Séries

Préparation à l’Agrégation de Mathématiques
Séries
1. A savoir
– Définition d’une série, d’une série convergente, de la somme de la série, de la suite des sommes
partielles, des restes
– Opérations sur les séries
– Terme général d’une série convergente
– Série géométrique
– Critère de Cauchy pour les séries
– Convergence absolue
– Séries à termes positifs ; théorèmes de comparaison
– Comparaison des sommes partielles (séries divergentes) et des restes (séries convergentes)
– Lien entre suites et séries
– Comparaison d’une série et d’une intégrale
– Séries de Riemann et de Bertrand
– Règles de Cauchy et de d’Alembert
– Règle de Raabe-Duhamel (et sa démonstration bien sûr !)
– Critère des séries aternées et estimation du reste
– Transformation d’Abel et règle d’Abel
– Calcul de sommes de séries (séries télescopiques, via les séries de Fourier, via les séries entières).
– Modification de l’ordre des termes : cas absolument convergent.
2. Pour approfondir
–
–
–
–
–
–
Sommation par paquets
Séries doubles et théorème d’associativité
Produit de deux séries
Produits infinis
Modification de l’ordre des termes : cas semi convergent.
Calcul de sommes de séries via le théorème des résidus.
3. En lien avec...
–
–
–
–
–
–
les exercices de la feuille sur les relations de comparaison
les exercices sur les intégrales généralisées
le développement ”comparaison série intégrale”
le développement ”développement asymptotique de la série harmonique”
le développement ”inégalité de Carleman”
le développement ”utilisation des séries pour étudier les suites”
4. Exercices
Exercice 1 : Premiers exemples [P, M]
Déterminer la nature des séries suivantes (éventuellement en fonction de α, β) :
α X
X ln 1 + nβ xn
X − ln n
ln cos 1 ,
(ln
n)
(x > 0),
,
1.1.
n nα
!
−n
p
X
X
X
X
(−1)n
ln n
1
1
n
n
2
√ ,
1.2.
tan(π n + 1),
(−1)
,
(−1)
1+
−
,
n − ln n
n
e
(−1)n + n
X
X
p
(−1)n
(α,
β
>
0),
sin(2π
n2 + (−1)n ),
nα + (−1)n nβ
X einβ X
X sin2 n X | sin n|
n
1.3.
,
(−1)
cos(nθ),
,
.
nα
n
n
X√
√
n
1.4.
n + 1 − n n,
1
2
Exercice 2 : Calcul de sommes [M]
Montrer
brièvement la convergence et calculer la somme des séries suivantes :
X n(n + 2) X
X n3 − n + 2
X
1
1
√
ln
,
,
,
,
√
(n + 1)2
6 (12 + 22 + · · · + n2 )
n!
n n + 1 + (n + 1) n n≥1
n≥1
n≥1
n≥1
X n
.
2n
n≥0
ExerciceX
3 : Règle de Raabe-Duhamel [P,G]
3.1. Soit
un une série à termes strictement positifs telle que
X
un+1
a
= 1 − + wn avec
|wn | convergente.
un
n
K
et que la série converge ssi a > 1.
na
X x(x − 1)(x − 2) · · · (x − n + 1)
3.2. Application 1 : Quelle est la nature de
(x > 0, x ∈
/ N) ?
n!
X
n+a
3.3. Application 2 : Calculer
un avec un+1 = un
, (a, b > 0).
n+b
Montrer que un
∼
n→+∞
n≥0
Exercice 4 : La série de l’inverse des nombres
premiers [P] X
X
X
4.1. Montrer que si un ≥ 0, alors les séries
un ,
ln(1 + un ) et
ln(1 − un ) sont de même
nature.
X 1
4.2. Application : Soit (pn )n∈N la suite croissante des nombres premiers. Montrer que la série
pn
diverge.
Exercice 5 : Critère de Cauchy [G, FGN1]
X
Soit (un )n∈N une suite réelle décroissante, positive. Montrer que si la série
un converge, alors la
suite (nun )n∈N tend vers 0.
Exercice 6 : Contre-exemples [H]
X
X
6.1. Trouver deux suites (un )n∈N et (vn )n∈N équivalentes en +∞ telles que
un converge et
vn
diverge.
X
X
6.2. Trouver deux suites (un )n∈N et (vn )n∈N telles que |vn | ≤ |un | avec
un converge et
vn
diverge.
X
6.3. Trouver deux suites (un )n∈N et (vn )n∈N telles que |vn | ≤ |un |, un vn > 0 avec
un converge et
X
vn diverge.
X
X
6.4. Trouver une suite (un )n∈N telle que
un converge et
ln(1 + un ) diverge.
X
X
6.5. Trouver une suite (un )n∈N telle que
un diverge et
ln(1 + un ) converge.
X
n
6.6. Trouver une suite (un )n∈N telle que
(−1) un diverge avec un ≥ 0 et lim un = 0.
n→+∞
Exercice 7 : Equivalents des sommes partielles et des restes [L ]
un+1
Soit (un )n∈N une suite réelle à termes strictement positifs telle que lim
= k ∈ R̄+ .
n→+∞ un
∞
X
7.1. Si 0 ≤ k < 1, donner en fonction de un un équivalent de Rn =
uk .
k=n
7.2. Si 1 < k ≤ +∞, donner en fonction de un un équivalent de Un =
n
X
uk .
k=0
Exercice 8 : Equivalents – en pratique [M]
n
2n
n
X
X
X
1
1
8.1. Donner un équivalent de
k! , de
, de
.
kk
k ln k
k=1
k=n
k=2
Exercice 9 : Séries doubles - Théorème de Fubini pour les séries [FGN1]
3
9.1. Soit a et b des réels strictement positifs. Montrer que la famille
ssi a > 1 et b > 1.
XX
9.2. Etudier la convergence et calculer
n≥1 m≥1
1
am + bn
est sommable
m,n∈N
1
m2 n
+
n2 m
+ 2mn
Exercice 10 : Commutativité des termes [G]
Soit σ une bijection de N∗ dans N∗ .
X 1
10.1. Montrer que la série
converge et majorer la somme de cette série au mieux par une
nσ(n)
expression indépendante de σ.
X σ(n)
diverge et minorer les sommes partielles de cette série au mieux
10.2. Montrer que la série
n2
par une expression indépendante de σ.
X σ(n)
10.3. Quelle est la nature de
?
n3
Exercice 11– Examen : Equivalents de sommes partielles et des restes [L, G ; p. 213]
n
+∞
X
X
Soit (un )n∈N une suite réelle à termes strictement positifs. On note Un =
uk et Rn =
uk .
k=0
k=n
X un
converge ssi α > 1.
11.1. Supposons que la série
un diverge. Montrer que
Unα
o (Un ). Exprimer en fonction de Un un équivalent des
11.2. On suppose de plus que un =
n→+∞
X un
sommes partielles (resp. des restes) de la série
lorsque α ≤ 1 (resp. α > 1).
Unα
X
X un
converge ssi α < 1.
11.3. Supposons que la série
un converge. Montrer que
Rnα
o (Rn ). Exprimer en fonction de Rn un équivalent des
11.4. On suppose de plus que un =
n→+∞
X un
sommes partielles (resp. des restes) de la série
lorsque α ≥ 1 (resp. α < 1).
Rnα
X
Exercice 12– Examen : Groupement de termes [P ; p. 143 et M. ; p. 120]
12.1. Montrer le théorème suivant :
Théorème 1. Soit ϕ une application strictement croissante de N dans N telle que ϕ(0) = 0, et une
suite réelle (un )n∈N . Si
ϕ(n+1)−1
X
(i) la série de terme général vn =
uk converge,
k=ϕ(n)
ϕ(n+1)−1
(ii) la suite dn =
X
|uk | tend vers 0,
k=ϕ(n)
ou (ii bis) (un )n∈N est à termes positifs,
ou (ii ter) ϕ(nX
+ 1) − ϕ(n) est bornée et unX
tend vers
X0,
alors la série
un converge et les séries
un et
vn ont même somme.
√
√
X (−1)E( n)
X (−1)E( n)
√
et
?
12.2. Application 1 : quelle est la nature des séries
n
n
p(n)
X
1
12.3. Application 2 : quelle est la nature de
où p(n) est le nombre de chiffres de
p(n)
X
1
l’écriture décimale de n ? De
un où un = 0 si 9 intervient dans l’écriture décimale de n et un =
n
sinon ?
Exercice 13– Examen : Produit de convolution [P ; p. 144]
X
X
Définition. Soit
un et
vn deux séries. On appelle produit de convolution de ces deux séries la
n
X
X
série
wn où wn =
uk vn−k .
k=0
4
X
X
13.1. Montrer que si
un et
vn sont deux séries absolument convergentes, alors le produit de
+∞
+∞
+∞
X
X
X
X
convolution
wn est une série absolument convergente et
wn =
un ×
vn .
n=0
n=0
n=0
13.2. Même chose si une seule des deux séries est absolument convergente (théorème de CauchyMertens).
13.3. [Gos3] Que peut-on dire si les deux séries sont semi-convergentes ?
5. Indications
Exercice 1 :
1.2. Faire des développements limités.
1.3. Transformations d’Abel et formules trigonométriques.
1.4. Penser au théorème des accroissements finis.
Exercice 2 :
Dans l’ordre : série téléscopique, décomposition en éléments simples et équivalent de la série harmonique, quantité conjuguée, e comme série, développements en série entière.
Exercice 3 :
On pose vn = ln (na un ) et on montre que cette suite converge en étudiant la série associée.
Exercice 4 :
M
Y
1
.
Comparer HM avec
1
−
1/pn
n=1
Exercice 5 :
p
Majorer up .
2
Exercice 6 :
(−1)n (−1)n 1 1
Tous les contre-exemples utilisent
, √ , , √ ou une combinaison de certain d’entre eux.
n
n n
n
Exercice 7 :
7.1. et 7.2. Penser à la comparaison des restes et des sommes partielles.
Exercice 8 :
Comparaison série-intégrale pour le dernier.
Exercice 9 :
X
1
p+1
9.1. Montrer que
≤ p/2 où c = min(a, b).
m + bn
a
c
m+n=p
Exercice 10 :
10.1. (et 10.2) Utiliser l’inégalité de Schwarz.
10.3. Choisir la permutation qui envoie les entiers 2n sur (2n)3 .
Exercice 11 :
11.1. (et 11.3.) Pour la divergence, nier le critère de Cauchy.
11.2. (et 11.4.) Comparaison série-intégrale.
Exercice 12 :
12.2. (resp. 12.3.) Prendre comme paquets ϕ(n) = n2 (resp. ϕ(n) = 10n ).
Exercice 13 :
13.1. On montre que Wn ≤ Un Vn ≤ W2n .
n
n
X
X
13.2. Se ramener au cas V = 0 et utiliser une technique à la Césaro sur l’égalité
wk =
uk Vn−k .
k=0
k=0
(−1)n
(−1)n
13.3. Considérer un = vn = √
et un = vn =
.
n
n
6. Références
[C] Combes, Suites et séries, PUF.
[FGN1] Francinou, Gianella, Nicolas, Exercices de mathématiques. Oraux X-ENS. Analyse 1, Cassini.
[Gos3] Gostiaux, Cours de mathématiques spéciales. Tome 3, PUF.
[G] Gourdon, Les maths en tête. Analyse, Ellipses.
[H] Hauchecorne Les contre-exemples en mathématiques, Ellipses.
[L] Leichtnam, Exercices corrigés de mathématiques posés à l’oral des concours de Polytechnique et
des ENS. Tome Analyse, Ellipses.
[M] Merlin, Methodix Analyse, Ellipses.
[P] Pommellet, Cours d’analyse, agrégation de mathématiques, Ellipses.