ÈÊÇ Ä ÅË

430
PROBLEMS
Solutions to problems in this issue should arrive no later than 1 May 2009. An
asterisk (⋆) after a number indiates that a problem was proposed without a solution.
Eah problem is given in English and Frenh, the oÆial languages of Canada.
In issues 1, 3, 5, and 7, English will preede Frenh, and in issues 2, 4, 6, and 8,
Frenh will preede English. In the solutions' setion, the problem will be stated in
the language of the primary featured solution.
The editor thanks Jean-Mar Terrier of the University of Montreal for translations of the problems.
3376.
Proposed by D.J. Smeenk, Zaltbommel, the Netherlands
.
The verties of quadrilateral ABCD lie on a irle. Let K , L, M , and
be the inentres of △ABC , △BCD, △CDA, and △DAB , respetively.
Show that quadrilateral KLM N is a retangle.
N
3377.
Proposed by Toshio Seimiya, Kawasaki, Japan
3378.
Proposed by Mihaly
Benze, Brasov, Romania
.
Let ABC be a triangle with ∠B = 2∠C . The interior bisetor of
∠BAC meets BC at D . Let M and N be the mid-points of AC and BD ,
respetively. Suppose that A, M , D, and N are onyli. Prove that
∠BAC = 72◦ .
.
Let x, y, and z be positive real numbers. Prove that
X
yli
3379.
X
xy
x
≤
xy + x + y
2x + z
yli
.
.
Let a1 , a2 , . . . , an be positive real numbers. Prove that
Proposed by Mihaly
Benze, Brasov, Romania
n
X
i=1
ai
≥ 1,
ai + (n − 1)ai+1
where the subsripts are taken modulo n.
3380.
.
Let a, b, c, x, y, and z be real numbers. Show that
Proposed by Mihaly
Benze, Brasov, Romania
(a2 + x2 )(b2 + y 2 )
(b2 + y 2 )(c2 + z 2 )
(c2 + z 2 )(a2 + x2 )
+
+
(c2 + z 2 )(a − b)2
(a2 + x2 )(b − c)2
(b2 + y 2 )(c − a)2
2
2
2
a +x
b + y2
c2 + z 2
+
+
≥
|(a − b)(a − c)|
|(b − a)(b − c)|
|(c − a)(c − b)|
.
431
3381⋆.
(a)
.
Proposed by Shi Changwei, Xian City, Shaan Xi Provine, China
Let n be a positive integer. Prove that
1
1
1
4
1−
1 − 2 ··· 1 − n > ;
6
6
6
5
(b) Let an = a1 q , where 0 < a1 < 1 and 0 < q < 1. Evaluate
n
lim
n→∞
3382.
n
Y
(1 − ai ) .
i=1
Proposed by Jose
Luis Daz-Barrero and Josep Rubio-Masseg
u,
Universitat Politenia
de Catalunya, Barelona, Spain
.
Let n be a positive integer. Prove that
sin
Pn+2
4Pn Pn+1
+ cos
Pn+2
4Pn Pn+1
<
3
2
sec
3Pn + 2Pn−1
4Pn Pn+1
where Pn is the nth Pell number, whih is dened by P0
Pn = 2Pn−1 + Pn−2 for n ≥ 2.
3383.
,
= 0, P1 = 1
and
.
Let ABC be a triangle with ∠BAC 6= 90 , let O be its irumentre
and let M be the mid-point of BC . Let P be a point on the ray M A suh
that ∠BP C = 180◦ − ∠BAC . Let BP meet AC at E and let CP meet AB
and F . If D is the projetion of the mid-point of EF onto BC , show that
Proposed by Mihel Bataille, Rouen, Frane
◦
is a symmedian of △ABC ;
(a)
AD
(b)
O , P , and
3384.
the orthoentre of △EDF are ollinear.
.
Proposed by Mihel Bataille, Rouen, Frane
Show that, for any real number x,
n−1
1 X
n−k−1
⌊x⌋ + {x}2
lim 2
k· x+
=
n→∞ n
n
2
k=1
,
where ⌊a⌋ is the integer part of the real number a and {a} = a − ⌊a⌋.
3385.
.
Proposed by Mihel Bataille, Rouen, Frane
Let p1 , p2 , . . . , p6 be primes with pk+1 = 2pk + 1 for k = 1, 2, . . . , 5.
Show that
X
pi pj
1≤i<j≤6
is divisible by 15.
432
3386.
.
Proposed by Ovidiu Furdui, University of Toledo, Toledo, OH, USA
Evaluate the integral
Z
∞
0
3387.
e
−x
Z
x
0
e−t − 1
t
!
ln x dx .
.
Proposed by Ovidiu Furdui, University of Toledo, Toledo, OH, USA
Let k > l ≥ 0 be xed integers. Find
lim 2x ζ(x + k)ζ(x+k) − ζ(x + l)ζ(x+l)
x→∞
,
where ζ is the Riemann Zeta funtion.
3388.
Proposed by Paul Braken, University of Texas, Edinburg, TX, USA,
.
For all real x ≥ 1, show that
in memory of Murray S. Klamkin
(x − 1)2
1√
x2
x−1 + √
< √
√
√
2
x−1+ x+1
x +
x+2
.
.................................................................
3376.
Propose
par D.J. Smeenk, Zaltbommel, Pays-Bas
3377.
Propose
par Toshio Seimiya, Kawasaki, Japon
3378.
Propose
par Mihaly
Benze, Brasov, Roumanie
.
Les sommets d'un quadrilatere
ABCD sont situes
sur un erle. Soit
respetivement K , L, M et N les entres des erles insrits des triangles
ABC , BCD , CDA et DAB . Montrer que le quadrilatere
KLM N est un
retangle.
.
Soit ABC un triangle ave ∠B = 2∠C . La bissetrie interieure
de
l'angle BAC oupe BC en D. Soit M et N les points milieux respetifs de
AC et BD . Supposons que A, M , D et N soient oyliques. Montrer que
l'angle BAC = 72◦ .
.
Soit x, y et z trois nombres reels
positifs. Montrer que
X
ylique
xy
≤
xy + x + y
X
ylique
x
2x + z
.
433
3379.
.
Soit a1 , a2 , . . . , an nombres reels
positifs. Montrer que
Propose
par Mihaly
Benze, Brasov, Roumanie
n
X
i=1
ai
≥ 1,
ai + (n − 1)ai+1
ou les indies sont alules
modulo n.
3380.
.
Soit a, b, c, x, y et z six nombres reels
positifs. Montrer que
Propose
par Mihaly
Benze, Brasov, Roumanie
(a2 + x2 )(b2 + y 2 )
(c2 + z 2 )(a − b)2
≥
3381⋆.
+
(b2 + y 2 )(c2 + z 2 )
+
(c2 + z 2 )(a2 + x2 )
(a2 + x2 )(b − c)2
(b2 + y 2 )(c − a)2
2
2
b + y2
c2 + z 2
a +x
+
+
|(a − b)(a − c)|
|(b − a)(b − c)|
|(c − a)(c − b)|
2
.
Propose
par Shi Changwei, Xian City, Provine de Shaan Xi,
.
Soit n un entier positif. Montrer que
(a) 1 − 16 1 − 612 · · · 1 − 61n > 45 ;
(b) Soit an = a1 qn , ou 0 < a1 < 1 et 0 < q < 1. Trouver la valeur de
Chine
lim
n→∞
3382.
n
Y
(1 − ai ) .
i=1
Propose
par Jose
Luis Daz-Barrero et Josep Rubio-Masseg
u,
Universite
Polytehnique de Catalogne, Barelone, Espagne
.
Soit n un entier positif. Montrer que
sin
Pn+2
4Pn Pn+1
+ cos
Pn+2
4Pn Pn+1
ou Pn est le n-ieme
nombre de
Pn = 2Pn−1 + Pn−2 pour n ≥ 2.
3383.
<
3
2
sec
Pell, deni
par
3Pn + 2Pn−1
4Pn Pn+1
,
P0 = 0, P1 = 1
et
.
Soit ABC un triangle, d'angle en A dierent
de 90◦ , O le entre de son
erle ironsrit et M le point milieu de BC . Soit P un point sur le rayon
M A tel que l'angle en P du triangle BP C soit le supplementaire
de elui
en A. Soit E l'intersetion de BP ave AC et F elle de CP ave AB . Si D
est la projetion sur BC du point milieu de EF , montrer que
(a) AD est une symediane
du triangle ABC ;
(b) O, P et l'orthoentre du triangle EDF sont olineaires.
Propose
par Mihel Bataille, Rouen, Frane
434
3384.
.
Pour un nombre reel
quelonque x, montrer que
Propose
par Mihel Bataille, Rouen, Frane
lim
n→∞
n−1
1 X
n−k−1
⌊x⌋ + {x}2
k
·
x
+
=
n2 k=1
n
2
,
ou ⌊a⌋ est la partie entiere
du nombre reel
a et {a} = a − ⌊a⌋.
3385.
.
Soit p1 , p2 , . . . , p6 nombres premiers tels que pk+1
k = 1, 2, . . . , 5. Montrer que
Propose
par Mihel Bataille, Rouen, Frane
X
= 2pk + 1
ave
pi pj
1≤i<j≤6
est divisible par 15.
3386.
.
Propose
par Ovidiu Furdui, Universite
de Toledo, Toledo, OH, E-U
Evaluer
l'integrale
Z
∞
0
3387.
e
−x
Z
e−t − 1
x
t
0
!
ln x dx .
.
Propose
par Ovidiu Furdui, Universite
de Toledo, Toledo, OH, E-U
Pour des entiers donnes
k et l, ave k > l ≥ 0, aluler
lim 2x ζ(x + k)ζ(x+k) − ζ(x + l)ζ(x+l)
x→∞
,
ou ζ designe
la fontion zeta
de Riemann.
3388.
Propose
par Paul Braken, Universite
du Texas, Edinburg, TX, USA,
.
a
la memoire
de Murray S. Klamkin
Pour tous les nombres reels
x ≥ 1, montrer que
1√
(x − 1)2
x2
x−1 + √
< √
√
√
2
x−1+ x+1
x +
x+2
.