Fonction de deux variables

F1 - Fonction de deux variables
FONCTIONS DE DEUX VARIABLES
Détermination de l’ensemble de définition
Exemple 1 :
On a donc définie sur R² \ ,
où est la droite d’équation
On écrit précisément :
Exemple 2 :
On écrit précisément :
L’ensemble de définition est la partie intérieure au
cercle de centre (0 ;0) et de rayon 2.
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Détermination d’une courbe/ligne de niveau
La courbe de niveau
d’une fonction
de deux variables
l’ensemble des points du plan
qui vérifie l’équation
, est
Exemple 1 :
On résout alors cette équation :
La courbe de niveau
est donc la droite d’équation
Exemple 2 :
La courbe de niveau
de la fonction
Cela équivaut à l’équation d’un cercle de centre
a pour équation
et de rayon 5.
Détermination des points stationnaires d’une fonction
Les points stationnaires d’une fonction f de deux variables sont les points où son
gradient s’annule.
Le gradient est « l’assemblage » de deux dérivées partielles. Il est caractérisé par
un vecteur.
Exemple :
On calcule d’abord les dérivées partielles :
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On obtient alors deux points stationnaires :
.
Détermination de la nature des points stationnaires
Il faut calculer les dérivées partielles secondes afin de déterminer la matrice hessienne.
Calcul d’une matrice hessienne
On obtient alors la matrice hessienne suivante :
On remplace alors les coordonnées des points stationnaires dans la matrice.
Pour (0 ;0) :
On calcule le déterminant :
est négatif donc on en déduit que
local.
Pour
est un point col. Ce n’est pas un extremum
:
On calcule le déterminant :
25 est positif donc on en déduit que
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) est un minimum local.
Fonction de deux variables
Autre exemple :
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Etudier la nature des points stationnaires de la fonction.
On calcule d’abord les dérivées partielles :
,
Pour déterminer la nature des points stationnaires, il faut calculer les dérivées partielles
secondes afin de déterminer la matrice hessienne.
On obtient alors la matrice hessienne suivante :
On remplace alors les coordonnées des points stationnaires dans la matrice.
Pour
:
On calcule le déterminant :
est négatif donc on en déduit que
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est un point selle.