DROITES I) Coefficient directeur

DROITES
I) Coefficient directeur ; ordonnée à l’origine
r r
On considère le plan muni d’un repère (O, i , j ) .
1) Droites non parallèles à l’axe des abscisses
Définitions : On considère une droite D non parallèle à l’axe des abscisses.
y − yA
• Quels que soient les points A et B sur la droite D, le rapport B
est constant et est appelé le coefficient
xB − x A
yB − y A
déplacemen t vertical ↑
=
.
x B − x A déplacemen t horizontal →
‚ L’ordonnée à l’origine est l’ordonnée du point d’intersection de la droite avec l’axe des ordonnées.
directeur a de la droite D :
a=
y
y
Ordonnée
à l’origine
Ordonnée
à l’origine
1
0
1
x
1
0
Coefficient directeur positif
1
x
Coefficient directeur négatif
Remarque : Les droites parallèles à l’axe des ordonnées ou « verticales » n’ont pas de coefficient directeur.
2) Des méthodes
Méthode 1 : Dessiner un coefficient directeur (méthode de l’escalier).
a=− 1
3
3
a=2= 4
2
− 1
4
2
Méthode 2 : Lire le coefficient directeur d’une droite sur un graphique.
• Choisir deux points A et B sur la droite.
‚ Se déplacer de A vers B par la méthode de l’escalier.
déplacement vertical
ƒ En déduire le coefficient directeur :
.
déplacement horizontal
Exemple : On se déplace de A vers B
- en se déplaçant vers la droite de 3 graduations
- puis en descendant de 2 graduations.
Le coefficient directeur de la droite (AB) est :
y
A
B
1
1
O
x
a=
Remarque : on peut aussi lire les coordonnées de A et de B et calculer a ;
y −y
A(
;
) B(
;
)
a= B A=
xB − xA
Droites
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Méthode 3 : Tracer une droite dont on connaît un point et le coefficient
directeur.
y
• Placer le point.
‚ Dessiner le coefficient directeur en partant de ce point.
1
Exemple : Tracer la droite • passant par A (1 ; −2)
O
• de coefficient directeur a =
x
1
4
3
3) Coefficients directeurs et droites parallèles
Propriété : On considère deux droites D et z non parallèles à l’axe des ordonnées.
• Si D et z sont parallèles, alors elles ont le même coefficient directeur.
• Réciproquement : si D et z ont même coefficient directeur, alors D et z sont parallèles.
II) Equations de droites
r r
On considère le plan muni d’un repère (O, i , j ) .
1) Théorème
Théorème :
• Toute droite D non parallèle à l’axe des ordonnées a une équation de la forme y = a x + b où a et b sont deux nombres
réels. Cette équation y = a x + b est appelée équation réduite de D. Le nombre a est le coefficient directeur de D et le
nombre b est l’ordonnée à l’origine de D.
• Toute droite D’ parallèle à l’axe des ordonnées a une équation de la forme x = c où c est un nombre réel et correspond
à l’abscisse constante de tous les points de D’.
Exemples :
1
.2
r
j
O
y=3
D2
r
i
r
j
y = .2x +3
O
x=2
r
j
r
i
r
Oi
D3
D1
D1 a pour équation y = .2x + 3.
Coefficient directeur a = .2 ;
ordonnée à l’origine b = 3.
D2 a pour équation y = 3.
Coefficient directeur a = 0.
D2 est parallèle à l’axe des abscisses.
Ordonnée à l’origine b = 3.
D3 a pour équation x = 2.
D3 n’a pas de coefficient directeur.
D3 est parallèle à l’axe des
ordonnées.
2) Des méthodes
y
a) Tracer une droite dont on connaît une équation
• Méthode 4 : • Placer l’ordonnée à l’origine.
‚ Dessiner le coefficient directeur.
Exemple : Tracer la droite d’équation y = 1 x − 2.
3
1
1
O
x
Droites
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• Méthode 5 : • Déterminer les coordonnées de deux points.
‚ Placer ces deux points.
Exemple 1 : Tracer la droite d’équation y = − 1 x + 3
2
Si x = 0, alors y = ......
x
Si x = 4, alors y = ......
y
On place les points A (0 ;
) et B (4 ;
)
y
1
O
Exemple 2 : Tracer la droite d’équation 2x + 3y + 3 = 0
Si x = 0, alors y = ...... .
Si x = 3, alors y = ...... .
1
x
1
x
1
x
y
x
1
y
O
Remarque : on peut aussi déterminer l’équation réduite sous la forme
y = a x + b, puis utiliser la méthode 4.
2x + 3y + 3 = 0 donne y =
Conseils :
• Pour avoir un tracé précis, les points doivent être suffisamment éloignés.
• Prendre des valeurs donnant des calculs simples et si possible des nombres entiers.
b) Déterminer l’équation d’une droite
• Méthode 6 : Déterminer graphiquement l’équation d’une droite.
• Lire le coefficient directeur par la méthode de l’escalier.
‚ Lire l’ordonnée à l’origine.
Exemple :
y
1
O
• Le coefficient directeur est a =
‚ L’ordonnée à l’origine est b =
L’équation de la droite est donc : y =
• Méthode 7 : Déterminer par le calcul l’équation d’une droite passant par deux points A et B.
L’équation est de la forme y = a x + b.
y −y
• Calculer a en écrivant a = B A .
xB − xA
‚ Pour trouver b, utiliser le fait que A (ou B) est un point de la droite, c’est-à-dire que ses coordonnées vérifient
l’équation cherchée.
Exemple : Déterminer l’équation de la droite (D) passant par A (−1 ; 2) et B (3 ; −4)
On a : a =
y
yB − y A
−4 − 2 − 6
=−3 .
=
=
3 − (−1 ) 4
2
xB − xA
L’équation de (D) est donc de la forme : y = − 3 x + b.
2
Comme A est un point de (D), on peut écrire :
3
3 1
2 = − 3 J (− 1) + b
d’où + b = 2 , soit b = 2 − = .
2
2
2 2
3
1
L’équation de (D) est donc : y = − x + .
2
2
1
O
x
1
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