ÈÊÇ Ä ÅË

239
PROBLEMS
Toutes solutions aux problemes dans e numero doivent nous parvenir au plus
tard le 1er novembre 2008. Une e toile (⋆) apres le numero indique que le probleme
a e te soumis sans solution.
Chaque probleme sera publie dans les deux langues oÆielles du Canada
(anglais et franais). Dans les numeros 1, 3, 5 et 7, l'anglais preedera le franais,
et dans les numeros 2, 4, 6 et 8, le franais preedera l'anglais. Dans la setion des
solutions, le probleme sera publie dans la langue de la prinipale solution presentee.
La redation souhaite remerier Jean-Mar Terrier, de l'Universite de
Montreal, d'avoir traduit les problemes.
Oliver Geupel nous a signale une erreur dans l'enon
e du probleme
#3282
[2007 : 429, 431℄, propose par Jose Luis Daz-Barrero et Pantelimon George
Popesu. Nous nous exusons de ette erreur.
3282.
Corretion.
Propose
par Jose
Luis Daz-Barrero, Universite
Poly-
tehnique de Catalogne, Barelone, Espagne et Pantelimon George Popesu,
.
Buarest, Roumanie
Soit A(z) = z n + an−1 z n−1 + · · · + a1 z + a0 un polynome
^
unitaire a oeÆients omplexes. On suppose que a1 = −a0 et que les zeros
z1 , z2 , . . . , zn de A(z) sont des nombres omplexes non nuls et distints.
Montrer que
n
n
X
ez k Y
k=1
zk2
j=1
j6=k
1
zk − zj
= 0.
3338.
Propose
par Toshio Seimiya, Kawasaki, Japon
3339.
Propose
par Toshio Seimiya, Kawasaki, Japon
3340.
Propose
par Toshio Seimiya, Kawasaki, Japon
.
Un quadrilatere
irulaire onvexe ABCD possede
un erle insrit de
entre I . Soit P le point d'intersetion de AC et BD. Montrer que l'on a
AP : CP = AI 2 : CI 2 .
.
Soit Γ1 et Γ2 deux erles sans points ommuns et situes
a l'exterieur
l'un de l'autre. Soit ℓ1 et ℓ2 les tangentes externes ommunes a Γ1 et Γ2 .
Soit A et B les points d'intersetion de ℓ1 ave Γ1 et Γ2 ; C et D eux de ℓ2
ave Γ1 et Γ2 . Notons M et N les points milieu AB et CD, et soit P et Q
les points d'intersetion de N A et N B ave Γ1 et Γ2 , dierents
de A et B .
Montrer que CP , DQ et M N sont onourants.
.
Dans un triangle ABC , la bissetrie de l'angle BAC oupe le erle
ironsrit en un seond point D. Supposons que AB 2 + AC 2 = 2AD2 .
Montrer que AD et BC se oupent a 45◦ .
240
3341.
.
Propose
par Arkady Alt, San Jose,
CA, E-U
Soit ABC un triangle quelonque, de ot
^ es
a, b et c; montrer que
3(Ra + Rb + Rc ) ≤ a + b + c, ou Ra , Rb et Rc sont les distanes respetives du entre du erle insrit du triangle ABC aux sommets A, B et C .
√
3342.
.
Soit respetivement r et R le rayon des erles insrit et ironsrits du
triangle ABC . Montrer que
Propose
par Arkady Alt, San Jose,
CA, E-U
2
X
sin
ylique
3343.
A
2
sin
B
2
≤ 1+
r
R
.
.
Si l'on supprime toutes les fatorielles dans la serie
de Malaurin de
sin x, on obtient la serie
de arctan x. Supposons alors qu'on en supprime
seulement une sur deux. La serie
ainsi obtenue a-t-elle une forme fermee?
C'est-a-dire,
peut-on trouver la fontion dont la serie
de Malaurin soit
Propose
par Stan Wagon, Maalester College, St. Paul, MN, E-U
x−
3344.
x3
x5
x7
x9
x11
+
−
+
−
+ ···
3
5!
7
9!
11
?
Propose
par Pham Kim Hung, etudiant,
Universite
de Stanford,
.
Soit n un entier positif, n ≥ 4, et soit a1 , a2 , . . . , an des nombres reels
positifs tels que a1 + a2 + · · · + an = n. Montrer que
Palo Alto, CA, E-U
1
1
3 2
1
+
+ ··· +
−n ≥
a1 + a22 + · · · + a2n − n .
a1
a2
an
n
3345.
Propose
par Pham Kim Hung, etudiant,
Universite
de Stanford,
.
Soit a, b, c et d des nombres reels
positifs tels que a + b + c + d = 4.
Montrer que
Palo Alto, CA, E-U
a
b
c
d
+
+
+
≥ 2.
2
2
2
1+b c
1+c d
1+d a
1 + a2 b
3346.
Propose
par Bin Zhao, etudiant,
YunYuan HuaZhong Universite
de
.
Tehnologie et Siene, Wuhan, Hubei, Chine
Dans un triangle ABC , montrer que
π
X
ylique
1
A

≥ 
X
ylique
sin

A 
2
X
ylique
csc

A
2
.
241
3347.
.
Soit A1 A2 A3 A4 un quadrilatere
onvexe. Soit Bi un point sur Ai Ai+1
pour i ∈ {1, 2, 3, 4}, les indies etant
pris modulo 4, de sorte que
Propose
par Mihaly
Benze, Brasov, Roumanie
B1 A1
B1 A2
=
B3 A4
B3 A3
Montrer que B1 B3
latere
irulaire.
=
A1 A4
A2 A3
⊥ B2 B4
et
B2 A2
B2 A3
=
B4 A1
B4 A4
=
A1 A2
A3 A4
.
si et seulement si A1 A2 A3 A4 est un quadri-
3348.
Propose
par Mihaly
Benze, Brasov, Roumanie
3349.
Propose
par Mihaly
Benze, Brasov, Roumanie
.
Dans un triangle autangle ABC , soit respetivement A1 , B1 et C1
des points sur les ot
^ es
BC , CA et AB , de sorte que ∠AC1 B1 , ∠BC1 A1 et
∠ACB soient egaux.
Soit respetivement M , N et P les entres des erles
ironsrits des triangles AC1 B1 , BA1 C1 et CB1 A1 . Montrer que AM ,
BN et CP sont onourants si et seulement si AA1 , BB1 et CC1 sont les
hauteurs du triangle ABC .
.
Soit a, b et c trois nombres reels
positifs. Montrer que
6

 X
a(1 + bc)(a2 + 1)
≥ max
2
a +1
a3 + 1

Y a3 + 1
ylique
3350.
ylique
,

X ab(1 + c)(a2 b2 + 1) 
.
a 3 b3 + 1

ylique
Propose
par Panos E. Tsaoussoglou, Athenes,
Gree
Soit x, y et
Montrer que
trois nombres reels
positifs tels que
z
yz
1+x
+
zx
1+y
+
xy
1+z
≤
1
4
.
x + y + z = 1.
.
.................................................................
3282. Corretion.
Proposed by Jose
Luis Daz-Barrero, Universitat Poli-
tenia
de Catalunya, Barelona, Spain and Pantelimon George Popesu,
.
Buharest, Romania
Let A(z) = z n + an−1 z n−1 + · · · + a1 z + a0 be a moni polynomial with omplex oeÆients. Suppose that a1 = −a0 , and that the zeroes
z1 , z2 , . . . , zn of A(z) are distint, non-zero omplex numbers. Prove that
n
n
X
ez k Y
1
= 0.
2
z
z
−
zj
k j=1 k
k=1
j6=k
242
3338.
P
.
A onvex yli quadrilateral ABCD has an inirle with entre I . Let
be the intersetion of AC and BD. Prove that AP : CP = AI 2 : CI 2 .
Proposed by Toshio Seimiya, Kawasaki, Japan
3339.
Proposed by Toshio Seimiya, Kawasaki, Japan
3340.
Proposed by Toshio Seimiya, Kawasaki, Japan
3341.
Proposed by Arkady Alt, San Jose, CA, USA
3342.
Proposed by Arkady Alt, San Jose, CA, USA
.
Let Γ1 and Γ2 be two non-interseting irles eah lying in the exterior
of the other. Let ℓ1 and ℓ2 be the ommon external tangents to Γ1 and Γ2 .
Let ℓ1 meet Γ1 and Γ2 at A and B , respetively, and let ℓ2 meet Γ1 and Γ2
at C and D, respetively. Let M and N be the mid-points of AB and CD,
respetively, and let P and Q be the intersetions of N A and N B with Γ1
and Γ2 , respetively, dierent from A and B . Prove that CP , DQ, and M N
are onurrent.
.
The bisetor of ∠BAC intersets the irumirle of △ABC at a seond
point D. Suppose that AB 2 + AC 2 = 2AD2 . Prove that the angle of
intersetion of AD and BC is 45◦ .
.
For any triangle ABC with sides of lengths a, b, and c, prove that
√
3(Ra + Rb + Rc ) ≤ a + b + c, where Ra , Rb , and Rc are the distanes
from the inentre of △ABC to the verties A, B , and C , respetively.
.
Let r and R be the inradius and irumradius of △ABC , respetively.
Prove that
X
A
B
r
2
sin
sin
≤ 1+
.
2
yli
3343.
2
R
.
If the fatorials are deleted in the Malaurin series for sin x, one obtains
the series for arctan x. Suppose instead that one alternates fatorials in the
series. Does the resulting series have a losed form? That is, an one nd an
elementary expression for the funtion whose Malaurin series is
Proposed by Stan Wagon, Maalester College, St. Paul, MN, USA
x−
3344.
x3
3
+
x5
5!
−
x7
7
+
x9
9!
−
x11
11
+ ···
?
Proposed by Hung Pham Kim, student, Stanford University, Palo
.
Let n be a positive integer, n ≥ 4, and let a1 , a2 , . . . , an be positive
real numbers suh that a1 + a2 + · · · + an = n. Prove that
Alto, CA, USA
1
a1
+
1
a2
+ ··· +
1
an
−n ≥
3
n
a21 + a22 + · · · + a2n − n .
243
3345.
Proposed by Hung Pham Kim, student, Stanford University, Palo
.
Alto, CA, USA
Let a, b, c, and d be positive real numbers suh that a + b + c + d = 4.
Prove that
a
b
c
d
+
+
+
≥ 2.
2
2
2
1+b c
1+c d
1+d a
1 + a2 b
3346.
Proposed by Bin Zhao, student, YunYuan HuaZhong University of
.
Tehnology and Siene, Wuhan, Hubei, China
Given triangle ABC , prove that
π
X 1
yli
3347.
A

≥ 
X
sin
yli

A 
2
X
csc
yli

A
2
.
.
Let A1 A2 A3 A4 be a onvex quadrilateral. Let Bi be a point on Ai Ai+1
for i ∈ {1, 2, 3, 4}, where the subsripts are taken modulo 4, suh that
Proposed by Mihaly
Benze, Brasov, Romania
B1 A1
B1 A2
=
B3 A4
B3 A3
=
A1 A4
A2 A3
and
B2 A2
B2 A3
=
B4 A1
B4 A4
=
A1 A2
A3 A4
.
Prove that B1 B3 ⊥ B2 B4 if and only if A1 A2 A3 A4 is a yli quadrilateral.
3348.
Proposed by Mihaly
Benze, Brasov, Romania
3349.
Proposed by Mihaly
Benze, Brasov, Romania
.
Let ABC be an aute-angled triangle. Let A1 , B1 , and C1 be points
on the sides BC , CA, and AB , respetively, suh that the angles ∠AC1 B1 ,
∠BC1 A1 , and ∠ACB are all equal. Let M , N , and P be the irumentres
of △AC1 B1 , △BA1 C1 , and △CB1 A1 , respetively. Prove that AM , BN ,
and CP are onurrent if and only if AA1 , BB1 , and CC1 are altitudes of
△ABC .
.
Let a, b, and c be positive real numbers. Show that
6
Y a3 + 1
yli
a2 + 1
3350.
that
≥ max

X

yli
a(1 + bc)(a2 + 1)
a3 + 1
,

X ab(1 + c)(a2 b2 + 1) 
a 3 b3 + 1

.
yli
Proposed by Panos E. Tsaoussoglou, Athens, Greee
.
Let x, y, and z be positive real numbers suh that x + y + z = 1. Prove
yz
zx
xy
1
+
+
≤
1+x
1+y
1+z
4
.