Fonctions de deux variables

Fonctions de deux variables
Bilan et méthodes
Bilan :
Méthodes :
Ce qu’il faut savoir faire
• Ecrire les fonctions partielles d’une fonction f (x, y) donnée et se faire une idée
de leurs graphes.
+ exercices 2, 12, 13, 16
• Faire le lien entre les graphes des fonctions partielles et les coupes par des
plans verticaux.
+ exercices 2, 12, 13, 16
• Trouver et tracer les courbes de niveau de quelques fonctions f (x, y).
+ exrecice 2 et exercice 3 i) et ii)
• Faire le lien entre courbes de niveau et coupes par des plans horizontaux.
+ exercice 2
• Calculer les dérivées partielles d’une fonction f (x, y).
+ exercices 7, 10, 11, 16
• Calculer la dérivée d’une fonction w(t) de la forme w(t) = f (u(t), v(t))
+ exercices 8, 14, 15, 16
Méthode : reconnaître le graphe d’une fonction f (x, y)
1. On regarde les fonctions partielles fy0 (x) et fx0 (y) pour se faire une idée de
leurs graphes (parabole, droite, ...)
2. On vérifie si les courbes des fonctions partielles correspondent aux coupes
par des plans verticaux.
+ exercices 2, 12, 13, 14
Méthode : calculer la dérivée d’une fonction w(t) = f (u(t), v(t))
1. On calcule les expressions des dérivées partielles
€f
(x, y)
€x
et
€f
(x, y)
€y
2. Dans ces expressions, on remplace x par u(t) et y par v(t) pour obtenir
€f
€f
(u(t), v(t)) et €y (u(t), v(t))
€x
3. On calcule les dérivées u 0 (t) et v 0 (t)
4. On applique la formule w0 (t) =
€f
€f
(u(t), v(t))u 0 (t) + €y (u(t), v(t))v 0 (t)
€x
+ exercices 8, 14, 15, 16
Méthode : déterminer les extrema d’une fonction f (x, y)
1. On cherche les candidats. On calcule les dérivées partielles
€f
(x, y)
€y
€f
(x, y)
€x
et
et on trouve les couples (a, b) solutions du système

€f



(a, b) = 0,


 €x


 €f


 €y (a, b) = 0.
2. On teste les candidats. Pour ces couples, on calcule f (a, b) et on regarde si
les valeurs obtenues sont bien des extrema.
+ exercice 9