NOM : 2de 5 – ES Test n°2 – Durée : 45` Corrigé Exercice 1

NOM :
2de 5 – ES
Test n°2 – Durée : 45’
Corrigé
Exercice 1.
[5 pts]
Questions de cours
1. Soit f une fonction de R vers R.
(a) Qu’appelle-t-on ensemble de définition de f ?
C’est l’ensemble des réels qui ont une image par f .
(b) Application : Déterminer l’ensemble de définition de la fonction f : x 7→
Soit x ∈ R. f (x) est défini si, et seulement si x − 3 6= 0, c’est-à-dire : x 6= 3.
L’ensemble de définition de f est R − {3}.
1
.
x−3
2. Soit g une fonction définie sur un intervalle I, à valeurs dans R.
(a) Donner la définition de : “g est croissante sur I. ”
On dit que g est croissante sur I si l’implication suivante est vraie :
Pour tous réels u, v ∈ I,
si u 6 v, alors g(u) 6 g(v).
(b) Application : Prouver que la fonction g : x 7→ 2x − 3 est croissante sur R.
Soit u et v deux éléments de R. Supposons que u 6 v. Alors :
2u 6 2v
2u − 3 6 2v − 3
Ainsi, si u 6 v, alors g(u) 6 g(v).
On en conclut que g est croissante sur R.
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Exercice 2.
[8 pts]
On donne dans le repère ci-dessous les courbes représentatives d’une fonction f et d’une fonction g.
2
y = f (x)
1
b
−4
b
−3
−2
1
−1
2
3
4
5
6
−1
b
−2
y = g(x)
−3
−4
L’ensemble des questions est à traiter par simple lecture graphique.
1. L’ensemble de définition de f et de g est l’intervalle [−4; 6].
2. f (−4) = 0 ; f (−2) = −4 ; f (2) = 0.
3. Les antécédents de −3 par f sont les réels −1 et −3.
4. Tableau de variations de f :
x
−4
0
−2
4
2
6
f (x)
−4
0
5. Pour résoudre l’équation : f (x) = g(x), on détermine graphiquement les abscisses des
points d’intersection des courbes de f et de g. Ici, il y a deux solutions : −4 et 1.
6. L’inéquation f (x) > g(x) a pour solutions les abscisses des points de la courbe de f qui
se situent strictement au dessus de la courbe de g.
L’ensemble des solutions est l’intervalle ]1; 6].
7. Si −4 6 x 6 6, alors −2 6 g(x) 6 0.
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[7 pts]
Exercice 3.
Afin d’orienter ses investissements, une chaîne d’hôtels réalise une analyse sur le bénéfice B,
en euros, par hôtel, en fonction du taux d’occupation des chambres. Ce taux est noté x et il
exprimé en pourcentage.
B est donc une fonction de x et on sait que, pour tout x ∈ [20; 90], B(x) = −x2 + 160x + c,
où c est un réel fixé.
1. Sachant que pour x = 40, le bénéfice est de 900 euros, on peut écrire successivement :
B(40) = 900
−402 + 160 × 40 + c = 900
c = −3900
2. D’après la question précédente, B(x) = −x2 + 160x − 3900.
Or, pour tout x ∈ [20; 90],
2500 − (x − 80)2 = 2500 − (x2 − 160x + 6400) = −x2 + 160x − 3900 = B(x)
L’égalité est donc prouvée.
3. (a) Pour x ∈ [20; 90], le bénéfice est nul lorsque B(x) = 0.
Cette équation équivaut successivement à :
2500 − (x − 80)2 = 0
(50 − (x − 80))(50 + (x − 80)) = 0
(130 − x)(x − 30) = 0
x = 130 ou x = 30
Or x ∈ [20; 90], donc la seule valeur qui annule le bénéfice est 30.
(b) Le bénéfice est maximal lorsque le carré (x − 80)2 est minimal, c’est-à-dire lorsqu’il
vaut 0.
On en déduit alors que le bénéfice est maximal pour x = 80 et vaut alors 2500 e.
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