CONTRˆOLE CONTINU Séries numériques Durée : 1h30 Les

ISA BTP, 2◦ année
ANNÉE UNIVERSITAIRE 2012-2013
CONTRÔLE CONTINU
Séries numériques
Durée : 1h30
Les calculatrices sont autorisées.
Tous les exercices sont indépendants.
Il sera tenu compte de la rédaction et de la présentation.
Exercice 1 On considère les séries (Sn ) et (Tn ) définies par
∀n ∈ N,
Sn =
n
X
cos(k)
k=0
2k
et
Tn =
n
X
sin(k)
2k
k=0
.
1. Montrer que les deux séries (Sn ) et (Tn ) sont convergentes (on pourra majorer les valeurs
absolues de leurs termes généraux pour se ramener à une série géométrique convergente).
On note S et T leurs sommes respectives :
S=
∞
X
cos(n)
n=0
T =
2n
∞
X
sin(n)
n=0
2n
.
2. On considère maintenant la série complexe (Wn ) définie par
∀n ∈ N,
Wn = Sn + i.Tn .
(a) Montrer que la série (Wn ) converge et que sa somme W vérifie W = S + i.T .
(b) Montrer que (Wn ) est une série géométrique dont la raison q complexe vérifie |q| < 1
(on rappelle que pour tout θ ∈ R, on a cos(θ) + i sin(θ) = eiθ ).
(c) Montrer que
W =
2
.
2 − ei
(d) En déduire les valeurs de S et T .
?????????????????
Exercice 2 Soit S la série entière définie par
S(x) =
∞
X
3n xn
n=0
1. Montrer que S(x) existe pour tout x ∈ R.
1
n!
.
2. Montrer que S(x) est l’unique solution du problème différentiel
0
y − 3y = 0
y(0) = 1
3. Résoudre ce problème différentiel et en déduire S(x) sous forme explicite.
?????????????????
Exercice 3
1. Rappeler le développement en série entière de la fonction
u 7−→
1
1−u
et préciser son rayon de convergence R.
2. En déduire le développement en série entière de la fonction u 7→ ln(1 + u) et préciser son
rayon de convergence R.
3. Montrer que
∀x ∈ [−R, R],
ln(1 + x2 ) = −
∞
X
(−1)n
n=1
n
x2n .
On détaillera les arguments permettant d’inclure −R et R dans le domaine de définition.
4. En déduire ln 2 sous la forme d’une série alternée (Sn ).
5. Pour quelle valeur de n la somme partielle Sn donne-t-elle une valeur approchée de ln 2
à 10−2 près ?
? ?
?
2
CORRECTION
Exercice 1 :
1. Pour tout n ∈ N, on a
n
cos(n) 1
2n 6 2
n
sin(n) 1
2n 6 2
et
Les termes généraux des séries (Sn ) et (Tn ) sont donc majorées par le terme général d’une
série géométrique convergente (car 21 < 1), donc elles convergent.
2. (a) Puisque Wn = Sn + i.Tn , en passant à la limite n → +∞ dans cette égalité, on
obtient W = S + i.T .
(b)
∀n ∈ N, Wn = Sn + i.T n
n
n
X
X
cos(k)
sin(k)
=
+i
k
2
2k
k=0
k=0
=
=
n
X
cos(k) + i sin(k)
k=0
n i k
X
k=0
e
2
(Wn ) est bien une série géométrique de raison q =
(c) La série (Wn ) converge donc vers
W =
1
1−
ei
2
2k
=
ei
2
et dont le module vaut |q| =
1
2
< 1.
2
.
2 − ei
(d) S et T sont respectivement la partie réelle et la partie imaginaire de W . En multipliant le dénominateur 2 − ei = 2 − cos(1) − i sin(1) par sa quantité conjuguée, on
obtient W sous forme cartésienne et l’on trouve
4 − 2 cos(1)
2 sin(1)
S=
et
T =
.
5 − 4 cos(1)
5 − 4 cos(1)
?????????????????
Exercice 2 :
1. On applique le critère de d’Alembert au terme général un (x) =
3n |x|n
n!
:
un+1
3n+1 |x|n+1 n!
=
.
un
(n + 1)! 3n |x|n
3|x|
=
n+1
−→ 0
P
Cette limite étant < 1 quelque soit x, la série un (x) est convergente quelque soit x ∈ R.
La somme S(x) existe donc quelque soit x ∈ R.
3
2. Comme toute série entière, la somme S(x) est dérivable sur son intervalle de définition et
∞
X
3n
S 0 (x) =
∀x ∈ R,
n!
n=1
∞
X
= 3
= 3
n=1
∞
X
n=0
nxn−1
3n−1 xn−1
(n − 1)!
3n xn
n!
= 3S(x)
De plus, puisque S(x) = 1 + 3x +
9x2
2
+ . . . , on a
S(0) = 1 + 3.0 +
9.02
+ . . . = 1.
2
S est donc l’unique solution du problème différentiel proposé.
3. L’équation différentielle y 0 − 3y = 0 est une équation linéaire d’ordre 1 à coefficients
constants dont les solutions sont de la forme x 7→ λe3x pour λ ∈ R. D’autre part, l’unique
fonction de ce type vérifiant la condition y(0) = 1 est donnée par λ = 1.
Ainsi,
∀x ∈ R, S(x) = e3x .
?????????????????
Exercice 3 :
1. D’après la formule donnant la somme des termes d’une suite géométrique, on a
∞
X
1
=
un
1−u
n=0
et la série ainsi obtenue a pour rayon de convergence R = 1.
2. En intégrant la formule précédente, on obtient le développement de ln(1 − u) en série
entière :
∞
∞
X
X
un+1
un
∀u ∈] − 1, 1[, ln(1 − u) = −
=−
.
n+1
n
n=0
n=1
puis celui de ln(1 + u) :
∀u ∈] − 1, 1[,
ln(1 + u) = −
∞
X
(−u)n+1
n=0
n+1
=−
∞
X
(−1)n un
n=1
n
3. En posant u = x2 dans la formule précédente, on obtient :
∀x ∈] − 1, 1[,
2
ln(1 + x ) = −
∞
X
(−1)n x2n
n=1
4
n
.
(∗)
.
Pour inclure les valeurs ±1 dans l’intervalle de convergence, il faut étudier la convergence
P (−1)n+1 (±1)2n P (−1)n+1
des séries
=
. On peut rapidement montrer qu’il s’agit à chaque
n
n
fois d’une série alternée convergente. La somme définie plus haut reste donc valable en
x = ±1.
4. En posant x = 1 dans l’égalité (∗), on obtient
ln 2 = −
∞
X
(−1)n
n=1
n
.
5. Il s’agit ici d’une série alternée. Son reste Rn est donc majoré par son terme général :
1 ∗
.
∀n ∈ N , |Rn | 6 n + 1
n
X
(−1)n
est une valeur approchée de ln 2 à 10−2 près si
n
k=1
le reste Rn est plus petit que 10−2 . Il suffit donc pour cela que n + 1 > 100, autrement
dit n > 100.
Or la somme partielle Sn = −
? ?
?
5