est déterminé à partir des valeurs des moments dus au poids propre MG, aux
superstructures MS et aux charges d’exploitation MQ (calculés en section 2.1.1), en appliquant les coefficients
partiels de sécurité de la combinaison à l’ELU sur les charges :
M ELU
= 1,35 × 3, 2967 + 1,35 × 1,11 × 1,8 + 1,35 × 4,6
= 13,3605 MN.m
valeur maximale de l’enveloppe des superstructures et sa valeur nominale (1,11). Le calcul des charges
permanentes est automatisé en fonction de la géométrie de la section.
La dimensionnement strict à l’ELU consiste à déterminer la section de câble Ap0ELU nécessaire pour que le
moment résistant Mr égale le moment agissant ultime MELU. Pour calculer le moment résistant Mr de la section
médiane de la poutre, on commence par déterminer la position de l’axe neutre x, correspondant au lieu de
déformation nulle, par équilibre des efforts limites.
Étape 1 : on suppose que la table seule (hourdis de largeur b et de hauteur h0) suffit à reprendre les efforts de
compression.
• Calcul de l’effort de compression dans le béton Fc :
Fc = λ x b η f cd = 0,8 x b f cd
• Calcul de l’effort de traction dans les câbles de précontrainte Fp dans le cas de la plastification des aciers :
Fp = Ap f pd
• Calcul de la position de l’axe neutre x par équilibre des efforts :
x=
f pd Ap
λ b η f cd
=
– 88 –
f pd Ap
0,8 b f cd
février 2012
Étape 2 : on teste la validité de l’hypothèse.
• Si λx ≤ h0, la table peut effectivement reprendre à elle seule les efforts de compression et le moment résistant
Mr s’écrit :
λx ⎞
0,8 x ⎞
⎛
⎛
M r = λ x b ⎜ d − ⎟ η f cd = 0,8 x b ⎜ d −
⎟ f cd
2 ⎠
2 ⎠
⎝
⎝
• Si λx > h0, la nervure (largeur b0) participe à la reprise des efforts. L’effort de traction dans les câbles est alors
équilibré par un effort de compression dans la nervure et dans la table extérieure.
Étape 3 : on calcule le moment résistant dans le cas où la nervure participe à la reprise des efforts.
• Calcul de l’effort de compression dans le béton Fc :
Fc = λ x b0 η f cd + (b − b0 ) h0 η f cd = 0,8 x b0 f cd + (b − b0 ) h0 f cd
• Calcul de la position de l’axe neutre x par équilibre des efforts :
x=
f pd Ap − (b − b0 ) h0 η f cd
λb0 η f cd
=
f pd Ap − (b − b0 ) h0 f cd
0,8 b0 f cd
• Calcul du moment résistant Mr :
h ⎞
h0 ⎞
λx ⎞
0,8 x ⎞
⎛
⎛
⎛
⎛
M r = λ x b0 ⎜ d − ⎟ η f cd + ( b − b0 ) h0 ⎜ d − 0 ⎟ η f cd = 0,8 x b0 ⎜ d −
⎟ f cd + ( b − b0 ) h0 ⎜ d − ⎟ f cd
2 ⎠
2⎠
2 ⎠
2⎠
⎝
⎝
⎝
⎝
Notons que le pivot ne peut pas dépasser la position x = d sans quoi les aciers ne peuvent remplir leur fonction.
Ainsi, la valeur de x est bornée supérieurement par la valeur de d.
Les calculs sont réalisés au moyen d’un fichier Matlab pour la section médiane de la poutre de rive externe. La
variable de dimensionnement retenue est la section d’un câble de précontrainte dont l’expression n’est pas
calculée de manière explicite mais déterminée par dichotomie. La section minimale d’un câble de précontrainte
Ap0ELU (pour 10 câbles mis en œuvre) est celle qui vérifie Mr = MELU, soit :
Ap0 ELU = 571,80 mm 2
Notons que Ap0ELU dépend des coefficients partiels sur les matériaux γc =1,50 (intervenant dans fcd) et γs = 1,15
(intervenant dans fp0,1k) et sur les sollicitations γG = 1,35, γS = 1,50 et γQ = 1,35 (intervenant dans MELU).
– 89 –
février 2012
2.2.2 -
moment ultime MELU dans la section médiane de la poutre de rive externe.
g = M r − M ELU
γc et γs sur les matériaux sont supprimés du calcul de Mr et que les coefficients γG, γS et γQ sur les sollicitations
sont supprimés du calcul de MELU.
2.2.3 -
Variable
Valeur
nominale
Loi de
probabilité
Biais
Écart-type
Coefficient
de variation
Limite d’élasticité conventionnelle à 0,1 % de
l’acier de précontrainte fp0,1 (MPa)
1 393
Loi lognormale
1,00
-
4%
Section d’un câble Ap (mm2)
571,80
(Ap0ELU)
Loi normale
1,00
-
2%
25
Loi normale
1,00
-
5%
1,8
Loi normale
1,00
-
20 %
Tableau 50 : Variables aléatoires et lois de probabilité retenues dans l’étude du VIPP de Merlebach à l’ELU (paramètre dimensionné en
jaune).
interviennent dans le calcul de la valeur nominale de la variable de dimensionnement, ici la section d’un câble
de précontrainte Ap0ELU = 571,80 mm² (cf. section 2.2.1). On rappelle par ailleurs que les charges d’exploitation
ne sont pas probabilisées dans cette étude.
2.2.4 -
8,1100
– 90 –
février 2012
Dimensionnement Ap0ELU (mm²)
571,8079
1 108,8
537,1784
27,5629
3,4121
0,7013
0,3734
-0,2528
-0,5522
0,0155
0,0326
-0,2023
-1,5338
-0,0720
-0,0989
-0,4147
-6,8683
fp0,1
(MPa)
Ap
(mm²)
ρc
(kN/m3)
MS
(MN.m)
Tableau 51 : Résultats du calcul de l’indice de fiabilité cible du VIPP de Merlebach à l'ELU.
La variable qui a le plus de poids pour l’état limite considéré est la limite d’élasticité conventionnelle à 0,1 %
des aciers de précontrainte fp0,1.
évaluation structurale du VIPP de Merlebach par approche probabiliste, en comparant l’indice de fiabilité de
l’ouvrage à sa valeur cible.
Pour passer à l’ouvrage neuf, la section d’acier d’un câble de précontrainte est prise à la valeur mise en œuvre
sur l’ouvrage à sa construction, soit Ap = 603,20 mm². Cette valeur est conservée pour les calculs ELS et ELU.
La section vérifie les recommandations ELS et ELU puisque :
Ap = 603, 20 mm 2 ≥ max ( Ap0 ELS = 579,98 mm 2 ; Ap0 ELU = 571,80 mm 2 )
De plus, on considère la tension réellement appliquée lors de la mise en tension. Le règlement IP1 proposait une
tension maximale égale à σini = 0,95 fpeg = 1323,35 MPa mais la tension mise en œuvre a été de σini = 1330 MPa.
fiabilité cible à l’ELS (calcul simplifié selon les options retenues en conclusion du 2.1.4), à l’exception des
valeurs nominales des variables suivantes qui ont été modifiées comme suit :
• la contrainte initiale dans les câbles σini prise à 1330 MPa au lieu de 1247,3 MPa ;
• la section d’un câble prise à la valeur mise en place Ap = 603,20 mm2 au lieu de sa valeur de
dimensionnement strict Ap0ELS = 579,98 mm2 ;
• les biais et coefficients de variation restant inchangés.
2,0692
1 210,6
0,2114
597,6734
25,5712
2,1394
3,8202
0,7230
-0,2752
0,2214
-0,2208
-0,4556
0,3101
0,0091
-13,7607
0,0184
-0,1767
-1,2656
0,5461
– 91 –
février 2012
-0,0136
-7,8362
-0,0084
-0,0807
-1,1932
-0,3804
σini
(MPa)
ΔP
(%)
Ap
(mm²)
ρc
(kN/m3)
MS
(MN.m)
fct
(MPa)
Tableau 52 : Résultats du calcul de l’indice de fiabilité du VIPP de Merlebach neuf à l'ELS.
β = 2,0692 ≥ 0,9280 = β0
Ce résultat n’est pas surprenant puisque la section de câble de précontrainte en place est supérieure à la section
minimale nécessaire pour satisfaire la combinaison à l’ELS.
fiabilité cible à l’ELU, à l’exception de la valeur nominale de la section d’un câble prise à la valeur mise en
place Ap = 603,20 mm2 au lieu de sa valeur de dimensionnement strict Ap0ELU = 571,80 mm², le biais et le
coefficient de variation restant inchangés.
9,0497
1 078,6
561,8877
27,8262
3,5777
0,7047
0,3784
-0,2498
-0,5457
0,0159
0,0314
-0,1999
-1,5157
-0,0811
-0,1074
-0,4519
-7,4846
fp0,1
(MPa)
Ap
(mm²)
ρc
(kN/m3)
MS
(MN.m)
Tableau 53 : Résultats du calcul de l’indice de fiabilité du VIPP de Merlebach neuf à l'ELU.
β = 9,0497 ≥ 8,1100 = β0
Ce résultat n’est de nouveau pas surprenant puisque la section de câble de précontrainte en place est supérieure à
la section minimale nécessaire pour satisfaire la combinaison à l’ELU.
3.4 - Bilan
Le tableau ci-dessous (Tableau 54) récapitule les valeurs des indices de fiabilité cible β0 calculés pour l’ouvrage
considéré et les indices de fiabilité β de l’ouvrage neuf.
ELS
ELU
0,9280
8,1100
2,0692
9,0497
– 92 –
février 2012
2,2297
1,1159
Tableau 54 : Évaluation probabiliste de la performance du VIPP de Merlebach à l’ELS et à l’ELU.
Le passage à la section de câble réellement mise en œuvre dans l’ouvrage neuf et à la tension réellement
appliquée dans les câbles procure au VIPP de Merlebach une réserve de sécurité vis-à-vis de la vérification en
flexion à l’ELS comme à l’ELU. Cette réserve est toutefois plus importante à l’ELS qu’à l’ELU, bien que l’ELS
soit dimensionnant.
coefficients partiels des Eurocodes destinés à l’évaluation semi-probabiliste du VIPP de Merlebach, pour
intégrer de nouvelles informations sur l’ouvrage existant, tout en assurant le même niveau de fiabilité que celui
requis pour l’ouvrage neuf.
Bien que le VIPP de Merlebach soit dimensionné à l’ELS (Ap0ELS = 579,98 mm² > Ap0ELU = 571,80 mm²),
l’actualisation des coefficients partiels de sécurité est effectuée à l’ELU. En effet, l’ELU étant relatif à
l’intégrité structurale de l’ouvrage, c’est cette approche qui est privilégiée dans cette étude.
• la limite d’élasticité conventionnelle à 0,1 % des câbles fp0,1 ;
• la section d’un câble Ap ;
• le moment des superstructures MS.
Sont finalement retenues parmi ces variables celles pouvant faire l’objet de mesure lors des auscultations
d’ouvrage :
• la section d’un câble Ap, qui peut être estimée par une ouverture de fenêtres ;
• le moment des superstructures MS, qui peut être estimé par pesée de l’ouvrage.
• le coefficient γS sur le moment dû aux superstructures (pour l’ouvrage neuf γS = 1,35x2,0/1,8 = 1,50), plage
de biais : 0,90 à 1,30 (biais ouvrage neuf 1,00), plage de CdV : 10% à 30 % (CdV ouvrage neuf 20 %) ;
• le coefficient γA sur la section d’un câble de précontrainte (en l’absence de coefficient pour l’ouvrage neuf,
on introduit γA = 1,00 qui divise la section d’acier), plage de biais : 0,80 à 1,20 (biais ouvrage neuf 1,00),
plage de CdV 1% à 3 % (CdV ouvrage neuf 2 %).
poutre de rive externe du VIPP de Merlebach en section médiane.
– 93 –
février 2012
de l’ouvrage strictement dimensionné aux Eurocodes (β0 = 8,1100), selon la méthode décrite dans la Partie 1
(Tableau 55 et Tableau 56). Notons toutefois que certains des résultats présentés dans ces tableaux sont obtenus
par dichotomie grâce à la fonction fiabcom lorsque la fonction calib_coeff présente des problèmes de
convergence.
Coefficient γS
Biais νS
5%
10 %
15 %
20 %
25 %
30 %
0,80
0,70 (+)
0,78 (+, #)
0,91
1,08
1,27
1,49
0,90
0,82 (+)
0,93
1,09
1,2876
1,52
1,77
1,00
0,95
1,08
1,26
1,50
1,77
2,06
1,20
1,21
1,38
1,63
1,93
2,28
2,64
1,40
1,46
1,69
2,00
2,38
2,80
3,24
1,50
1,59
1,84
2,19
2,61
3,06
3,54
Tableau 55 : Grille des coefficients partiels recalibrés à l’ELU portant sur le moment des superstructures MS du VIPP de Merlebach
(valeur de γS pour l’ouvrage neuf en jaune).
Coefficient γA
Biais νA
1%
2%
3%
0,80
1,22 (+, #)
1,25 (#)
1,32 (#)
0,90
1,08 (+, #)
1,11 (+, #)
1,16 (#)
1,00
0,98
1,00
1,04 (+, #)
1,10
0,89 (+)
0,91 (+)
0,95
1,20
0,81 (+)
0,83
0,87
Tableau 56 : Grille des coefficients partiels recalibrés à l’ELU portant sur la section des câbles de précontrainte Ap du VIPP de
Merlebach (valeur de γA pour l’ouvrage neuf en jaune).
(+) : La mention « division par zéro » apparaît au cours du calcul.
(#) : La détermination du coefficient partiel de sécurité a été réalisée « pas à pas » et non de façon automatique, du fait de
problèmes de convergence ou de valeurs de γ négatives.
Les grilles de coefficients partiels ayant été établies indépendamment les unes des autres, leur utilisation
simultanée ou successive doit être validée en s’assurant que la combinaison de différents coefficients permet de
garder le même niveau de fiabilité. Pour ce faire, on calcule l’indice de fiabilité cible correspondant aux
combinaisons des différents coefficients partiels, que l’on compare à l’indice de fiabilité cible de l’ouvrage à
l’ELU β0 = 8,1100.
Le Tableau 57 teste la combinaison des coefficients partiels recalibrés portant sur la section d’un câble de
précontrainte Ap et le moment des superstructures MS.
– 94 –
février 2012
Coefficient β0
Biais νS
0,80
MS
1,00
1,40
Ap
0,80
Biais νA
Biais 1,00
Biais 1,20
CdV
1%
2%
3%
1%
2%
3%
1%
2%
3%
10 %
8,1867
8,1100
8,2315
8,1873
8,1100
8,0044
8,1876
8,1100
8,0044
20 %
8,1289
8,1101
8,2940
8,1293
8,1101
8,0814
8,1296
8,1101
8,0814
30 %
8,0832
8,1101
8,3449
8,3449
8,1101
8,1476
8,0839
8,1101
8,1476
10 %
8,1775
8,1102
8,2416
8,1781
8,1102
8,0165
8,1784
8,1102
8,0165
20 %
8,1089
8,1100
8,1095
8,1093
8,1100
8,1095
8,1096
8,1100
8,1095
30 %
8,0637
8,1100
8,3666
8,0641
8,1100
8,1776
8,0644
8,1100
8,1776
10 %
8,1581
8,1100
8,2620
8,1586
8,1100
8,0415
8,1589
8,1100
8,0415
20 %
8,0794
8,1101
8,3492
8,0798
8,1101
8,1534
8,0801
8,1101
8,1534
30 %
8,0394
8,1100
8,3929
8,0398
8,1100
8,1268
8,0400
8,1100
8,2168
Tableau 57 : Grille de l'indice de fiabilité cible à l’ELU du VIPP de Merlebach après combinaison des coefficients partiels recalibrés
sur les moments de superstructures MS et la section de câble Ap combinés (valeur initale de β0 en jaune).
Les indices de fiabilité cible résultant de la combinaison des coefficients partiels recalibrés varient entre 8,0165
et 8,3929, soit un écart maximal de l’ordre de 3% par rapport à l’indice de fiabilité cible initial β0 = 8,1100.
Ainsi, pour les plages de biais et de coefficients de variation du Tableau 57, les coefficients partiels actualisés γA
et γS peuvent être combinés tout en garantissant le même niveau de fiabilité.
et existant
L’ouvrage étudié dans cet exemple est le VIPP de Merlebach neuf, avec la section d’acier réellement mise en
œuvre pour chaque câble de précontrainte Ap = 603,20 mm².
existant. On considère, pour l’ouvrage existant, une charge supplémentaire de superstructure, par rechargement
de chaussée (5 cm d’enrobé) et rehausse de la longrine en béton, soit un moment de superstructures MS1 = 2,7
MN.m au lieu d’une valeur initiale de MS = 1,8 MN.m (hors coefficient de majoration). On mesure alors en
auscultant l’ouvrage existant une augmentation de 50% du moment de superstructures, avec une précision de
5%.
On rappelle que, dans cette étude, l’évaluation de l’ouvrage à l’ELU porte sur la flexion de la poutre de rive
externe en section médiane.
5.2.1 -
La sécurité de l’ouvrage neuf est évaluée par approche semi-probabiliste en comparant son moment résistant Mr
à son moment ultime MELU.
– 95 –
février 2012
Le moment résistant Mr est calculé avec la section de câble mise en œuvre sur l’ouvrage neuf Ap = 603,20 mm2 :
M r = 14,069 MN.m
Le moment ultime MELU est quant à lui identique à celui calculé en section 2.2.1 :
= 1,35 × 3, 2967 + 1,35 ×
2,0
× 1,8 + 1,35 × 4,6
1,8
M ELU = 13,3605 MN.m
L’ouvrage neuf est conforme au règlement puisque son moment résistant Mr est supérieur à son moment ultime
MELU :
M r = 14,069 MN.m ≥ 13,3605 MN.m = M ELU
5.2.2 -
Mr à son moment ultime MELU. L’application stricte des Eurocodes pour l’évaluation d’un ouvrage existant ne
permet de prendre en compte que le changement de valeur moyenne du moment des superstructures et pas sa
précision de mesure.
Le moment résistant Mr, calculé avec la section de câble mise en œuvre sur l’ouvrage neuf Ap = 603,20 mm2,
reste identique à celui figurant en section 5.2.1 :
M r = 14,069 MN.m
La nouvelle valeur du moment des superstructures (MS1 = 2,7 MN.m) permet de calculer un nouveau moment
ultime MELU :
M ELU = γG M G + γS M S1 + γQ M Q
M ELU
= 1,35 × 3, 2967 + 1,35 × 2,7 + 1,35 × 4,6
= 14,305 MN.m
Dans cette combinaison, les coefficients majorateurs appliqués aux superstructures ne sont pas considérés
puisque l’ouvrage a fait l’objet d’un rechargement et d’une pesée précise pour déterminer le poids réel des
superstructures.
L’ouvrage existant n’est pas conforme au règlement puisque son moment résistant Mr est inférieur à son
moment ultime MELU :
M r = 14,069 MN.m ≥/ 14,305 MN.m = M ELU
5.3.1 -
La sécurité de l’ouvrage neuf est évaluée par approche probabiliste en comparant son indice de fiabilité de β à
son indice de fiabilité cible β0 (section 3.4).
Le Tableau 58 rappelle la loi de probabilité adoptée pour le moment des charges de superstructures dans le
calcul de β et β0.
– 96 –
février 2012
Variable
Valeur
nominale
Loi de
probabilité
Biais
Écart-type
Coefficient
de variation
1,8
Loi normale
1,0
-
20 %
Tableau 58 : Rappel de la loi de probabilité du moment sur les superstructures MS pour le calcul des indices de fiabilité β et β0 du VIPP
de Merlebach.
cible β0 :
β = 9,0497 ≥ 8,1100 = β0
5.3.2 -
La sécurité de l’ouvrage existant est évaluée par approche probabiliste en comparant son indice de fiabilité de β1
à son indice de fiabilité cible β0.
On commence donc par actualiser l’indice de fiabilité de l’ouvrage pour intégrer la nouvelle information sur le
moment des superstructures. Ce calcul est mené avec la nouvelle valeur moyenne (MS = 2,7 MN.m), intégrée
sous la forme d’un nouveau biais (1,50 au lieu de 1,00) et le nouveau coefficient de variation (5% au lieu de
20%) sur les superstructures. Le Tableau 59 donne la nouvelle loi de probabilité adoptée pour le calcul de β1. On
obtient ainsi un indice de fiabilité de l’ouvrage existant β1 :
β1 = 8,9290
Variable
Valeur
nominale
Loi de
probabilité
Biais
Écart-type
Coefficient
de variation
1,8
Loi normale
1,5
-
5%
Tableau 59 : Actualisation de la loi de probabilité du moment sur les superstructure MS pour le calcul de l’indice de fiabilité β1 du VIPP
de Merlebach (en bleu les caractéristiques modifiées par rapport au Tableau 58).
β1 = 8,9290 ≥ 8,1100 = β0
L’influence de la hausse du poids des superstructures est atténuée par la diminution du coefficient de variation
de la loi de la variable aléatoire correspondante (passage de 20% à 5%).
5.4.1 -
L’évaluation de la sécurité de l’ouvrage neuf est identique à celle menée à la section 5.2.1 : l’ouvrage neuf est
conforme au règlement puisque son moment résistant Mr est supérieur à son moment ultime MELU :
M r = 14,069 MN.m ≥ 13,3605 MN.m = M ELU
5.4.2 -
Mr à son moment ultime MELU.
Le moment résistant Mr, calculé avec la section de câble mise en œuvre sur l’ouvrage neuf Ap = 603,20 mm2,
reste identique à celui figurant en section 5.2.1 :
– 97 –
février 2012
M r = 14,069 MN.m
La nouvelle information sur le moment des superstructures permet de calculer un nouveau moment sollicitant
MELU en remplaçant le coefficient partiel γS = 1,50 par le coefficient partiel actualisé correspondant à la nouvelle
valeur du moment des superstructures (MS1 = 2,7 MN.m) et à son nouveau coefficient de variation (5%). On lit
ainsi dans le Tableau 55 à la dernière ligne (biais 1,50) et la première colonne (CdV 5%) le coefficient actualisé:
γˆS = 1,59
Ce coefficient partiel actualisé est injecté dans le calcul du moment ultime de l’ouvrage existant :
M ELU = γG M G + γˆS M S + γQ M Q
M ELU
= 1,35 × 3, 2967 + 1,59 × 1,8 + 1,35 × 4,6
= 13,52 MN.m
Soulignons que la vérification est conduite avec la valeur nominale du moment des superstructures MS = 1,8
MN.m puisque le coefficient partiel actualisé prend à la fois en compte la nouvelle valeur de mesure et le
nouveau coefficient de variation.
L’ouvrage existant est conforme au règlement puisque son moment résistant est supérieur à son moment ultime :
M r = 14,069 MN.m ≥ 13,52 MN.m = M ELU
L’utilisation de la grille de recalibration permet de retrouver le même résultat qu’un calcul direct en fiabilité en
utilisant une approche semi-probabiliste.
– 98 –
février 2012
Chapitre IV
Solution caisson BP du pont sur la
rivière Saint Étienne
Suite à l’effondrement du pont aval sur la rivière Saint-Étienne entre Saint-Pierre et Saint-Louis lors du passage
du cyclone Gamède le 26 février 2007 sur l’Ile de la Réunion, la DDE de la Réunion a lancé les études de
réalisation d’un nouvel ouvrage de franchissement.
L’étude préliminaire a conduit à proposer un ouvrage de 694,50 m à 9 travées, portant quatre voies de
circulation, et à présenter pour les phases d’études ultérieures deux solutions : une solution caisson en béton
précontraint et une solution bi-poutre mixte. Bien que la solution mixte ait finalement été retenue lors du choix
des offres, la présente étude porte sur la solution béton de la DOA du CETE Méditerranée. Cette solution a été
dimensionnée aux Eurocodes.
L’ouvrage étant relativement complexe, la description qui suit porte principalement sur la section courante de
cet ouvrage (travées situées entre la pile P3 et la culée C9).
1.2.1 -
Description générale de l’ouvrage
L’ouvrage est constitué de 10 appuis (Figure 26 et Figure 27). Les longueurs de travées sont de 53,25 m pour la
première et la dernière travée et de 84,00 m pour les 7 travées intermédiaires.
Figure 26 : Vue en plan de l'ouvrage projeté sur la rivière Saint-Étienne.
– 99 –
février 2012
Figure 27 : Profil en long de l'ouvrage projeté sur la rivière Saint-Étienne.
L’ouvrage supporte une chaussée bidirectionnelle dont les deux sens sont séparés par un séparateur central en
béton de type DBA (Figure 28).
Figure 28 : Profil fonctionnel de l'ouvrage projeté sur la rivière Saint-Étienne.
La structure du tablier est composée d’un mono-caisson de 21,70 m de largeur totale en zone courante et de
hauteur constante égale à 4,10 m. Il comporte deux hourdis et deux âmes inclinées à 15°. Le hourdis supérieur,
précontraint transversalement, présente une épaisseur minimale de 30 cm. Le hourdis inférieur présente une
largeur totale de 9,28 m et une épaisseur de 0,24 m en partie courante. Les âmes ont une hauteur brute de l’ordre
de 4 m. Leur épaisseur est de 85 cm en section courante. Cette épaisseur est augmentée localement au niveau
des VSP et dans un ou deux voussoirs courants de part et d’autre des VSP (Figure 29).
– 100 –
février 2012
Figure 29 : Coupe transversale du VSP 6 de la solution caisson du pont sur la rivière Saint-Étienne.
La précontrainte longitudinale (Figure 30) est une précontrainte mixte. Elle associe :
• des câbles de fléaux et des câbles éclisses intérieurs au béton ;
• des câbles de continuité extérieurs.
Le Tableau 60 détaille le nombre et la puissance des câbles prévus dans les principales travées.
Famille de câbles
Secteur du pont
Nombre et unité
Câbles de fléaux
Fléaux F3 à F8
2 x 18 x 27T15S
Câbles éclisses
Travées 4 à 8
2 x 3 x 19T15S
Câbles extérieurs
Travées 3 à 8
2 x 4 x 27T15S
Tableau 60 : Détail de la précontrainte longitudinale en section courante de la solution caisson du pont sur la rivière Saint-Étienne.
– 101 –
février 2012
Figure 30 : Principe de câblage longitudinal de la solution caisson du pont sur la rivière Saint-Étienne : coupe longitudinale et
transversale des câbles intérieurs.
1.2.2 -
Caractéristiques des matériaux
B é ton
Le béton est de type C45 / 55 de caractéristiques :
• résistance caractéristique en compression : fck = 45 MPa (sur éprouvette cylindrique)
• valeur moyenne de la résistance en traction : fctm = 0,3 (fck)2/3 = 3,8 MPa
• résistance caractéristique en traction directe : fctk,0,05 = 0,7 fctm = 2,7 MPa
• module d’élasticité sécant : Ecm= 22000 (fcm/10)0,3 = 36283 MPa
Armatures passives
Les armatures passives sont des armatures à haute adhérence de caractéristiques :
• limite caractéristique d’élasticité : fyk = 500MPa
• valeur de calcul du module d’élasticité : Es= 200000 MPa
On utilisera des armatures de classe B pour la flexion et de classe A ou B pour l’effort tranchant.
A rma tu res d e précon trainte
Précontrainte de fléau et d'éclisse :
Les unités sont constituées de câbles 19T15S ou 27T15S classe 1860 de caractéristiques :
• section nominale : 2850 mm² (19T15S) ou 4050 mm² (27T15S)
• diamètre intérieur des gaines : 100 mm (19T15S) ou 130 mm (27T15S)
• diamètre extérieur : 110 mm (19T15S) ou 140 mm (27T15S)
• classe :
– résistance caractéristique en traction : fpk = 1860 MPa
– valeur caractéristique de la limite d’élasticité conventionnelle à 0,1% : fp0,1k = 1650 MPa
• rentrée d’ancrage : g = 6 mm
• valeur moyenne de la perte par relaxation 1000 heures après la mise en tension : ρ1000 = 2,5%
• coefficient de frottement en zone courbe : μ = 0,19 rad-1
– 102 –
février 2012
• coefficient de frottement en partie rectiligne : k = 0,01 rad.m-1 (valeur maximale prise en compte car on
considère que l’on franchit de nombreux joints de voussoirs)
La mise en tension des câbles s’effectue à min (0,8 fpk ; 0,9 fp0,1k). Les allongements sont calculés avec un
module Ep = 195000 MPa.
Précontrainte extérieure :
Les unités sont constituées de câbles 19T15 S ou 27T15S classe 1860, voire plus si nécessaire :
• section nominale : 2850 mm² (19T15S) ou 4050 mm² (27T15S)
• diamètre intérieur des gaines : 100 mm (19T15S) ou 130 mm (27T15S)
• diamètre extérieur: 110 mm (19T15S) ou 140 mm (27T15S)
• classe :
– résistance caractéristique en traction : fpk = 1860 MPa
– valeur caractéristique de la limite d’élasticité conventionnelle à 0,1% : fp0,1k = 1650 MPa
• rentrée d’ancrage : g = 6 mm
• valeur moyenne de la perte par relaxation 1000 heures après la mise en tension : ρ1000 = 2,5%
• coefficient de frottement en zone courbe d’une gaine en PEHD dans un tube en acier, propre et lubrifié : μ =
0,10 rad-1
La mise en tension des câbles s’effectue à min (0,8 fpk ; 0,9 fp0,1k). Les allongements sont calculés avec un
module Ep = 195000 MPa.
1.2.3 -
Modélisation utilisée
Au stade du Projet d’Ouvrage d’Art (POA), l’ouvrage a été complètement modélisé à l’aide du logiciel ST1.
C’est ce modèle qui est repris dans le cadre de la présente étude pour la définition des indices de fiabilité de cet
ouvrage.
Le calcul des contraintes de cisaillement dans les âmes des voussoirs est réalisé à l’aide de contraintes
généralisées dans ST1 et d’un paramétrage basé sur les caractéristiques mécaniques des sections considérées
(ces caractéristiques mécaniques ont été préalablement définies, pour les différentes sections, à l'aide du logiciel
CDS selon la méthode de calcul de sections à parois minces).
À noter qu’une des variables modifiées dans les calculs de fiabilité qui suivent est notamment l’épaisseur de
l’âme des voussoirs. Cette variation de l’épaisseur des âmes du demi-VSP n°6 modifie les caractéristiques
mécaniques de cette section. Or, paramétrer rigoureusement l’ensemble des caractéristiques mécaniques en
fonction de l’épaisseur d’âme est quasi-impossible compte tenu de la géométrie complexe de la section
transversale du caisson. Aussi, afin de tenir compte de cette variabilité, un paramétrage des caractéristiques
mécaniques est intégré dans ST1 sur la base d’une interpolation linéaire entre les caractéristiques suivantes :
• caractéristiques d’une section pour l’épaisseur moyenne de (85 – 1,7) cm ;
• caractéristiques des sections pour des épaisseurs allant de [(85 – 1,7) – 1] cm à [(85 – 1,7) + 1] cm ;
où :
• 85 cm correspond à l’épaisseur d’âme définie au stade du POA ;
• (85 – 1,7) cm = 83,3 cm correspond à l’épaisseur d’âme permettant de vérifier au plus juste la justification au
cisaillement (arrondi au millimètre près).
On obtient ainsi le paramétrage donné dans le Tableau 61, avec :
a = ([ valeur tirage] − ( 0,85 − 1,7 ) cm ) × 100
– 103 –
février 2012
Famille de câbles
[(85 – 1,7) – 1] cm
(85 – 1,7) cm
[(85 – 1,7) + 1] cm
Paramétrage
(a=variation en cm)
Sx (section)
19,260
19,316
19,376
+ 0,05950 x a
Sy (section réduite)
11,34
11,34
11,34
0,0000
Sz (section réduite)
3,548
3,573
3,579
+ 0,02450 x a
vz (dist. à fibre sup)
2,45968
2,45863
2,45758
- 0,00105 x a
Ix (inertie torsion)
89,51
89,57
89,62
+ 0,05500 x a
Iy (inertie flexion)
42,234
42,285
42,336
+ 0,05100 x a
Iz (inertie flexion)
514,12
515,18
516,23
+ 1,05500 x a
Mstat (moment statique)
13,050
13,076
13,101
+ 0,02550 x a
Tableau 61 : Paramétrage des caractéristiques mécaniques de la solution caisson du pont sur la rivière Saint-Étienne en fonction de
l’épaisseur des âmes des voussoirs.
1.2.4 -
Spécificités de l’étude
Le pont projeté sur la rivière Saint-Étienne est un grand ouvrage dont la modélisation est complexe. Cette
spécificité a conduit à le considérer différemment des trois autres cas d’études. Le nombre de variables
aléatoires a ainsi été réduit pour permettre d’entreprendre les calculs dans un temps raisonnable : en particulier,
aucune charge n’a été probabilisée. Par ailleurs, l’actualisation des coefficients partiels a été limitée à un cas
simple et l’ouvrage n’a pas fait l’objet d’un exemple d’application, compte tenu de son caractère non courant.
Cet exemple permet d’illustrer les possibilités d’application directe de la théorie de la fiabilité à l’étude d’un
ouvrage complexe, pour lequel l’engagement de moyens importants d’évaluation structurale peuvent être
nécessaires.
L’application de la théorie de la fiabilité à l’évaluation de la solution caisson en béton précontraint du pont sur
la rivière Saint-Étienne passe par la définition d’un indice de fiabilité cible, qui sert de référence dans les
approches probabilistes. Dans cette étude, l’indice de fiabilité cible est défini comme l’indice de fiabilité d’un
ouvrage équivalent à la solution caisson BP du pont sur la rivière Saint-Étienne mais dimensionné à l’état limite
des Eurocodes. Deux indices cibles seront ainsi calculés, un pour l’État Limite de Service et un pour l’État
Limite Ultime.
2.1 - Indice de fiabilité à l’ELS
2.1.1 -
strict selon les Eurocodes. Les vérifications sont menées sur le VSP n°6 et portent sur l’effort tranchant des
âmes de ce voussoir à H/2, H étant la hauteur du tablier. Le dimensionnement vise à déterminer l’épaisseur
minimale de l’âme du caisson sous les charges et les combinaisons des Eurocodes.
P réco ntra in te
Les calculs à l’ELS devant tenir compte des variations possibles de la précontrainte, deux valeurs
caractéristiques Pk,inf et Pk,sup sont définies à partir de la valeur moyenne de la précontrainte Pm,t :
– 104 –
février 2012
Pk,sup = rsup Pm,t
Pk,inf = rinf Pm,t
où les coefficients rsup et rinf dépendent du type de précontrainte appliquée :
• rsup = 1,10 et rinf = 0,90 pour la précontrainte de fléau ;
• rsup = 1,05 et rinf = 0,95 pour la précontrainte extérieure.
Au stade projet, les calculs ont été menés dans le cas le plus défavorable, soit pour une valeur caractéristique de
la précontrainte Pk = rinf Pm,t et sous les charges de l’ELS caractéristique.
La justification au cisaillement à l’ELS dans les âmes de voussoir est conduite conformément à l’annexe QQ de
l’EN 1992-2 : on s’assure ainsi que, dans toutes les sections situées au-delà de H/2 de l’axe des appuis, la
contrainte de cisaillement vérifie la condition :
τ âme ≤ τ lim =
5 f ck f ctk,0,05 ( σ x + 5 f ctk,0,05 ) ( 5 f ck − 4σ x )
5 f ck + 4 f ctk,0,05
Au stade du POA, c’est au niveau du VSP n°6 que les plus faibles marges ont été observées entre les contraintes
de cisaillement calculées (τâme = 4,99 MPa) et la contrainte de cisaillement admissible (τlim = 5,02 MPa). La
section retenue dans le cadre de la présente étude est par conséquent la section située à H/2 du VSP6 côté travée
P6-P7.
La justification au cisaillement à l’ELS consiste donc à s’assurer que, dans toutes les sections situées au-delà de
H/2 de l’axe des appuis, la contrainte de cisaillement dans l’âme τâme est inférieure à la contrainte admissible τlim
où :
• τâme est directement issu de la modélisation ST1, via la définition d’une contrainte généralisée, combinant une
part de cisaillement issue du tranchant et une part de cisaillement issue de la torsion ;
• τlim est définie à partir des variables de résistance du béton, ainsi que de la contrainte normale fournie par la
modélisation ST1.
L’épaisseur d’âme minimale bw0ELS est celle qui vérifie τâme = τlim, obtenue par dichotomie :
bw0 ELS = 83,5 cm
Notons que pour cette vérification ELS, les seuls coefficients partiels portent sur la précontrainte de fléau rinf,fleau
= 0,90 et la précontrainte extérieure rinf,ext = 0,95.
2.1.2 -
dimensionnement strict aux Eurocodes (section 2.1.1), c’est-à-dire l’équilibre de la contrainte de cisaillement
τâme et de la contrainte admissible τlim dans les âmes du voussoir.
g = τ âme − τ lim
Pour les calculs en fiabilité, les coefficients partiels ne sont pas considérés : les coefficients rinf,fleau et rinf,ext sont
donc fixés à 1,00 dans le modèle numérique.
– 105 –
février 2012
2.1.3 -
Concernant l’inclinaison des câbles de précontrainte, en l’absence de loi spécifique à cette variable, il a été
décidé de considérer cette inclinaison comme directement dépendante de la position des câbles en partie haute et
en partie basse. Nous retenons donc la loi relative à la position de la précontrainte du Tableau 14 de la Partie I,
mais en doublant l’écart type (un écart type pour la position haute, un pour la position basse).
Variable
Valeur
nominale
Loi de
probabilité
Biais
Écart-type
Coefficient
de variation
45
Loi lognormale
1,20
-
10%
0
Loi normale
1,00
1,0
-
1
Loi normale
1,00
-
9%
1
Loi normale
1,00
-
6%
0
Loi normale
1,00
2x0,020 =
0,040
-
Écart sur l’épaisseur de l’âme
du caisson Δbw (cm) (bw = 83,5 + Δbw)
Pondération sur précontrainte de fléau Kp,fleau
(s.u.)
Pondération sur précontrainte extérieure Kp,ext
(s.u.)
Écart sur la position des câbles de précontrainte
extérieure Δe (m) (e = 0,800 + Δe)
Tableau 62 : Variables aléatoires et lois de probabilité retenues dans l’étude de la solution caisson du pont sur la rivière Saint-Étienne à
l'ELS (paramètre dimensionné en jaune).
interviennent dans le calcul de la valeur nominale de la variable de dimensionnement, ici l’épaisseur de l’âme du
caisson bw0ELS = 83,5 cm (cf. section 2.1.1). On rappelle par ailleurs que les charges permanentes et les charges
d’exploitation ne sont pas probabilisées dans cette étude.
2.1.4 -
caractéristiques de variables aléatoires définies en 2.1.3 grâce à la fonction fiabcom de ReliabTbx R1.5, avec
les options de calcul suivantes :
Les calculs sont effectués à l’aide d’un couplage ReliabTbx R1.5 – ST1 : à chaque tirage, Matlab lance ST1 sur
la base des valeurs de certaines variables aléatoires et récupère, après calcul ST1, les contraintes normales
moyennes dans le caisson et de cisaillement maximales dans les âmes, pour la section située à la distance H/2 de
l’appui P6. Ces contraintes sont ensuite prises en compte, avec les autres variables aléatoires, dans les fonctions
d’état limite et de dimensionnement (section 2.1.1 et 2.1.2) et calculées directement par Matlab.
La commande fiabdesign n’a pas été utilisée dans ce cas car la programmation du dimensionnement strict de
bw0 par dichotomie sous Matlab aurait rallongé les temps de calculs qui sont déjà très longs.
2,1359
– 106 –
février 2012
Dimensionnement bw0ELS (cm)
83,5
44,6139
-0,4450
0,9169
0,9935
-0,0064
0,8728
0,2084
0,4321
0,0505
0,0744
0,1936
0,2084
4,8010
0,8411
1,8612
-0,3159
-0,0927
-4,4310
-0,0907
-0,2959
fc (MPa)
Δbw (cm)
Kp,fleau (s.u.)
Kp,ext (s.u.)
Δe (m)
Tableau 63 : Résultats du calcul de l’indice de fiabilité cible de la solution caisson du pont sur la rivière Saint-Étienne à l'ELS.
Pour information, le temps de calcul total approximatif est de 17h30. L’ELS ne faisant pas l’objet d’une
actualisation de coefficients partiels, aucun essai de simplification du problème (diminution du nombre de
variables par exemple) n’a été entrepris.
2.2.1 -
strict selon les Eurocodes. Les vérifications sont menées sur le VSP n°6 et portent sur l’effort tranchant des
âmes de ce voussoir à H/2, H étant la hauteur du tablier. Le dimensionnement vise à déterminer la section
minimale des aciers transversaux sous les charges et les combinaisons des Eurocodes.
Considérant la section d’acier Asw/s d’effort tranchant dans l’âme du caisson à H/2 de l’appui, l’EN 1992-1-1, §
6.2.3 donne l’expression de l’effort tranchant résistant VRd,s :
VRd,s =
Asw
zw f ywd ( cot θ + cot α ) sin α
s
où fywd est la limite d’élasticité de calcul des armatures d’effort tranchant, définie comme :
f ywd =
f ywk
γs
= 434,78 MPa
avec f ywk = 500 MPa et γs = 1,15
Avec cot α = 1 et sin α = 1 pour des armatures placées perpendiculairement et cot θ = 2,5 pour une inclinaison
de bielle maximale de 45°, on obtient :
VRd,s = 2,5
Asw
zw f ywd
s
Dans le cas présent, et compte tenu de la modélisation réalisée, l’effort tranchant agissant VEd dans les âmes du
caisson (intégrant l’effet de la torsion) peut être récupéré directement à partir de la contrainte de cisaillement τ =
6,9533 MPa donnée dans ST1, par une fonction de contrainte généralisée :
VEd =
τ bw I y
M stat
La vérification des aciers transversaux dans les âmes de caisson consiste à s’assurer que l’effort tranchant
résistant VRd,s est supérieur à l’effort tranchant agissant VEd :
VRd,s ≥ VEd
La section d’aciers transversaux minimale (Asw/s)0 est celle qui vérifie VRd,s = VEd, soit :
– 107 –
février 2012
( Asw /s )0
ELU
=
=
( Asw /s )0
ELU
τ bw I y
2,5 zw f ywd M stat
6,9533.0,795.42,372
2,5 .3,900.434,78.13,119
= 42,12 cm²/ml
Notons que (Asw/s)0ELU dépend du coefficient partiel sur les armatures γs (intervenant dans fywd) et des
coefficients sur les sollicitations γG, γS et γQ intervenant dans τ.
2.2.2 -
dimensionnement strict aux Eurocodes (section 2.2.1), c’est-à-dire l’équilibre de l’effort tranchant résistant VR,s
et de l’effort tranchant total dans les âmes du voussoir VE.
g = VR,s − VE
g = 2,5 ( Asw /s ) zw f yw −
τ bw I y
M stat
Dans la fonction d’état limite g, les coefficients partiels ne sont pas considérés, c’est-à-dire que le coefficient γs
est supprimé du calcul de VR,s et que les coefficients γG, γS et γQ sont supprimés du calcul de VE.
2.2.3 -
Notons, dans l’expression de la fonction d’état limite g, que le terme (bw Iy / Mstat) n’est qu’un « artifice »
introduit pour récupérer l’effort tranchant VE à partir de la contrainte de cisaillement τ calculée par le modèle
ST1. L’épaisseur de l’âme du caisson bw n’est donc pas ici à proprement parler une variable aléatoire.
Les variables aléatoires sont donc choisies parmi les paramètres qui apparaissent dans la fonction d’état limite g
de manière explicite :
• la section des aciers transversaux Asw/s ;
• la hauteur utile de l’âme zw ;
• la limite d’élasticité des aciers transversaux fyw ;
et de manière implicite, à travers le calcul de la contrainte de cisaillement τ par ST1 :
• les pondérations sur les efforts de précontrainte de fléau Kp,fleau et de précontrainte extérieure Kp,ext ;
• l’inclinaison des câbles extérieurs sur appui (ramenée ici à la position e des câbles vis-à-vis de la fibre
supérieure du caisson).
Les variables aléatoires retenues sont répertoriées dans le Tableau 64 : chaque variable est décrite par une loi de
probabilité dont les caractéristiques sont issues du Tableau 14 (Partie 1, Chapitre IV).
Comme dans le calcul ELS, l’inclinaison des câbles de précontrainte est considérée comme directement
dépendante de la position des câbles en partie haute et en partie basse et la loi de probabilité associée est celle
de la position de la précontrainte où l’écart type est doublé (un écart type pour la position haute, un pour la
position basse).
– 108 –
février 2012
Un premier calcul préalable a permis de montrer que la variable relative à l’effort de précontrainte extérieure
avait peu de poids dans les calculs de fiabilité. Elle a donc été négligée dans la suite afin de conserver un
nombre de variables et des temps de calcul raisonnables.
Variable
Valeur
nominale
Limite d’élasticité des aciers transversaux fyw
500
(MPa)
Écart sur la hauteur utile de l’âme Δzw (m)
0
(zw = 3,900 + Δzw)
Pondération sur précontrainte de fléau Kp,fleau
1,0
(s.u.)
Section des aciers transversaux Asw/s
42,12
(cm²/ml)
((Asw/s)0ELU)
Écart sur la position des câbles de précontrainte
0
extérieure Δe (m) (e = 0,800 + Δe)
Loi de
probabilité
Biais
Écart-type
Coefficient
de variation
Loi lognormale
1,15
-
5%
Loi normale
1,00
0,010
-
Loi normale
1,00
-
9%
Loi normale
1,00
-
2%
Loi normale
1,00
2x0,020 =
0,040
-
Tableau 64 : Variables aléatoires et lois de probabilité retenues dans l’étude de la solution caisson du pont sur la rivière Saint-Étienne à
l’ELU (paramètre dimensionné en jaune).
Notons que les coefficients partiels ne servent pas directement au calcul de l’indice de fiabilité mais ils
interviennent dans le calcul de la valeur nominale de la variable de dimensionnement, ici la section des aciers
transversaux (Asw/s)0ELU = 42,12 cm²/ml (cf. section 2.2.1). On rappelle par ailleurs que les charges permanentes
et les charges d’exploitation ne sont pas probabilisées dans cette étude.
2.2.4 -
Les calculs sont effectués à l’aide d’un couplage ReliabTbx R1.5 – ST1 : à chaque tirage, Matlab lance ST1 sur
la base des valeurs de certaines variables aléatoires et récupère, après calcul ST1, les contraintes de cisaillement
maximales dans les âmes, pour la section située à la distance H/2 de l’appui P6. Ces contraintes sont ensuite
prises en compte, avec les autres variables aléatoires, dans les fonctions d’état limite et de dimensionnement (cf.
section 2.2.1 et 2.2.2) et calculées directement par Matlab.
Le Tableau 65 donne les résultats du calcul de fiabilité. Pour information, compte tenu de la complexité du
modèle ST1, le temps de calcul total approximatif de l’indice cible est de 18 heures.
11,2661
Dimensionnement (Asw/s)0ELU
(cm2/ml)
42,1172
344,4471
-0,0052
0,8995
38,3066
-0,0215
0,9080
0,0464
0,0991
0,4015
0,0476
0,0478
4,6391
1,1008
0,4767
1,1909
-0,3243
-2,4246
-1,2287
-2,1565
-0,6391
fyw (MPa)
Yzw (m)
Kp,fleau (s.u.) Asw/s (cm²/ml)
Ye (m)
Tableau 65 : Résultats du calcul de l’indice de fiabilité cible de la solution caisson du pont sur la rivière Saint-Étienne à l'ELU.
– 109 –
février 2012
L’étude des cosinus directeurs montre que les variables prépondérantes sont fyw et Asw/s. Les valeurs
relativement faibles des cosinus directeurs de zw, Kp,fleau et e montrent que ces 3 variables aléatoires ont peu
66) fournit un indice de fiabilité cible très proche (11,3887 pour 11,2661) dont le calcul est très rapide puisque
les variables aléatoires n’interviennent pas dans la modélisation ST1 et que le couplage ReliabTbx R1.5 – ST1
n’est donc plus nécessaire. Ainsi, pour la suite des calculs à l’ELU, le modèle simplifié à 2 variables aléatoires
sera utilisé.
Dimensionnement
(cm2/ml)
11,3887
(Asw/s)0ELU
42,1172
341,1678
38,2483
0,9151
0,4033
0,0485
0,4788
-0,3329
-2,1990
fyw (MPa)
Asw/s (cm²/ml)
Tableau 66 : Résultats du calcul simplifié de l’indice de fiabilité cible de la solution caisson du pont sur la rivière Saint-Étienne à l'ELU.
évaluation structurale de la solution caisson en béton précontraint du pont sur la rivière Saint-Étienne par
approche probabiliste, en comparant l’indice de fiabilité de l’ouvrage à sa valeur cible.
L’ouvrage neuf considéré ici correspond à l’ouvrage défini au stade du POA.
L’ouvrage neuf présente une épaisseur d’âme de caisson bw = 85 cm, qui vérifie bien les recommandations
imposées par les Eurocodes à l’ELS :
bw = 85 cm ≥ 83,5 cm = bw0 ELS
Au stade du POA, les aciers transversaux dans les âmes n’ont pas été définis avec précision. On retient, pour les
besoins de cette étude, une section d’aciers Asw/s = 46,80 cm²/ml, correspondant à 1 cadre HA25 et 1 étrier
HA14, espacés tous les 0,20 m. Cette section vérifie les recommandations imposées par les Eurocodes à l’ELU :
Asw /s = 46,80 cm 2 /ml ≥ 42,12 cm 2 /ml = ( Asw /s )0 ELU
L’épaisseur d’âme bw et la section des aciers transversaux Asw/s sont conservés dans les calculs ELS comme
ELU.
fiabilité cible à l’ELS, à l’exception de la valeur nominale de l’épaisseur d’âme du caisson prise à sa valeur
réelle bw = 85 cm au lieu de sa valeur de dimensionnement strict bw0ELS = 83,5 cm, le biais et le coefficient de
– 110 –
février 2012
2,4283
43,4954
-0,4910
0,9040
0,9920
-0,0043
0,8725
0,2022
0,4391
0,0547
0,0447
0,1977
0,2022
4,8789
0,9113
1,1172
-0,3567
-0,0993
-5,2022
-0,1210
-0,1212
fc (MPa)
Ybw (cm)
Kp,fleau (s.u.)
Kp,ext (s.u.)
Ye (m)
Tableau 67 : Résultats du calcul de l’indice de fiabilité de la solution caisson du pont sur la rivière Saint-Étienne à l'ELS.
β = 2, 4283 ≥ 2,1359 = β0
fiabilité cible à l’ELU, à l’exception de la valeur nominale de la section des aciers transversaux prise à Asw/s =
46,80 cm2/ml au lieu de sa valeur de dimensionnement strict à (Asw/s)0ELU = 42,12 cm2/ml, le biais et le
coefficient de variation restant inchangés.
Le Tableau 68 donne les résultats du calcul de fiabilité. Pour information, le temps de calcul total approximatif
est de 18h00.
13,1658
316,6404
-0,0061
0,8830
41,7677
-0,0257
0,9050
0,0465
0,0988
0,4084
0,0487
0,0503
4,6486
1,0974
0,4363
1,2181
-0,3761
-2,8451
-1,4269
-2,3456
-0,7814
fyw (MPa)
Yzw (m)
Kp,fleau (s.u.)
Asw/s (cm²/ml)
Ye (m)
Tableau 68 : Résultats du calcul de l’indice de fiabilité de la solution caisson du pont sur la rivière Saint-Étienne à l'ELU.
Le Tableau 69 donne les résultats du calcul de fiabilité simplifié, mené sur la base des deux variables fyw et
Asw/s. C’est ce dernier calcul simplifié qui est retenu dans la suite de l’étude.
13,3163
312,9859
41,6922
0,9122
0,4098
0,0511
0,4378
-0,3865
-2,3892
– 111 –
février 2012
fyw (MPa)
Asw/s (cm²/ml)
Tableau 69 : Résultats du calcul simplifié de l’indice de fiabilité de la solution caisson du pont sur la rivière Saint-Étienne à l'ELU.
On vérifie que l’ouvrage à la conception est conforme aux Eurocodes à l’ELU, quel que soit le nombre de
variables retenues, puisque l’indice de fiabilité de l’ouvrage neuf β est supérieur à son indice de fiabilité cible
β0 :
β = 13,3163 ≥ 11,3887 = β0
3.4 - Bilan
Le tableau ci-dessous (Tableau 70) récapitule les valeurs des indices de fiabilité cible β0 calculés pour l’ouvrage
considéré et les indices de fiabilité β de l’ouvrage neuf.
ELS
ELU
Indice de fiabilité cible β0 (calcul)
2,1359
11,3887
2,4283
13,3163
1,1369
1,1686
Tableau 70 : Évaluation probabiliste de la performance de la solution caisson du pont sur la rivière Saint-Étienne à l’ELS et à l’ELU.
Le passage à l’épaisseur d’âme projetée et à une section réaliste d’aciers transversaux procure à l’ouvrage
proposé au stade du POA une réserve de sécurité vis-à-vis de la vérification en flexion à l’ELS comme à l’ELU.
Les indicateurs de performance à l’ELS et à l’ELU sont assez proches.
coefficients partiels des Eurocodes destinés à l’évaluation semi-probabiliste de la solution caisson BP du pont
sur la rivière Saint-Étienne, pour intégrer de nouvelles informations sur l’ouvrage existant, tout en assurant le
même niveau de fiabilité que celui requis pour l’ouvrage neuf.
Bien que la solution caisson du pont sur la rivière Saint-Étienne soit dimensionné à l’ELS, l’actualisation des
coefficients partiels de sécurité est effectuée à l’ELU. En effet, l’ELU étant relatif à l’intégrité structurale de
l’ouvrage, c’est cette approche qui est privilégiée dans cette étude.
Seuls deux paramètres sont finalement retenus dans les calculs de fiabilité à l’ELU, compte tenu de la longueur
des temps de calculs. L’actualisation portera donc sur ces deux paramètres : la limite élastique des aciers
transversaux fyw et la section des aciers transversaux Asw/s.
• le coefficient γs sur la limite élastique des aciers transversaux (pour l’ouvrage neuf γs = 1,15), plage de biais :
1,10 à 1,20 (biais ouvrage neuf 1,150), plage de CdV : 4% à 6 % (CdV ouvrage neuf 5 %) ;
– 112 –
février 2012
• le coefficient γA sur la la section des aciers transversaux (en l’absence de coefficient pour l’ouvrage neuf, on
introduit γA = 1,00 qui divise la section d’acier), plage de biais : 0,80 à 1,20 (biais ouvrage neuf 1,00), plage
de CdV 1% à 3 % (CdV ouvrage neuf 2 %).
Il est important de préciser que ces grilles de recalibration sont circonscrites à une vérification vis-à-vis de
l’effort tranchant des âmes du voussoir n°6 de la solution caisson du pont sur la rivière Saint-Étienne à mihauteur du tablier.
de l’ouvrage strictement dimensionné aux Eurocodes (β0 = 11,3887), selon la méthode décrite dans la Partie 1
(Tableau 71 et Tableau 72). Notons toutefois que certains des résultats présentés dans le tableau sont obtenus
par dichotomie grâce à la fonction fiabcom lorsque la fonction calib_coeff présente des problèmes de
convergence.
Coefficient γS
Biais νS
Coefficient de variation CdVs
4%
5%
6%
1.100
1,09
1,20
1,34
1.125
1,06
1,18
1,31
1.150
1,04
1,15
1,28
1.175
1,02
1,13
1,25
1.200
1,00
1,10
1,22
Tableau 71 : Grille des coefficients partiels recalibrés à l’ELU portant sur la limite élastique des aciers transversaux fyw de la solution
caisson du pont sur la rivière Saint-Étienne (valeur de γs pour l’ouvrage neuf en jaune).
Coefficient γA
Biais νA
1%
2%
3%
0.80
1,21
1,25
1,34
0.90
1,07
1,11
1,19
1.00
0,96
1,00
1,07
1.10
0,88
0,91
0,97
1.20
0,80
0,83
0,89
Tableau 72 : Grille des coefficients partiels recalibrés à l’ELU portant sur la section des aciers transversaux Asw/s de la solution caisson
du pont sur la rivière Saint-Étienne (valeur de γA pour l’ouvrage neuf en jaune).
Les grilles de coefficients partiels ayant été établies indépendamment les unes des autres, leur utilisation
simultanée ou successive doit être validée en s’assurant que la combinaison de différents coefficients permet de
garder le même niveau de fiabilité. Pour ce faire, on calcule l’indice de fiabilité cible correspondant aux
– 113 –
février 2012
combinaisons des différents coefficients partiels, que l’on compare à l’indice de fiabilité cible de l’ouvrage à
l’ELU β0 = 11,3887.
Le Tableau 73 teste la combinaison des coefficients partiels recalibrés portant sur la limite élastique des aciers
transversaux fyw et la section des aciers transversaux Asw/s.
Coefficient β0
Biais νS
1,10
fyw
1,15
1,20
Asw/s
0,80
Biais νA
1,00
1,20
CdV
3%
2%
1%
3%
2%
1%
3%
2%
1%
6%
11,5529
11,3895
11,2879
11,5526
11,3895
11,2686
11,5529
11,3889
11,2866
5%
11,3892
11,3891
11,3888
11,3889
11,3891
11,3896
11,3892
11,3884
11,3872
4%
11,1093
11,3885
11,6066
11,1089
11,3885
11,6076
11,1093
11,3876
11,6054
6%
11,5522
11,3886
11,2870
11,5518
11,3886
11,2877
11,5521
11,3880
11,2856
5%
11,3889
11,3887
11,3884
11,3886
11,3887
11,3892
11,3889
11,3879
11,3867
4%
11,1091
11,3883
11,6064
11,1088
11,3883
11,6074
11,1091
11,3874
11,6044
6%
11,5518
11,3883
11,2867
11,5515
11,3883
11,2874
11,5518
11,3877
11,2853
5%
11,3891
11,3890
11,3887
11,3888
11,3890
11,3895
11,3891
11,3882
11,3870
4%
11,1102
11,3896
11,6078
11,1098
11,3896
11,6089
11,1102
11,3887
11,6058
Tableau 73 : Grille de l'indice de fiabilité cible à l’ELU de la solution caisson du pont sur la rivière Saint-Étienne après combinaison
des coefficients partiels recalibrés sur la limite élastique des aciers transversaux fyw et la section des aciers transversaux Asw/s combinés
(valeur initale de β0 en jaune).
Les indices de fiabilité cible résultant de la combinaison des coefficients partiels recalibrés varient entre 11,1088
et 11,6089, soit un écart maximal de l’ordre de 3% par rapport à l’indice de fiabilité cible initial β0 = 11,3887.
Ainsi, pour les plages de biais et de coefficients de variation du Tableau 73, les coefficients partiels de sécurité
actualisés γs et γA peuvent être combinés tout en garantissant le même niveau de fiabilité.
– 114 –
février 2012
Conclusions et perspectives
Conclusions
L’étude sur les « Méthodes avancées d’évaluation des ouvrages » a été lancée en 2009. Elle est le fruit d’une
coopération entre le Sétra et les CETE, avec l’appui de l’IFSTTAR. L’objectif de cette étude est de mettre en
pratique la théorie de la fiabilité pour évaluer la performance des ouvrages neufs ou existants. Pour ce faire,
chaque CETE a choisi un ouvrage type différent pour mener ses calculs, à partir desquels la méthodologie a été
développée. Cette étude s’est décomposée en deux volets.
Objectif 1 : Le premier volet de l’étude visait à développer une méthodologie permettant d’évaluer la
performance d’un ouvrage d’art par approche probabiliste et notamment de définir l’indice de fiabilité cible β0.
L’option retenue a été de définir β0 comme l’indice de fiabilité d’un ouvrage strictement dimensionné aux
Eurocodes. Sur chaque ouvrage, l’étude a permis de :
• proposer un dimensionnement strict aux Eurocodes des ouvrages ;
• définir les fonctions d’état limite et identifier les variables aléatoires intervenant dans chaque état limite et
leur loi de probabilité ;
• calculer l’indice de fiabilité cible des ouvrages ;
• calculer l’indice de fiabilité des ouvrages à la conception pour évaluer leur performance et actualiser cette
performance au cours de leur vie ;
• étudier les possibilités pour limiter la complexité des calculs de fiabilité ;
• prendre en main le logiciel de calcul de fiabilité ReliabTbx et son couplage avec des logiciels couramment
utilisés en calcul des structures.
Objectif 2 : Le deuxième volet consistait à étudier la possibilité d’intégrer de nouvelles informations sur
l’ouvrage à travers la réactualisation des coefficients partiels. L’objectif était de proposer des coefficients
partiels pour ouvrages existants permettant d’utiliser le formalisme semi-probabiliste tout en assurant le même
niveau de performance que le calcul probabiliste. Sur chaque ouvrage, l’étude a permis de :
• identifier les paramètres à modifier et les plages de valeurs de biais et/ou coefficients de variation à tester à
partir des résultats du calcul de fiabilité (cosinus directeurs, sensibilités) et de la connaissance des ouvrages
étudiés ;
• calculer les coefficients partiels recalibrés ;
• vérifier la pertinence de la combinaison de ces coefficients partiels.
Perspectives
Si cette étude a permis de mettre au point la méthodologie, l’utilisation pratique des résultats obtenus passe par
son élargissement à une famille d’ouvrages afin de vérifier la pertinence et la robustesse des résultats obtenus.
Les perspectives de cette étude sont donc d’étudier une famille d’ouvrages courants (différentes configurations
pour un même type d’ouvrage) afin de proposer des indices de fiabilité cible et des coefficients partiels
recalibrés pertinents et utilisables d’un point de vue pratique.
On s’attachera tout particulièrement au choix des coefficients à réévaluer et de leurs plages de variation en
s’informant auprès de l’IFSTTAR et des CETE sur les paramètres mesurables lors d’auscultations d’ouvrages
existants ainsi que sur les plages de valeurs et la précision de ces mesures. On croisera ensuite ces informations
avec celles obtenues lors des calculs de fiabilité (cosinus directeurs, sensibilités) pour dégager les grilles les plus
pertinentes.
Les coefficients partiels calculés seront finalement comparés avec les valeurs recensées dans l’étude sur les
« Méthodes courantes d’évaluation structurale » du Sétra concernant l’état des pratiques du RST.
– 115 –
février 2012
L’objectif est de proposer des coefficients partiels permettant d’évaluer des ouvrages existants courants par
approche semi-probabiliste.
– 116 –
février 2012
Bibliographie
[1]
AIPCR. Evaluation des ponts routiers basée sur la fiabilité. 1999.
[2]
BA 79. The management of sub-standard highway structures. Highway Agency, Draft, 1998.
[3]
BD 79. Level 4 and level 5 methods of assessment for bridges. Highway Agency, Draft, 2001.
[4]
BRIME. Rapport final du projet Européen BRIME. 2001.
[5]
Byrne, G. Évaluation d’ouvrage existant par approche probabiliste et semi-probabiliste – Le cas
d’une poutre de VIPP. Rapport de stage, École Polytechnique, 2007.
[6]
Calgaro, J.-A. Introduction aux Eurocodes – Sécurité des constructions et bases de la théorie de la
fiabilité. Presses des Ponts et Chaussées, Paris, 1998.
[7]
Cremona, C. Approche probabiliste de la performance des structures. Hermès-Lavoisier, Paris,
2010.
[8]
Cremona, C. ReliabTbx Release 1.5 – Structural Reliability Toolbox. 2010.
[9]
Norme ISO 13822:2001. Bases for design of structures – Assessment of existing structures. 2001.
[10]
JCSS. Probabilistic Model Code. 2001.
[11]
Sétra. Méthodes courantes d’évaluation structurale – Rapport sur l’état des pratiques du RST.
Rapport d’étude, Sétra, 2010.
– 117 –
février 2012
Table des matières
Introduction......................................................................................................................................................... 5
Contexte............................................................................................................................................................. 5
Action « Maîtriser les risques d’insuffisance de capacité portante ».................................................................................5
Sujet « Méthodes avancées d’évaluation structurale des ouvrages » ..............................................................................5
Présentation du rapport...................................................................................................................................... 6
PARTIE 1 MÉTHODOLOGIE ................................................................................................................................. 7
Chapitre I L’évaluation structurale des ouvrages d’art..................................................................................... 9
1 - Notions de performance structurale ........................................................................................................... 9
2 - Méthodes d’évaluation de la performance ................................................................................................. 9
2.1 - Approche déterministe............................................................................................................................... 9
2.2 - Approche semi-probabiliste ..................................................................................................................... 10
2.3 - Approche probabiliste .............................................................................................................................. 11
3 - Principes de l’évaluation de la performance des ouvrages d’art........................................................... 12
3.1 - Performance des ouvrages neufs............................................................................................................ 12
3.2 - Performance des ouvrages existants ...................................................................................................... 12
Chapitre II Introduction à la théorie de la fiabilité............................................................................................ 15
1 - Principes de la théorie de la fiabilité ......................................................................................................... 15
1.1 - Mode de défaillance et fonction d’état limite............................................................................................ 15
1.2 - Variables aléatoires et lois de probabilité ................................................................................................ 16
1.3 - Probabilité de défaillance et indice de fiabilité......................................................................................... 17
1.4 - Méthodes de calcul .................................................................................................................................. 18
2 - Applications de la théorie de la fiabilité.................................................................................................... 19
2.1 - Application directe à l’évaluation de la structure ..................................................................................... 19
2.2 - Application au développement d’une approche semi-probabiliste .......................................................... 19
Chapitre III Méthodologie de l’étude ................................................................................................................. 21
1 - Détermination de l’indice de fiabilité cible β0 ........................................................................................... 21
1.1 - Définition de l’indice de fiabilité cible ....................................................................................................... 21
1.2 - Calcul de l’indice de fiabilité cible ............................................................................................................ 22
1.2.1 -
Dimensionnement strict aux Eurocodes............................................................................................... 22
1.2.2 -
Calcul de l’indice de fiabilité cible......................................................................................................... 22
2 - Évaluation des ouvrages par approche probabiliste............................................................................... 23
2.1 - Performance des ouvrages à la conception ............................................................................................ 24
2.2 - Actualisation du niveau de performance des ouvrages existants ........................................................... 25
3 - Actualisation de coefficients partiels........................................................................................................ 26
3.1 - Choix des coefficients partiels à actualiser.............................................................................................. 26
3.2 - Actualisation d’un coefficient partiel......................................................................................................... 26
3.3 - Combinaison de coefficients partiels actualisés ...................................................................................... 27
3.4 - Application à l’évaluation des ouvrages existants ................................................................................... 28
– 119 –
février 2012
Chapitre IV Outils et références......................................................................................................................... 31
1 - Définition des modes de défaillance et des fonctions d’état limite ....................................................... 31
2 - Définition des variables aléatoires et des lois de probabilité................................................................. 31
3 - Utilisation de l’outil ReliabTbx ................................................................................................................... 32
3.1 - Principes généraux d’utilisation ............................................................................................................... 32
3.1.1 -
Fichiers sources ................................................................................................................................... 32
3.1.2 -
Commandes ReliabTbx........................................................................................................................ 33
3.2 - Couplages avec des logiciels de calcul de structures ............................................................................. 35
3.2.1 -
Couplage avec Excel ........................................................................................................................... 35
3.2.2 -
Couplage avec ST1.............................................................................................................................. 35
PARTIE 2 EXEMPLES D’APPLICATION ............................................................................................................ 37
Présentation des cas d’étude.......................................................................................................................... 39
Analyse des résultats....................................................................................................................................... 39
Chapitre I Pont à poutres des Bouillères.......................................................................................................... 43
1 - Présentation de l’ouvrage .......................................................................................................................... 43
1.1 - Contexte de l’étude .................................................................................................................................. 43
1.2 - Caractéristiques physiques et géométriques de l’ouvrage ...................................................................... 44
2 - Calcul de l’indice de fiabilité cible β0 ........................................................................................................ 44
2.1 - Indice de fiabilité cible à l’ELS ................................................................................................................. 44
2.1.1 -
2.1.2 -
Mode de défaillance et fonction d’état limite ........................................................................................ 47
2.1.3 -
Variables aléatoires et lois de probabilité............................................................................................. 47
2.1.4 -
Calcul et analyse de l’indice de fiabilité cible ....................................................................................... 47
2.2 - Indice de fiabilité cible à l’ELU ................................................................................................................. 48
2.2.1 -
2.2.2 -
2.2.3 -
2.2.4 -
3 - Évaluation de l’ouvrage par approche probabiliste................................................................................. 52
3.1 - Configuration géométrique de l’ouvrage neuf.......................................................................................... 52
3.2 - Évaluation de l’ouvrage neuf à l’ELS ....................................................................................................... 52
3.3 - Évaluation de l’ouvrage neuf à l’ELU....................................................................................................... 53
3.4 - Bilan ......................................................................................................................................................... 54
4.2 - Calcul des coefficients partiels actualisés ............................................................................................... 55
4.3 - Combinaison des coefficients partiels actualisés .................................................................................... 56
5 - Exemple d’application à l’évaluation de l’ouvrage neuf et existant....................................................... 58
5.1 - Cadre de l’exemple .................................................................................................................................. 58
5.2 - Application du règlement seul.................................................................................................................. 58
5.2.1 -
Évaluation de l’ouvrage neuf................................................................................................................ 58
5.2.2 -
Évaluation de l’ouvrage existant .......................................................................................................... 58
– 120 –
février 2012
5.3 - Application de la théorie de la fiabilité ..................................................................................................... 59
5.3.1 -
5.3.2 -
5.4 - Application du règlement avec grilles de recalibration ............................................................................ 60
5.4.1 -
5.4.2 -
Chapitre II PICF de Challuy ................................................................................................................................ 63
2.1.1 -
2.1.2 -
2.1.3 -
2.1.4 -
2.2.1 -
2.2.2 -
2.2.3 -
2.2.4 -
3.4 - Bilan ......................................................................................................................................................... 73
5.2.1 -
5.2.2 -
5.3.1 -
5.3.2 -
5.4.1 -
5.4.2 -
Chapitre III VIPP de Merlebach .......................................................................................................................... 79
– 121 –
février 2012
2.1.1 -
2.1.2 -
2.1.3 -
2.1.4 -
2.2.1 -
2.2.2 -
2.2.3 -
2.2.4 -
3.4 - Bilan ......................................................................................................................................................... 92
5.2.1 -
5.2.2 -
5.3.1 -
5.3.2 -
5.4.1 -
5.4.2 -
Chapitre IV Solution caisson BP du pont sur la rivière Saint Étienne........................................................... 99
1.2.1 -
Description générale de l’ouvrage........................................................................................................ 99
1.2.2 -
Caractéristiques des matériaux.......................................................................................................... 102
1.2.3 -
Modélisation utilisée........................................................................................................................... 103
1.2.4 -
Spécificités de l’étude ........................................................................................................................ 104
– 122 –
février 2012
2 - Calcul de l’indice de fiabilité cible β0 ...................................................................................................... 104
2.1 - Indice de fiabilité à l’ELS........................................................................................................................ 104
2.1.1 -
Dimensionnement strict aux Eurocodes............................................................................................. 104
2.1.2 -
Mode de défaillance et fonction d’état limite ...................................................................................... 105
2.1.3 -
Variables aléatoires et lois de probabilité........................................................................................... 106
2.1.4 -
Calcul et analyse de l’indice de fiabilité cible ..................................................................................... 106
2.2 - Indice de fiabilité cible à l’ELU ............................................................................................................... 107
2.2.1 -
Dimensionnement strict aux Eurocodes............................................................................................. 107
2.2.2 -
Mode de défaillance et fonction d’état limite ...................................................................................... 108
2.2.3 -
Variables aléatoires et lois de probabilité........................................................................................... 108
2.2.4 -
Calcul et analyse de l’indice de fiabilité cible ..................................................................................... 109
3 - Évaluation de l’ouvrage par approche probabiliste............................................................................... 110
3.1 - Configuration géométrique de l’ouvrage neuf........................................................................................ 110
3.2 - Évaluation de l’ouvrage neuf à l’ELS ..................................................................................................... 110
3.3 - Évaluation de l’ouvrage neuf à l’ELU..................................................................................................... 111
3.4 - Bilan ....................................................................................................................................................... 112
4 - Actualisation de coefficients partiels...................................................................................................... 112
4.1 - Choix des coefficients partiels à actualiser............................................................................................ 112
4.2 - Calcul des coefficients partiels actualisés ............................................................................................. 113
4.3 - Combinaison des coefficients partiels actualisés .................................................................................. 113
Conclusions et perspectives......................................................................................................................... 115
Conclusions.................................................................................................................................................... 115
Perspectives................................................................................................................................................... 115
Bibliographie................................................................................................................................................... 117
Annexes ............................................................................................................................................................. 125
– 123 –
février 2012
Annexes
Annexe 1 : Bases de la théorie de la fiabilité
On se propose dans cette annexe d’exposer les principes de la théorie de la fiabilité en s’appuyant sur le cas
particulier d’un état limite linéaire composé de variables aléatoires suivant une loi normale. Cet exemple permet
de mener un calcul de fiabilité « à la main ». De plus, il permet de couvrir un large champ d’études puisqu’on
peut ramener les variables aléatoires de loi quelconque à des variables normales centrées réduites par
transformations iso-probabilistes.
On commencera par présenter les notions de probabilité nécessaires au développement de cet exemple. Ensuite,
on reprendra les principes de la théorie de la fiabilité exposés au Chapitre II section 1 dans ce cas particulier, en
détaillant les calculs. Enfin, on montrera comment mettre en application ces principes pour établir un règlement
et évaluer un ouvrage neuf ou existant par approche probabiliste et semi-probabiliste.
1.1 - Notions de probabilité
1.1.1 -
Variable aléatoire
On appelle expérience aléatoire une expérience dont on ne peut prévoir le résultat a priori. En associant à
chacun des résultats possibles de l’expérience aléatoire une valeur réelle, on définit une variable aléatoire.
On décrit la répartition des valeurs que peut prendre cette variable aléatoire X par sa loi de probabilité que l’on
peut exprimer à travers (Figure 31) :
• sa densité de probabilité fX :
fX ( x ) =
P ( x ≤ X ≤ x + dx )
dx
• sa fonction de répartition FX :
FX ( x ) = P ( X ≤ x ) =
x
∫
f X ( x ) dx
−∞
– 125 –
février 2012
Figure 31 : Densité de probabilité (à gauche) et fonction de répartition (à droite) d'une variable aléatoire.
On caractérise la loi de probabilité d’une variable aléatoire X par :
• son espérance E (aussi appelée moyenne arithmétique μX) :
E [ X ] = μX = ∫ x f X ( x ) d x
• sa variance Var (ou σX2) :
2
2
Var [ X ] = σ X 2 = E ⎡⎢( X − E [ X ]) ⎤⎥ = ∫ ( x − E [ X ]) f X ( x ) d x
⎣
⎦
Une variable aléatoire est dite :
• centrée si son espérance est nulle E[X] = 0 ;
• réduite si sa variance est unitaire Var[X] = 1.
1.1.2 -
Loi normale
On appelle loi normale (ou loi de Gauss) la loi de probabilité, caractérisée par sa moyenne μX et son écart-type
σX, qui s’exprime à travers :
• sa densité de probabilité fX :
fX ( x ) =
1
σX
⎡ 1 ⎛ x − μ ⎞2 ⎤
X
exp ⎢ − ⎜
⎟ ⎥
2π
⎢⎣ 2 ⎝ σ X ⎠ ⎥⎦
• sa fonction de répartition FX :
FX ( x ) =
x
∫σ
−∞
1
X
⎡ 1 ⎛ x − μ ⎞2 ⎤
X
exp ⎢ − ⎜
⎟ ⎥d x
2π
⎢⎣ 2 ⎝ σ X ⎠ ⎥⎦
On peut transformer une loi normale quelconque en une loi normale centrée réduite par le changement de
variable :
U=
X − μX
σX
Une loi normale centrée réduite s’exprime à travers (Figure 32) :
• sa densité de probabilité φ :
– 126 –
février 2012
φ(u ) =
⎡ 1 ⎤
exp ⎢ − u 2 ⎥
2π
⎣ 2 ⎦
1
• sa fonction de répartition Φ :
Φ (u ) =
u
∫
⎡ 1 ⎤
exp ⎢ − u 2 ⎥ d u
2π
⎣ 2 ⎦
1
−∞
Figure 32 : Densité de probabilité (à gauche) et fonction de répartition (à droite) d'une variable aléatoire normale centrée réduite.
1.2 - Bases de la théorie de la fiabilité
1.2.1 -
Définition de l’indice de fiabilité
La théorie de la fiabilité propose de calculer la probabilité de défaillance de la structure.
Considérant une structure de résistance R soumise aux sollicitations S, on peut définir un critère d’état limite tel
que :
R≥S
On se place dans le cas particulier où R (respectivement S) est une variable aléatoire suivant une loi normale de
moyenne μR (respectivement μS) et d’écart-type σR (respectivement σS).
La probabilité de défaillance Pf de la structure est alors définie comme la probabilité de dépassement de ce
critère soit :
Pf = P ( R < S )
Notons M la variable aléatoire définie par :
M =R−S
R et S suivant une loi normale, on peut montrer que M suit une loi normale caractérisée par :
• sa moyenne μM :
μM = μR − μS
• son écart-type σM :
σ M = σ R 2 + σS2
On peut alors exprimer la probabilité de défaillance Pf de la structure comme :
– 127 –
février 2012
Pf = P ( M < 0 ) = FM ( 0 )
où on note FM la fonction de répartition de M.
En imposant le changement de variable :
Mu =
M − μM
σM
on se ramène à l’étude d’une variable normale centrée réduite et on peut finalement écrire la probabilité de
défaillance Pf en faisant apparaître la fonction de répartition Φ de la loi normale centrée réduite :
⎛ 0 − μM
Pf = P ( M < 0 ) = FM ( 0 ) = Φ ⎜
⎝ σM
⎛
⎞
μ − μS
⎜− R
Φ
=
⎟
⎜
σ R 2 + σS2
⎠
⎝
⎞
⎟ = Φ(− β )
⎟
⎠
où β est l’indice de fiabilité de la structure et s’exprime comme :
β=
μR − μS
σ R 2 + σS2
Rappelons que si une variable aléatoire suit une loi quelconque, on peut la transformer en variable normale
centrée réduite par une transformation iso-probabiliste.
1.2.2 -
Interprétation géométrique
Pour donner une interprétation géométrique de β, on doit travailler avec des variables normales centrées
réduites ; on impose donc le changement de variables :
Ru =
R − μR
σR
et
Su =
S − μS
σS
Dans l’espace normé (espace formé par les variables aléatoires Ru et Su), on peut distinguer les points en
fonction de leur densité de probabilité. Les points ayant la même densité de probabilité d sont définis par :
d = φ( ru ) φ( su ) =
⎡ 1 ⎤ 1
⎡ 1 ⎤ 1
⎡ 1
⎤
exp ⎢ − ru 2 ⎥
exp ⎢ − su 2 ⎥ =
exp ⎢ − (ru 2 + su 2 ) ⎥
2π
⎣ 2 ⎦ 2π
⎣ 2 ⎦ 2π
⎣ 2
⎦
1
où φ est la densité de probabilité de la loi normale centrée réduite.
1
, on remarque que les courbes d’égale densité de probabilité sont des cercles
2πd
d’équation (Figure 33) :
En posant k 2 = 2ln
Ru 2 + S u 2 = k 2
Ces cercles sont centrés sur O (0,0) l’origine du repère de l’espace normé ; plus on s’éloigne de O et plus la
probabilité d’occurrence est faible.
D’autre part, la fonction d’état limite devient :
g = R − S = ( μR + σ R Ru ) − ( μS + σ S S u ) = μR − μS + σ R Ru − σ S Su
Elle est représentée dans l’espace normé par une droite d’équation (Figure 33) :
– 128 –
février 2012
g = μR − μS + σ R Ru − σ S S u = 0
qui délimite le domaine de sécurité du domaine de défaillance.
La distance de l’origine O (0,0) du repère de l’espace normé à cette droite g s’écrit alors :
d(O, g ) = OZ u =
σ R .0 − σ S .0 + μR − μS
σ R + σS
2
2
=
μR − μS
σ R 2 + σS2
=β
L’indice de fiabilité β est donc représenté géométriquement par la distance de O à la courbe d’état limite g
(Figure 33). La projection orthogonale de O sur g est notée Zu et appelée point de fonctionnement de la structure.
Il a pour coordonnées :
⎛ μR − μS
⎞
⎜ − σ 2 + σ 2 σR ⎟
R
S
⎟
Zu ⎜
⎜ μR − μS
⎟
σ
⎜
2
2 S ⎟
⎝ σ R + σS
⎠
Le point de fonctionnement représente le point de défaillance – puisque appartenant à la courbe d’état limite, qui
a la plus forte probabilité d’occurrence – puisque situé sur le cercle d’iso-probabilité le plus petit.
r
On note α le vecteur unitaire portant (ZuO) de sorte que :
uuuur
ur
ZuO = β α
⇔
σR
⎛
⎜
ur ⎛ αR ⎞ ⎜ σ R 2 + σ S2
α=⎜ ⎟=⎜
σS
⎝ αS ⎠ ⎜ −
2
⎜
σ R + σS2
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
r
Les composantes αR et αS de α sont appelées cosinus directeurs. Elles indiquent le poids relatif de chacune des
variables R et S sur l’indice de fiabilité β.
En revenant dans l’espace physique (espace formé par les variables aléatoires R et S), l’équation des courbes
d’égale densité devient :
( R − μR ) 2 ( S − μS ) 2
+
= k2
σR 2
σS2
Les courbes d’égale densité de probabilité sont donc des ellipses centrées sur le point C (μR, μS), qui représente
l’état le plus probable de la construction (Figure 33).
La fonction d’état limite g est la première bissectrice de l’espace physique (Figure 33) :
g =R−S =0
Le point de fonctionnement Z de l’espace physique est ainsi défini par :
⎛ μR σ S2 + μSσ R 2
⎜
σ R 2 + σS2
⎜
Z
⎜μ σ 2+μσ 2
S R
⎜⎜ R S 2
2
σ
+
σ
R
S
⎝
⎞
⎟
⎟ = ⎛ μR − α R σ R β ⎞
⎟ ⎜⎝ μS − αSσ S β ⎟⎠
⎟⎟
⎠
– 129 –
février 2012
Figure 33 : Représentation dans l'espace normé (à gauche) et dans l'espace physique (à droite).
1.3 - Applications de la théorie de la fiabilité
1.3.1 -
De l’approche probabiliste à l’approche semi-probabiliste
L’approche probabiliste consiste à vérifier que l’indice de fiabilité β d’une structure est supérieur à une valeur
référence appelée indice de fiabilité cible β0 :
β ≥ β0
Or nous avons vu que, dans le cas particulier d’un état limite linéaire g dont les variables aléatoires suivent une
loi normale :
g =R−S
on peut exprimer l’indice de fiabilité de la structure en fonction de la moyenne et de l’écart-type de R et de S de
sorte que :
β=
μR − μS
σ R 2 + σS2
La vérification de l’approche probabiliste peut donc se transformer en :
– 130 –
février 2012
β ≥ β0
μR − μS
σ R 2 + σS2
≥ β0
μR − μS ≥ β0 σ R 2 + σS2
μR − μS ≥ β0
μR − μS ≥ β0
σ R 2 + σS2
σ R 2 + σS2
σR 2
σ R 2 + σS2
+ β0
σS2
σ R 2 + σS2
μR − μS ≥ β0 αR σ R − β0 αSσ S
μR − β0 αR σ R ≥ μS − β0 αSσ S
μR (1 − β0 αR CdVR ) ≥ μS (1 − β0 αSCdVS )
En posant Rd = μR (1 − β0 αR CdVR ) et Sd = μS (1 − β0 αSCdVS ) , on peut présenter cette inégalité sous la forme :
Rd ≥ Sd
Pour établir un règlement semi-probabiliste, on s’appuie sur des valeurs caractéristiques qui seront fournies par
le règlement. Ces valeurs caractéristiques sont établies à partir de statistiques et sont généralement traduites sous
forme de fractile de l’échantillon mesuré : on lie la valeur caractéristique à la moyenne de l’échantillon par un
biais de sorte que :
μR = νR Rk
et
μS = νS Sk
On peut donc déduire de l’approche probabiliste un règlement semi-probabiliste :
Rd ≥ Sd
Rk
≥ γS Sk
γR
avec :
γR =
1.3.2 -
Rk
1
=
Rd νR (1 − β0 αR CdVR )
et
γS =
Sd
= νS (1 − β0 αSCdVS )
Sk
De l’approche semi-probabiliste à l’approche probabiliste
Dans cette étude, nous avons pris comme référence l’approche semi-probabiliste des Eurocodes pour construire
notre approche probabiliste. Nous avons ainsi défini l’indice de fiabilité cible β0 comme l’indice de fiabilité
d’une structure strictement dimensionnée au règlement.
En reprenant le cas particulier de la vérification linéaire du règlement :
Rk
≥ γS Sk
γR
on dimensionne strictement la résistance R en posant :
R0 = γR γS Sk
– 131 –
février 2012
On définit alors l’indice de fiabilité cible β0 comme :
μR0 − μS
β0 =
σ R0 + σS
2
2
=
νR R0 − νS Sk
νR R0 CdVR + νS S k CdVS
2
2
2
2
2
2
=
νR γR γS − νS
νR γR γS2 CdVR 2 + νS2CdVS2
2
2
L’indice de fiabilité de l’ouvrage β est donné quant à lui par :
β=
μR − μS
σ R + σS
2
2
νR Rk − νS Sk
=
νR Rk CdVR 2 + νS2 Sk 2CdVS2
2
2
L’évaluation de la performance de l’ouvrage neuf consiste à s’assurer que :
β ≥ β0
Considérons que l’on apporte une nouvelle information sur la sollicitation S (nouvelle moyenne μS1 et nouveau
coefficient de variation CdVS1) après inspection de l’ouvrage existant.
L’actualisation de la performance de l’ouvrage existant par approche probabiliste (calculs de niveau 5) consiste
à s’assurer que :
β1 ≥ β0
où β1 =
μR − μS1
σR + σ
2
2
S1
=
νR Rk − νS1Sk
νR Rk CdVR 2 + νS12 Sk 2CdVS12
2
2
.
L’actualisation de la performance de l’ouvrage existant par approche semi-probabiliste (calculs de niveau 4)
consiste à s’assurer que :
Rk
≥ γˆS11Sk
γR
où le coefficient γ̂S11 vérifie :
βˆ0 (γˆS11 ) =
νR γR γˆS11 − νS1
νR γR ( γˆ
2
2
)
11 2
S
CdVR + ν CdV
– 132 –
2
2
S1
2
S1
= β0
février 2012
Annexe 2 : Exemple simple d’application
2.1 - Présentation de l’exemple
Dans cet exemple, on considère un ouvrage que l’on caractérise par :
• la résistance R de son matériau constitutif, de valeur caractéristique Rk = 50 kN ;
• la sollicitation S qui lui est appliquée, de valeur caractéristique Sk = 24 kN.
Le règlement impose pour cet ouvrage la vérification semi-probabiliste suivante :
Rd =
Rk
≥ γS S k = Sd
γR
où γR =1,50 et γS = 1,35 sont respectivement les coefficients partiels sur la résistance et la sollicitation.
2.2 - Calcul de l’indice de fiabilité cible β 0
L’application de la théorie de la fiabilité à l’évaluation de l’ouvrage retenu passe par la définition d’un indice de
fiabilité cible, qui sert de référence dans les approches probabilistes. Dans cette étude, l’indice de fiabilité cible
est défini comme l’indice de fiabilité d’un ouvrage équivalent à celui présenté en section 2.1 mais dimensionné
à l’état limite du règlement.
2.2.1 -
Dimensionnement strict au règlement
Le première étape du calcul de l’indice de fiabilité cible est le dimensionnement de l’ouvrage à l’état limite
strict selon le règlement. Le dimensionnement vise à déterminer la résistance minimale de la structure sous les
charges et les combinaisons du règlement.
Le règlement impose la vérification suivante sur la résistance R et la sollicitation S :
Rd =
Rk
≥ γS S k = Sd
γR
On en déduit l’expression de la résistance minimale R0 de la structure :
R0 = γR γS S k = 1,50.1,35.24 = 48,60 kN
Notons que R0 dépend du coefficient γR =1,50 sur la résistance et du coefficient γS = 1,35 sur la sollicitation.
2.2.2 -
Le mode de défaillance considéré pour le calcul en fiabilité correspond à la justification précédemment adoptée
pour le dimensionnement strict au règlement (section 2.2.1).
g =R−S
Dans la fonction d’état limite g, les coefficients partiels γR sur la résistance et γS sur la sollicitation ne sont pas
considérés.
– 133 –
février 2012
2.2.3 -
On retient comme variables aléatoires les paramètres de la fonction d’état limite g, auxquels on associe une loi
de probabilité dont les caractéristiques sont précisées dans le Tableau 74.
Valeur
nominale
48,60
(R0)
Variable
Résistance R (kN)
Sollicitation S (kN)
24,00
Loi de
probabilité
Biais
Écart-type
Coefficient
de variation
Loi normale
1,20
-
5%
Loi normale
1,00
-
20%
Tableau 74 : Variables aléatoires et lois de probabilité retenues dans l’exemple (paramètre dimensionné en jaune).
interviennent dans le calcul de la valeur nominale de la variable de dimensionnement, ici la résistance R0 =
48,60 MN (cf. section 2.2.1).
2.2.4 -
•
méthode par surface de réponse ('type_prob',6) ;
•
surface de réponse linéaire ('type_sreponse',1) ;
•
plan d’expérience en étoile ('type_plandex',1).
6,1108
Dimensionnement R0 (kN)
48,60
49,0684
49,0684
0,5192
-0,8547
0,1781
-0,1781
-0,5649
-0,9299
R (kN)
S (kN)
Tableau 75 : Résultats du calcul de l’indice de fiabilité cible de l’exemple.
Les variables aléatoires suivant une loi normale, on peut retrouver ces résultats par les formules développées en
Annexe 1 :
• indice de fiabilité cible β0 :
β0 =
μR0 − μS
σ R0 + σS
2
2
=
νR R0 − νS Sk
νR R0 CdVR + νS S k CdVS
2
2
2
2
2
2
=
1, 20.48,60 − 1,00.24
1, 20 48,602 0,052 + 1,002 242 0, 202
2
= 6,1108
• point de fonctionnement Z0 :
– 134 –
février 2012
2
2
⎛ μR0 σ S2 + μSσ R0 2 ⎞ ⎛⎜ 1, 20.48,60 (1,00.24.0, 20 ) − 1,00.24 (1, 20.48,60.0,05 ) ⎞⎟
2
2
⎜
⎟
⎟ ⎛ 49,0684 ⎞
(1, 20.48,60.0,05) + (1,00.24.0, 20 )
σ R0 2 + σ S2 ⎟ ⎜
⎜
Z0
=
=
⎜
⎜ μ σ 2 + μ σ 2 ⎟ 1, 20.48,60 1,00.24.0, 20 2 − 1,00.24 1, 20.48,60.0,05 2 ⎟ ⎜⎝ 49,0684 ⎟⎠
⎜
⎟
(
)
(
)
R0 S
S R0
⎜⎜
⎟⎟
2
2
⎜
⎟⎟
2
2
⎝ σ R0 + σ S
⎠ ⎜⎝
(1, 20.48,60.0,05) + (1,00.24.0, 20 )
⎠
• cosinus directeurs α0 :
σ R0
⎛
⎜
uur ⎛ αR0 ⎞ ⎜ σ R0 2 + σ S2
α0 = ⎜
⎟=⎜
σS
⎝ αS ⎠ ⎜ −
⎜
σ R0 2 + σ S2
⎝
1, 20.48,60.0,05
⎞ ⎛
2
2
⎟ ⎜
⎟ ⎜ (1, 20.48,60.0,05 ) + (1,00.24.0, 20 )
⎟=⎜
1,00.24.0, 20
⎟ ⎜−
2
2
⎟ ⎜
(1, 20.48,60.0,05 ) + (1,00.24.0, 20 )
⎠ ⎝
⎞
⎟
⎟ ⎛ 0,5192 ⎞
⎟=⎜
⎟
⎟ ⎝ −0,8547 ⎠
⎟
⎠
2.3 - Évaluation de l’ouvrage par approche probabiliste
La définition d’un indice de fiabilité cible correspondant à l’état limite du règlement permet de procéder à une
évaluation structurale de l’ouvrage étudié par approche probabiliste, en comparant son indice de fiabilité à sa
valeur cible.
Pour l’évaluation de l’ouvrage neuf, les calculs portent sur la même vérification et sont menés avec la même
fonction d’état limite et les mêmes variables aléatoires (Tableau 74) que pour les calculs de l’indice de fiabilité
cible, à l’exception de la valeur nominale de la résistance prise à sa valeur caractéristique Rk = 50 kN au lieu de
sa valeur de dimensionnement strict R0 = 48,60 kN, le biais et le coefficient de variation restant inchangés.
6,3600
49,8876
49,8876
0,5300
-0,8480
0,1767
-0,1767
-0,5955
-0,9528
R (kN)
S (kN)
Tableau 76 : Résultats du calcul de l’indice de fiabilité de l’exemple.
Les variables aléatoires suivant une loi normale, on peut retrouver ces résultats par les formules développées en
Annexe 1 :
• indice de fiabilité cible β :
β=
μR − μS
σ R + σS
2
2
=
νR R − νS S k
νR R CdVR + νS S k CdVS
2
2
2
2
2
2
=
1, 20.50 − 1,00.24
1, 20 502 0,052 + 1,002 242 0, 202
2
= 6,3600
• point de fonctionnement Z :
– 135 –
février 2012
2
2
⎛ μR σ S2 + μSσ R 2 ⎞ ⎛⎜ 1, 20.50 (1,00.24.0, 20 ) − 1,00.24 (1, 20.50.0,05 ) ⎞⎟
2
2
⎜
⎟
⎟ ⎛ 49,8876 ⎞
(1, 20.50.0,05) + (1,00.24.0, 20 )
σ R 2 + σS2 ⎟ ⎜
⎜
=
=
Z
⎜
⎜ μ σ 2 + μ σ 2 ⎟ 1, 20.50 1,00.24.0, 20 2 − 1,00.24 1, 20.50.0,05 2 ⎟ ⎜⎝ 49,8876 ⎟⎠
⎜
⎟
(
)
(
)
R S
S R
⎜⎜
⎟⎟
2
2
⎜
⎟⎟
2
2
⎝ σ R + σS
⎠ ⎜⎝
(1, 20.50.0,05) + (1,00.24.0, 20 )
⎠
• cosinus directeurs α :
σR
⎛
⎜
ur ⎛ αR ⎞ ⎜ σ R 2 + σ S2
α=⎜ ⎟=⎜
σS
⎝ αS ⎠ ⎜ −
2
⎜
σ R + σ S2
⎝
1, 20.50.0,05
⎞ ⎛
2
2
⎟ ⎜
⎟ ⎜ (1, 20.50.0,05 ) + (1,00.24.0, 20 )
⎟=⎜
1,00.24.0, 20
⎟ ⎜−
2
2
⎟ ⎜
(1, 20.50.0,05) + (1,00.24.0, 20 )
⎠ ⎝
⎞
⎟
⎟ ⎛ 0,5300 ⎞
⎟=⎜
⎟
⎟ ⎝ −0,8480 ⎠
⎟
⎠
On vérifie que l’ouvrage à la conception est conforme au règlement puisque l’indice de fiabilité de l’ouvrage
neuf β est supérieur à son indice de fiabilité cible β0 :
β = 6,3600 ≥ 6,1108 = β0
Ce résultat n’est pas surprenant puisque la résistance de la structure est supérieure à la résistance minimale
nécessaire pour satisfaire le règlement.
2.4 - Actualisation de coefficients partiels
coefficients partiels du règlement destinés à l’évaluation semi-probabiliste de l’ouvrage, pour intégrer de
nouvelles informations sur l’ouvrage existant tout en assurant le même niveau de fiabilité que celui requis pour
un ouvrage neuf.
2.4.1 -
Choix des coefficients partiels à actualiser
Les résultats du calcul de l’indice de fiabilité cible (Tableau 75) montrent que les 2 variables aléatoires ont un
poids significatif dans le calcul de β0, avec une part plus importante pour la variable S.
• le coefficient γR sur la résistance (pour l’ouvrage neuf γR = 1,50) : plage de biais 1,00 à 1,40 (biais ouvrage
neuf 1,20), plage de CdV 1% à 10% (CdV ouvrage neuf 5%) ;
• le coefficient γS sur la sollicitation (pour l’ouvrage neuf γS = 1,35) : plage de biais 0,80 à 1,20 (biais ouvrage
neuf 1,00), plage de CdV 10% à 30% (CdV ouvrage neuf 20%).
2.4.2 -
Calcul des coefficients partiels actualisés
de l’ouvrage strictement dimensionné au règlement (β0 = 6,1108), selon la méthode décrite en Partie 1 (Chapitre
3, section 3.2). L’actualisation des coefficients partiels est conduite grâce à la fonction calib_coeff de
ReliabTbx R1.5 et permet d’établir des grilles de coefficients partiels actualisés (Tableau 77 et Tableau 78).
– 136 –
février 2012
Coefficient de variation CdVR
Coefficient γR
Biais νR
1%
5%
10%
1,00
1,65
1,80
2,53
1,20
1,38
1,50
2,11
1,40
1,18
1,29
1,81
Tableau 77 : Grille des coefficients partiels recalibrés portant sur la résistance R de de l’exemple (valeur initiale de γR pour l’ouvrage
neuf en jaune).
Coefficient γS
Biais νS
10%
20%
30%
0,80
0,81
1,08
1,36
1,00
1,02
1,35
1,70
1,20
1,22
1,62
2,04
Tableau 78 : Grille des coefficients partiels recalibrés portant sur la sollicitation S de l’exemple (valeur de γS pour l’ouvrage neuf en
jaune).
2.4.3 -
Combinaison des coefficients partiels actualisés
Les grilles de coefficients (Tableau 77 et Tableau 78) ayant été établies indépendamment les unes des autres,
leur utilisation simultanée ou successive doit être validée en s’assurant que la combinaison de différents
coefficients permet de garder le même niveau de fiabilité. Pour ce faire, on calcule l’indice de fiabilité cible
correspondant aux combinaisons des différents coefficients partiels, que l’on compare à l’indice de fiabilité
cible β0 = 6,1108.
Le Tableau 79 teste la combinaison des coefficients partiels recalibrés portant sur la résistance R et la
sollicitation S.
Coefficient β0
Biais νR
1,00
R
1,20
1,40
S
0,80
Biais νS
1,00
1,20
CdV
10%
20%
30%
10%
20%
30%
10%
20%
30%
1%
6,6780
6,1100
5,9916
6,6780
6,1100
5,9915
6,6780
6,1100
5,9918
5%
6,1103
6,1101
6,1101
6,1103
6,1101
6,1100
6,1103
6,1101
6,1103
10%
5,7002
6,1107
6,2993
5,7002
6,1107
6,2993
5,7002
6,1107
6,2994
1%
6,6802
6,1115
5,9929
6,6802
6,1115
5,9928
6,6802
6,1115
5,9931
5%
6,1112
6,1108
6,1107
6,1112
6,1108
6,1106
6,1112
6,1108
6,1109
10%
5,7002
6,1107
6,2993
5,7002
6,1107
6,2993
5,7002
6,1107
6,2994
1%
6,6799
6,1113
5,9927
6,6799
6,1113
5,9926
6,6799
6,1113
5,9929
5%
6,1109
6,1105
6,1105
6,1109
6,1105
6,1104
6,1109
6,1105
6,1107
10%
5,7002
6,1107
6,2993
5,7002
6,1107
6,2993
5,7002
6,1107
6,2994
Tableau 79: Grille de l'indice de fiabilité cible de l’exemple après combinaison des coefficients partiels recalibrés sur la résistance R et
la sollicitation S combinés (valeur initiale de β0 en jaune).
– 137 –
février 2012
Les indices de fiabilité résultant de la combinaison des coefficients partiels recalibrés sur la résistance R et la
sollicitation S varient entre 5,7002 et 6,6802, soit un écart maximal de 9% par rapport à l’indice de fiabilité cible
initial β0 = 6,1108 : cet écart montre que les couples de coefficients retenus ne se trouvent pas exactement sur le
front de solution. On peut néanmoins admettre cette erreur et envisager la possibilité de combiner les
coefficients partiels actualisés γR et γS, tout en garantissant le même niveau de fiabilité que celui requis pour
l’ouvrage à la conception.
2.5 - Exemple d’application à l’évaluation de l’ouvrage neuf et
existant
2.5.1 -
Cadre de l’exemple
L’ouvrage étudié est l’ouvrage neuf détaillé en section 2.1.
existant. On considère, pour l’ouvrage existant, une mesure de la sollicitation de S1 = 28,80 kN, soit une
augmentation de 20% par rapport à la valeur prise lors de la conception, mesure connue à une précision de 10%.
2.5.2 -
Application du règlement seul
La sécurité de l’ouvrage neuf est évaluée par approche semi-probabiliste en comparant la résistance R de la
structure à la sollicitation S qu’elle subit.
L’ouvrage neuf est conforme au règlement puisque sa résistance Rd est supérieure à la sollicitation Sd :
Rd =
Rk
50
=
= 33,33 kN ≥ 32, 40 kN = 1,35.24 = γS S k = Sd
γR 1,50
Évaluation de l’ ouvrage existant
La sécurité de l’ouvrage existant est évaluée par approche semi-probabiliste en comparant la résistance R de la
structure à la sollicitation S1 mesurée lors de l’inspection. L’application stricte du règlement pour l’évaluation
d’un ouvrage existant ne permet de prendre en compte que le changement de valeur moyenne de la sollicitation
et pas sa précision de mesure.
L’ouvrage existant n’est pas conforme au règlement puisque sa résistance Rd est inférieure à la sollicitation
Sd1 mesurée :
Rd =
2.5.3 -
Rk
50
=
= 33,33 kN ≥/ 38,88 kN = 1,35.1, 20.24 = γS S k1 = Sd1
γR 1,50
Application de la théorie de la fiabilité
Le Tableau 80 rappelle la loi de probabilité adoptée pour la sollicitation S dans le calcul de β et β0.
Variable
Valeur
nominale
– 138 –
Loi de
probabilité
Biais
Écart-type
Coefficient
de variation
février 2012
24,00
Loi normale
1,00
-
20%
Tableau 80 : Rappel de la loi de probabilité de la sollicitation S pour le calcul des indices de fiabilité β et β0 de l’exemple.
cible β0 :
β = 6,3600 ≥ 6,1108 = β0
On commence donc par actualiser l’indice de fiabilité de l’ouvrage pour intégrer la nouvelle information sur la
sollicitation. Ce calcul est mené avec la nouvelle valeur moyenne (S = 1,20.24 = 28,80 kN), intégrée sous la
forme d’un nouveau biais (1,20 au lieu de 1,00) et le nouveau coefficient de variation (10% au lieu de 20%) sur
la sollicitation. Le Tableau 33 donne la nouvelle loi de probabilité adoptée pour le calcul de β1. On obtient ainsi
un indice de fiabilité de l’ouvrage existant β1 :
β1 = 7,5024
Variable
Valeur
nominale
Loi de
probabilité
Biais
Écart-type
Coefficient
de variation
24,00
Loi normale
1,20
-
10%
Tableau 81 : Actualisation de la loi de probabilité des sollicitations S pour le calcul de l’indice de fiabilité β1 de l’exemple (en bleu les
caractéristiques modifiées par rapport au Tableau 80).
β1 = 7,5024 ≥ 6,1108 = β0
2.5.4 -
Application du règlement avec grilles de recalibration
règlement puisque sa résistance Rd est supérieure à la sollicitation Sd : :
Rd =
Rk
50
=
= 33,33 kN ≥ 32, 40 kN = 1,35.24 = γS S k = Sd
γR 1,50
La sécurité de l’ouvrage existant est évaluée par approche semi-probabiliste en comparant la résistance R de la
structure à la sollicitation S1 mesurée lors de l’inspection.
La nouvelle information sur la sollicitation permet de calculer une nouvelle valeur de mesure Sd1 en remplaçant
le coefficient partiel γS = 1,35 par le coefficient partiel actualisé correspondant à la nouvelle valeur des
superstructures (S1 = 1,20.24 = 28,80 kN) et à son nouveau coefficient de variation (10%). On lit ainsi dans le
Tableau 78 à la dernière ligne (biais 1,20) et la première colonne (CdV 10%) le coefficient actualisé:
γˆS = 1, 22
– 139 –
février 2012
L’ouvrage existant est conforme au règlement puisque sa résistance Rd est supérieure à la sollicitation Sd1 :
Rd =
Rk
50
=
= 33,33 kN ≥ 29, 28 kN = 1, 22.24 = γˆS S k = Sd1
γR 1,50
L’utilisation des grilles de recalibration permet de retrouver le même résultat qu’un calcul direct en fiabilité.
2.6 - Fichiers de calcul ReliabTbx
2.6.1 -
Calcul de l’indice de fiabilité cible β 0
Le calcul de l’indice de fiabilité cible β0 sous ReliabTbx suppose de définir trois fichiers Matlab :
• le fichier ‘variables’, présentant les variables aléatoires et leurs caractéristiques ;
• le fichier ‘état limite’, donnant la fonction d’état limite ;
• le fichier ‘dimensionnement’, donnant la vérification imposée par le règlement.
Le fichier 'exemple_var.m' décrit les variables aléatoires, ici la résistance R et la sollicitation S, ainsi que
leurs caractéristiques (Tableau 74) :
function var = exemple_var
%
Variable R
var(1).nom='Résistance';
var(1).type=1; % 1 pour une loi normale
var(1).par1=50*1.2; % moyenne de R (valeur caractéristique*biais)
var(1).par2=50*1.2*0.05; % écart-type de R (moyenne*CdV)
var(1).biais=1.2; % biais
var(1).gamma=[1/1.5;0]; % coefficient partiel [valeur;non actualisé]
%
Variable S
var(2).nom='Sollicitation';
var(2).par1=24; % moyenne de S (valeur caractéristique*biais)
var(2).par2=24*0.2; % écart-type de S (moyenne*CdV)
var(2).biais=1; % biais
var(2).gamma=[1.35;0]; % coefficient partiel [valeur;non actualisé]
Notons que dans ce fichier, c’est la valeur caractéristique Rk = 50 kN qui est donnée et non la valeur de
dimensionnement R0 = 48,60 kN : ceci s’explique par le fait que, pour le calcul de l’indice de fiabilité cible,
ReliabTbx calcule lui-même cette valeur de dimensionnement R0 grâce à l’expression du fichier de
dimensionnement et que la valeur donnée ici n’est donc pas prise en compte.
Le fichier 'exemple_el.m' donne la fonction d’état limite g :
function g=exemple_el(z)
% Affectation des variables aléatoires
R=z(1);
S=z(2);
% Tirage des variables aléatoires
{R,S}
% Fonction g d'état limite
g=R-S
– 140 –
février 2012
Le fichier 'exemple_el0.m' donne l’expression du paramètre dimensionné strictement au règlement, ici la
résistance R :
function Rd0=exemple_el0(z)
% Affectation des variables aléatoires
Rd=z(1);
Sd=z(2);
% Expression de la variable dimensionnée (en valeur de mesure)
Rd0=Sd;
Le calcul de l’indice de fiabilité cible β0 est finalement réalisé grâce à la commande fiabdesign :
fiabB0=fiabdesign('exemple_el','exemple_el0','exemple_var',[],[],[1],options)
où :
• [1] désigne le numéro de la variable dimensionnée (ici la résistance R porte le numéro 1 dans le fichier de
variables exemple_var.m) ;
• options est réglé via la commande fiabset, soit pour une méthode par surface de réponse linéaire avec
plan d’expérience en étoile options=fiabset('type_res',1,'type_prob',6).
2.6.2 -
Calcul de l’indice de fiabilité β
Le calcul de l’indice de fiabilité β est finalement réalisé grâce à la commande fiabcom :
fiabcom=fiabcomp('exemple_el','exemple_var',[],[],options)
avec les fichiers exemple_el.m et exemple_var.m présentés en 2.6.1.
Notons qu’ici c’est bien la valeur donnée dans le fichier exemple_var.m qui est prise en compte (soit la valeur
caractéristique Rk = 50 kN).
2.6.3 -
Actualisation des coefficients partiels
Pour l’actualisation d’un coefficient partiel, il faut modifier le fichier de variables pour introduire le nouveau
biais et le nouveau coefficient de variation du paramètre faisant l’objet de l’actualisation.
Le fichier 'exemple_var.m' peut ainsi être modifié pour introduire un nouveau biais νS = 1,2 et un nouveau
coefficient de variation CdVS = 10% sur les sollicitation S :
function var = exemple_var
%
Variable R
var(1).nom='Résistance';
var(1).par1=50*1.2; % moyenne de R (valeur caractéristique*biais)
var(1).par2=50*1.2*0.05; % écart-type de R (moyenne*CdV)
var(1).biais=1.2; % biais
var(1).gamma=[1/1.5;0]; % coefficient partiel [valeur;non actualisé]
%
Variable S
var(2).nom='Sollicitation';
var(2).par1=24*1.2; % moyenne de S (valeur caractéristique*nouveau biais)
var(2).par2=24*1.2*0.2; % écart-type de S (nouvelle moyenne*CdV)
var(2).biais=1.2; % nouveau biais
var(2).gamma=[1.35;1]; % coefficient partiel [valeur;actualisé]
– 141 –
février 2012
L’actualisation porte donc sur le coefficient partiel γS relatif à la sollicitation : elle est activée en passant à 1 le
deuxième argument du paramètre gamma.
Le coefficient partiel actualisé est finalement calculé grâce à la commande calibcoeff :
calib=calibcoeff('exemple_el','exemple_el0','exemple_var',[],6.1108,[],[1],op
tions)
où :
• les fichiers exemple_el.m et exemple_var.m sont ceux présentés en 2.6.1 ;
• 6.1108 désigne la valeur de l’indice cible β0 à atteindre.
– 142 –
février 2012
Rédigé sous la direction de :
Anne-Sophie Colas – CTOA/DGOI
téléphone : 33 (0)1 46 11 31 95 – télécopie : 33 (0)1 46 11 34 74
mél : [email protected]
Service d'études sur les transports, les routes et leurs aménagements
110, rue de Paris – Sourdun – BP214 – 77487 Provins Cedex – France
téléphone : 33 (0)1 60 52 31 31 – télécopie : 33 (0)1 60 52 31 69
Document consultable et téléchargeable sur les sites web du Sétra :
• Internet : http://www.Sétra.developpement-durable.gouv.fr
• Intranet (Réseau ministère) : http://intra.Sétra.i2
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Théorie de la fiabilité - Application à l`évaluation structurale des

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