ÈÊÇ Ä ÅË

395
PROBLEMS
Toutes solutions aux problemes dans e numero doivent nous parvenir au plus
tard le 1er avril 2010. Une e toile (⋆) apres le numero indique que le probleme a e te
soumis sans solution.
Chaque probleme sera publie dans les deux langues oÆielles du Canada
(anglais et franais). Dans les numeros 1, 3, 5 et 7, l'anglais preedera le franais,
et dans les numeros 2, 4, 6 et 8, le franais preedera l'anglais. Dans la setion des
solutions, le probleme sera publie dans la langue de la prinipale solution presentee.
La redation souhaite remerier Jean-Mar Terrier, de l'Universite de
Montreal, d'avoir traduit les problemes.
3439. Remplaement.
Propose
par D.J. Smeenk, Zaltbommel, Pays-Bas
.
Soit Γ un erle de entre O et de rayon R. La droite t est tangente a Γ
au point A, et P est un point sur t distint de A. La droite ℓ, distinte de t,
passe par P et oupe Γ aux points B et C . Le point K est sur la droite AC
et tel que P KkAB , et le point L est sur la droite AB et tel que P LkAC .
Montrer que KL ⊥ OP .
3463.
Propose
par Mihel Bataille, Rouen, Frane
.
Soit Γ un erle de entre O et de rayon r, et soit P un point tel que
OP > r . Soit L l'ensemble de toutes les droites ℓ telles que P 6∈ ℓ et ℓ oupe
Γ aux points A, B de sorte que P A · P B = OP 2 − r 2 . Montrer que L est
un faiseau de droites onourantes.
3464.
.
Propose
par Mihel Bataille, Rouen, Frane
Soit ABC un triangle ave ∠A = 90◦ et H le pied de la hauteur
abaissee
de A. Soit J le point sur l'hypotenuse
BC tel que CJ = HB et
soit K , L les projetions respetives de J sur AB , AC . Montrer que
2
M − ; AK, AL ≤ M (−2; AB, AC) ,
3
ou M (α; x, y) =
3465.
xα + y α
2
1/α
.
Propose
par Xavier Ros (etudiant)
and Jose
Luis Daz-Barrero, Uni-
versite
Polytehnique de Catalogne, Barelone, Espagne
Montrer que
∞ X
∞
X
i=1 j=1
1
ij(i + j)
<
π
2
6
+
1
2
+
3
4
.
log 2.
396
3466.
Propose
par Tuan Le, etudiant,
Fairmont High Shool, Anaheim,
.
√
Soit x, y et z des nombres reels
positifs tels que xyz ≥ 10 + 6 3.
Montrer que
CA, E-U
z
x
1
y
+
+
≤
.
3
2
3
2
3
2
x+y +z
y+z +x
z+x +y
2
3467.
Propose
par Tuan Le, etudiant,
Fairmont High Shool, Anaheim,
.
Soit x, y et z des nombres reels
positifs. Montrer que
CA, E-U
r
3
3468.
x3 + y 3 + z 3
+
xyz
Propose
Reaman,
par
Institut
Joseph
Alberto
r
√
xy + yz + xz
3
≥
3 + 1.
2
2
2
x +y +z
DeVinentis,
Merani,
Bogota,
Salem,
MA, E-U
;
Colombie ;
Peter
Bernardo
Saltzman,
.
Trouver tous les entiers positifs n pour lesquels on peut faire orrespondre a haque nombre pair de {2, 4, . . . , 2n} exatement un nombre
impair de {1, 3, . . . , 2n − 1} de telle sorte que les sommes des n paires,
prises deux a deux, soient des nombres relativement premiers. Par exemple,
si n = 3, on a une solution, 2 + 3 = 5, 4 + 5 = 9, 6 + 1 = 7.
Berkeley, CA, E-U
; et Stan Wagon, Maalester College, St. Paul, MN, E-U
3469.
Propose
par Mihaela Blanariu, College
Columbia Chiago, Chiago,
.
Soit p ≥ 2 un nombre reel.
Trouver la limite
IL, E-U
lim
1+
√
√
√
3
3(3!)p + · · · + n n(n!)p
(n!)p
n→∞
3470.
2(2!)p +
.
Propose
par Mihaela Blanariu, College
Columbia Chiago, Chiago,
.
Soit p ≥ 2 un nombre reel.
Trouver la limite
IL, E-U
lim
n→∞
3471.
1+
√ p
√
√
p
p
3
n
2! +
3! + · · · +
n!
.
np+1
.
Soit ABC un triangle autangle et M , N , P les points milieu respetifs
des petits ars BC , CA, AB . Si [XY Z] designe
l'aire du triangle XY Z ,
montrer que [M BC] + [N CA] + [P AB] ≥ s(3r − R), ou s, r et R sont
respetivement le demi-perim
etre,
le rayon du erle insrit et le rayon du
erle ironsrit du triangle ABC .
Propose
par Cat
alin
Barbu, Baau,
Roumanie
397
3472.
Propose
par Xavier Ros, etudiant,
Universite
Polytehnique de
.
Soit x, y et z des nombres reels
positifs tels que x ≤ y ≤ z . Montrer
Catalogne, Barelone, Espagne
que
log x · log
3473.
1+y
1+z
+ log y · log
1+z
1+x
+ log z · log
1+x
1+y
≥ 0.
Propose
par Walther Janous, Ursulinengymnasium, Innsbruk,
.
Soit c un nombre reel
donne et tel que 0 < c ≤ 1.
(a) Montrer que pour tout nombre reel
positif µ, on a
Autrihe, a
la memoire
de Jim Totten
(b)
2
µ
3
+ p
≤ √
.
√
2
cµ + 1
c
+1
c+µ
⋆. Trouver tous les nombres reels
positifs λ tels que la relation
λ
µ
λ+1
+ p
≤ √
√
2
cµ + 1
c+1
c+µ
soit veri
ee
pour tous les nombres reels
positifs µ.
3474.
.
Soit x, y et z des nombres
positifs tels que xyz = 1. Montrer si
q reels
oui ou non, on a l'inegalit
e 2 3 xy + y z + z x + x + y + z ≥ 9.
[Ed. : Les proposeurs font remarquer que l'inegalit
e
est appuyee
par
des aluls sur ordinateur.℄
.................................................................
Propose
par Silouanos Brazitikos et Christos Patilas, Trikala, Gree
3439. Replaement.
Proposed by D.J. Smeenk, Zaltbommel, the Nether-
.
Let Γ be a irle with entre O and radius R. Line t is tangent to Γ at
the point A, and P is a point on t distint from A. The line ℓ distint from t
passes through P and intersets Γ at the points B and C . The point K is on
the line AC and suh that P KkAB , and the point L is on the line AB and
suh that P LkAC . Prove that KL ⊥ OP .
lands
3463.
.
Let Γ be a irle with entre O and radius r, and let P be a point with
OP > r . Let L be the set of all lines ℓ suh that P 6∈ ℓ and ℓ intersets Γ
at points A, B suh that P A · P B = OP 2 − r2 . Show that L is a penil of
onurrent lines.
Proposed by Mihel Bataille, Rouen, Frane
398
3464.
.
Let ABC be a triangle with ∠A = 90◦ and H be the foot of the altitude
from A. let J be the point on the hypotenuse BC suh that CJ = HB and
let K , L be the projetions of J onto AB , AC , respetively. Prove that
Proposed by Mihel Bataille, Rouen, Frane
2
M − ; AK, AL ≤ M (−2; AB, AC) ,
3
α
α 1/α
where M (α; x, y) = x + y
.
2
3465.
Proposed by Xavier Ros (student) and Jose
Luis Daz-Barrero, Uni-
versitat Politenia
de Catalunya, Barelona, Spain
Prove that
∞ X
∞
X
i=1 j=1
3466.
1
ij(i + j)
<
π
2
6
+
1
2
+
3
4
.
log 2.
Proposed by Tuan Le, student, Fairmont High Shool, Anaheim,
.
√
Let x, y , and z be positive real numbers suh that xyz ≥ 10 + 6 3.
Prove that
CA, USA
y
x+
3467.
y3
+
z2
+
z
y+
z3
+
x2
+
x
z+
x3
+
y2
≤
1
2
.
Proposed by Tuan Le, student, Fairmont High Shool, Anaheim,
.
Let x, y , and z be positive real numbers. Prove that
CA, USA
s
3
3468.
x3 + y 3 + z 3
+
xyz
s
√
xy + yz + xz
3
≥
3 + 1.
2
2
2
x +y +z
Proposed by Joseph DeVinentis, Salem, MA, USA; Bernardo
Reaman,
Instituto Alberto Merani, Bogota,
Colombia;
Peter Saltzman,
.
Find all positive integers n for whih one an math eah even number
from {2, 4, . . . , 2n} with exatly one odd number from {1, 3, . . . , 2n − 1}
so that the sums of the resulting n pairs are pairwise relatively prime. For
example, if n = 3 a solution is 2 + 3 = 5, 4 + 5 = 9, 6 + 1 = 7.
Berkeley, CA, USA; and Stan Wagon, Maalester College, St. Paul, MN, USA
3469.
Proposed by Mihaela Blanariu, Columbia College Chiago, Chiago,
.
Let p ≥ 2 be a real number. Find the limit
IL, USA
lim
n→∞
1+
√
2(2!)p +
√
√
3
3(3!)p + · · · + n n(n!)p
.
(n!)p
399
3470.
Proposed by Mihaela Blanariu, Columbia College Chiago, Chiago,
.
Let p ≥ 2 be a real number. Find the limit
IL, USA
lim
n→∞
1+
√
√
√ p
p
p
3
n
2! +
3! + · · · +
n!
np+1
.
3471.
Proposed by Cat
alin
Barbu, Baau,
Romania
3472.
Proposed by Xavier Ros, student, Universitat Politenia
de Catalunya,
.
Let ABC be an aute triangle and M , N , P be the midpoints of the
minor ars BC , CA, AB ; respetively. If [XY Z] denotes the area of triangle
XY Z , prove that [M BC]+[N CA]+[P AB] ≥ s(3r−R), where s, r , and R
are the semiperimeter, the inradius, and the irumradius of triangle ABC ,
respetively.
.
Let x, y , and z be positive real numbers with x ≤ y ≤ z . Prove that
Barelona, Spain
log x · log
3473.
1+y
1+z
+ log y · log
1+z
1+x
+ log z · log
1+x
1+y
≥ 0.
Proposed by Walther Janous, Ursulinengymnasium, Innsbruk,
.
Let c be a xed real number suh that 0 < c ≤ 1.
Austria, in memory of Jim Totten
(a) For all positive real numbers µ prove that
(b)
2
µ
3
+ p
≤ √
.
√
2
cµ + 1
c+1
c+µ
⋆. Determine all positive real numbers λ suh that
λ
µ
λ+1
+ p
≤ √
√
cµ + 1
c+1
c + µ2
holds for all positive real numbers µ.
3474⋆.
Proposed Silouanos Brazitikos and Christos Patilas, Trikala,
.
Let x, y , q
and z be positive real numbers with xyz = 1. Prove or
disprove that 2 3 xy + y z + z x + x + y + z ≥ 9.
[Ed.: The proposers indiate that the inequality is supported by omputer omputations.℄
Greee