Formules de trigonométrie

École des Mines de Nancy
Denis Villemonais, [email protected]
Année 2014-2015
FIMGP 1A – Mathématiques
Formules de trigonométrie 1
1
Identité remarquable
Quel que soit l’angle A, on a (d’après le théorème de Pythagore) :
cos2 A + sin2 A = 1.
2
Formules d’addition et de différence des arcs
Les formules suivantes se démontrent aisément à l’aide des nombres complexes. Pour tous angles a, b, on a
sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b,
sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b,
cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b,
cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b,
tan a − tan b
,
tan(a − b) =
1 + tan a tan b
tan a + tan b
tan(a + b) =
.
1 − tan a tan b
1. Ce document est directement inspiré de la page wikipedia disponible à l’adresse
http ://fr.wikipedia.org/wiki/Trigonom%C3%A9trie#Formules_de_trigonom.C3.A9trie.
1
3
Formules de duplication des arcs
Toutes les formules suivantes peuvent être aisément retrouvées à l’aide des
formules de la section précédentes.
cos(2a) = cos2 a − sin2 a = 2 cos2 a − 1 = 1 − 2 sin2 a,
sin(2a) = 2 sin a cos a,
2 tan a
.
tan(2a) =
1 − tan2 a
4
Formules d’addition et de différence de deux
sinus et de deux cosinus
De la même façon, ces formules sont une conséquence immédiate des formules
de base du paragraphe 2.
cos(a + b) + cos(a − b) = 2 cos a cos b,
cos(a + b) − cos(a − b) = −2 sin a sin b,
sin(a + b) + sin(a − b) = 2 sin a cos b,
sin(a + b) − sin(a − b) = 2 cos a sin b.
2