Concours Communs Polytechniques A. Pièges

Corrigé
Concours Communs Polytechniques
SECONDE EPREUVE DE PHYSIQUE - FILIERE MP
Document rédigé par Paul Roux, Saint-Etienne ([email protected])
A. Pièges électroniques en 1D, 2D, 3D
I. Piège 1D
1.
2.
De façon immédiate ∆V =
∂ 2V ∂ 2V ∂ 2V
+
+
= 0 conformément aux lois de l’é∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
lectrostatique dans le vide.
Il s’agit d’une parabole avec la concavité vers le bas :
V(z)
z
Dans le plan Oxy, V ( x, y ) = −
(
)
V0
V
x 2 + y 2 = − 0 2 ρ 2 et les équipotentielles sont
2
4d
4d
des cercles de centre O.
(
)
3.
V0
ρ2 − z 2 et les équipo2
2d
tentielles sont des hyperboles équilatères dont Oz est une asymptote.
Finalement, les surfaces équipotentielles sont des hyperboloïdes de révolution,
d’axe Oz. On reconnaît d’ailleurs certaines de ces surfaces dans les électrodes
proposées à la question suivante.
La continuité du potentiel à la surface des électrodes permet de déterminer le poV
tentiel des coupelles z 2 − ρ 2 = z 02 sous la forme Vc = 0 2 z 02 ; de même
2d
V
l’électrode annulaire z 2 − ρ 2 = −r02 a pour potentiel Va = − 0 2 r02 . Enfin, les
2d
2
2
2
connexions imposent V0 = Vc - Va donc z 0 + r0 = 2d .
4.
a)
Dans un plan quelconque passant par Oz, V ( x, y ) = −
d 2r
= −e(− grad Φ ) s’écrit :
dt 2
eV
eV
eV
m&x& = − 02 x m&y& = − 02 y m&z& = 20 z
2d
2d
d
Le mouvement axial est donc confiné si z(t) est bornée, donc si V0 < 0.
En l’absence de toute autre force, m
Corrigé, CCP 2001 MP (II)
b)
La pulsation correspondante est ω z = −
fréquence correspondante f z =
eV0
= 1,56.10 8 rad.s −1 avec pour
md 2
ωz
= 24,9MHz .
2π
II. Pièges 2D
1.
a)
Le principe fondamental de la dynamique s’écrit m
dv
= − ev ∧ B soit endt
ω
dv
= ω c e z ∧ v avec ω c = 8,79.10 8 rad.s −1 et f c = c = 140MHz .
2π
dt
b) Les conditions initiales s’écrivant x(0) = y(0) = z(0) = 0 et v0x = v0 sin θ0 ,
v0y = 0, v0z = v 0 cos θ0 , on commence par résoudre en projection sur Oz l’équation
&z& = 0 qui fournit z = v 0 cos θ0 t ; on écrit encore les équations du mouvement projetées dans le plan Oxy sous la forme &x& = −ωc y& ⇒ x& = −ωc y + v 0 sin θ 0 et
&y& = ω c x& ⇒ y& = ω c y + v0 . On en déduit &y& + ω2c y = ω c v0 sin θ 0 soit compte tenu
core
des conditions initiales y =
v0 sin θ 0
(1 − cos ω c t ) ; on en déduit immédiatement
ωc
v0 sin θ 0
v sin θ 0
sin ωc t et le mouvement est circulaire de rayon 0
.
ωc
ωc
c)
Il s’agit d’un piège 2D puisque la trajectoire de l’électron en projection dans
v
le plan Oxy est un cercle de rayon maximal rmax = 0 = 0,11mm .
ωc
a) Dans l’approximation des régimes quasi-permanents, on né glige le champ
magnétique du aux variations temporelles du champ électrique qui est donné par
E = - grad Φ d’où les équations :
ex
ez
m&x& = 2 (Vs + U m cos Ωt ) m&y& = 0 m&z& = − 2 (Vs + U m cos Ωt )
r0
r0
x=
2.
d 2 q Ω2 d 2 q
=
soit, après subsdt 2
4 d θ2
d 2 x  Vs U m
d 2z  Vs Um


titution,
+ − 2 +
cos θ  x = 0 et
+ 2 −
cos θ z = 0 soit en2
2
dθ
α
α
dθ
α


 α

V
U
fin λ x = −2 s = −2u s = −λ z et u x = m = u m = −u z . θ étant sans dimension, λi
α
α
et ui le sont aussi et α est une tension, mesurée en volt.
b) Le graphe demandé est immédiat, si on remarque que – u2 /2 et 1 - |u| ne se
coupent jamais puisque l’équation u2 – 2 u + 2 = 0 n’a pas de solution réelle. La
zone de stabilité est comprise entre les courbes représentant – u2 /2 (parabole vers
le bas) et 1 - |u| (affine par morceaux.)
Le changement de variable demandé se fait selon
2
Corrigé, CCP 2001 MP (II)
1
λi
stabilité
ui
1
Si maintenant on impose à la fois que 2 v s et son opposé vérifient la condition de
stabilité (en x et z), il vient − 0,5u m2 ≤ ±2v s ≤ 1 − u m qui se représente comme sur
la figure ci-après :
1
2v s
I
1
um
stabilité
Les coordonnées de I vérifient 1 − u I = 0,5u I2 soit u I = 3 − 1 donc v I = 1−
Comme on choisit um = uI, il vient α =
Ω = 7,75.108 rad.s-1 donc
Um
= 6,83V puis Ω =
um
3
.
2
2eα
soit
me r02
Ω
1
3 
= 123MHz . Enfin, on impose v s = 1 −
d’où
2π
2 
2 
Vs = αvs = 0,45V .
III. Piège 3D
1.
La
somme
des
forces
déjà
mène
à
&x& =
1 2
ω z x − ω c y& ,
2
1 2
1
ω z y + ω c x& et &z& = −ω 2z z . On en déduit immédiatement &ζ& = ω 2z ζ + i ωc ζ& .
2
2
L’équation caractéristique associée à cette équation différentielle a pour discriminant δ = 2ω 2z − ω2c < 0 et les deux racines de cette équation caractéristique sont
&y& =
2.
considérées
3
Corrigé, CCP 2001 MP (II)
2
2
imaginaires pures, à savoir r = i ω1 et r = i ω2 avec ω1 = ωc + ωc − 2ω z et
ω 2 = ω c − ωc2 − 2ω2z ; on en déduit ζ = ζ 1 exp (iω1 t ) + ζ 2 exp (i ω1 t ) et les solutions x et y sont des combinaisons linéaires de solutions harmoniques de puls ations ω1 et ω2 avec ω1 = 1,73.109 rad.s-1 , f 1 = 275MHz ; ω2 = 2,8.107 rad.s-1 et
f 2 = 4,5MHz.
B. Faisceau gaussien
1.
a)

ρ2 
On a immédiatement I ( z , ρ) = C ( z ) exp  − 2 2  . Le tracé de cette fonction
w (z )

gaussienne est classique.
2
On définit ici la largeur à mi- hauteur comme le rayon de la zone telle que I(z, ρ)
reste supérieur à la moitié de sa valeur maximale C2 (z), soit ∆ρ1 / 2 = w(z )
b)
c)
ln 2
.
2
∞

ρ2 
Le flux total est donné par Φ l = ∫0 C 2 ( z ) exp  − 2 2  2πρdρ qui se calcule aiw ( z) 

π
sément par le changement de variable u = ρ2 soit Φ l = C 2 ( z )w 2 ( z ) . On pourra
2
noter que la conservation de l’énergie impose que Φ l reste indépendant de z.
w2
u 

∫0 exp  − 2 w 2  du
La fraction demandée vaut φ =
soit φ = 1 − exp (− 2) = 0,87 .
∞
u 

∫0 exp  − 2 w2 du
On pourra adopter pour w le nom de rayon du faisceau puisque 87% de l’énergie
sont concentrées dans un cercle de rayon w.
Φl
= 2,75kW.m − 2 , soit
L’éclairement demandé est soit l’ éclairement moyen
2
πw
2Φ l

ρ2 

 ou, numériquel’éclairement local à la distance ρ de l’axe I =
exp
−
2

πw 2
w2 

ment, I = 6,37 kW.m −2 exp (− 2ρ 2mesuré en mm ) .
2.
a)
On rappelle ici le principe de HUYGENS ET FRESNEL dans les conditions de la diffraction à l’infini (diffraction de FRAUNHOFER) : on peut considérer l’onde diffractée par une pupille plane comme une somme cohérente d’ondelettes émises par les
différents éléments d’aire dx dy de la pupille diffractante. L’onde émise par
l’élément d’aire dx dy est proportionnelle à cette aire et à l’amplitude de l’onde
incidente. Enfin, ces ondelettes reconstruisent l’onde totale en P compte tenu de
leur différence de phase, due à la propagation du point M(x, y) jusqu’en P. Cette
phase, si on prend pour origine l’onde diffractée au voisinage de O, s’écrit :
2π
2π
φ=−
OM ⋅ u = −
(α x + βy )
λ
λ
4
Corrigé, CCP 2001 MP (II)
α
β
v= .
λ
λ
Le calcul demandé est immédiat, sous la forme :
+∞
+∞
 x2 
 y2 
 2π 
 2π 
tˆ (α , β) = ∫− ∞ exp  − 2  exp  − i
αx dx × ∫− ∞ exp  − 2  exp  − i βy dx
λ
λ




 w0 
 w0 
d’où les relations demandées, u =
Les deux intégrales se calculent de la même façon ; on pose x = πξw0 puis
παw0
avec les notations de l’énoncé pour obtenir une répartitio n d’onde
λ
diffractée produit de deux gaussiennes :
 πw 2

 πw 2 
 πw 2

tˆ (α , β) = πw02 exp  − 20 α 2  exp  − 2 0 β 2  = πw02 exp  − 2 0 α 2 + β 2 
 λ

 λ

 λ

a=
[
b)
L’intensité de l’onde lumineuse est alors I (α, β ) = tˆ(α, β)
2
]
soit, à une constante

πw02 2
2 

multiplicative près, I (α, β ) = π w exp  − 2 2 α + β  . La demi- largeur à miλ


hauteur est la valeur de α (ou β) pour laquelle cette intensité prend une valeur
∆θ1 / 2
λ ln 2
=
moitié de celle atteinte en α = 0, à savoir
. On remarquera
2
w0 2π
λ
qu’un ordre de grandeur satisfaisant est obtenu en écrivant ∆θ 1 / 2 ≅ 2
, conw0
formément aux résultats usuels de la diffraction de Fraunhofer.
Numériquement, on trouve ∆θ1/2 = 4,2.10-5 rad = 0,14' (minute d’arc).
2
3.
a)
b)
c)
(
4
0
)
ψ0
2π 
exp  i
r .
r
 λ 
Le développement limité sera effectué pour z > 0 (onde divergente), ce qui permet

ρ2 
d’écrire r = z 2 + ρ 2 ≅ z 1 + 2  . Les variations du terme d’enveloppe 1/r
 2z 
étant beaucoup plus lentes que celles du terme de phase, nous écrirons donc
ψ
 2π z  exp  i π ρ 2 
l’onde sphérique ψ s ≅ 0 exp  i


.
z
 λ 
 λz 
1
1
1
1
Il faut et il suffit que Cs soit l’image de Ce soit −
+
= =−
où O
f
OC e OC s
OF
est le centre optique de la lentille et Fs on foyer objet, puisque les questions posées par l’énoncé concernent la formation de l’image Cs de l’objet Ce.
Si on veut que les deux ondes soient divergentes dès leur passage par la lentille, il
faut que Ce et Cs soient situés avant la lentille, donc que Ce soit situé entre F et O,
comme sur le schéma ci-après. Notons toutefois qu’une onde convergente finit
toujours, après passage par son point de convergence, par être divergente.
Enfin, l’onde de sortie est une onde plane si le centre de divergence à l’entrée est
confondu avec le foyer objet Ce.
Une onde sphérique divergente peut s’écrire ψ s =
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Corrigé, CCP 2001 MP (II)
Cs
Ce
O
Remarquons que la donnée de Ce et Cs permet de déterminer, au moyen d’une
construction auxiliaire, la position de F ; si Ce est entre F et O, Cs est situé avant F
sur l’axe optique :
Cs
F
Ce
O
4.
d)
Ici, l’entrée et la sortie du système optique sont au même point et on aura
1
1
1
OC e = −OC e = −Re et OC s = −OC s = −R s donc −
+
=
donc encore
− Re − Rs
f
Re
Rs =
, fonction homographique abcd avec a = 1, b = 0, c = - 1/f et d = 1.
R
1− e
f
a)
On peut d’abord rappeler l’expression proposée en 3.a) pour une onde sphérique
 ρ2 1 
F (z )
 .
ayant, au point considéré, un rayon de courbure R : ψ s (ρ, z ) =
exp  iπ
z
 λ R
Si on remplace dans cette expression 1/R par l’expression de 1/q proposée par
 ρ2 1 
 ρ2 
F(z )
 exp  − 2  qui est bien une
l’énoncé, on obtient ψ g (ρ, z ) =
exp  i π
z
 λ R
 w 
onde gaussienne.
On a immédiatement w = w0
 z
1 + 
 zR
6



2
dont le tracé est classique :
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w
w0
z
b)
Remarquons d’abord qu’on peu écrire ζ =
immédiatement q =
z 2 + z R2
z 2 + z R2
et R =
. On a alors
zR
z
Rζ
(ζ − iR ) ou, après simplifications, q = z − iz R , soit
R + ζ2
2
K = zR .
c)
πw02
= 1,24m . L’application de la règle abcd doit se faire
Numériquement, z Re =
λ
avec soin, les abscisses z (pour le faisceau d’entrée) et z' (pour le faisceau de sortie) étant comptées respectivement depuis les positions du waist en entrée (ze) et
en sortie (zs) selon q e = ( z − z e ) − iz Re et q s = ( z − z s ) − iz Rs pour les rayons de
courbure complexes des faisceaux gaussien d’entrée et de sortie. On écrira alors la
règle abcd (relation de conjugaison), écrite seulement là où elle s’applique c’est- àdire à la position (z = 0) du centre optique de la lentille, par exemple sous la forme
1
1
1
1
1
1
=
+ . On peut indifféremsous la forme
−
=
soit
z s + iz Rs z e + iz Re f
qe q s
f
− z e − iz Re
ment l’écrire sous la forme homographique − z s − iz Rs =
soit en− z e − iz Re
1−
f
z e + iz Re
( z + iz Re )( f + z e − iz Re )
core z s + iz Rs = f
= f e
. L’égalité des parties
f + z e + iz Re
( f + z e )2 + z Re2
réelles de ces deux nombres complexes donne z s = f
( f + z e )z e + z Re2
( f + z e )2 + z Re2
l’égalité des parties imaginaires permet d’écrire z Rs = z Re
(f
f
tandis que
2
2
+ z e ) + z Re
2
; cette
relation sera utilisée plus bas.
d)
w0 s
=
w0 e
Le rapport demandé peut s’écrire
z Rs
w0 s
=
soit
z Re
w0 e
f
(f
+ z e ) + z 2Re
2
. Il
w0 s
= 0,08 .
w0 e
La divergence du faisceau de sortie a été fortement réduite en plaçant le waist du
faisceau d’entrée sur le foyer objet de la lentille, ce qui est conforme au rôle attendu du foyer objet de cette lentille convergente.
suffit de prendre ze = - 0,1m et f = 0,1m pour obtenir zs = + 0,1m et
7
Corrigé, CCP 2001 MP (II)
e)
 z2 
Au niveau de la lentille (z = 0), on a Re = − z e 1 + Re2  = 15,5m > 0 pour un faisze 

 z2 
ceau divergent ainsi que Rs = − z s 1 + Rs2  = −0,10m < 0 pour ce faisceau qui est
zs 

convergent. Finalement, les abscisses des divers points considérés sont :
point
We
Ws
Ce
Cs
z
- 0,10m + 0,10m
-15,5m
+ 0,10m
We et Ws ne sont pas conjugués ; par contre, Ce (qui est presque à l’infini) admet
presque pour conjugué Cs (qui est au foyer image de la lentille).
Ainsi, une onde qui semble diverger très peu en entrée va, après la lentille, converger au foyer image, comme dans le cadre des ondes sphériques : ce résultat est
encore conforme au rôle attendu du foyer image d’une lentille.
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