cours sens de variation d`une fonction

Fonctions – sens de variation
I – Sens de variation sur un intervalle :
1. Fonction croissante :
Définition :
Soit une fonction f définie sur Df et I un intervalle de Df. La fonction f est strictement
croissante sur I si et seulement si pour tous réels a et b de I,
si a < b alors f(a) < f(b). (Si l’inégalité est au sens large la fonction est croissante)
La fonction est dite monotone sut I
Sur I les images de a et b soit f(a) et f(b) sont rangées dans le même ordre que les nombres
a et b (leurs antécédents). On dit aussi que la fonction conserve l’ordre.
Représentation graphique
y
f(b)
Cf
f(a)
x
a
b
2. Fonction décroissante :
Définition :
Soit une fonction f définie sur Df et I un intervalle de Df. La fonction f est strictement
décroissante sur I si et seulement si pour tous réels a et b de I,
si a < b alors f(a) > f(b).
La fonction est dite monotone sut I
Sur I les images de a et b soit f(a) et f(b) ne sont pas rangées dans le même ordre que les
nombres a et b (leurs antécédents). On dit aussi que la change l’ordre.
Représentation graphique
y
) )
f(a
Cf
f(b)
x
a
b
1
3. Fonction constante :
Définition :
Une fonction est constante sur un intervalle I si tous les réels de cet intervalle ont la même
image par f. Pour tout réel a de I f(a) = k
Représentation graphique :
La représentation graphique de f est celle de la droite d’équation y = k sur l’intervalle I.
II – Etude du sens de variation d’une fonction :
1. Définition :
Etudier le sens de variation d’une fonction c’est déterminer les intervalles sur lesquels cette
fonction est croissante et ceux sur lesquels elle est décroissante.
Ces résultats sont résumés dans un tableau de variation
2. Maximum et minimum :
La fonction f admet un maximum sur un intervalle I lorsque pour tout x de I, f(x) ≤ f(a). Le
réel f(a) est le maximum de f sur I il est atteint quand x = a.
La fonction f admet un minimum sur un intervalle I lorsque pour tout x de I, f(x) ≥ f(a). Le
réel f(a) est le minimum de f sur I il est atteint quand x = a
Exemple :
La fonction f définie par f(x) = (x – 2 )²(x+1) est représentée sur l’intervalle I = [-2;3.5] par
la courbe ci-dessous
(faire des lectures de résultats puis les retrouver par le calcul)
y
10
5
x
0
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
-5
-10
-15
2
son tableau de variation est :
x
-2
0
2
4
3,5
10,125
f
-16
0
Remarque : on ne peut donner le tableau de variation de f que sur l’intervalle sur lequel la
courbe est tracée car rien ne permet de savoir comment varie la fonction au delà. Seule une
étude théorique du sens de variation permet de connaitre le sens de variation.
3. Etude du sens de variation :
Plusieurs méthodes permettent d’étudier le sens de variation d’une fonction. En seconde on
ne sait pas faire cette étude pour toutes les fonctions et on n’aborde pas toutes les
méthodes.
Première méthode :
Etudier pour tous réels a et b d’un intervalle I tels que a < b le signe de
୤ሺୟሻି୤ሺୠሻ
ୟିୠ
exemple. Soit la fonction f définie sur I = [0; +õ[ par f(x) = x²+x.
(faire conjecturer avec la calculatrice et critiquer)
Démonstration : pour tout a et b, tels que a < b, de l’intervalle I, f(a) = a²+a et f(b) = b²+b
f(a) – f(b) = (a²+a) – (b²+b) = (a² - b²) +(a – b) = (a+b)(a – b)+(a – b) = (a – b) (a+b+1)
Donc
୤ሺୟሻି୤ሺୠሻ
ୟିୠ
= a+b+1
Or pour tous réels a et b de I , a+b+1 > 0 (pourquoi ?)
donc
୤ሺୟሻି୤ሺୠሻ
ୟିୠ
>0 or a<b donc a – b < 0 donc f(a) – f(b) < 0 et donc f(a) < f(b)
Les réels et leurs images sont rangés dans le même ordre, la fonction f est croissante sur I.
Cette méthode est-elle applicable sur J = ] -õ;0] ?
Deuxième méthode :
Traduire pour tous réels a et b de I le fait que ces réels appartiennent à I et que a < b sous
forme d’inégalité (s) puis appliquer le programme de calcul de la fonction à cette inégalité
et conclure.
Exemple : f est définie par f(x) = (x-2)² - 4, sens de variation sur I = [2; +õ[ .
(faire conjecturer avec la calculatrice )
sur I = [2; +õ[ pour tout a ∈I et b ∈I si a < b alors 2 ≤ a < b
donc 0 ≤ a – 2 < b – 2
0 ≤ (a – 2)² < (b – 2)²
- 4 ≤ f(a) < f(b)
donc les réels et leurs images sont rangés dans le même ordre f est croissante sur I.
Peut-on faire la même étude sur J = ] -õ;2] ?
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