Transformée en Ondelettes Continue

Transformée en Ondelettes
Continue
Introduction
17/11/2013
Approche théorique
[email protected]
1
La théorie des ondelettes
Elle se situe à la frontière entre :
1.  Les mathématiques
2.  Le calcul scientifique
3.  Le traitement du signal
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Approche théorique
2
Historique
" 
" 
" 
" 
1971 Kenneth Wilson : décrit la renormalisation
Décomposition atomique
Fonction autosimilaires de Gabor
1975 Morlet s’inspire de l’analyse de Fourier à
fenêtre de Gabor
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Approche théorique
3
IEEE ISIC 02
Time Frequency Analysis
The Short Time Fourier Transform
STFTxω ( t , f ) = ∫ x( t )ω * ( t − t ʹ′) e − j 2πft dt
t
x(t) is the signal
ω(t) is the window function
t
is the time period
A short data window is used so that the full-analysed signal is partitioned
into segments each of them will be analysed separately
To obtain a good localization in time we have chosen a short window
In STFT the window function chosen remained the same width
over the entire calculation process
17/11/2013
Approche théorique
Wavelet based Residual Evaluation for Fault Detection and Isolation
4
4
Critique de la STFT
"   Imprécise
sur le temps dans les hautes
fréquences
"   Elle
ne procure aucune méthode de
reconstruction du signal à partir de la
transformée
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Approche théorique
5
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Approche théorique
6
Noise Corrupted Residuals
Fault in µm
Measurement White Noise (0, 0.2)
IEEE ISIC 02
Fault in Ks
γ0
γ0
γ1
γ1
γ2
γ2
Coloured Noise (standard deviation = 1.6156 )
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γ0
γ0
γ1
γ1
γ2
γ2
Approche théorique
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Residual Evaluation using TFA
Fault in µm
Noise free case
IEEE ISIC 02
Fault in Ks
Coloured noise corrupted residuals
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Approche théorique
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Analyse temps-échelle
Analyse en ondelettes :
F  fréquence analysée en fonction de la
largeur de fenêtre
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Approche théorique
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L’approche de Morlet
" 
Garder constant le nombre d’oscillations
" 
Varier la taille de la fenêtre: le principe de
l’accordéon
" 
Nom : ondelettes de forme constante
" 
Reconstruction par une intégrale double
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Approche théorique
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Les Ondelettes « temps-échelle » de
Grossman-Morlet
" 
L’échelle signifie que le signal sera, à une échelle
donnée, remplacé par l’approximation la plus
adéquate que l’on puisse tracer à cette échelle
" 
C ’est une projection sur une « base » dite
d ’ondelettes issues de la même ondelette mère.
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Approche théorique
11
Les ondelettes de Morlet
Construction d’une famille de fonction élémentaires :
1 ⎛ t − b ⎞
ψ a ,b (t ) =
ψ ⎜
⎟
a ⎝ a ⎠
Les coefficients du signal f sont alors les nombres :
∞
C f (a, b) = ( f ,ψ a ,b ) =
∫ f (t )ψ
a ,b
(t )dt
−∞
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Approche théorique
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Les ondelettes de Morlet
2
ψ (t ) = e
−
t
2
e jωσt
ψ (t ) = e
t2
−
2
cos(5t )
Δf
= ct.
f
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Approche théorique
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Analyse d’un Dirac
1 −
C ( a, b) =
e
a
( b −b0 )
2a
2
e
− jω0
b0 −b
2a2
Module
b0 − b
ϕ = ω0
a
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Approche théorique
14
Résultats
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Approche théorique
15
La transformée en ondelettes continue
unidimensionnelle
" 
La transformée continue s'écrit :
( )
1 f(x)Ψ x−b dx
a
a∫
Pour un signal, une formulation équivalente de WT est
donnée à partir des transformées de Fourier de f et Ψ, si
on utilise l'identité de Parseval. :
ˆ>
2πWTf,ψ (a,b)=< f,Ψ
ˆ a,b(ω)= a exp(−iab)Ψ
ˆ (aω)
Ψ
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Approche théorique
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La transformée en ondelettes continue
unidimensionnelle (x)
" 
D'après cette interprétation, nous pouvons représenter un signal
monodimensionnel f(x) (ou une fonction) sous forme d'un champ à
deux dimensions WT(b,a); en faisant varier b (homogène à un temps),
et a (homogène à une échelle). Le résultat est une représentation
temps-échelle de f(x).
" 
La famille des ondelettes construite par dilatation-translation à partir de
l'ondelette mère est définie comme :
( )
Ψab= 1 Ψ x−b
a
a
avec a ≠ 0 et a,b ∈ R, ainsi, toutes les ondelettes ont la même énergie.
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Approche théorique
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2
ψ (t ) =
π
1
4
⎛ t 2
⎞
⎛ − t 2 ⎞
⎜⎜ 2 − 1⎟⎟ exp⎜⎜ 2 ⎟⎟
σ
⎠
⎝ 2σ ⎠
3σ ⎝
5
2
1
4
⎛ − σ 2ω 2 ⎞
− 8σ π
2
⎟⎟
ψˆ (ω ) =
ω exp⎜⎜
3
⎝ 2 ⎠
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Approche théorique
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Transformée de Fourier
Deux sinus des fréquences
différentes
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Approche théorique
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Transformée en Ondelettes
La transformée en ondelettes
continue
Condition de régularité-moments nuls:
Ψ présente des moments nuls
C(s,0)= ∫ f(t) s1/2 Ψ [ ts ] dt
l 
+∞
-∞
Taylor
…
kn
= Σ
[ s
∞
n-1/2
n=0
décroissant
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∫
+∞
tn
-∞
t
Ψ[ s ]
dt]
moment
Approche théorique
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La transformée en ondelettes continue
unidimensionnelle
" 
La transformée en ondelettes est définie comme le résultat
d'un opérateur intégral qui transforme une fonction d'énergie
finie f(x)∈L2(R) en utilisant un ensemble de fonction Ψab.
WT(f,Ψab)= < f | Ψab >
Où < > est le produit scalaire.
Cette transformation modifie l'espace L2(R) de fonctions
complexes d'énergie finie à un espace à deux dimensions :
l'espace des coefficients d'ondelettes.
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Approche théorique
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La transformée en ondelettes continue
unidimensionnelle
" 
D'après cette interprétation, nous pouvons représenter un signal
temporel monodimensionnel f(x) (ou une fonction) sous forme d'un
champ à deux dimensions WT(b,a); en faisant varier b (homogène à
un temps), et a (homogène à une échelle). Le résultat est une
représentation temps-échelle de f(x).
" 
La famille des ondelettes construite par dilatation-translation à partir
de l'ondelette mère est définie comme :
( )
Ψab= 1 Ψ x−b
a
a
avec a ≠ 0 et a,b ∈ R, ainsi, toutes les ondelettes ont la même énergie.
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Approche théorique
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Approche théorique
23
Propriétés fondamentales
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Approche théorique
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Ondelettes mère
" 
dilatations et translations d’une fonction analysante
ψ
normée
oscillante
localisée
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Approche théorique
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Filtre passe-bande
"   condition
"
d’admissibilité
  dilater dans le temps ≡ compresser en
fréquence
"   on
1
F {f(at)} = a F ω
a
veut recouvrir tout le spectre en
changeant le facteur d’échelle
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Approche théorique
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"   L'ondelette
mère doit vérifier les
propriétés suivantes :
" 
" 
" 
a)
la continuité : être absolument intégrable et de
carré intégrable (énergie finie),
b)
l'analytique : sa transformée de Fourier doit
être nulle pour ω < 0,
c)
l'admissibilité : ce qui induit un comportement
de filtre passe-bande.
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Approche théorique
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Linéarité, invariance par dilatation et
translation
" 
La transformée en ondelettes est une application
linéaire. Une des propriétés importantes est le
principe de superposition qui est respecté.
" 
Si WTf,ψ(a,b) est la transformée en ondelettes de
f(x), alors WTf,ψ(a,b-x0) est la transformée de f(xx0) et WTf,ψ(a/λ,b/λ) est la transformée de 1/√λ}f(x/
λ).
" 
Cette propriété n'est pas valable dans le cas de la
transformée en ondelettes discrète.
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Approche théorique
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Conservation de l'énergie
L'information contenue dans le signal est conservée
dans le passage de f à ses coefficients d'ondelettes.
1
K
2
dadb
∫∫2 C f (a, b) a 2 = ∫R f (t ) dt
R
2
La transformée inverse permet la reconstruction de la
fonction f en sommant toutes les contributions de la
transformée directe dans le plan a x b.
1
f (t ) =
K
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dadb
∫∫2 ψ a,b (t ) C f (a, b) a 2
R
Approche théorique
29
La transformée inverse
" 
Dans le troisième cas la relation est :
f(x)= C1ψ ∫WTf,ψ (a,b)ψ a,b(x) dadb
a2
où
2
Cψ =2π ∫ψˆ(ω) dω
ω
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Approche théorique
30
Définition
"   Une
fonction ψ(t) de L2(R) est une
ondelette si :
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Approche théorique
31
Le principe d’incertitude
17/11/2013
Approche théorique
32
Localisation temps-échelle
" 
La localisation d'ondelettes dans le temps
et dans les fréquences permet de
représenter la zone d'influence dans le
demi-plan temps-échelle R x R d'un
événement se produisant à l'instant x pour
le signal f.
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Approche théorique
33
Définitions
2
2
f
σ = ∫ x f ( x) dx
Dispersion d’énergie de f, en temps
R
2
σ = ∫ ω fˆ (ω ) dω
2
fˆ
Dispersion d’énergie de f, en fréquence
R
2
E f = ∫ f ( x) dx
Energie
R
17/11/2013
Approche théorique
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Définition
" 
" 
On appelle durée
utile du signal f la
quantité
Et bande utile du
signal la quantité
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Δt 2 =
Δλ2 =
Approche théorique
σ 2f
Ef
σ 2fˆ
Ef
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Le principe d’incertitude :
" 
Indique que l’on ne peut pas localiser
finement et le signal et la fréquence
1
ΔtΔλ ≥
4π
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Approche théorique
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Relation d’incertitude de
Heisenberg
" 
Le principe: Le produit de la variance de x pour |f|2 et de la
variance de x pour |F|2 est supérieur ou égal à
1
16 π
" 
2
La largeur du paquet d'énergie d'un signal dans le temps
est inversement proportionnelle à sa largeur dans l'espace
des fréquences. On ne peut pas connaître avec une égale
précision la position dans le temps et en fréquences d'un
signal.
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Approche théorique
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17/11/2013
Approche théorique
38
Les ondelettes discrètes
"   Transformée
en ondelettes continue
(s,u) valeurs continues
"   è
ondelettes discrètes
Ψj,k (t) = 17/11/2013
Approche théorique
redondance
1
s 0j
Ψ
j
t-kτ0s0
sj0
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Algorithme séquentiel de la
Transformée en Ondelettes
Paramètres:
a : facteur d’échelle [1,m]
b : facteur de temps [1,k]
t : facteur de discrétisation du signal [1,n]
Pour a =1,m
Pour b=1,k
Initialiser les coefficients de l’ondelettes
Pour t=1,n
Evaluer la transformée en ondelettes au point t
i.e. wt[a][b]=wt[a][b]*f(t)+Psi((t-b)/a)
Fin boucle t
wt[a][b] =(wt[a][b])/sqrt(a)
Fin boucle b
Fin boucle a
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Approche théorique
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Discrétisation de la WT
" 
" 
" 
La grille dyadique
am = 2 m
bn = n2m
où m ∈ Z* et n ∈Z.
L’ondelettes s’écrit
l 
ψm,n = 2 - m/2ψ(2 -m x –n)
La transformée en ondelettes devient :
l  DWTf, ψ(x) = 2 -m/2 ∫ f(x) ψ(2 -m x –n) dx
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Approche théorique
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Théorie de l’algorithme à
trous
" 
Utilisation d’une ondelette échantillonnée en un nombre fixé de
points et l’opération de dilatation se fait en insérant des zéros
entre chacune des valeurs de l’ondelette échantillonnée.
17/11/2013
Approche théorique
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Transformée 2D
!
1
−1 −1 !
ψ a ,b ,θ = ψ (a R ( x − b ))
a
⎛ cosθ − sin θ ⎞
⎟⎟
R = ⎜⎜
⎝ sin θ cosθ ⎠
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Approche théorique
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Exemple du pion-résol 0
17/11/2013
Approche théorique
44
Exemple du pion-résol 4
17/11/2013
Approche théorique
45
Exemple du pion-résol 8
17/11/2013
Approche théorique
46
Exemple du pion-résol 12
17/11/2013
Approche théorique
47
Exemple du pion-résol 16
17/11/2013
Approche théorique
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