Spectroscopie par Transformée de Fourier

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Spectroscopie par Transformée de Fourier
Optique de Fourier – Examen - A. DUBOIS
20 Février 2014
Optique de Fourier – Examen – 2h
Arnaud Dubois
Documents interdits
Calculatrice non autorisée
Ordinateur non autorisé
Résumé du cours et formules mathématiques sont fournis en annexe.
Problème 1
Une étoile est observée au moyen d’une lentille simple de focale f = 1 m. La lentille est
supposée parfaite (aucune aberration) et mince. L’étoile, située sur l’axe optique de la lentille,
émet de la lumière monochromatique de longueur d’onde  = 0,5 µm et d’intensité I0 (voir
Figure 1).
La pupille de la lentille est de forme carrée, de largeur a = 10 cm (voir Figure 2). Cette pupille
est située dans le plan de la lentille et centrée sur l’axe optique.
Figure 1
Figure 2
1
Optique de Fourier – Examen - A. DUBOIS
20 Février 2014
1. Où se trouve l’image de l’étoile ? Dans le plan focal arrière de la lentille
2. Un capteur d’image (matrice CCD) est placé dans le plan de l’image.
- Calculer la distribution d’intensité I1(x,y) sur le capteur.
  ax 
  ay 
I1 ( x, y )  I 0 sinc2 
sinc2 


 f 
 f 
- Tracer la fonction I1(x,0).
- Donner l’expression de la largeur de I1(x,0), définie comme la distance entre le
maximum et le premier « zéro » de I1(x,0). Faire l’application numérique.
Largeur = f/a = 5 µm.
3. Le capteur d’image est constitué de pixels carrés de largeur e, supposés jointifs.
- Estimer la valeur maximale de e telle que l’image acquise par le capteur possède une
résolution spatiale comparable à l’image donnée par le système optique. Il faut que
e < resolution optique, soit e < 5µm typiquement
4. On suppose maintenant que l’étoile émet deux longueurs distinctes 1 et 2.
- Ecrire l’expression de l’intensité sur le capteur CCD. On somme les distributions
d’intensité (fonctions de type I1) correspondant à chacune des longueurs d’onde.
5. On suppose maintenant que l’étoile émet une lumière polychromatique (spectre large
de forme Gaussienne)
- Que devient la distribution d’intensité sur le capteur CCD ? distribution sans
annulation et plus vraiment d’oscillations.
Un réseau de diffraction de taille infinie est maintenant placé devant la lentille à une distance f.
)
La transmission en amplitude de ce réseau s’écrit (
[
(
)] avec
0 < < 1. La source est l’étoile monochromatique du début du problème.
6. Donner l’expression de l’amplitude complexe U2 (x,y) de la lumière sur le capteur si la
pupille est supposée infinie (a = ).
(
(
)
√
)
{ ( )
̃( )
√
[ (
( )
)
(
)]}
( )
7. Donner l’expression de la répartition d’intensité I2 (x,y) sur le capteur CCD si l’on tient
compte de la taille finie de la pupille (pupille carrée de largeur a).
(
)
  ax 

 f 
{ sinc 

 x
1 
 
  f p 
[ sinc   a 

  x
1 
sinc   a 
   ]}
   f p 
  ay 
}
 f 
{ sinc 
8. Tracer la répartition d’intensité I2 (x, 0) si p = a/10. 3 sinuscardinaux bien séparés
2
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20 Février 2014
9. Tracer l’allure de I2 (x, 0) si p = a. 3 sinuscardinaux qui se superposent partiellement
(limite de résolution selon Rayleigh)
Une étoile double est maintenant observée avec le système optique, le réseau étant enlevé.
L’angle entre les deux étoiles est  (voir Figure 3).
Figure 3
10. Exprimer la distance entre les centres des images de chacune des étoiles. =f
11. Quelle est la distribution d’intensité I3 (x,y) dans le plan du capteur CCD ?
(
)
 a  x  
  
   f 2 
 a  x  
sinc2 
   ]
   f 2 
[ sinc2 
  ay 
sinc2 

 f 
12. Donner la valeur minimale de  pour laquelle les deux étoiles peuvent être résolues par
le système d’imagerie, selon le critère de Rayleigh. =a
Problème 2
Une mire sinusoïdale de période p0 est observée au moyen d’une lentille mince de focale
f = 100 mm supposée dénuée de toute aberration. La mire est située à une distance d = 200 mm
devant la lentille. La mire est éclairée avec de la lumière incohérente spatialement avec une
intensité uniforme I0. La transmission en intensité de cette mire supposée infinie est :
( )
[
)], avec 0 <  < 1.
(
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1. Où se trouve l’image de la mire donnée par la lentille ? à 2f derrière la lentille (montage
2f/2f)
2. Le diamètre de la lentille est supposé infini.
-
(
Ecrire la distribution d’intensité
(
) dans le plan image.
(
)
[
)]
- Quels sont les fréquences spatiales de l’image et que vaut son contraste ?
Fréquences spatiales = 0, 1/p0 ; contraste = 
3. On prend en compte maintenant la taille finie de la lentille. On considère une pupille
carrée de largeur L située dans le plan de la lentille.
( )
- Calculer la fonction de transfert incohérente
( )
(
- Ecrire la distribution d’intensité (
)
) dans le plan image ; préciser la valeur du
contraste et donner les fréquences spatiales de l’image. On distinguera deux cas selon la
valeur de L par rapport à p0.
(
)
[
(
)], avec 0 < c < 1, c à calculer (géométrie)…
contraste = c
seule la fréquence nulle est transmise. (
) = constante (contraste nul)
4. On considère que la lentille possède en réalité une fonction de transfert incohérente de la
forme :
( )
(
) pour
( )
( ).
-
Tracer la fonction
-
Donner l’expression de la distribution d’intensité dans le plan image.
-
Quel est le contraste de l’image ? Comparer au contraste de l’objet.
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Optique de Fourier – Examen - A. DUBOIS
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Annexe 1
Rappels sur l’analyse de Fourier
Fonction rectangle
Définition
Expression de sa transformée
1 si x 
x
2
rect  
  0 si x 
2
 sinc   x   
Sans dimension
sin   x 
 x
Homogène à [x]
2J1 z
z
1
-

/2
/2
x
Premier zéro pour :
 x  
Fonction disque
Définition
 r  1 si r  r0
Dis   
 r0  0 si r  r0
Expression de sa transformée
r
x
2
 y2 
 r02 
2 J 1  2 r0 
 2 r0 


2
x
  y2 
Homogène à [r]2
Sans dimension
2 J1 z
1
z
r0
y
z

x
Premier zéro pour : 1.22
6
 2 r0
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Distribution de Dirac
Définition
  x
Expression de sa transformée
1
  x  x0 
exp  i 2 x0  x 
Homogène à [x]-1
Sans dimension
  ax  
1
a
1
  x
a
Homogène à [a]-1[x]-1
Homogène à [a]-1
f  x   exp  i 2 x0  x 
 f  x   x  x  dx  f  x  x 
0
0
 Homogène à [f][x]
Homogène à [f]
Fonction trigonométrique
Définition
Expression de sa transformée
cos  2 0 x 
1
  x   0     x   0  
2
Définition
Expression de sa transformée
Peigne de Dirac
1
p
    p x  n 
 p  x
x

1 x
 p    p   p  n
  n


    x  np 
n
1 
n
    x  
p
n p

n
Homogène à [x]-1
Sans dimension
Fonction f périodisée au pas p
Définition

1
 f  x 
p

Expression de sa transformée
 x
 p     f  x  np 
  n
f  x 
 p  x
1 
n 
 f  x       x   
p 
n  p

 n1 
n 
  f     x   
p 
n 
 p p 
Homogène à [f]
Homogène à [f][x]
Fonction f échantillonnée au pas p
Définition
f x 
1
p
x 
  f x  x  np
p 
n
Expression de sa transformée
f˜  x  
 f˜  x   p x  n 
n
1 
n 
  f˜  x  
p 
p 
n
  f np x  np
n
Homogène à [f][x]-1

p  x 
Homogène à [f]

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Annexe 2 : Notes du cours d’Optique de Fourier
Les résultats rappelés ici peuvent être utilisés directement sans être redémontrés (sauf si demandé explicitement).
ONDES MONOCHROMATIQUES
Fonction d’onde complexe : U(r, t) = U(r) exp(j2t),
où U(r) = a(r)exp[j(r)] est appelée amplitude complexe.
- U (r )  I ( r ) = intensité de l’onde
2
- arg{U(r)} = (r) = phase de l’onde
Fronts d’onde : (r) = 2q (q entier).
Onde plane
Amplitude complexe : U(r) =Aexp(-jk.r) = A exp[-j(kxx + kyy + kzz)]
A = envelope complexe (constante)
k = (kx, ky, kz) = vecteur d’onde.
Helmholtz  Le module de k est égal au nombre d’onde k  2 c   c
Les front d’onde sont des plans distants de  = 2/k = c/ ( = longueur d’onde)
Onde sphérique
Amplitude complexe : U(r) = (A/r) exp(±jkr)
(signe - si divergente; signe + si convergente)
où r est la distance à l’origine et k = 2/c = /c.
Fronts d’onde = sphères concentriques séparées d’une distance radiale  = 2/k = c/.
A
x2  y2 

(Approximation parabolique de l’onde sphérique, valable
exp   jkz  exp   jk
z
2 z 

dans le cadre de l’approximation de Fresnel (toujours utiliser cette approximation dans le cadre du
cours !))
U (r) 
Approximation de Fresnel valable si :
N F m 2
a2
(nombre de Fresnel)
 1 avec N F 
4
z
TRANSMITTANCE D’UNE LENTILLE MINCE
 x2  y2 
 x2  y2 
t ( x, y )  h0 exp  jk

h
exp
0
 j  f 
2 f 



f = focale de la lentille.
h0  exp   jnk0d0  est un terme de phase constant (on considère généralement h0 = 1)
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PROPAGATION DANS L’ESPACE LIBRE
Fréquences spatiales d’une onde plane
Fréquences spatiales : x = kx/2 et y = ky/2.
sin  x   x
sin  y   y
Relation angles du vecteur d’onde / fréquences spatiales : 
Si kx << k et ky << k (régime paraxial) :
 x   x

 y   y
Méthodes de calcul de la propagation dans l’espace libre
Valables dans le cadre de l’approximation de Fresnel
- Méthode dans l’espace directe : l’onde est considérée comme superposition d’ondes paraboloiques élementaires
(ondes sphériques). Conforme au principe d’Huygens -Fresnel
- Méthode dans l’espace de Fourier : l’onde est décomposée en une somme d’ondes planes.
h( x, y )
U ( x, y ,0)
U ( x ', y ', d )
FT
FT-1
H ( x , y )
U ( x , y ,0)
h ( x, y ) 
U ( x , y , d )

j exp   jkd 
 x2  y2  
exp   j

d
 d 

H ( x , y )  exp   jkd  exp  j d  x 2   y 2 
La méthode par convolution consiste à calculer « l’intégrale de Fresnel » (ou « transformée de Fresnel ») :
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( x  x ')2  ( y  y ')2 

U ( x, y, d )  h0  U ( x ', y ',0)exp   j
dx ' dy '
d


j


où h0  
 exp   jkd 

d


H  x , y  est appelée fonction de transfert de l’espace libre.
Approximation de Fraunhofer
Dans l’approximation de Fraunhofer, l’amplitude complexe U ( x, y, d ) d’une onde monochromatique de
longueur d’onde , en z = d, est proportionelle à la TF de l’amplitude complexe U ( x, y,0) en z = 0, TF calculée
aux fréquences spatiales  x  x /  d and  y  y /  d . L’approximation est valide si U ( x, y,0) est confinée à
un cercle de rayon b tel que N F  b2 / d  1 et si U ( x, y, d ) est confinée à un cercle de rayon a tel que
N F '  a 2 / d  1 (conditions plus restrictives que Fresnel)
U ( x, y, d ) U (
x y
,
,0)
d d
Remarque : Si d = infini , alors « Fresnel = Fraunhofer »
Amplitude dans le plan focal d’une lentille
L’amplitude complexe d’une onde monochromatique au point (x, y) dans le plan focal arrière d’une lentille
convergente de focale f est proportionelle à la TF de l’amplitude complexe de l’onde dans le plan focal avant,
calculée aux fréquences spatiales  x  x /  f et  y  y /  f . Cette relation est valide dans l’approximation de
Fresnel. Le plan focal arrière de la lentille est appelé plan de Fourier.
Sans lentille, la relation de TF entre les amplitudes complexes n’est valable que dans l’approximation de
Fraunhofer, qui est plus restrictive.
DIFFRACTION
Figure de diffraction = distribution transverse d’intensité d’une onde ayant traversé une ouverture (fonction
pupillaire p) après propagation sur une distance d. Selon que la propagation peut être décrite avec
l’approximation de Fresnel ou l’approximation de Fraunhofer, on parle de diffraction de Fresnel ou de diffraction
de Fraunhofer
* La figure de diffraction de Fraunhofer est proportionnelle au module carré de la TF de la fonction pupillaire
p(x, y) , TF évaluée aux frequences spatiales  x  x /  d et  y  y /  d :
 x y 
I ( x, y )  p 
,

 d d 
2
* Au foyer d’une lentille de focale f, dans l’approximation de Fresnel, on a
 x y 
I ( x, y )  p 
,

 f  f 
10
2
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FORMATION DES IMAGES
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