Chapitre I Les pourcentages Extrait du programme :

Chapitre I
Les pourcentages
Extrait du programme :
-
Expression en pourcentage d’une augmentation ou d’une baisse. / coeff multiplicateur
Augmentations et baisses successives
Variations d’un pourcentage.
Pourcentages de pourcentages.
Addition et comparaison de pourcentages
I.
Notion de pourcentage
Définition : Si A est une partie de B, A vaut t% de B signifie que
Ainsi, prendre t% d’une quantité revient à multiplier celle-ci par
஺
஻
=
௧
.
ଵ଴଴
௧
C'est-à-dire
ଵ଴଴
‫×ܤ=ܣ‬
௧
.
ଵ଴଴
Exemples :
Il y a 20 arbres dans le verger, donc 30% de poiriers. Combien y a-t-il de poiriers ?
ଷ଴
‫ = ݌‬20 × ଵ଴଴ = 6 Il y a 6 poiriers.
Parmi les 24 comédiens d’une troupe de théâtre, on compte 15 amateurs. Calculer le pourcentage
d’amateurs.
ଵହ×ଵ଴଴
‫ = ݐ‬ଶସ = 62,5 Il y a 62,5% d’amateurs.
II.
Pourcentage d’augmentation ou de diminution
1. Hausse ou baisse unique
Propriété :
-
௧
Augmenter une quantité de t% revient à la multiplier par ቀ1 + ଵ଴଴ቁ
௧
Diminuer une quantité de t% revient à la multiplier par ቀ1 − ଵ଴଴ቁ
Démonstration : (cas d’une hausse)
On veut augmenter une quantité x de t%, on doit donc ajouter à x, t% de x, on aura donc :
௧
௧
‫ ݔ‬+ ‫ × ݔ‬ଵ଴଴. On peut alors factoriser par x : ‫ ݔ‬ቀ1 + ଵ଴଴ቁ On a donc bien multiplier la quantité de
départ par ቀ1 +
௧
ቁ.
ଵ଴଴
Même chose pour la baisse, avec une soustraction.
CQFD
௧
௧
Définition : Ces nombres ቀ1 + ଵ଴଴ቁ et ቀ1 − ଵ଴଴ቁ sont appelés coefficients multiplicateurs associés
au pourcentage t.
Exemples :
- Augmenter une quantité de 19 % revient à prendre 119% de cette quantité
Donc cela revient bien à la multiplier par (1 +
-
19
119
)=
= 1,19
100 100
Diminuer une quantité de 19 % revient à prendre 81 % de cette quantité
Donc cela revient bien à la multiplier par (1 -
19
81
)=
= 0,81
100 100
2. Hausses ou baisses successives
Propriété : t et t’ désignent deux nombres positifs ou négatifs.
Faire évoluer une quantité de t% puis de t’% équivaut à multiplier sa valeur initiale par :
‫ݐ‬
‫ݐ‬′
൬1 +
൰ × s ቆ1 +
ቇ
100
100
Démonstration :
Soit X0 la valeur initiale, X1 la valeur après l’évolution de t% et X2 la valeur après l’évolution de t’%.
t 

X 1 = X 0 1 +

 100 
+t %
+ t '%
X 0 
→ X 1 
→ X2
t 
t' 

× X 0 1+
1+

 100  100 
t' 
t 
t' 


et X 2 = X 1 1 +
 = X 0 1 +
1 +

 100 
 100  100 
CQFD
Exemples :
1. Le litre de super sans plomb coûte 1,12€.
Il subit deux augmentations successives de 5% et de 2%.
Quel est son nouveau prix ?
5 
2 

P = 1,12 1 +
1 +
 = 1,12 × 1, 05 × 1, 02 ≈ 1, 20
 100  100 
Le nouveau prix est de 1,20€ environ.
2. Les prix d’un grand magasin doivent subir une augmentation de 14% et une diminution de
11%.
Est-il préférable pour le gérant d’effectuer en premier l’augmentation de 14% et ensuite la
diminution de 11% ou d’abord la diminution et ensuite l’augmentation.
3. On veut diminuer les impôts de 30%.
Pour cela, on effectue chaque année une baisse de 5% durant 6 ans.
Le contribuable doit-il être satisfait et pourquoi ?
Remarques :
- L’ordre dans lequel les hausses ou les baisses sont appliquées n’a aucune influence sur le
résultat final puisque les coefficients multiplicateurs sont multipliés entre eux.
- Appliquer deux hausses ou deux baisses successives ne revient pas à additionner les deux
pourcentages de hausses ou de baisses entre eux.
III.
Variations en pourcentage
Propriété : Soient Vi un nombre réel (valeur initiale) et Vf un autre nombre réel (valeur finale).
Le pourcentage de variation t de Vi à Vf est alors donné par : t =
V f − Vi s’appelle la variation absolue
V f − Vi
Vi
s’appelle la variation relative
V f − Vi
Vi
× 100
Démonstration :
௧
௧
௧
On a ܸ௙ = ቀ1 + ଵ଴଴ቁ ܸ௜ donc ܸ௙ = ܸ௜ + ܸ௜ × ଵ଴଴ d’où ܸ௙ − ܸ௜ = ܸ௜ × ଵ଴଴ donc
C'est-à-dire
௏೑ ି௏೔
௏௜
× 100 = ‫ݐ‬
௏೑ ି௏೔
௏௜
=
௧
ଵ଴଴
CQFD
Exemple : Le prix du litre de gasoil a augmenté de 0,9€ à 1,04€. On a
hausse d’environ 15,5%.
IV.
ଵ,଴ସି଴,ଽ
× 100
଴,ଽ
≈ 15,5 soit une
Indices
Propriété : x et y désignent deux réels strictement positifs.
1. Si on augmente x ou si on diminue y, alors le rapport
2. Si on diminue x ou si on augment y, alors le rapport
x
augmente.
y
x
diminue.
y
Définition : On appelle indice simple de y2 par rapport à y1 le nombre I 2 /1 = 100 ×
y2
y1
Un indice est donc toujours strictement positif.
De plus, un indice plus grand que 100 correspond à une hausse, tandis qu’un indice plus petit que
100 correspond à une baisse.
Exemple :
L’indice de y2=18 par rapport à y1=12 est I 2 /1 = 100 ×
18
= 150 .
12
Propriété : Le pourcentage d’évolution de y1 à y2 est égal à ( I 2 /1 − 100 ) %
Exemples :
1. L’indice du chiffre d’affaires d’une entreprise de 2005 par rapport à 2002est 106. Alors le
taux d’évolution du chiffre d’affaires de cette entreprise de 2002 à 2005 est de 6%.
2. L’indice du prix d’un objet de 2005 par rapport à 2002 est 97.
Alors le taux d’évolution du prix de l’objet de 2002 à 2005 est de –3%.
Propriété : Le pourcentage d’évolution entre deux valeurs est le pourcentage
d’évolution de l’indice quelle que soit la base choisie.
V.
Pourcentage d’une partie, d’un tout
1. Pourcentages de pourcentages
Propriété : Prendre t1 % de t2 % d’une quantité, c’est prendre
t1 × t2
% de cette quantité.
100
Exemple :
8,5 % des femmes actives occupées à temps partiel sont en sous-emplois
27,1% des femmes actives occupées sont à temps partiel.
8,5 × 27,1
= 2,3 % des femmes actives sont en sous-emplois.
100
2. Comparaison de pourcentages
Propriété : On ne peut comparer des pourcentages, que lorsqu’ils portent sur le même
ensemble de référence.
Lorsque c’est le cas, les pourcentages sont rangés dans le même ordre que les données
absolues.
Exemple :
50% de 4 = 2
25% de 40 = 10
50%>25% mais 2<10. On ne peut pas les comparer car les ensembles de références sont différents.
3. Addition de pourcentages
Propriété : L’addition de deux pourcentages n’a de sens que lorsque ces deux pourcentages
portent sur des parties d’un même ensemble de référence, n’ayant pas d’éléments communs.
Exemple 1 : Cas où l’on peut ajouter les pourcentages
Dans une classe les deux langues vivantes 1 sont l’anglais et l’allemand.
40% des élèves sont des garçons étudiant l’anglais en LV1 et 21% des élèves sont des garçons
étudiant l’allemand en LV1.
Quel est le pourcentage de garçons dans la classe ?
• 40% des élèves sont des garçons étudiant l’anglais en LV1 : ensemble de référence = les
élèves de la classe
• 21% des élèves sont des garçons étudiant l’allemand en LV1 : ensemble de référence = les
élèves de la classe
• on ne peut pas étudier 2 LV1 en même temps
On peut donc additionner les pourcentages : 40+21=21% des élèves de la classe sont des garçons.
Exemple 2 : Cas où on ne peut pas ajouter les pourcentages.
20% des habitants d’une villes lisent « Info » et 15% lisent « Bonjour ». Si on met une annonce dans
les deux journaux, sera-t-elle lu par 35% des habitants ?
•
•
•
20% des habitants d’une villes lisent « Info » : ensemble de référence = habitants de la ville
15% lisent « Bonjour » : ensemble de référence = habitants de la ville
On peut lire à la fois « Info » et « Bonjour »
Il peut donc y avoir des éléments en communs dans les deux ensembles, on ne peut donc pas ajouter
les pourcentages.