Formalisme Multifractal fondé sur les Ondelettes

Formalisme Multifractal
fondé sur les Ondelettes:
Quelques Applications
A. OUAHABI
D. AIT AOUIT
E. KURTARAN
1
Motivations
• La détermination de singularités et de lois d’échelles.
Outils
• Analyse multifractale exploitant des techniques multirésolution
fondées sur le concept d’ondelettes.
Applications
• L’autosimilarité des fractales exploitée par le concept
d’ondelettes permet d’analyser des signaux et images
complexes très variés (sciences de la nature et du vivant,
sciences de l’ingénieur et sciences économiques…).
2
Introduction aux ondelettes
Transformation en Ondelettes
_
Wf (u, s ) =
+∞
∫
−∞
x (t )
1 * t − u 
ψ 
dt
s  s 
_/s
__/s
TF{ø u , s }
b)
a)
_/s0
TF{ø u , s
0
0
s0_t
}
_ u, s
__0/s0
_u0,
s0
0
0
u
t
u0
3
Les singularités et les
irrégulières d’un signal sont
d’informations pertinentes.
structures
porteuses
• Exemple: Détection et caractérisation des discontinuités
•
•
de l’intensité d’une image = contours d’une scène, ou
des
transitoires
d’un
électro-encéphalogramme
pathologique.
Pour caractériser ces structures singulières, il est
nécessaire de quantifier la régularité d’un signal:
exposant de Hölder.
La décroissance de l’amplitude de la transformée en
ondelettes en fonction de l’échelle est liée à la régularité
du signal. Mesurer cette décroissance asymptotique
revient à faire un «zoom» sur les structures du signal
avec une échelle qui tend vers zéro.
4
Maxima de Modules de Transformée
en Ondelettes
• Détection de singularités par MMTO
Les singularités sont détectées en cherchant
les abscisses où convergent les modules
maximaux d’ondelettes aux fines échelles.
5
Exemples de détection de singularités
par MMTO
6
a)
b)
c)
7
a)
b)
c)
8
Ondelletes et Compression d’Images Biomédicales
•
Grace à la compressibilité élevée des images
biomédicales, la compression de ces données
est indispensable en transmission et en
stockage.
•
La transformation en ondelletes propose une
Une image MRI
bonne localisation en temps (espace) et en
fréquence (échelle).
•
L’approche « ondelletes » est un outil
puissant pour la compression des données.
Transformation d’ondelettes à l’échelle 3
9
Ondelletes et Classification
•
Dans le domaine médical, la classification d’images peut être réalisée selon deux
approches :
•
Classification globale: distinguer les images avec lésions et sans lésion.
•
Classification locale: identifier une région ou un ensemble de pixels en
représentant certains objets ( lésions, vaisseaux sanguins).
•
Un exemple de classification locale (une segmentation):
lesions
L’algorithme entoure plusieurs lesions possibles après avoir analysé la transformation en ondelettes des images MRI
10
Exemples de fractales
11
Dimension fractale
objet
dimension
euclidienne
objet
dimension
fractale
1
1<D<2
2
1<D<2
3
2<D<3
12
FRACTALS AND PHYSIOLOGY
• Fractal characteristics:
– Complex, patterned
– Statistical self-similarity
– Scale-invariant structure
– Generated by simple
iterative rules
2H+d
– 1/ω
spectral decay
13
Système cardio-vasculaire
• Coeur
Arbre artériel
14
Le cerveau : bio-fractal
15
Modèle fractal des bronches
16
Motivation for using wavelets
• Wavelets provide basis functions
that are self-similar [Mallat, 1998]
• Wavelets approximately decorrelate
•
•
statistically self-similar processes
[Flandrin, 1992]
Unlike Fourier exponentials, wavelets are
jointly localized in space and frequency
The basis functions themselves are fractals
[Unser, 2002]
Wavelets are prime candidates for
processing fractal-like signals and
images
17
Est-ce que le cortex cervical est une fractale ?
•
Un analyse géometrique
multiéchelle (spatiale) du cortex
images T-1
cérebral.
•
Le cortex possède une selfsimilarité (détails jusqu’à 3mm).
•
Les dimensions fractales
Resultats de la procedure de segmentation
La dimension fractale est un bon
indicateur pour détecter les
Sujets cortical extraits
anomalies des formes cérébrales.
Coupe axiale et sagittale
18
Nature fractale des données fMRI
Brain
Dimension fractale :
Log-Log plot of spectral density
D = 1 + d − H = 2.534
19
Analyse en Ondelettes des fMRI
Avantages de la T. O.
Wavelet
transform
Statistical
test
e
ers rm
v
In sfo
n
tra
– Orthogonal transformation
– Decorrelates/whitens fMRI signal
– Data compression
– Increased signal-to-noise ratio
(averaging effect)
– Preserves space localization
20
Un exemple de stimulation auditive
• fMRI
21
Détection de micro-calcifications
Micro-calcifications représentent des signes importantes
du cancer du sein.
22
Dense
Gras
Analyse par la MMTO de 2
mammo- grammes : (a-d) sein à
tissu dense et (e-h) sein à tissu
gras. L’ondelette analysante est
l’ondelette isotrope d’ordre 1
(dérivée d’une gaussienne). (a)
et
(e)
représentent
les
mammogrammes originaux. (b)
et
(f)
représentent
leur
agrandissement respectif (zoom
dans la partie centrale :
256°¡256 pixels). (c) et (g)
montrent les modules de la TO
et les chaînes de maxima à
l’échelle s=39 pixels. En (d) et
(h) sont montrées les chaînes de
maxima locaux ainsi que leurs
positions.
23
Comportement monofractal
(discrimination entre les tissus gras
et dense)
2
2
2
0
0
0.30
0.65
1
h
Exposant de Hölder h=0.3 et h=0.65
Spectre de singularités de 49 images (512_512) superposées, sur
24
la gamme d’échelles 21≤ s ≤ 11
Détection des microcalcifications
par MMTO
(a)
(b)
(c)
Détection des microcalcifications d’un amas (df = 2±0.05). (a)
mammographie originale. (b) et (c) chaînes de maxima pointant
sur les microcalcifications pour les échelles s=14 pixels et s=24
25
pixels.
Application en microbiologie
•
•
Détermination du nombre de cellules de levure dans une image numérisée.
Le procédé de la détermination du nombre et de la taille des cellules est:
1. Application d’un masque pour l’ajustement de la couleur
2. Détermination de la dimension fractale et de la mesure fractale de l’image masquée
comprenant l’interface du fond et l’interface des cellules
•
Cette expérimentation montre que l’analyse fractale constitue un outil
prometteur de comptage et de mesure d’objets dans une image numérique.
26
Bacteriologie
•
Description par gé
géomé
ométrie fractale sert
de modè
modèles de croissance biologique.
•
La dimension fractale augmente avec la
croissance.
•
Pour des micro-organismes d’
d’une
grande variabilité
variabilité et sous des conditions
diffé
différentes de croissance, la dimension
fractale peut être utilisé
utilisée comme une
une
caracté
caractéristique morphologique
importante
importante de la croissance mycé
mycélienne
lienne..
Développement de la structure mycélienne de A. gossypii
Dimension fractale en fonction
du développement de A. gossypii
27
Analyse multifractale
• Etude des signaux
•
dont la régularité
change brutalement
d’un point à un autre.
Outils: Spectre
multifractal en
fonction de l’exposant
de Hölder h
28
Multifractalité d’un indice boursier
Densité spectrale
Spectre multifracatal
Evolution quotidienne d’un indice
boursier (1987-2002)
29
Mutifractalité de l’écoulement
sanguin cérébral
Vitesse d’écoulement sanguin
(artère cérébrale moyenne d’un
sujet sain).
Spectre multifractal calculé par
MMTO. L’ondelette analysante est
la
dérivée
seconde
d’une
gaussienne. Ce spectre est une
moyenne de 10 enregistrements de
30
5 sujets.
Structure multifractale d’une
réplique sismique
Densité spectrale
Spectre multifracatal
Magnitude d’une réplique
sismique (axe vertical)
31
Problématique
Modélisation
et
identification
des
d’endommagement de matériaux
Objectif de l’étude
Compréhension
des
mécanismes
d’endommagement des matériaux
de
mécanismes
fatigue
et
Démarche
scientifique
Recherche de
Paramètres statistiques
Multi-échelles
Identification des
mécanismes
d’endommagement
Amélioration de la tenue en
fatigue du produit fini
Corrélation avec
les conditions
de sollicitation
32
2
directio
n of th
e crack
.
propaga
1
tion
Example of digitized fracture surface
0.02
0.1
1
0.01
2
0.05
0
0
-0.01
-0.05
-0.02
-0.1
-0.03
-0.15
-0.04
-0.2
-0.05
-0.06
-0.25
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1D fracture profiles, extracted from the digitized
fracture surface
33
La densité spectrale des profils de rupture
d’un matériau
24,
24
CR029-20%-8Hz
CRO29-40%-5Hz
CR029-20%-5Hz
-(1-2_)
22,
22
PSD(f)∝f
20,
20
18,
18
log(PSD(f))
16,
16
14,
14
12,
10,
12
8,
10
6,
8
-2
4,
-3,
-1
-2,
0
-1,
1
0,
2
1,
2,
Fréquence
3
3,
4
4,
5
5,
6
6,
7,
spatiale(mm-1)
Décroissance en loi de puissance du spectre de Fourier
Auto-affinité des profils (avec
l’exposant de Hurst _=0.66)
34
Analyse temps-échelle des profils de rupture
Analyse temps-fréquence par transformée en ondelette,
calculée avec la dérivée seconde d’une gaussienne.
35
Spectres multifractals sur les trois zones, CR029-20%-5Hz
1.1
S 1
P
1
S P2
D(h)
S 3
P
S 4
P
S 5
P
0.9
S 6
P
S 7
P
S P8
0.8
S 9
P
S P10
S 11
P
0.7
S 12
P
S 13
P
S 14
0.6
P
S 15
P
S 16
P
0.5
S 17
P
S P18
S 19
P
0.4
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Hölder exponent h
. Multifractal spectrum of different
profiles
36
Bibliographie
• Ouahabi, A. and D. Ait Aouit, “ondelettes et
•
•
fractales pour l’analyse du signal et de l’image,”
in optimisation en traitement du Signal et de
l’Image , (IC2), Hermès-Lavoisier, 2007.
Ouahabi, A., S. Jaffard, D. Ait Aouit and E.
Kurtaran, “Wavelet based Multifractal Analysis in
Fractography,” soumis à IEEE SP.
T. Blu and M. Unser, “Wavelet,fractals, and Radial
Basis Functions,”, IEEE SP, vol. 50, N°3, 2002.
37