Identification des Modes de Résonance d`un Caisson Acoustique

CFA 2006
Identification des modes de résonance d’un caisson acoustique par la transformée en
ondelettes
Joseph Lardiès, Mihn-Ngi Ta, Bendali Salhi
Institut FEMTO - LMARC, 25000 Besançon, France, courriel : [email protected]
linéaire d’ondelettes analysantes ψ a,b (t) . La décomposition
est fonction de deux variables a et b et évalue la pertinence
de l’utilisation de l’ondelette dans la description de x(t).
Ainsi, plus l’ondelette analysante ressemble au signal à
analyser localement autour du point t=b, plus la valeur
absolue des coefficients de la transformée en ondelettes au
point (a, b) est importante.
Si l’ondelette analysante est convenablement choisie, la
transformation en ondelettes est inversible : en recombinant
linéairement chaque ondelette analysante ψ a,b (t) par le
Résumé
On se propose de déterminer les fréquences de résonance
d'un caisson acoustique de forme parallélépipédique. Ce
caisson est excité par un haut parleur placé contre les parois
du caisson et fournissant un bruit blanc. Un microphone,
situé à l'intérieur du caisson, nous fournit la réponse
temporelle. Les fréquences de résonance sont obtenues en
utilisant la transformée en ondelettes des signaux provenant
de ce microphone. Les coefficients de la transformée en
ondelettes sont à valeurs complexes. On montre que la
dérivée par rapport au temps de l’argument des coefficients
de la transformée en ondelettes est liée à la fréquence
instantanée du signal et par conséquent aux fréquences de
résonance du caisson acoustique. On établit aussi la relation
permettant de reconstituer le signal temporel par la
transformée en ondelettes inverse. Une technique de
séparation des modes de résonance est présentée et
l’évolution temporelle de chaque mode présentée. Des
résultats expérimentaux sont présentés, dans lesquels on
montre que des fréquences de résonance qui ne sont pas
identifiées par la Transformée de Fourier sont bien observées
par la méthode utilisant la transformée en ondelettes.
coefficient de la transformée en ondelettes ( Wψ x )(a,b) qui
lui est associé, on obtient la transformée en ondelettes
inverse ou relation de reconstitution du signal x(t) suivante
[1-3]. :
x(t)=
1
cψ
1
+∞ +∞
∫- ∞ ∫- ∞ (Wψ x)(a,b)
ψ*(
a
t - b dadb
)
(2)
2
a
a
expression dans laquelle la grandeur cψ est liée à la
condition d’admissibilité de l’ondelette [1-3].La transformée
en ondelettes est une représentation linéaire du signal, ceci
implique que la transformée en ondelettes de P signaux
devient :
Introduction
La transformée de Fourier est inadaptée à l’analyse de
signaux transitoires et de signaux modulés en amplitude et
en fréquence. Pour y remédier on utilise la transformée en
ondelettes qui permet une représentation du signal dans
l’espace temporel et dans l’espace fréquentiel appelé aussi
espace des échelles. Le signal est alors décomposé en une
combinaison linéaire de fonctions élémentaires localisées en
différents points temporels et ayant des tailles différentes.
Ces fonctions élémentaires sont toutes construites à l’aide
d’une fonction mère ψ (t) appelée ondelette, par dilatations
et translations de celle-ci [1-3].
Cette propriété est pratique pour l’analyse de signaux multicomposants.
La transformée en ondelettes
Dans cette étude on utilise l’ondelette de Morlet modifiée
définie par:
P
( Wψ
i=1
1
a
+∞
∫− ∞ x(t) ψ*(
t-b
a
) dt
P
x )(a,b) = ∑ ( Wψ x )(a,b)
i
i
(3)
i=1
Ondelette de Morlet modifiée; entropie
de la transformée en ondelettes
Soit x(t) le signal à analyser. La transformée en ondelettes de
x(t) est définie par le produit scalaire :
( Wψ x )(a,b) =
∑
ψ (t) = e
(1)
j ωo t
e
- t 2 /N
(4)
Où le paramètre N commande la forme de l’ondelette: ce
paramètre équilibre la résolution temporelle et la résolution
fréquentielle. La version dilatée de sa transformée de Fourier
est :
expression dans laquelle a est le paramètre d’échelle et b le
paramètre de translation. Cette analyse décrit le contenu de
x(t) localement au voisinage de (a, b) dans le plan tempséchelle et la décomposition en ondelettes consiste donc à
décomposer le signal x(t) sous forme d’une combinaison
Ψ (a ω ) =
621
Nπ
e
-
N
(a ω - ωo )2
4
(5)
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paramètre d’échelle ai, la phase de la transformée en
ondelettes est
ϕ(b) = Arg(Wg(ai,b))
(11)
Où ω o est la pulsation de l’ondelette. En pratique on prend
la valeur ω o = 2 π / 2log(2) .
Il faut noter que la valeur maximale de Ψ (a ω ) est obtenue
Pour un signal harmonique amorti, la pulsation instantanée
ω est :
pour ω c = ω o /a et l’ondelette de Morlet peut être assimilée
à un filtre passe bande dont la largeur de bande est
proportionnelle à 1/a.
Pour déterminer la valeur optimale du paramètre N, nous
allons utiliser un critère relatif à la dispersion des
coefficients de la transformée en ondelettes. La mesure de
cette dispersion s'effectue au sens de l'entropie de Shannon.
Soit {ci} avec i=1,2,…,M une classe de l'amplitude des
coefficients de la transformée en ondelettes que nous
ω = ϕ(b) ’ =
d
db
Le tracé en fonction du temps de
M
i=1
{dj } avec j=1,2,..,M :
dj = cj/ ∑ ci
x(t) = ∑ A j (t) cos ( ϕ (t) ) )
j
j=1
(6)
i=1
M
Entropie (N) = - ∑ d i log(d i )
(7)
i =1
( Wψ x )(a,b) =
La valeur de N minimisant la fonction Entropie(N) sera la
valeur optimale attribuée à l’ondelette de Morlet modifiée.
Lorsque N croît la résolution fréquentielle augmente au
détriment d'une résolution temporelle. Il y a une valeur
optimale de N donnant la meilleure résolution tempsfréquence, pour un signal x(t) donné et analysé avec
l'ondelette de Morlet modifiée.
a
2
Une des propriétés de la transformée en ondelettes concerne
son aptitude à démoduler le signal analysé en amplitude et
en phase. Intéressons nous à un signal modulé en amplitude
et en fréquence :
x(t) = A(t) cos( ϕ(t) )
(8)
( Wψ xi)(ai,b)=
2
(9)
x(t) =
Le paramètre de dilatation est déterminé de sorte que le
module de la transformée en ondelettes est maximum soit
encore pour les valeurs a(b) qui maximisent la quantité
Ψ (a φ ’(b)). En utilisant l’ondelette de Morlet modifiée on
Ai(b) Ψ (a φ i’(b)) e
j φi (b)
(14)
i =1
a
2
Ai(b) Ψ (a φ i’(b)) e
j φi (b)
(15)
1
kΨ
+∞
∫0
(Wψ x)(a,b)
da
a
(16)
Considérons maintenant le signal formé de la superposition
de P ondes sinusoïdales amorties :
P 1 t + a ∆tψ
da
x(t)= ∑
∫ t - a ∆tψ (Wψ xi )(a,b)
i=1 kΨ
a
i
obtient le paramètre de dilatation:
a(b)= ω o / φ ’(b)
∑
On pourra à partir de l’équation (12) déterminer la fréquence
de résonance relative à la ième composante.
Le signal reconstitué est donné par l’équation (2) qui
considère la transformée en ondelette inverse, qui peut être
employée en utilisant la formule de Morlet reconstituée. La
relation est [1,2] :
La transformée en ondelettes d’un tel signal est obtenue par
des techniques asymptotiques et conduit à [1-3] :
j φ(b)
P
Ce système peut être analysé, de façon similaire à un
système à un degré de liberté, en notant que l’ondelette
analysante est un filtre passe bande. Pour une valeur fixée du
paramètre de dilatation (a=ai) seul le mode dont la pulsation
est ω i = ω o/ai contribue de façon significative à la
transformée en ondelettes du signal x(t). Nous obtenons alors
pour la ième composante analysée:
Estimation des fréquences de résonance
A(b) Ψ (a φ ’(b)) e
(13)
La transformée en ondelettes de cette somme d’ondes
sinusoïdales amorties s’écrit [1-3] :
L’entropie des coefficients de la transformée en ondelettes
est déterminée en utilisant la relation
a
d
P
M
(12)
(Arg(Wg(ai,b))) est une
db
horizontale qui nous permet de déterminer la fréquence de
résonance du système étudié.
Considérons maintenant le signal formé de la superposition
de P ondes sinusoïdales amorties:
normalisons en divisant par ∑ ci , pour obtenir l'ensemble
( Wψ x) (a,b) =
( Arg(Wg(ai,b))) = constante
(10)
(17)
où la constante kΨ i est associée à la ième composante par la
La courbe a(b) sur laquelle le maximum du module de la
transformée en ondelettes est obtenu est appelée arête de la
transformée en ondelettes. Pour une valeur fixée du
relation [1,2] :
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f + (∆f /a)
kΨ = ∫ fii - (∆fψψ/a)
i
*
Ψ(f)
f
Une fois que les paramètres de dilatation ont été déterminés
en considérant les maxima de l’amplitude de la transformée
en ondelettes (voir figure 4), on trace les variations en
fonction du temps de la dérivée de l’argument de la
transformée en ondelettes pour obtenir les fréquences de
résonance du caisson acoustique.
(18)
df
La réponse libre du ième degré de liberté isolé est :
xi(t)=
1
kΨ
t + a ∆t
ψ
∫ t - a ∆tψ (Wψ xi )(a,b)
i
da
a
(19)
On obtient alors la réponse de chaque mode de résonance,
qui est une sinusoïde amortie.
Nous allons appliquer les deux méthodes exposées à la
détermination des fréquences de résonance d’un caisson
acoustique.
Application : fréquences de résonance
d’un caisson acoustique
Figure 3 Variations de l’entropie de la transformée
en ondelettes
On considère un caisson acoustique fermé excité avec un
bruit blanc par l’intermédiaire d’un haut parleur. Un
microphone est placé à l’intérieur du caisson. Seules les
données provenant du microphone sont utilisées pour
déterminer les fréquences de résonance du caisson. Pour
cela, nous allons utiliser la transformée en ondelettes du
signal issu du microphone.
0 .3 5
0 .3
|W (a ,b i)|
0 .2 5
0 .2
0 .1 5
0 .1
0 .0 5
0
0
50
100
150
S c a le s a
200
250
300
Figure 4 Amplitude de la transformée en ondelettes
La figure 5 nous montre les variations des fréquences
instantanées d’où nous déduisons les fréquences de
résonance du caisson acoustique.
Figure 1 : Schéma expérimental
La figure ci-dessous représente la réponse du microphone au
haut parleur excité par un bruit blanc. La transformée en
ondelettes s’applique à la réponse libre d’un système. On
utilise la technique du décrément aléatoire pour obtenir cette
réponse libre [4], comme le montre la figure2.
Figure 5 Fréquences de résonance instantanées
La figure 6 nous montre la réponse en fréquence du caisson
obtenue par transformée de Fourier. Certaines fréquences de
résonance ne sont pas détectées par la transformée de
Fourier mais sont bien observées par la transformée en
ondelettes.
Figure 2 : Réponse brute et libre du microphone
La figure 3 représente les variations de l’entropie de
l’amplitude des coefficients de la transformée en ondelettes
pour diverses valeurs de N. La minimisation de l’entropie
conduit à la valeur optimale de N.
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10
0
dB
-10
-20
-30
-40
-50
0
50
100
150
200
250
300
F re q u e n c y R e s p o n s e F u n c tio n
350
400
Figure 6 Réponse en fréquence du caisson
Figure 9 Réponse temporelle du deuxième mode
Les fréquences de résonance obtenues par la transformée en
ondelettes sont respectivement : 70 Hz, 106 Hz, 117 Hz, 142
Hz, 175 Hz, 211 Hz, 285 Hz et 357 Hz.
La figure 7 nous montre la comparaison entre le signal
mesuré et le signal reconstitué par la transformée en
ondelettes inverse. Ces deux courbes ne présentent pas
d’importants écarts.
Conclusion
Une approche utilisant la transformée en ondelettes nous à
permis de déterminer les fréquences de résonance d’un
caisson acoustique. On a montré que grâce à la transformée
en ondelettes on peut déterminer des modes qui ne peuvent
pas être décelés par la transformée de Fourier. On a montré
que l’on pouvait reconstituer le signal initial par la
transformée en ondelettes inverse et obtenir la réponse
temporelle de chaque mode de résonance.
Références
[1] Torresani B. Analyse Continue par Ondelettes. CNRS
Editions, Paris 1995
[2] Chui C. An Introduction to Wavelets . Academic Press,
New York 1992
[3] Ta M.N. Analyse modale par sous espaces et par la
transformée en ondelettes. Thèse de Doctorat de l’Université
de Franche-Comté, Octobre 2005
[4] Ibrahim SR Random decrement technique for modal
identification structures. Journal of Spacecraft Rockets 14
(1977), 696-701
Figure 7 Réponse temporelle mesurée et identifiée
En utilisant la relation (19) on peut isoler chaque mode et
obtenir sa réponse temporelle. Ainsi les figures 8 et 9
représentent les réponses temporelles des deux premiers
modes isolés.
Figure 8 Réponse temporelle du premier mode
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